求复合函数的定义域

复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。

答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。

答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。

例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。

答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。

例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。

这种代换遵循同一函数的原则。

例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。

复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。

即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。

例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。

复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。

x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。

f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。

设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。

对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。

对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。

求复合函数
（最新版）
目录
1.复合函数的定义
2.复合函数的性质
3.求复合函数的方法
4.复合函数的应用举例
正文
一、复合函数的定义
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而构成的新函数。

复合函数可以表示为 f(g(x))，其中 f 和 g 都是函数，x 是自变量。

二、复合函数的性质
1.复合函数的定义域是 g(x) 的值域，值域是 f(g(x)) 的取值范围。

2.复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关。

三、求复合函数的方法
求复合函数通常需要先求出 g(x)，然后将结果代入 f(x) 中计算得到 f(g(x))。

具体步骤如下：
1.求出 g(x) 的值。

2.将 g(x) 的值代入 f(x) 中，计算得到 f(g(x)) 的值。

四、复合函数的应用举例
复合函数在实际问题中有广泛的应用，例如求解物理、化学等领域的问题。

下面举一个简单的例子来说明复合函数的应用。

例：已知函数 f(x)=2x+1，函数 g(x)=3x-2，求复合函数 h(x)=f(g(x)) 的值。

解：首先求出 g(x) 的值，即 g(x)=3x-2。

然后将 g(x) 的值代入 f(x) 中，得到 f(g(x))=2(3x-2)+1=6x-3。

因此，复合函数 h(x)=f(g(x)) 的值为 6x-3。

通过以上步骤，我们可以求解复合函数的问题。

配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。

f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。

f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。

）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

关于复合函数定义域的求解方法若)(u f y =,又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空,则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种类型。

一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或 即23-<≤-x 或10≤<x 。

故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围,因此我们可以直接将复合函数中x x 22+看成一个整体x ，即由30≤<x 可得3202≤+<x x ，解出x 的范围即可。

二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

例2 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-,求函数()x f 的定义域解 21≤≤-x ， 5231≤-≤-∴x ,故函数()x f 的定义域为[]5,1-【评注】由()x f 23-的定义域为[]2,1-得21≤≤-x ,有的同学会误将此x 的范围当作()x f 的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将x 23-令成一个整体t ,即x t 23-=，先解出()t f 的定义域，即为()x f 的定义域。

