2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）设)sin cos (21x C x C e y x+=（21,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ． 【答案】220y y y '''-+=【考点】二阶常系数线性齐次微分方程 【难易度】★★【详解】解析：由通解知对应的特征根为1,21,i λ=±从而特征方程为1)1(2-=-λ即0222=+-λλ于是所求方程为220y y y '''-+=. （2）设222z y x r ++=，则)2,2,1()grad (-r div ＝ ．【答案】23【考点】散度的计算 【难易度】★★★【详解】解析：根据定义有r r r x y z gradr i j k i j k x y z r r r∂∂∂=++=++∂∂∂ 2222222333322()x y z r x r y r z r r r r div gradr x y z r r r r r⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=++==∂∂∂ 于是(1,2,2)2()|3div gradr -==（3）交换二次积分的积分次序：=⎰⎰--x y x f y yd ),(d 1201．【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★ 【详解】解析：因为1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰积分区域为 {}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤又可将D 改写为{}(,)12,12,D x y x x y =≤≤-≤≤所以1022012111(,)(,)(,)yyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy -----=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2110(,).xdx f x y dy -=⎰⎰（4）设矩阵A 满足042=-+E A A ，其中E 为单位矩阵，则1)(--E A ＝ ． 【答案】1(2).2A E + 【考点】逆矩阵的概念 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 若E AB =，则A 与B 互逆； 解析：由题设，240,A A E +-= 有()()22,A E A E E -+=即 ()()12,2A E A E E -⋅+= 故()()1122A E A E --=+.（5）设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P ．【答案】12【考点】切比雪夫不等式 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：切比雪夫不等式：2}{εεDXEX X P ≤≥-或21}{εεDXEX X P -≥≤-解析：{}2()1()222D X P XE X -≥≤=. 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．）（1）已知函数)(x f y =在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数)(x f y '=的图形为（ ）【答案】D【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】解析：由图可知)(x f 有两个极值点，横坐标分别记作)(,2121x x x x <，故)(x f '在且仅在这两处的值为0，故选D 。
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1) 1x →= (2) 设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定,则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为 . (3)()32222sin cos xx xdx ππ-+=⎰(4) 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且满足关系式'arcsin 1y x =的曲线方程为 . (5) 设方程123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多个解,则a = . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]{}()f f f x 等于 ( )(A)0 (B)1 (C)1,1,0,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ (D)0,1,()1,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩(2) 设当0x →时,2(1cos )ln(1)x x -+是比sin nx x 高阶的无穷小,sin nx x 是比()21x e -高阶的无穷小,则正整数n 等于 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (3) 曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为 ( )(A)0. (B)1. (C)2. (D)3(4)已知函数()f x 在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数,'()f x 严格单调减少,且(1)'(1)1,f f ==则 ( )(A)在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x <. (B)在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x >.(C)在(1,1)δ-内,()f x x <.在(1,1)δ+内,()f x x >. (D)在(1,1)δ-内,()f x x >.在(1,1)δ+内,()f x x <. (5)设函数()f x 在定义域内可导,()y f x =的图形如右图所示,则导函数()y f x '= 的图形为 ( )三、(本题满分6分)求22.(21)1dxxx ++⎰四、(本题满分7分)求极限sin sin sin lim sin x t xt x t x -→⎛⎫⎪⎝⎭,记此极限为()f x ,求函数()f x 的间断点并指出其类型.五、(本题满分7分)设()x ρρ=是抛物线y x =上任一点(,)(1)M x y x ≥处的曲率半径,()s s x =是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长,计算2223d d ds ds ρρρ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(在直角坐标系下曲率公式为322"(1')y K y =+)六、(本题满分7分)设函数()f x 在[0,)+∞上可导,(0)0f =,且其反函数为()g x .若()20()f x x g t dt x e =⎰,求()f x . 七、(本题满分7分)设函数(),()f x g x 满足()(),()2()xf xg x g x e f x ''==-,且(0)0,(0)2f g ==,求20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰八、(本题满分9分)设L 是一条平面曲线,其上任意一点(,)P x y (0)x >到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y 轴上的的截距,且L 经过点1,0.2⎛⎫ ⎪⎝⎭(1) 试求曲线L 的方程(2) 求L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围图形面积最小.九、(本题满分7分)一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S 成正比,比例常数0K >.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的78,问雪堆全部融化需要多少小时？