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第22讲 连续型随机变量及其概率密度 (IV) 正态分布 (I)

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连续型随机变量的概率密度

连续型随机变量的概率密度
x
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.

概率统计2.4(绝对)连续型随机变量

概率统计2.4(绝对)连续型随机变量

4.正态分布
正态分布是应用最广 泛的一种连续型分布.
德莫佛（De Moivre)最早发现 了二项分布的一个近似公式，这 一公式是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由高 斯(Gauss)加以推广，所以通常称 为高斯分布.
德莫佛
(I) 正态分布的定义
若X 的 p.d.f. 为
f (x)
1
＝P{a X b}＝ b f (x)dx a
注1 密度函数的几何意义为
P(a X b)＝ b f (u)du a
例2、设X的密度函数为
Ax(3x 2) 0 x 2
f (x) 0
其他
试确定常数A,并求 P(1 X 1)
f (x)dx 1

2
Ax(3x 2)dx 1
A 1
0
12
1
0
1
P(1 X 1) f (x)dx f (x)dx f (x)dx
1
1
0
1 1 x(3x 2)dx 1
0 12
6
二、几个常用的连续型分布
1. 均匀分布 U(a, b) 若r.v.X的p.d.f.为
( x)2
e 2 2
2
, 为常数， 0
亦称高斯 (Gauss)分布
x
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布。
记作 X ~ N ( , 2 )
(II)正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
x x
(a)正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形 曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
c
c ba ba
例3.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分 发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻 随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的 概率。

连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量及其概率密度

问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x

连续型随机变量的概率密度

连续型随机变量的概率密度

连续型随机变量的概率密度一、概念介绍连续型随机变量是指取值范围为无限个数的随机变量，它的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）可以用来描述该随机变量在某个取值范围内的概率分布情况。

二、概率密度函数的定义对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1. f(x)≥0，即非负性；2. ∫f(x)dx=1，即归一性；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=∫abf(x)dx。

三、常见的连续型分布及其概率密度函数1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内每一个点的概率相等的分布。

其概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)，a≤x≤b2. 正态分布正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，也称为高斯分布。

其概率密度函数为：f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。

3. 指数分布指数分布通常用来描述事件发生的时间间隔。

其概率密度函数为：f(x)=λe^(-λx)，x≥0其中，λ是事件发生率。

4. 伽马分布伽马分布是指一类连续型随机变量的分布，它经常用来描述风险事件的发生时间。

其概率密度函数为：f(x)=(1/Γ(α)β^α)x^(α-1)e^(-x/β)，x≥0其中，α和β是参数，Γ(α)是伽马函数。

四、概率密度函数的性质1. 概率密度函数f(x)的图像在x轴上方；2. 在任意一个区间内，概率密度函数f(x)所表示的面积即为该区间内随机变量X取值的概率；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a<X≤b)=∫abf(x)dx；4. 对于任意实数c，有P(X=c)=0。

五、连续型随机变量的期望和方差1. 期望对于连续型随机变量X，其期望E(X)定义为：E(X)=∫xf(x)dx2. 方差对于连续型随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X)=E((X-E(X))^2)=∫(x-E(X))^2f(x)dx六、总结连续型随机变量的概率密度函数是描述其概率分布情况的重要工具，常见的连续型分布包括均匀分布、正态分布、指数分布和伽马分布等。

连续型随机变量的概率分布.

连续型随机变量的概率分布.