复合函数定义域三种形式解法当我们考虑复合函数的定义域时，需要注意两个关键点：第一个是每个函数的定义域，第二个是每个函数的结果是否符合另一个函数的定义域要求。

在解决复合函数定义域时，有三种常见的形式：两个函数的定义域都为实数集，两个函数的定义域为整数集和有限集。

一、两个函数的定义域都为实数集实数集是一个包含了所有实数的集合，通常用符号R表示。

当两个函数的定义域都为实数集时，我们可以直接计算出复合函数的定义域。

例如，考虑函数f(x)=√x和g(x)=x^2、它们的定义域都为实数集。

首先，我们需要找到复合函数(f∘g)(x)=f(g(x))的定义域。

根据复合函数的定义，我们需要先计算出g(x)的结果，然后再将结果作为f(x)的输入。

由于g(x)=x^2，它的定义域是实数集R。

然后，将g(x)的输出作为f(x)的输入进行计算。

因为f(x)=√x，它的定义域也是实数集R。

所以，函数(f∘g)(x)=f(g(x))的定义域是实数集R。

二、两个函数的定义域为整数集整数集是由所有整数组成的集合，通常用符号Z表示。

当两个函数的定义域都为整数集时，我们需要检查复合函数的结果是否为整数。

例如，考虑函数f(x)=2x和g(x)=x+3、它们的定义域都为整数集。

按照复合函数的定义，我们计算出复合函数(f∘g)(x)=f(g(x))的定义域。

首先，我们需要计算出g(x)的结果，然后再将结果作为f(x)的输入。

由于g(x)=x+3，它的定义域为整数集Z。

然后，我们计算出g(x)的输出是整数。

接下来，将g(x)的输出作为f(x)的输入进行计算。

因为f(x)=2x，它的输入必须是整数才能保证输出也是整数。

所以，函数(f∘g)(x)=f(g(x))的定义域是整数集Z。

三、两个函数的定义域为有限集有限集是一个只包含有限个元素的集合。

当两个函数的定义域都是有限集时，我们可以直接列举出复合函数的定义域。

例如，考虑函数f(x)=x+1和g(x)=2x。

复合函数的定义域一、复合函数的概念如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫做中间变量。

注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。

另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。

例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。

二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。

例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。

答案：[-1/2 ，0 ]例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。

答案：[-1 ，1]（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。

例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。

答案：[ 1 ，3]（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。

例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 - 2 ) 的定义域。

复合函数定义域三种形式解法复合函数的定义域是指使得复合函数有意义的所有可能的输入值的集合。

若已知两个函数f(x)和g(x)，要求它们的复合函数f(g(x))的定义域，可以采用以下三种形式的解法。

解法一：通过视觉法确定定义域这种方法适用于简单的函数组合，可以通过观察得到定义域的范围。

例如，如果已知f(x)=√x，g(x)=2x，则f(g(x))=f(2x)=√(2x)。

根据平方根函数的定义域为非负实数，可以确定复合函数的定义域为所有使得2x≥0的实数，即x≥0。

因此，定义域为[0,+∞)。

解法二：通过函数图像确定定义域这种方法适用于已知函数的图像，并且函数图像比较简单的情况。

例如，如果已知f(x)=1/x，g(x)=x+2，则f(g(x))=f(x+2)=1/(x+2)。

根据1/x函数的图像，可以确定其定义域为除了x=0之外的所有实数。

将所有使得x+2≠0的实数作为复合函数的输入，即x≠-2、因此，定义域为R-{-2}，其中R表示实数集合。

解法三：通过函数定义式确定定义域这种方法适用于通过分析函数定义式来确定定义域的复杂情况。

例如，如果已知f(x)=√(4-x)和g(x)=(x-1)/(x-5)，则f(g(x))=√(4-g(x))=√(4-(x-1)/(x-5))。

为了使得复合函数有意义，需要满足两个条件：1）分母不能为0；2）被开方的表达式必须大于等于0。

首先，对于分母不能为0的条件，需要排除使得x-5=0的值，即x≠5、然后，考虑被开方的表达式必须大于等于0的条件，即4-(x-1)/(x-5)≥0。

通过解不等式可以确定这个条件的范围。

将分式转化为通分形式，得到(4(x-5)-(x-1))/(x-5)≥0。

化简不等式，得到(3x-9)/(x-5)≥0。

根据不等式的性质，需要分析函数在各个区间上的正负性来确定不等式的解集。

当x<5时，分子分母同号，即(3x-9)/(x-5)>0，解为(-∞,5)；当x>5时，分子分母异号，即(3x-9)/(x-5)<0，解为(5,+∞)；当x=5时，分子为0，则这个点需要额外讨论。

复合函数的定义域作者：王霞来源：《新课程·上旬》 2013年第22期一、复合函数的定义一般地：若y=f（u），又u=g（x），且g（x）值域与f（u）定义域的交集不空，则函数y=f［g（x）］叫x的复合函数，其中y=f（u）叫外层函数，u=g（x）叫内层函数。

简言之，复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。

例如：设函数f（x）=2x+3g（x）=3x-5，对于函数f[g（x）]，若f（x）的定义域为M，则在复合函数f［g（x）］中，g（x）∈M。

复合函数的定义域，就是复合函数y=f［g（x）］中x的取值范围。

x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g（x）的值域。

二、复合函数的定义域求法例1.已知f（x）的定义域为（-3，5］，求函数f（3x-2）的定义域。

解：由题意得∵-3＜x≤5∴-3＜3x-2≤5-1＜3x≤7例2.已知函数f（x）定义域为是［a，b］，且a+b＞0,求函数h（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定义域。

