2021年高中数学第三章概率.3互斥事件教学案北师大版必修3

互斥事件整体设计教学分析教科书通过实例定义了互斥事件、对立事件的概念.教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出.三维目标(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.(2)概率的几个基本性质：①必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1；②当事件A 与B 互斥时,满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；③若事件A 与B 为对立事件,则A∪B 为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).(3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.重点难点教学重点：概率的加法公式及其应用.教学难点：事件的关系与运算.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考优85分及以上 9人 良75—84分 15人 中60—74分 21人 不及格 60分以下 5人在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”(优或良)的概率是多少？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题.思路2.(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4} {2,3,4,5}等；(2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C 1={出现1点},C 2={出现2点},C 3={出现1点或2点},C 4={出现的点数为偶数},….师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质.思路 3.全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是72和51,则该省夺取该次冠军的概率是72+51,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.推进新课新知探究提出问题在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},….类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？(4)事件D3与事件F能同时发生吗？(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案.讨论结果：(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.(4)事件D3与事件F不能同时发生.(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.由此我们得到事件A,B的关系和运算如下：①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记为B⊇A(或A⊆B),不可能事件记为∅,任何事件都包含不可能事件.②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,(若B⊇A同时B⊆A),我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件(或和事件),记为A∪B或A+B.④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件),记为A∩B或AB.⑤如果A∩B为不可能事件(A∩B=∅),那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A 与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.继续依次提出以下问题：(1)概率的取值范围是多少?(2)必然事件的概率是多少?(3)不可能事件的概率是多少?(4)互斥事件的概率应怎样计算?(5)对立事件的概率应怎样计算?活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义：(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0—1之间,因而概率的取值范围也在0—1之间.(2)必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.(3)不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.(4)当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.(5)事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,由(4)可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.讨论结果：(1)概率的取值范围是0—1之间,即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1.(3)不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0.(4)当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式,也称互斥事件的概率的加法公式.(5)事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它们的应用. 应用示例思路1例1 在课本§2古典概型的例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,下面的事件A和事件B是否是互斥事件?(1)事件A=“总质量为20 kg”,事件B=“总质量为30 kg”;(2)事件A=“总质量为7.5 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”;(3)事件A=“总质量不超过10 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”;(4)事件A=“总质量为20 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”.解：在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不能同时发生,因此事件A与事件B是互斥事件.对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,当总质量为20 kg时,事件A与事件B同时发生,因此,事件A与事件B不是互斥事件.点评：判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.变式训练1.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.活动：教师指导学生,要判断所给事件是对立事件还是互斥事件,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.解：A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).2.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品.解：依据互斥事件的定义,即事件A 与事件B 在一定试验中不会同时发生,知(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们的并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：(2)中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件;(3)中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件;(4)中的2个事件既互斥又对立.例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C =“抽到的是三等品”,且已知P(A)=,P(B)=,P(C)=.求下列事件的概率：(1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”;(2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”.解：(1)事件D 即事件A+C,因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=+=.(2)事件E 即事件B+C,因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.点评：容易看出,事件D+E 表示“抽到的产品是一等品或二等品或三等品”.事件D 和事件E 不是互斥事件,因此不满足互斥事件的概率加法公式.事实上,P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=,而P(D)+P(E)=［P(A)+P(C)］+［P(B)+P(C)］=,“抽到的是三等品”的概率P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次,因此,事件D+E 的概率P(D+E)不等于P(D)+P(E).