十、(本题满分8分)设()f x 在区间[,](0)a a a ->上具有二阶连续导数,00f =（）, (1) 写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2) 证明在[,]a a -上至少存在一点η,使3()3().aaa f f x dx η-''=⎰十一、(本题满分6分)已知矩阵100011110,101.111110A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且矩阵X 满足,AXA BXB AXB BXA E +=++其中E 是3阶单位阵,求X .十二、(本题满分6分)设124,,,ααα为线性方程组0AX =的一个基础解系,112223,,t t βααβαα=+=+334441,,t t βααβαα=+=+试问实数t 满足什么关系时,1234,,,ββββ也为0AX =的一个基础解系.2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】6-【详解】21lim2x x x →+-1x →=1x →=131x x x→--+=121x x →-=1x →=-lim 2===6=-(2)【答案】 x −2y +2=0.【详解】在等式2cos()1x y e xy e +-=-两边对x 求导, 其中y 视为x 的函数,得()()22sin()0x y e x y xy xy +''++=,即2(2')sin()(')0x y e y xy y xy +⋅++⋅+=将x =0, y =1代入上式, 得(2')0e y ⋅+=,即'(0) 2.y =- 故所求法线方程斜率12k -=-12=,根据点斜式法线方程为：11,2y x -= 即 x −2y +2=0.(3)【答案】8π 【分析】根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设()f x 在有界闭区域[],a a -上连续,则有()()()()()02,0a a aaaf x dx f x dx f x f x dx f x --⎧= ⎪⎨⎪= ⎩⎰⎰⎰为偶函数，为奇函数, 【详解】由题设知()32222sin cos xx xdx ππ-+⎰32222222cos sin cos x xdx x xdx ππππ--=+⎰⎰在区间[,]22ππ-上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数,故3222cos 0x xdx ππ-=⎰,22222202sin cos 2sin cos x xdx x xdx πππ-=⎰⎰,所以,原式32222222cos sin cos x xdx x xdx ππππ--=+⎰⎰22202sin cos x xdx π=⎰2201sin 22xdx π=⎰201(1cos 4)4x dx π=-⎰ 220011cos 44416x xd x ππ=-⎰2011sin 44216x ππ=⋅-08π=-.8π=(4)【答案】1arcsin .2y x x =- 【详解】方法1：因为()arcsin 'arcsin y x y x '=+,所以原方程'arcsin 1y x +=可改写为 ()arcsin 1,y x '=两边直接积分,得 arcsin .y x x c =+ 又由1()02y =代入上式,有 10arcsin 2x c ⋅=+,解得1.2c =- 故所求曲线方程为 1arcsin .2y x x =-方法2：将原方程写成一阶线性方程的标准形式1'.arcsin y y x+=由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式： ()()()()P x dx P x dx f x e C Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这里()()1arcsin P x Q x x==,代入上式得：1arcsin y eC e dx x -⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 11arcsin arcsin arcsin arcsin 1arcsin d x d x x x e C e dx x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰lnarcsin lnarcsin 1arcsin x x e C e dx x -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰1arcsin arcsin arcsin x C dx x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰arcsin arcsin C x x x =+ 又由1()0,2y =解得1.2C =- 故曲线方程为：1arcsin .2y x x =-(5)【答案】 -2【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1121,3111111aa a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行互换 21121(-1),(-)01132301112a a a a a aa -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦行的倍分别加到，行 11223011300(1)(2)2(2)a a a a a a -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦行加到行 由非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件：设A 是m n ⨯矩阵,方程组Ax b =有无穷多解()()r A r A n ⇔==<. 可见,只有当a =−2 时才有秩()()23r A r A ==<,对应方程组有无穷多个解.方法2: 设A 是m n ⨯矩阵,方程组Ax b =有无穷多解()()r A r A n ⇔=<,则方程组123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多解()()3r A r A ⇔=<. 从而有0A =,即111111a A a a=2222,311111a a a a a+++行分别加到行1111211211a a a a ++行提出()()1111(1)201023001a a a ⨯-+--行分别()加到，行10201a a a -+-1+1=(-1)()2(2)(1)0,a a =+-=则,12a a ==-或.当1a =时,1111111111111(1)23000011120003A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦行分别加到，行 可见()1()2,r A r A =≠=原方程组无解.当2a =-时,有211112111122A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11221312112111--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，行互换 11222103332111--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行行1122103330333--⎡⎤⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行2加到3行 112203330000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行+2行11222(3)01110000--⎡⎤⎢⎥÷---⎢⎥⎢⎥⎣⎦行 可知,()()23,r A r A ==<故当2a =-时,原方程组有无穷多解.