∵m＞0，∴a-m＜a+mb-m＜b+m又a-m＜b+m解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。

若已知f（x）的定义域为A，则f［g（x）］的定义域就是不等式 g（x）∈A的x的集合；若已知f［g（x）］的定义域为A，则f（x）的定义域就是函数g（x）（x∈A）的值域。

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f（x）的定义域为x∈（a，b），求出f［g（x）］中a＜g（x）＜b的解x的范围，即为f［g（x）］的定义域。

若f［g（x）］的定义域为x∈（a，b），则由a＜x＜b确定g（x）的范围即为f（x）的定义域。

我们可以得到此类解法为：可先由f［g（x）］定义域求得f（x）的定义域，再由f（x）的定义域求得f［g（x）］的定义域。

函数补充教材3
复合函数的定义域
一、复合函数的自变量与中间变量
复合函数的一般形式为)]([x g f y =，其中外层函数为)(u f y =，内层函数为)(x g u =
1）复合函数)]([x g f y =的自变量为x ，其定义域为x 的范围；
2）)(x g u =为中间变量，既是内层函数的函数值，又是外层函数的自变量。

例1：已知x x f =
)(，4)(2-=x x g ，求复合函数)]([x g f y =的定义域。

说明：复合函数的自变量为x ，而不是)(x g ，)(x g 是中间变量。

例2：已知)(x f 的定义域为]2,2(-，求)1(-x f 的定义域。

例3：已知)(x f 的定义域为]2,2(-，若)1()1()(x f x f x F +-=，求)(x F 的定义域。

总结：以上两例是已知外层函数的定义域，求复合函数的定义域。

例4：已知)1(2+=x f y 的定义域为R ，求)(x f 的定义域。

总结：上例是已知复合函数的定义域，求的外层函数定义域。

二、函数定义域与解析式问题小结：
1、定义域的求法：1）函数解析式⇔函数定义域；2）外层函数的定义域⇔复合函数的定义域
2、函数解析式的求法：1）有关复合函数的解析式；2）待定系数法求函数解析式。

例5：已知)(x f 为一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 的解析式。

例6：已知)(x f 为二次函数，)2()2(x f x f -=+，3)0(=f ，)(x f 的图像与x 轴交于B A ,两点，线
段AB 的长为8，求)(x f 的解析式。

抽象函数的定义域抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。

复合函数的概念：设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。

总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

.复合函数（讲义）➢ 知识点睛1. 复合函数定义若函数()y f u =，()u g x =，则称函数(())y f g x =为复合 函数，其中()f u 为外层函数，g (x )为内层函数，u 是中间变量．2. 复合函数定义域的求法①若y =()f x 的定义域为[a ，b ]，则复合函数(())y f g x =的定义域即为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；②若(())y f g x =的定义域为[a ，b ]，则函数y =()f x 的定义域即为x ∈[a ，b ]时g (x )的取值范围．注：同一对应法则f 下的范围相同，即f (u )、f (g (x ))、f (h (x ))三个函数中，u ，g (x )，f (x )的范围相同．3. 复合函数的单调性口诀：同增异减．已知函数(())y f g x =，则求其单调区间的一般步骤如下： （1）确定定义域；（2）将复合函数(())y f g x =分解成：()y f u =，()u g x =； （3）分别确定这两个函数的单调区间．4. 复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇．即：➢ 精讲精练1. （1）设函数 f (x )=2x +3，g(x )=3x -5，则 f (g (x ))=____________，g (f(x ))=____________；（2）已知2211()f x x x x -=+，则(1)f x +=_________．2. （1）设函数f (x )的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为____________，函数2)f 的定义域为____________；3. 求函数的值域：4. 已知函数233x x y a -+=，当[13]x ∈，时有最小值8，则a 的值为____________．5. 如果函数2()21x x f x a a =+-（a >0，且a ≠1）在[-1，1]上有最大值14，则a的值为____________．6. 设0a >，1a ≠，函数2lg (23)xx y a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为____________．7. 若函数()f x 在()-∞+∞，上是减函数，则2(2)y f x x =-的单调递增区间是____________．8. 直接写出下列函数的单调区间：（2）函数2()ln(23)f x x x =--的单调递减区间是_________；（3）函数()242x x f x =-⋅的单调递减区间是____________；（4）函数20.50.5log log 2()x f x x =-+的单调减区间是______．9. 求下列函数的单调区间：（4）函数()f x =的单调递增区间是_______．10. 已知f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上递减，那么f (x )在(1，+∞)上（ ）A ．递增无最大值B ．递减无最小值C ．递增有最大值D ．递减有最小值11. 已知函数log (()2)a f x x a =-在(11)-，上是x 的减函数，则a 的取值范围是____________．【参考答案】1.（1）6x-7；6x+4；（2）x2+2x+32.（1）[-1，1]；[4，9]；（2）5[0]2，；11(][)32-∞-+∞U，，；（3）4]；（4）(-4，-1)∪(1，4)3.（1）(-∞，-2)；（2）3[57]4，；（3）1[2]4-，4.165.13或36.(2，3)7.(1，+∞)8.（1）(-∞，3)；（2）(-∞，-1)；（3）(-∞，-2)；（4）(09.（1）(-∞，-2)，(-2，+∞)；（2）(-2，2)；（3）(-1，1)；（4）7 ()2 -∞-，10.A11.(1，2]12.(-8，-6]13.a＞1。