例3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如下表所示：男 女 总计 赞成 18 9 27 反对12 25 37 不发表看法20 16 36 总计 50 50 100解：用A 表示事件“对这次调整表示反对”,B 表示事件“对这次调整不发表看法”,则A 和B 是互斥事件,并且A+B 就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”,由互斥事件的概率加法公式,得P(A+B)=P(A)+P(B)=100731003610037=+=, 因此,随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是.点评：若事件C=“对这次调整表示赞成”,则其对立事件C=“对这次调整表示反对或不发表看法”,因此,随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率还可以按如下方法计算：P(C )=1-P(C)=11007310027=-=. 变式训练1.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图1所示.随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少?(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?图1 解：(1)从图1中可以看出,3个课外兴趣小组总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”,则A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”,于是,P(A )=1-P(A)=153601086=++-=. 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是.(2)用B 表示事件“选取的成员参加3个小组”,则B 就表示“选取的成员参加不超过2个小组”,于是,P(B )=1-P(B)=15136081=-≈. 所以,随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等于.2.小明的自行车用的是密码锁,密码锁的四位数密码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成.小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序,试问：随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁的概率是多少?解：用A 表示事件“输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不是密码”,A 比较复杂,可考虑它的对立事件,即“输入由2,4,6,8组成的一个四位数,恰是密码”,它只有一种结果.利用树状图可以列出输入由2,4,6,8组成的一个四位数的所有可能结果(如图2).从图中可以看出,所有可能结果数为24,并且每一种结果出现的可能性是相同的,这是一个古典概型.P(A )=241,因此,图2P(A)=1-P(A )=2423≈, 即小明随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁的概率约为.思路2例1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”,B 为“出现偶数点”,已知P(A)= 21,P(B)= 21,求出“出现奇数点或偶数点”的概率. 活动：学生思考或讨论,教师引导,抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A 、B 是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=21+21=1. 出现奇数点或偶数点的概率为1.变式训练抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A 为出现奇数,事件B 为出现2点,已知P(A)= 21,P(B)=61,求出现奇数点或2点的概率之和. 解：“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P(C)=P(A)+P(B)=326121=+. 例2 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为31,得到黑球或黄球的概率是125,得到黄球或绿球的概率也是125,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？活动：学生阅读题目,交流讨论,教师点拨,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.解：从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A 、B 、C 、D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=125,P(C∪D)=P(C)+P(D)=125,P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-31=32,解得P(B)=41,P(C)=61,P(D)= 41, 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41. 变式训练已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是71,从中取出2粒都是白子的概率是3512,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？答案：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为3517351271=+. 知能训练1.下列说法中正确的是( )A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案：D2.课本练习1—4.拓展提升1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21,求男女生相差几名? 解：设男生有x 名,则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(⨯-x x , 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(⨯--x x . 以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于21, 得3536)35)(36(3536)1(⨯--+⨯-x x x x =21. 解得x=15或x=21,即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.总之,男女生相差6名. 血型A B AB O 该血型的人所占比/% 28 29 8 35AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血,若小明因病需要输血,问：(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O 型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的. 由已知,有P(A′)=,P(B′)=,P(C′)=,P(D′)=.因为B,O 型血可以输给B 型血的人,故“可以输给B 型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的加法公式,有P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=+=.(2)由于A,AB 型血不能输给B 型血的人,故“不能输给B 型血的人”为事件A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=+=,即任找一人,其血可以输给小明的概率为,其血不能输给小明的概率为.注：第(2)问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有P(''D B +)=1-P(B′+D′)==. 课堂小结1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A 与事件B 互斥时,A∪B 发生的概率等于A 发生的概率与B 发生的概率的和,从而有公式P(A∪B)=P(A)+P(B)；对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生.2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：(1)事件A 发生且事件B 不发生；(2)事件A 不发生且事件B 发生；(3)事件A 与事件B 同时不发生.而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生,其包括两种情形：(1)事件A 发生B 不发生；(2)事件B 发生事件A 不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.作业习题3—2 A 组 3.设计感想本堂课通过掷骰子试验,定义了许多事件,并根据集合的运算定义了事件的运算,给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式,在运用时要切实注意它们的使用条件,不可模棱两可,搞清互斥事件和对立事件的关系,思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练,对刚学的知识是一个巩固和加强,同学们要反复训练,安排的题目既有层次性,又有趣味性,适合不同基础的学生,因此本节课授完后,同学们肯定受益匪浅.。