二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】因为1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,所以在整个定义域内()0()1f x f x ==或,所以()1f x ≤,于是[]()1f f x =,从而[]{}()()11f f f x f ==(2)【答案】(B)【详解】根据高阶无穷小的定义：如果lim0βα=,就说β是比α高阶的无穷小,由题设当0x →时,2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小,所以20(1cos )ln(1)0lim sin n x x x x x →-+=22012lim nx x x x x →⋅ ⋅等价3012limn x x x → 等价301lim 2n x x -→= 从而n 应满足2n ≤；又由sin nx x 是比2(1)x e -高阶的无穷小,所以根据高阶无穷小的定义有：2sin 0lim 1nx x x x e →=-20lim nx x x x →⋅ 等价10lim n x x -→=,从而n 应满足2n ≥ 综上,故正整数2n =,故选(B)(3)【答案】(C)【详解】22(1)(3)y x x =--,所以 y '222(1)(3)2(1)(3)x x x x =--+--4(1)(2)(3)x x x =---y ''[]4(2)(3)(1)(3)(1)(2)x x x x x x =--+--+--2224564332x x x x x x ⎡⎤=-++-++-+⎣⎦2431211x x ⎡⎤=-+⎣⎦y '''[]4612x =-()242x =-令0y ''=,即2312110x x -+=,因为判别式：∆224124311b ac =-=-⋅⋅120=>,所以0y ''=有两个不相等的实根,且()2y ''23212211=⋅-⋅+10=-≠,所以两个实根不为2,因此在使0y ''=这两点处,三阶导数0y '''≠,(一般地,若()00f x ''=,且()00f x '''≠,则点()()0,x f x 一定是曲线()y f x =的拐点),因此曲线有两个拐点,故选(C)或根据y ''2431211x x ⎡⎤=-+⎣⎦是一条抛物线,且与x 轴有两个不相同的交点,所以在两个交点的左右y ''符号不相同,满足拐点的定义,因此选(C)(4)【答案】(A)【详解】方法1：令()()F x f x x =-,则()()1F x f x ''=-()()1f x f ''=-由于'()f x 严格单调减少,因此当(1,1)x δ∈-时,()()1f x f ''>,则()F x '()()1f x f ''=-0>；当(1,1)x δ∈+时,()()1f x f ''<,则()F x '()()1f x f ''=-0<,且在1x =处()()1(1)10F f f '''=-=,根据判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续,且在0x 的某去心δ领域内可导,若()00,x x x δ∈- 时,()0f x '>,而()00,x x x δ∈ +时,()0f x '<,则()f x 在0x 处取得极大值,知()F x 在1x =处取极大值,即在在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()()10F x F <=,也即()f x x <. 故选(A)方法2：排除法,取()21()2x f x x -=-+,则()()21123f x x x '=--+=-+,()20f x ''=-<,所以满足题设在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数,'()f x 严格单调减少,且(1)'(1)1,f f ==当1x <时或1x >时,均有()f x ()212x x -=-+x <,因此可以排除(B)、(C)、(D),选(A)(5) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见,在y 轴的左侧,曲线()y f x =是 严格单调增加的,因此当0x <时,一定有'()0f x >,对应()y f x '=图形必在x 轴的上方,由此可排除(A),(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增,所以在这一段内一定有'()0f x >,对应()y f x '=图形必在x 轴的上方,进一步可排除(B),故正确答案为(D).三【详解】作积分变量变换,令tan ,x u =则2sec ,dx udu =原式222sec (2tan 1)tan 1uduu u =++⎰ 22sec (2tan 1)sec uduu u =+⎰ 2(2tan 1)cos duu u =+⎰222sin (1)cos cos du u u u =+⎰()222cos 2sin cos cos udu u u u =+⎰ 22cos 2sin cos udu u u =+⎰2cos sin 1udu u =+⎰2sin sin 1d uu =+⎰arctan(sin )u C=+C +四【分析】应先求出()f x 的表达式,再讨论它的间断点,首先明确间断点的类型分为两大类：第一类间断点和第二类间断点,第一类间断点又可分为：可去间断点(左右极限存在且相等的间断点)和跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点)；第二类间断点又可分为：无穷间断点(有一个极限为无穷的间断点)和振荡间断点(极限值在某个区间变动无限多次).【详解】由 ()f x =sin sin sin lim sin xt xt x t x -→⎛⎫⎪⎝⎭sin sin sin ln sin lim xt x t x t xe-⎛⎫ ⎪⎝⎭→=sin ln sin sin sin lim x t t x x t xe⎛⎫⎪-⎝⎭→=又 sin limln sin sin sin t xx t t x x →⎛⎫= ⎪-⎝⎭sin lim ln 11sin sin sin t x x t t x x →⎛⎫+- ⎪-⎝⎭sin sin limln 1sin sin sin t xx t x t x x →-⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭sin sin lim sin sin sin t x x t x t x x →-⎛⎫= ⎪-⎝⎭limsin t xx x →=sin xx= 所以 ()f x sin ln sin sin sin lim x t t x x t x e⎛⎫⎪-⎝⎭→=sin limln sin sin sin t x x t t x x e→⎛⎫⎪-⎝⎭=sin xxe=由()f x sin x xe =的表达式,可以看出自变量x 应满足sin 0x ≠,从而,0,1,2,x k k π≠ =±±当0x →时,sin 0lim ()lim x xx x f x e→→=0lim1sin x xxee →==e =,所以0x =为()f x 的第一类间断点(左右极限相等,又进一步可知是可去间断点)；对于非零整数k ,sin lim ()lim x xx k x k f x eππ--→→=limsin x k xxeπ-→=sin 0x → ∞,故,1,2,x k k π= =±±为()f x 的第二类间断点(无穷间断点)五【解答】由y ,有'y y ''== 抛物线在点(,)M x y 处的曲率半径3221(1')()"y x K y ρρ+===3221⎡⎤+⎢⎥=3211⎡⎤+⎢⎥=321(41).2x =+ 若已知平面曲线AM 的显式表示为()y f x =()a xb ≤≤,则弧长为as =⎰,其中()f x 在[],a b 有连续的导数.根据上述结论,所以抛物线上AM 的弧长()s sx =1=⎰1=⎰1=⎰ 故 d d dxds dsdxρρ=3211(41)2x '⎡⎤+⎢⎥⎣⎦='⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰1213(41)4x ⋅+⋅=2(41)x=+=221()d d d ds ds dx ds dx ρρ=⋅11d dx =⋅'⎛⎫⎪⎝⎭⎰===因此 2223()d d ds ds ρρρ-()(32213142x =⋅+()91436x x =+-9=六【详解】()f x 的反函数是()g x ,根据反函数的性质有(())g f x x =,()20()f x x g t dt x e =⎰两边对x 求导,有()()()20()f x x g t dt x e ''=⎰()2()2x x g f x f x x e xe '⇒=+⎡⎤⎣⎦又(())g f x x =,所以2()2x x xf x x e xe '=+()2x x f x xe e '⇒=+, (0,)x ∈+∞两边积分()()2x x f x dx xe e dx '=+⎰⎰()2x x f x xe dx e dx ⇒=+⎰⎰()2x x f x xde e ⇒=+⎰()2x x x f x xe e dx e ⇒ -+⎰分部()2x x x f x xe e e C ⇒=-++()x x f x xe e C ⇒=++.