复合函数求定义域
复合函数求定义域是指用复合函数来确定一个函数的定义域。

复合函数是把两个或更多的函数链接起来，形成一个新的函数的方法，它通常用来描述特定系统的行为。

在数学中，复合函数可以把一对函数合并成一个函数，它的参数是原函数中的自变量，而它的值则由原函数的结果决定。

复合函数的求定义域的步骤如下：
（1）首先，明确所要求的复合函数，即将两个函数f(x)和g(x)合并为h(x)=f(g(x))，其中f(x)和g(x)是一对函数。

（2）求出g(x)的定义域，定义域为[a,b]。

（3）根据g(x)的定义域，计算f(x)的定义域，即[f(a),f(b)]。

（4）最后，得出复合函数h(x)的定义域为
[f(a),f(b)]。

例如，已知f(x)=sin(x)，g(x)=2x，则复合函数
h(x)=f(g(x))=sin(2x)，g(x)的定义域为[-π/2,π/2]，f(x)的定义域为[-1,1]，因此复合函数h(x)的定义域为[-1,1]。

复合函数求定义域是复合函数的一个重要应用，它不仅适用于一对函数，还可以推广到任意多对函数。

例如，已知f1(x)=sin(x)，f2(x)=cos(x)，f3(x)=tan(x)，则复合函数h(x)=f1(f2(f3(x)))=sin(cos(tan(x)))，其定义域可以求得为[-1,1]。

复合函数求定义域的运用广泛，它不仅能够帮助我们更好地理解复合函数的特性，而且也能够帮助我们求解复杂的函数，使其定义域得到精确的描述。

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，假设A ⊇B ，那么y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用X 围为D ，又f 对g x ()作用，作用X 围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1.设函数f u ()的定义域为〔0，1〕，那么函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为〔0，1〕即u ∈()01，，所以f 的作用X 围为〔0，1〕 又f 对lnx 作用，作用X 围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为〔1，e 〕例2. 假设函数f x x ()=+11，那么函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用X 围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用X 围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且〔2〕、[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用X 围为E ，又f 对x 作用，作用X 围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，那么函数f x ()的定义域为_________。

复合函数求期望1.复合函数定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：∈当为整式或奇次根式时，R的值域;∈当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);∈当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;∈当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。

∈当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

∈分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

∈由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求∈对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

∈对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

∈三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

注：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+)2.复合函数单调性依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

∈求复合函数的定义域;∈将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);∈判断每个常见函数的单调性;∈将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;∈求出复合函数的单调性。

“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的'倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。

(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。