其概率密度为:
(x)
1
x2
e 2,
x
2
分布函数为:
x
(x)
1
t2
e 2 dt
2
标准正态分布性质： (x) 1 (x)
由图形对称性
P(X x) P(X x)
(x) 1 (x)
－x ０ x
标准正态分布有表可查P254
1 (1 e c ) 1 e c 1 c ln 2
2
2

例2: 设某顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布，其概率密度为：
f
(
x)

1 5
1
e5
x
,
x

0
0, 其他
该顾客的习惯是，等待时间超过10分钟便离开， 现知他一个月到银行5次，求他未受到服务的次


2 cexdx 1 c 1
0
2
(2)P(0 X 1) 1 1 e x dx 02
1 1exdx 1 (1 e1)
20
2
x
(3)F (x) f (t)dt
当 x 0 时，F (x) x f (t)dt
数不少于1次的概率。
解
:
(1)
X的分布函数
F
(
x)

1

e
1 5
x
,
x

0
0, 其他
(2)该顾客未受到服务的概 率为:
p P(X 10) 1 P(X 10) 1 F (10) e2
(3)设Y为他5次去银行中未受到服务的次数，则

连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量及其概率密度

密度函数的验证
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
a
b
b
1
dx
a ba
由此可知，
f
x
b
1
a
0
a xb 其它
确是密度函数．
均匀分布的分布函数
则 X的分布函数为
若随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，
0
F
x
x b
1
所以 A是不可能事件 P( A) 0 反之则不成立
如何求分布函数
F(x) Pk
xk x
离散 阶梯函数
x
F(x) f(t)dt -
连续 连续函数
若概率密度f(x)为分段函数,则积分也要分段考虑.
例1 P71 18(2)
设随机变量X的密度函数为
x 0 x 1
f x 2 x 1 x 2
§4 连续型随机变量及其概率密度
概率密度及其性质 均匀分布 指数分布 正态分布
一、定义：对于随机变 量 X的分布函数 F (x),若存在非负可积函数
f(x) 使 x R , 有
F(x)
x
-
f(t)dt
则称 X为连续型随机变量 , f ( x)为X的概率密度函数或概率 密度.
二、性质 : 00 连续型随机变量的分布 函数F ( x)必为连续函数 (离散
0.1}
0.1 f(x)dx
0.1 3e 3xdx
e 3x
0.1
e 0.3
F
(
x)
0 x
0
3e3t dt
1
e3x
x0 x0
五、常见的连续型分布 （一）、均匀分布

连续型随机变量及其概率密度


a，有 P{X=a}=0
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x)
而F (x)连续，故x 0时，F (a) F (a x) 0
由此 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b}
b a
f
( x) d
x
f
x dx=P{X
F( x) P{X x} P{X xk } pk ( x∈R )
xk x
xk x
P{X xk} F(xk ) F(xk 0)
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、 各种概型的规律。
得t ln2/2 0.3446(小时)。
15解：（迅速）设X为这批投保人一年内死亡的
人数，则X ~ b(5000, 0.00015), X 近似服从 (75)，
由题意，所求为P{X 10}=...
第四节 连续型随机变量及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度的概 念与性质 二、常见连续型分布
x0
x
x0
x
若不计高阶无穷小，有P{x X x x} f (x)dx
.
P{X=x}
50 连续型随机变量x的分布函数F(x)是连续函数
因为对x，lim F (x) lim[F (x x) F (x)]
x0
x0

xx
lim f (t)dt 0 x0 x
说明： 若 X 为连续型随机变量，则对任一实数
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、 各种概型的规律。

连续型随机变量及其概率密度


是一个随机变量, 且X ~ N (d , 0.52 ).
(1) 若d 90, 求 X 小于 89 的概率.
(2) 若要求保持液体的温度至少为 80oC 的概率不
低于 0.99,问d 至少为多少? 解 (1) 所求概率为
P{ X

89}



89 90 0.5



(2)

1
(2)
三、小结
1. 连续型随机变量
x
F(x) f (t)dt

分布函数 概率密度
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布

正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量
误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常 情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度, 炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态 分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最 为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小 的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般 是一个正态随机变量.
F(x)

1

1x
e 2000
,
0,
x 0, x 0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
(2) P{ X 2000 X 1000} P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
1
e
(
x μ 2σ2
)2
d
x

连续型随机变量及其概率密度函数

§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )

概率论--连续型随机变量及其概率密度


P( X 2) F (2) f ( x)dx
0
2
2
0
1 2 dx 5 5
设ξ 在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x方程有实数根
即
4 4 0
2
1 而 的密度函数为 f ( ) 6 0
f ( x)



f ( x)dx 1
P{ x } 1
密度函数和分布函数的关系
积分关系
F ( x) P{ X x}
F ( x) f ( x)dx

x
导数关系

x

f ( x)dx
若f ( x)在x处连续，则F ( x) f ( x)
P(a X b) F (b) F (a) f ( x)dx
P( x X x x) f ( x)x.
用密度函数表示事件的概率
对于连续型随机变量X,它取任意指定实数值a 的概率为0,即:
P(X=a)=0
对于连续型随机变量X,有
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
f ( x)dx
a
b
设X为一随机变量,则对任意实数x，(X<x) 是一个随机事件，称
F ( x ) P( X x )
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个 普通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）；
值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用 F(x)的函数值来表示。
P（X<b）=F(b) P（X≥b）=1﹣ P（X<b） =1 - F(b) P（a≤X<b）=F(b) ﹣ F(a)
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f (x)
1
x( )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
e 2 2
(
x )2
2
2
1
2
(x )2
e 22 (
1)
2
0
(
x 2
)2
1
2
(x )2 2
x x
四川大学
第22讲 正态分布（I） 15
(5) y=f(x) 以x轴为其水平渐近线。
lim f (x) lim
x
x
四川大学
1
(x)2
e 22 0
四川大学
第22讲 正态分布（I） 18
正态分布的分布函数
四川大学
第22讲 正态分布（I） 19
概率密度 f (x)
1
x( ) 2
e 22 ( x ）
2
x
分布函数 F(x) f (t)dt
F(x) 1
e dt x
(t)2 2 2
2
四川大学
( x ）
由于f(x)的原函数不是初等函数，F(x)无法写成
四川大学
第22讲 正态分布（I） 35
如果随机变量是由大量的相互独立的随机因
素的综合影响所形成。 四川大学
而每一种因素在总的影响中所起的作用都是
微小的，不能起到压倒一切的主导作用。
具有这种特点的随机变量，一般都可以认为
e 22 ( x ）
2
四川大学
下面验证f(x)是概率密度。 显然 f(x)>0
f (x)dx
1
e
(
x )2 2 2
dx
四川大学
2
1
e
(
x 2
)2
d
(
x
)
1
et2 dt
2
t x x t
四川大学
2 x t 第22讲 正态分布（I） 7
f (x)
1
x( ) 2
f (x)
1
(x )2
e 22 ( x ）
2 四川大学
其中μ, σ (σ >0)是常数，则称X服从参数为 μ,
σ 的正态分布，
Normal distribution
记为 X ~ N(μ, σ 2)。
正态分布也称为高斯分布。
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 6
f (x)
1
(x )2
1.96 四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 29
例 1 设 X ~ N(0,1) 求 P{X 1.96} P{ X 1.96} P{1 X 2}
P{X 1.96} (1.96) 0.975
P{ X 1.96} P{1.96 X 1.96} (1.96) (1.96)
(1.96)[1(1.96)] 四川大学 四川大学
解 P{X 1.96} (1.96) 查表 0.975
四川大学 四川大四学川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 28
P{X 1.96} (1.96) 0.975
用数学软件Maple计算
P{X 1.96} (1.96)
四川大学
2
1
1.96 t2
e 2 dt
with(plots): mu:=0:sigma:=1:h:=5: a:=-infinity:b:=1.96: f:=x->exp(-(x-mu)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/sigma: quxian:=plot(f(x),x=mu-h..mu+h,thickness=3): quyu:=plot(f(x),x=mu-h..b,filled=true,color=gray): display(quxian,quyu,tickmarks=[5,2]); Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