由于题设()f x 在[0,)+∞上可导,所以在0x =处连续,故()()00lim ()lim 10x xx x f f x xe e C C ++→→==++=+=, 所以1C =-,于是()1x x f x xe e =+-, [0,)x ∈+∞七【详解】由()(),()2()x f x g x g x e f x ''==-,得()()2()x f x g x e f x '''==-,即()()2x f x f x e ''+=此为二阶常系数线性非齐次方程,且右端呈()xm P x e λ型(其中()2,1m P x λ= =),对应的齐次方程为()()0f x f x ''+=,特征方程为210r +=,对应的特征值为r i =±,于是齐次方程的通解为：12cos sin y C x C x =+, 因为1λ=r ≠,所以设特解为*x y ae =(a 为实数),()*xy ae''=,代入()()2x f x f x e ''+=,2x x x ae ae e +=,所以2a a +=,即1a =,从而特解*xy e =,非齐次方程的通解为()12cos sin xf x C x C x e =++,又(0)0f =,所以,()0120cos0sin00f C C e =++=110C ⇒+=11C ⇒=-又,()12sin cos xf x C x C x e '=-++(),0(0)2fg '==,所以,()0120sin0cos0f C C e '=-++21C =+2=21C ⇒=,所以原方程的解为：()sin cos xf x x x e =-+以下计算积分,有两个方法： 方法1：20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰()20()1()(1)g x x f x dx x π+-=+⎰ ()20()1()()()(1)f x x f x f x g x dx x π'+-' = +⎰0()1f x dx x π'⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰0()1f x d x π=+⎰0()1f x x π=+()(0)110f f ππ=-++sin cos (0)1e f ππππ-+=-+11e ππ+=+ 方法2：20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰200()()1(1)g x f x dx dx x x ππ=-++⎰⎰ 00()1()11g x dx f x dx x x ππ'⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰00()1()11g x dx f x d x x ππ=+++⎰⎰ 000()()()111g x f x f x dx dx x x xπππ' +-+++⎰⎰分部()000()()()()111g x f x g x g x f x dx dx x x xπππ' = +-+++⎰⎰ 0()1f x x π=+()(0)110f f ππ=-++sin cos (0)1e f ππππ-+=-+11e ππ+=+八【详解】(1)设曲线L 过点(,)P x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-,令0X =,则Y xy y '=-+,即它在y 轴上的截距为xy y '-+,根据两点()()00,,,x y x y 距离公式d =,所以原点到点(,)P x y ,由题设(,)P x y (0)x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距,所以：xy y '-+= (0)x >,即yy x '=, (0)x >此为一阶齐次方程,按规范方法解之,命y ux =,则dyu xdu dx=+,代入,方程变为： du u x u dx +=⇒du x dx=dx x =-积分得dxx=-⎰(ln ln u cx⇒=-C u x ⇒+把yu x=代入上式,得y C x x +=y C ⇒+=. 由题设曲线经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭,代入得0C +=,则12C =,故所求方程为：12y +=,即21.4y x =- (2) 由(1)知214y x =-,则2y x '=-,点21(,),4P x y P x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以在点P 处的切线方程为：()2124Y x x X x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭,分别令0X =,0Y =,解得在y 轴,x 轴上的截距分别为214x +和128x x+. 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为：()A x 21112284x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22141,064x x x=+ > 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值,记0S ,于是题中所要求的面积为：()()0S x A x S =-()220141,64x S x=+- 求最值点时与0S 无关,以下按微分学的办法求最值点.()S x '()22014164x S x '⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()222228414164x x x x ⋅+-+= ()()222228414164x x x x x ⋅+-+=()()2224112164x x x +-=令()0S x '=得x ==当0x <<时,()0S x '<；当x >时,()0S x '>, 根据极值存在的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续,且在0x 的某去心δ领域内可导,若()00,x x x δ∈- 时,()0f x '>,而()00,x x x δ∈ +时,()0f x '<,则()f x 在0x 处取得极大值,知：x =是()S x 在0x >处的唯一极小值点,即最小值点, 于是所求切线方程为：214Y X ⎛⎫ ⎪--= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即133Y X =-+九【详解】方法1：半球形雪堆在时刻t 时设其半径为r ,则半球体积323V r π=,侧面积22S r π=. 由题设体积融化的速率与半球面面积S 成正比,知：dVkS dt=-, 由于r 是t 的函数,323dV d r dt dt π⎛⎫= ⎪⎝⎭22dr r dt π=,代入上式,得：22dr r kS dt π=-,即2222drr k r dtππ=-⋅,从而dr kdt =-,00t r r ==. 积分得r kt c =-+,把00t r r ==代入,得0c r =,所以0r kt r =-+.又半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的78,即00037188t VV V V ==-=,其中0V 表示0t =时的V . 以V 的公式代入上式,为33330212383t t t V r r ππ=====⋅将0r kt r =-+代入上式,两边约去23π,得：()330018kt r r -+=,即0012kt r r -+= 从而求得：016k r =,于是0r kt r =-+0001166t r t r r ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,当6t =时0r =,雪融化完.方法2：半球形雪堆在时刻t 时设其半径为r ,则半球体积323V r π=,侧面积22S r π=,联立323V r π=,22S r π=消去r ,得：S =由题设体积融化的速率与半球面面积S 成正比,知：dVkS dt=-,从而推知00t dVV V dt==- =分离变量23dV V=-,积分：133V c =-+,把00t V V ==代入,1303c V =,所以,1133033V V =-.