2．3 互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一集合间的基本关系知识点二集合的基本运算给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？答因为1为奇数，所以A⊆B.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．知识点四概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A ＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B)．题型一互斥事件、对立事件的概念例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案 D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．题型二和事件的概念例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4＋C5＋C6.同理可得，D 3＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4，E ＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋C 5＋C 6，F ＝C 2＋C 4＋C 6，G ＝C 1＋C 3＋C 5. 反思与感悟 事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn 图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 跟踪训练2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B ＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C ＝{3个球中至少有一个红球}，事件D ＝{3个球中既有红球又有白球}．则： (1)事件D 与事件A 、B 是什么样的运算关系？ (2)事件C 与事件A 的交事件是什么事件？解 (1)对于事件D ，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D ＝A ＋B . (2)对于事件C ，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C ∩A ＝A .题型三 对立事件、互斥事件的概率例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．解 方法一 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：所以P (A )＝2036＝59.方法二 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”，记为A .如上表，“既没有5点又没有6点”的结果共有16个， 则“既没有5点又没有6点”的概率为P (A )＝1636＝49. 所以“至少有一个5点或6点”的概率为P (A )＝1－P A )＝1－49＝59.反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练 3 某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．解设“低于7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”，而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．分析事件A，B，C，D为互斥事件，A＋B与C＋D为对立事件，A＋B＋C与D为对立事件，因此可用两种方法求解．解方法一(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A＋B 的对立事件为C ＋D ，所以P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－P (C )－P (D )＝1－16－112＝34，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112，即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A ＋B ＝A 时，P (A ＋B )＝P (A )，∴④错；只有事件A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，∴⑤错．2．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不互斥、不对立 答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝D D ．A ∪C ＝B ∪D 答案 D解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A ∪C ＝D ＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B ∪D 为必然事件，所以A ∪C ≠B ∪D .4．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25 C.14 D.18答案 C解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14.5．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________． 答案 0.2解析 设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ＋C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1 D ．不确定答案 D解析 由于不能确定A 与B 是否互斥，所以P (A ∪B )的值不能确定． 2．若A 、B 是互斥事件，则( )A．P(A＋B)<1 B．P(A＋B)＝1C．P(A＋B)>1 D．P(A＋B)≤1答案 D解析∵A、B是互斥事件，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B是对立事件时，P(A＋B)＝1)．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( )A．0.09 B．0.97C．0.99 D．0.96答案 C解析因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99.4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”答案 C解析该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③答案 C解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式，故②不正确；概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确．比如在掷骰子试验中，设事件A ＝{正面为奇数}，B ＝{正面为1,2,3}，则P (A )＋P (B )＝1.而A ，B 不互斥，故④不正确． 7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56答案 C解析 由题意知，B 表示“大于或等于5的点数出现”，事件A 与事件B 互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝26＋26＝46＝23.二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________. 答案 0.3解析 因为A ，B 为互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．所以P (B )＝P (A ＋B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．答案 120解析 可设参加联欢会的教师共有n 人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－920＝1120.再由题意，知1120n －920n ＝12，解得n ＝120.10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案 0.45解析 由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________． 答案 59解析 记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“5点或6点至少出现一个”的事件为B .因为A ∩B ＝∅，A ＋B 为必然事件，所以A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.故5点或6点至少出现一个的概率为59.三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的． 由题意，得⎩⎨⎧P A ＝13，P B ＋C ＝512，P C ＋D ＝512，P A ＋B ＋C ＋D ＝1，即⎩⎨⎧PB ＋PC ＝512，P C ＋PD ＝512，13＋P B ＋P C ＋P D ＝1，解得⎩⎨⎧PB ＝14，P C ＝16，P D ＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰． 故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra.题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}，则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析由几何概型知，P＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.。