()
fxe
1
(x )2 2 2
四川大学
2
(2) y=f(x) 在 x=μ 处取得最大值: f ()
f (x)
1
e
( x )2 2 2
[
(x
)2
]
2
2 2
1
2
1
2
(x)2
e 2 2
(
x 2 )
0
四川大学
x
f (x) 0 f (x) 0
四川大学
第22讲 正态分布（I） 13
(3) x离μ 越远，f(x)的值越小， 这意味着对同样长的区间，当区间离μ 越远，
x t2
e 2 dt
2
第22讲 正态分布（I） 23
概率密度
(x)
1
x2
e2
2
四川大学
分布函数
偶函数
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 24
概率密度
f (x)
1
x2
e2
2
分布函数
with(plots): H:=5:mu:=0:sigma:=1: f:=x->exp(-(x-mu)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/sigma; F:=x->integrate(f(t),t=-infinity..x); ff:=plot(f(x),x=mu-H..mu+H,thickness=3): FF:=plot(F(x),x=mu-H..mu+H,thickness=3): display(ff,tickmarks=[5,2]); display(FF,tickmarks=[5,2]);
X落入这个区间的概率越小。 四川大学
P{a X a h} P{b X b h}
四川大学
a
四川大学
ah b
bh
第22讲 正态分布（I） 14
(4) y=f(x) 在 x 有两个拐点
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
(
x)
2四川大学 2
f (x)
1
(x)2
e 2 2
2
四川大学
2
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 16
(6) 当σ 固定时， μ 决定 y=f(x)的左右位置。
μ 称为正态分布的位置参数。
四川大学
四川大学
5 12 0
with(plots): mu1:=0:sigma:=4:h:=1:H:=20: mu2:=5:sigma:=4:h:=1:H:=20: mu3:=12:sigma:=4:h:=1:H:=20: f1:=x->exp(-(x-mu1)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/ quxian1:=plot(f1(x),x=mu1-H..mu1+H,thickne f2:=x->exp(-(x-mu2)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/ quxian2:=plot(f2(x),x=mu2-H..mu2+H,thickne f3:=x->exp(-(x-mu3)^2/2/sigma^2)/sqrt(2*Pi)/ quxian3:=plot(f3(x),x=mu3-H..mu3+H,thickne display(quxian1,quxian2,quxian3,tickmarks=[5
设 X ~ N(0,1) 求 P{1 X 2}
{ 1 2P} X
四川大学
(2) (1)
查表
(2) [1 (1)]
0.9772 (1 0.8413)
0.8185 四川大学
四川大学
第22讲 正态分布（I） 32
{ 12P}0X.8185
四川大学四川大学
用Maple计算 P{1 X 2} 1
第22讲 正态分布（I） 33
正态分布的意义
四川大学
第22讲 正态分布（I） 34
正态分布是自然界和实际应用中最常见的一种
分布。
例如， 四川大学
一个地区的女性成年人的身高（或体重），
测量某零件长度的误差，
某地区粮食的收成，
某次英语考试的成绩，
四川大学
等等
都服从或近似服从正态分布。
这些数据都有“中间大，两头小”的特点。
1
x t2
(x)
e 2 dt
2
四川大学
第22讲 正态分布（I） 25
X ~ N(0,1)
四川大学
22
(x) 1 2 x 0
概概率率密密度度
11
0 四川大学
(x) 1 2 x 0 (x) 1 2 x 0
四川大学
分布函数
12
第22讲 正态分布（I） 26
(x) (x 0) 的值可以查表
当-x<0时，可以利用等式: (x) 1 (x)
(x) 1
x t2
e 2 dt
2
四川大学
1 1
x t2
e 2 dt
2
1
t2
e 2 dt
2 x
对称性
四川大学
1 (x)
四川大学
x x
第22讲 正态分布（I） 27
例 1 设 X ~ N(0,1) 求 P{X 1.96} P{ X 1.96} P{1 X 2}
初等函数的形式。 四川大学
只能写成这个积分上限函数的形式。
四川大学
第22讲 正态分布（I） 20
概率密度
f (x)
1
e
(
x )2 2 2