又由00037188t VV V V ==-=,代入上式1133003332V V =-得k =故 133V 1303V =-1303V =113300132V V t =-.命0V =,解得：6t =,即雪堆全部融化需6小时.十【应用定理】闭区间上连续函数的介值定理：设()f x 在[],a b 上连续,()()f a f b ≠,则对()()f a f b 与之间的任何数η,必存在c (a c b <<),使得()f c η=.【详解】(1)麦克劳林公式其实就是泰勒公式中,把函数在零点展开.()f x 的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为：221()()(0)(0)()(0)22f f x f f x f x f x x ξξ''''''=++=+, 其中ξ位于0和x 为端点的开区间内,[],x a a ∈-.(2)方法1：将()f x 从a -到a 积分21()(0)().2aaaaaaf x dx f xdx f x dx ξ---'''=+⎰⎰⎰ 而2(0)(0)(0)02aaa a ax f xdx f xdx f a--'''==⨯=-⎰⎰从而有21()().2aa aaf x dx f x dx ξ--''=⎰⎰ 因()f x ''在[],a a -上连续,故有()f x ''在[],a a -上存在最大值M ,最小值m (由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值),即[,][,]min (),max (),a a a a m f x M f x --''''==易得 (),[,].m f x M x a a ''≤≤∈-因此3322111()(),22233aa a a a a a x Ma f x dx f x dx M x dx M a ξ---''=≤==-⎰⎰⎰同理223111()().223aa a aa a f x dx f x dx m x dx ma ξ---''=≥=⎰⎰⎰ 因此 33()aam f x dx M a -≤≤⎰.由连续函数介值定理知,存在[],a a η∈-,使33()()aaf f x dx a η-''=⎰,即3()3()aaa f f x dx η-''=⎰.方法2 ：观察要证的式子,做变限函数：()()xxF x f t dt -=⎰,易得(0)0F =,()()()F x f x f x '=+-(变限积分求导)()()()()()()F x f x f x f x f x '''''=+-=-- ()()()()()()F x f x f x f x f x ''''''''''=--=+-则有 (0)(0)(0)000F f f '=+-=+=(0)(0)(0)(0)(0)0F f f f f ''''''=--=-=将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式：2311()(0)(0)(0)()23!F x F F x F x F x ξ''''''=+++ 331100()(()())66F x f f x ξξξ'''''''=++=+-其中(0,)x ξ∈,[],x a a ∈-由于()f x ''在[],a a -上连续,则由连续函数介值定理,存在[],ηξξ∈-,使1()(()())2f f f ηξξ''''''=+- (因为[]1(()())(),,2f f f x x a a ξξ''''''+-∈∈-) 于是有,存在(),a a η∈-,使3331111()00()(()())()6323F x F x f f x f x ξξξη'''''''''=++=⨯+-=把x a =代入()F x 有：31()()3F a f a η''=,即3()()3a a a f x dx f η-''=⎰ (),a a η∈-即 3()3()aaa f f x dx η-''=⎰(),a a η∈-十一【详解】题设的关系式AXA BXB AXB BXA E +=++⇒AXA BXB AXB BXA E +--=⇒()()AXA AXB BXB BXA E -+-=⇒()()AX A B BX B A E -+-= ⇒()()AX A B BX A B E ---=⇒()()AX BX A B E --=即 ()().A B X A B E --=其中, A B -100011110101111110⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111011001--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭因为 1111101A B ---=-1111(1)1+-=-10=≠,故由n 阶矩阵A 可逆的充要条件0A ≠,知矩阵A B -可逆,用初等行变换求()1A B --：111100(,)011010001001A E E --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭1101013010011001001-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行分别加到1,2行 100112010011001001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2行加到1行故而 ()1112011,001A B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭于是,等式()()A B X A B E --=两边左、右乘 ()1A B -- 可得()21X A B -⎡⎤=-⎣⎦112112011011001001⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭125012.001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭十二【详解】由题设知,12,,,s βββ均为12,,,s ααα的线性组合,齐次方程组当有非零解时,解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量,所以12,,,s βββ均为0Ax =的解. 下面证明12,,,s βββ线性无关. 设 11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+代入整理得,()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++=由12,,,s ααα为线性方程组0Ax =的一个基础解系,知12,,,s ααα线性无关,由线性无关的定义,知()*中其系数全为零,即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t 122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s st t +=+- (*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行,其中1,, 1.i s =-)由齐次线性方程组只有零解得充要条件,可见,当12(1)0,s st t +-≠,即12(),s s t t ≠-即当s为偶数,12;t t ≠±当s 为奇数,12t t ≠时,上述方程组只有零解120,s k k k ====因此向量组12,,,s βββ线性无关,故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时,12,,,s βββ也是方程组0Ax =的基础解系.。
2001考研数学一试题及答案解析2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)设 y= e x (C1 sin x + C2 cos x) ( C1 , C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设 r= x 2 + y 2 + z 2 ,则 div(gradr)(1, ?2 , 2 )=_____________.(3)交换二次积分的积分次序: (4)设矩阵 A 满足 A (5) 设随机变量2∫0 ?1dy ∫1? y 2f ( x, y )dx ＝_____________.+ A ? 4 E = 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A ? E ) ?1 =_____________.X 的方差是 2 ,则根据切比雪夫不等式有估计yP{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤_____________. 二、选择题(本题共 5 小题每小题 3 分,满分 15 分.) 本题共小题,每小题满分 (1)设函数则yf ( x) 在定义域内可导, y = f ( x) 的图形如右图所示,Ox= f ′( x) 的图形为(2)设 (A)f ( x, y ) 在点 (0, 0) 附近有定义,且 f x′ (0,0) = 3, f y′ (0,0) = 1 ,则d z |(0,0) = 3dx + dy .(B) 曲面 z= f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为{3,1,1}.(C) 曲线 ?? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{1,0,3}. ? y=0 ? z = f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{3,0,1}. ? y=0(D) 曲线 ?(3)设 (A)f (0) = 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导的充要条件为1 f (1 ? cosh) 存在. h →0 h2 1 (C) lim 2 f ( h ? sinh) 存在. h →0 h lim1 f (1 ? eh ) 存在. h →0 h 1 (D) lim [ f (2h) ? f (h)] 存在. h →0 h(B)lim?1 ?1 (4)设 A = ? ?1 ? ?11 1 1? ?4 ? ?0 1 1 1? ,B = ? ?0 1 1 1? ? ? 1 1 1? ?00 0 0? 0 0 0? ?,则 A与 B 0 0 0? ? 0 0 0?(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系数等于 (A)-1. (B) 0. (C)1 . 2(D) 1.三、(本题满分 6 分) 求arctan e x ∫ e 2 x dx .四、(本题满分 6 分) 设函数 z= f ( x, y ) 在点 (1,1) 处可微,且 f (1,1) = 1 ,.?f ?f |(1,1) = 2 , |(1,1) = 3 , ? ( x) = f ( x, ?x ?y f ( x, x)) .求d 3 ? ( x) dxx =1五、(本题满分 8 分)∞ ? 1+ x arctan x, x ≠ 0, (?1) n 设 f (x ) = ? x 将 f (x ) 展开成 x 的幂级数,并求级数∑的和. 2 x = 0, 1, n =1 1 ? 4 n ?2六、(本题满分 7 分) 计算 I 面= ∫ ( y 2 ? z 2 )dx + (2 z 2 ? x 2 )dy + (3x 2 ? y 2 )dz ,其中 L 是平面 x + y + z = 2 与柱Lx + y = 1 的交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方向.七、(本题满分 7 分) 设f ( x) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ′′( x) ≠ 0 ,试证:(1)对于 (?1,1) 内的任一 x ≠ 0 ,存在惟一的θ ( x ) ∈ (0,1) ,使 f (x ) = f (0) + xf ′(θ ( x ) x ) 成立; (2) lim θ ( x ) =x →01 . 2八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 h(t ) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z= h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) (设 h(t )长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时? 九、(本题满分6 分) 设α 1 , α 2 , ? , α s 为线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系, β1= t1α1 + t2α 2 , β 2 = t1α 2 + t2α 3 ,? ,β s = t1α s + t2α1 ,其中 t1 ,t 2 为实常数.试问 t1 ,t 2 满足什么条件时, β 1 , β 2 ,?, β s 也为 Ax = 0 的一个基础解系. 十、(本题满分 8 分) 已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组x, Ax, A (1)记 P =（ x, Ax, A (2)计算行列式22x 线性无关,且满足 A3 x = 3 Ax ? 2 A 2 x .x ）,求 3 阶矩阵 B ,使 A = PBP ?1 ; A+ E .十一、(本题满分 7 分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ ( λ > 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p ( 0 < p < 1 ),且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量( X , Y ) 的概率分布.十二、(本题满分 7 分) 设总体X 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ( σ > 0 ), 从该总体中抽取简单随机样本n 1 2n ∑ X i ,求统计量 Y = ∑ ( X i + X n+i ? 2 X ) 2 的 2n i =1 i =1X 1 , X 2 , ? , X 2n ( n ≥ 2 ),其样本均值为 X =数学期望 E (Y ) .2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题 (1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是 r1 , r2= 1 ± i ,从而得知特征方程为(r ? r1 )(r ? r2 ) = r 2 ? (r1 + r2 )r + r1r2 = r 2 ? 2r + 2 = 0 .由此,所求微分方程为y '' ? 2 y ' + 2 y = 0 .(2)【分析】先求 grad gradr. gradr= grad ?? ?r ?r ?r ? ? x y z ? , , ? = ? , , ?. ? ?x ?y ?z ? ? r r r ?? x ? y ? z ( )+ ( )+ ( ) ?x r ?y r ?z r 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2 + y 2 + z 2 2 ? 3 )+( ? 3 )+( ? 3) = ? = . r r r r r r r r3 r再求divgrad gradr= grad=(于是divgrad (1, ?2,2) = gradr| grad2 2 |(1,?2,2) = . r 3y ≤0时(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 ?1 ≤1 ? y ≤2 .由此看出二次积分∫ dy ∫?121? yf ( x, y )dx 是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为∫0 ?1dy ∫21? yf ( x, y )dx = ∫∫ f ( x, y )dxdy .D由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D :?1 ≤ y ≤ 0,1 ? y ≤ x ≤ 2 .见图.现可交换积分次序原式= ?0 ?1 2 2 0 2 1? x∫dy ∫1? yf ( x, y )dx = ? ∫ dx ∫11? xf ( x, y )dy = ∫ dx ∫1f ( x, y )dy .(4)【分析】矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. 因为故按定义知( A ? E )( A + 2 E ) ? 2 E = A2 + A ? 4 E = 0 , ( A ? E )( A + 2 E ) = 2 E ,即 ( A ? E ) ?1 = 1 ( A + 2E) . 2 ( A ? E) ? A + 2E = E. 2(5)【分析】根据切比雪夫不等式P{ X ? E ( X ) ≥ε } ≤于是D( x)ε 2,P{ X ? E ( X ) ≥ 2} ≤D( x) 1 = . 22 2二、选择题 (1)【分析】当 x < 0 时, f ( x ) 单调增 ? f ( x) ≥ 0 ,(A),(C)不对;'当 x > 0 时, f ( x ) :增——减——增 ? f ( x ) :正——负——正,(B)不对,(D)对.'应选(D). (2)【分析】我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设 Bf ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 ? f ( x, y ) 在(0,0)处可f ( x, y ) 在(0,0)存在偏导数?f (0, 0) ?f (0, 0) , ,不保证曲面 z = f ( x, y ) 在 ?x ?y? ? ?f (0, 0) ?f (0, 0) (0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ± ? ，， 1? = ± {3,1,-1}与{3,1,1}不 ? 与 ?y ? ?x ?共线,因而(B)不成立.? x = t, ? 关于(C),该曲线的参数方程为 ? y = 0, ? z = f (t , 0), ?{t ', 0,因此,(C)成立.它在点 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为d f (t , 0)} |t = 0 = {1, 0, f x' (0, 0)} = {1, 0,3} . dt(3)【分析】当f ( x) f ( x) f ( x) ? ? lim = lim ?. x →0 x →0+ x →0 ? x x x 1 f (1 ? cos h) 1 ? cos h 1 f (t ) 关于(A): lim 2 f (1 ? cos h) = lim ? t = 1 ? cos h lim , 2 h →0 h h → 0 1 ? cos h h 2 t →0 + t 1 由此可知 lim 2 f (1 ? cos h) ? ? f +' (0) ? . h →0 h f (0) = 0 时, f ' (0) = lim 若f ( x) 在 x = 0 可导 ? (A)成立,反之若(A)成立 ? f +' (0)'? ? f ' (0)? .如 f ( x) =| x | 满足(A),但 f (0) 不 ? . 关于(D):若 f ( x ) 在 x = 0 可导, ?1 f (2h) f (h) lim [ f (2h) ? f (h)] = lim[2 ? ] = 2 f ' (0) ? f '(0) . h →0 h h →0 2h h? (D)成立.反之(D)成立 ? lim( f (2h) ? f (h)) = 0 ? f ( x) 在 x = 0 连续, ? f ( x) 在 x = 0 可h →0导.如 f ( x ) = ? 再看(C):? 2 x + 1, x ≠ 0 x=0 ? 0,满足(D),但 f ( x ) 在 x = 0 处不连续,因而 f (0) 也不 ? .'lim1 h ? sin h f (h ? sin h) h ? sin h f (t ) f (h ? sin h) = lim ? = lim ? (当它们都 ? 时).2 2 h →0 h h →0 h →0 h h ? sin h h2 t注意,易求得 limh ? sin h f (t ) = 0 .因而,若 f ' (0) ? ? (C)成立.反之若(C)成立 ? lim (即 2 h →0 t →0 h t f (t ) ' f ' (0) ? ).因为只要有界,任有(C)成立,如 f ( x ) =| x | 满足(C),但 f (0) 不 ? . t因此,只能选(B).(4)【分析】由| λ E ? A |= λ 4 ? 4λ 3 = 0 ,知矩阵 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A必能相似对角化,所以 A 与对角矩阵 B 相似. 作为实对称矩阵,当 A ?B 时,知 A 与 B 有相同的特征值,从而二次型 xT Ax 与 xT Bx 有相同的正负惯性指数,因此 A 与 B 合同. 所以本题应当选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如?1 0 ? ?1 0 ? A=? ? 与 B = ?0 3 ? , ?0 2? ? ?它们的特征值不同,故 A 与 B 不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以 A 与 B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确 X 和 Y 的关系: X+ Y = n ,即 Y = n ? X ,在此基础上利用性质:相关系数ρ XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量 X 与 Y 之间存在线性关系,即 Y = aX + b (其中 a, b 是常数),且当 a > 0 时, ρ XY = 1 ;当 a < 0 时, ρ XY = ?1 ,由此便知ρ XY = ?1 ,应选(A). 事实上, Cov ( X , Y ) = Cov ( X , n ? X ) = ? DX , DY = D ( n ? X ) = DX ,由此由相关系数的定义式有ρ XY =Cov( X , Y ) = DX DY? DX = ?1 . DX DY三、【解】1 1 ?2 x de x x ?2 x x ] 原式= ? ∫ arctan e d (e ) = ? [e arctan e ? ∫2 x 2 2 e (1 + e 2 x )1 ?2 x de x de x x = ? (e arctan e ? ∫ 2 x + ∫ ) 2 e 1 + e2 x=?1 ?2 x (e arctan e x + e ? x + arctan e x ) + C . 2四、【解】求先求 ? (1) =f (1, f (1,1)) = f (1,1) = 1 .d 3 ? ( x) |x =1 = 3? 2 (1)? ' (1) = 3? ' (1) ,归结为求 ? '(1) .由复合函数求导法 dx d ? ' ( x) = f1' ( x, f ( x, x)) + f 2' ( x, f ( x, x)) f ( x, x) , dx? ' (1) = f1' (1,1) + f 2' (1,1)[ f1' (1,1) + f 2' (1,1)] .注意f1' (1,1) =?f (1,1) ?f (1,1) = 2 , f 2' (1,1) = =3. ?x ?y,因此? ' (1) = 2 + 3(2 + 3) = 17d 3 ? ( x) |x =1 = 3 ×17 = 51 . dx2五、【分析与求解】关键是将 arctan x 展成幂级数,然后约去因子 x ,再乘上 1 + x 并化简即可. '直接将 arctan x 展开办不到,但 (arctan x ) 易展开,即(arctan x)' =x∞ 1 = ∑ (?1) n x 2 n , | x |< 1 , 1 + x 2 n =0①积分得arctan x = ∫ (arctan t )' dt = ∑ (?1) n ∫ t 2 n dt = ∑x 0 n =0 0∞(?1) n 2 n +1 x , x ∈ [?1,1] . ② n = 0 2n + 1∞因为右端积分在 x = ±1 时均收敛,又 arctan x 在 x = ±1 连续,所以展开式在收敛区间端点x = ±1 成立. 1 + x2 现将②式两边同乘以得 x∞ 1 + x2 (?1) n 2 n ∞ (?1)n 2 n ∞ (?1) n x 2 n + 2 arctan x = (1 + x 2 )∑ x =∑ x +∑ x 2n + 1 n = 0 2n + 1 n = 0 2n + 1 n =0(?1) n 2 n ∞ (?1)n ?1 2 n x +∑ x =∑ n = 0 2n + 1 n = 0 2n ? 1∞=1 +∑ (?1) ( 2n + 1 ? 2n ? 1) xn n =1∞112n= 1+ ∑(?1) n 2 2 n x 2 n =1 1 ? 4n∞,x ∈ [?1,1] , x ≠ 0上式右端当 x = 0 时取值为 1,于是f ( x) = 1 + ∑∞(?1) n 2 2 n x , x ∈ [?1,1] . 2 n =1 1 ? 4n∞上式中令 x = 1 ?(?1) n 1 1 ππ 1 ∑ 1 ? 4n2 = 2 [ f (1) ? 1] = 2 (2 × 4 ? 1) = 4 ? 2 . n =1y+ z = 2上L所六、【解】用斯托克斯公式来计算.记 S 为平面 x +为围部分.由 L 的定向,按右手法则 S 取上侧, S 的单位法向量n = (cos α , cos β , cos γ ) =于是由斯托克斯公式得1 (1,1,1) . 3cos γ ? ?z 3x 2 ? y 2 dScos α I = ∫∫Scos β ? ?y 2 z 2 ? x2? ?x y2 ? z2=∫∫ [(?2 y ? 4 z )S1 1 1 + ( ?2 z ? 6 x ) + (?2 x ? 2 y ) ]dS3 3 3=?2 2 ∫∫ (4 x + 2 y + 3z )dS (利用x + y + z = 2) ?3 ∫∫ (6 + x ? y)dS .3 S S于是'2 '2 1+ Zx + Z y = 1+1+1 = 3 .按第一类曲面积分化为二重积分得I =?2 ∫∫ (6 + x ? y ) 3dxdy = ?2∫∫ (6 + x ? y)dxdy ,3 D D | x | + | y |≤ 1 (图）.由 D 关于 x, y 轴的对称性及被积函数的奇其中 D 围 S 在 xy 平面上的投影区域偶性得∫∫ ( x ? y)dxdy = 0D?I = ?12∫∫ dxdy = ?12( 2) 2 = ?24 .D七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理, ? x ∈ (1, ?1) ,x ≠ 0 , ? θ∈ (0,1) ,使f ( x) = f (0) + xf ' (θ x)(θ与x 有关);又由 f '' ( x) 连续而 f '' ( x) ≠ 0 , f'' ( x) 在 (1, ?1) 不变号, f ' ( x) 在 (1, ?1) 严格单调, θ唯一. (2)对f ' (θ x) 使用 f '' (0) 的定义.由题(1)中的式子先解出 f ' (θ x) ,则有f ' (θ x) =再改写成f ( x) ? f (0) . x f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) . xf ' (θ x)? f ' (0) =f ' (θ x) ? f ' (0) f ( x) ? f (0) ? xf ' (0) , ?θ = x2 θx解出θ ,令 x → 0 取极限得1 '' f (0) 1 f ( x) ? f (0) ? xf (0) f (θ x) ? f (0)2 lim θ= lim / lim = '' = . 2 x →0 x →0 x→0 2 x f (0) θx' ' '八、【解】先求(1)设 t 时刻雪堆的体积为 V (t ) ,侧面积为S (t ) . t 时刻雪堆形状如图所示S (t ) 与 V (t ) .侧面方程是z = h(t ) ?2( x 2 + y 2 ) h 2 (t ) (( x, y ) ∈ Dxy : x 2 + y 2 ≤ ). 2 h(t ) ??z 4 x ?z 4y =? , =? . ?x h(t ) ?y h(t )?S (t ) = ∫∫Dxy?z 2 ?z 2 h 2 (t ) + 16( x 2 + y 2 ) 1 + ( ) + ( ) dxdy = ∫∫ dxdy . ?x ?y h(t ) Dxy作极坐标变换: x = r cos θ , y = r sin θ ,则Dxy : 0 ≤θ≤ 2π , 0 ≤ r ≤1 h(t ) . 2S (t ) =?1 h (t ) 1 2π dθ∫2 h 2 (t ) + 16r 2 rdr ∫0 0 h(t )3 h (t ) 2π 12 13π 2 ? [h (t ) + 16r 2 ] 2 |0 2 = h (t ). h(t ) 48 12 1=用先二后一的积分顺序求三重积分V (t ) = ∫h(t )dz∫∫ dxdy ,D( x)其中 D ( z ):2( x 2 + y 2 ) 1 ≤ h(t ) ? z (t ) ,即 x 2 + y 2 ≤ [h 2 (t ) ? h(t ) z ] . h(t ) 2V (t ) = ∫h (t )?π2[h 2 (t ) ? h(t ) z ]dz =π1 π [h3 (t ) ? h(t )3 ] = h3 (t ) .2 2 4 dV = ?0.9 S dt(2)按题意列出微分方程与初始条件.dV ,它与侧面积成正比(比例系数 0.9),即 dt π 2 dh 13π 2 将 V (t ) 与 S(t ) 的表达式代入得 3h (t ) = ?0.9 h (t ) ,即 4 dt 12 dh 13 =? . dt 10 体积减少的速度是 ?①②h(0) = 130 .(3)解①得 h(t ) = ? 令 h(t ) = 0 ,得 t13 t +C . 10由②得C = 130 ,即 h(t ) = ?13 t + 130 . 10= 100 .因此,高度为 130 厘米的雪堆全部融化所需时间为 100 小时.九、【解】由于β i (i= 1, 2? s ) 是α1 , α 2 ,?α s 线性组合,又α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知β i (i = 1, 2? s ) 均为 Ax = 0 的解. 从α1 , α 2 ,?α s 是 Ax = 0 的基础解系,知 s = n ? r ( A) . 下面来分析β1 , β 2 ,? β s 线性无关的条件.设 k1β1 + k 2 β 2 + ?? k s β s = 0 ,即(t1k1 + t2 ks )α1 + (t2 k1 + t1k2 )α 2 + (t2 k2 + t1k3 )α 3 + ? + (t2 ks ?1 + t1k s )α s = 0 .由于α1 , α 2 ,?α s 线性无关,因此有?t1k1 + t2 k s = 0, ?t k + t k = 0, ?2 1 1 2 ? ?t2 k2 + t1k3 = 0, ? ? ? ?t2 ks ?1 + t1k s = 0. ?因为系数行列式(*)t1 0 0? 0 t2 t2 t1 0 ? 0 0s 0 t2 t1 ? 0 0 = t1s + (?1) s +1 t2 ,? ? ? ?? 0 0 0? t2 t1所以当 t1s s + (?1) s +1 t2 ≠ 0 时,方程组(*)只有零解 k1 = k2 = ? = ks = 0 . 从而β1 , β 2 ,? β s 线性无关.十、【解】(1)由于 AP= PB ,即A( x, Ax, A2 x) = ( Ax, A2 x, A3 x) = ( Ax, A2 x,3 Ax ? 2 A2 x)?0 0 0 ? = ( x, Ax, A x) ?1 0 3 ? , ? ? ?0 1 ? 2 ? ? ?2?0 0 0 ? ? ? . 所以 B = 1 0 3 ? ? ? ?0 1 ? 2 ? ?(2)由(1)知 A ?B ,那么 A + E ? B + E ,从而1 0 0 | A + E |=| B + E |= 1 1 3 = ?4 . 0 1 ?1m = m | X = n} = Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,? . 十一、【解】 (1) P{Y (2) P{ X= n, Y = m} = P{ X = n}P{Y = m | X = n}=λnn!m e ? λ ? Cn p m (1 ? p )n ? m , 0 ≤ m ≤ n, n = 0,1, 2,?.十二、【解】易见随机变量 ( X 1 +X n +1 ) , ( X 2 + X n + 2 ) , ? , ( X n + X 2 n ) 相互独立都服从正态分布N (2 ? , 2σ 2 ) .因此可以将它们看作是取自总体 N (2 ? , 2σ 2 ) 的一个容量为 n 的简单随机样本.其样本均值为1 n 1 2n ( X i + X n +i ) = ∑ X i =2 X , ∑ n i =1 n i =1 1 n 1 ∑ ( Xi + X n +i ? 2 X ) 2 = n ? 1 Y . n ? 1 i =11 Y ) = 2σ2 ,即 E (Y ) = 2(n ? 1)σ 2 . n ?1样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故 E (。