复习课(三) 概 率古典概型且常与统计等问题综合考查．[考点精要]1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，当事件A 与B 对立时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P (A )＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．[典例] 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求以下事件的概率： (1)取出的鞋不成双； (2)取出的鞋都是左脚的； (3)取出的鞋都是同一只脚的；(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双．[解] 用A 1，A 2；B 1，B 2；C 1，C 2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，那么从6只鞋中取2只所有的取法有：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2， B 1B 2，B 1C 1，B 1C 2， B 2C 1，B 2C 2，C 1C 2，共15种．(1)取出的鞋不成双的所有取法有：A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，共12种．其概率为P 1＝1215＝45.(2)取出的鞋都是左脚的所有取法有：A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，共3种．其概率为P 2＝315＝15.(3)取出的鞋都是同一只脚的所有取法有：A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，A 2B 2，A 2C 2，B 2C 2，共6种．其概率为P 3＝615＝25.(4)取出的鞋一只左脚的，一只右脚的但不成双的所有取法有：A 1B 2，A 1C 2，A 2B 1，A 2C 1，B 1C 2，B 2C 1，共6种．其概率为P 4＝615＝25.[类题通法]在古典概型中，计算概率的关键是准确找到基本事件的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把基本事件一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出基本事件的数目．[题组训练]1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，那么这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15 C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.应选C.2．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中〞所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.几何概型[考点精要]1．几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性． 2．几何概型的概率计算公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果构成的区域长度面积或体积.[典例] (1)在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，那么其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内，过一条直径上任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．(3)以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率． [解] (1)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边△BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD 上时，|BE |＞|BC |，而劣弧CD 的弧长是圆周长的13，所以由几何概率公式得P (A )＝13.(2)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如下图，不妨在过等边△BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD 时就是边长，弦长大于|CD |长的条件是圆心O 到弦的距离小于|OF |，由几何概率公式得P (A )＝12×22＝12.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是12.(3)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如下图，作等边三角形的内切圆，当以小圆上任一点为切点作弦时，弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长时，当且仅当弦的中点在小圆内，小圆半径为12，所以由几何概率公式得P (A )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝14.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14. [类题通法]三个题目都是在圆内任意作弦使得弦长超过圆内接等边三角形的边长，但三个题目中由于“等可能〞的含义不同，得到的概率不同．因而在解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性．[题组训练]1．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，那么事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1〞发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 假设在矩形ABCD 内随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14 C.38D.12解析：选B 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14. 3．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12〞的概率 ，p 2为事件“|x－y |≤12〞的概率，p 3为事件“xy ≤12〞的概率，那么( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1解析：选B 满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12〞对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12〞对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12〞对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1.1．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，假设有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，那么至少摸到一次红球的概率是( )A.18B.78C.38D.58解析：选B 所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是18，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－18＝78.选B. 2．直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，那么直线在y 轴上的截距大于1的概率为( ) A.38B.13 C.23D.25解析：选D 直线在y 轴上的截距大于1，那么b ∈(1,3]，故所求概率P ＝3－13－－2＝25. 3．从含有a ，b ，c 的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564 D.38解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }． 4．有4根木棍长度分别为2,5,7,10，从这4根木棍中任取3根，那么所取的3根木棍首尾相接能构成一个三角形的概率为( )A.14B.13C.12D.25解析：选A 从4根木棍中任取3根，基本事件有(2,5,7)，(2,5,10)，(2,7,10)，(5,7,10)，共4个，能构成三角形的只有(5,7,10)这一个基本事件，故所求概率P ＝14.5．菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，假设在菱形内任取一点，那么该点到菱形的四个顶点的距离都大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8解析：选D 分别以A ，B ，C ，D 为圆心，1为半径作圆，圆与菱形ABCD 重合部分的面积为2×π×12×112＋2×π×12×512＝π，而菱形ABCD 的面积为8，所以所求概率为8－π8＝1－π8.6.一只受伤的丹顶鹤向如下图(直角梯形)的区域上空飞来，其中AD ＝ 2 km ，DC ＝2 km ，BC ＝1 km ，丹顶鹤随机地落在该区域上任意一处，假设落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，那么该丹顶鹤生还的概率是( )A.12－π15 B ．1－π10C ．1－π6D ．1－3π10解析：选B 过点D 作DF ⊥AB 于点F ，在Rt△AFD 中，易知AF ＝1，∠A ＝45°. 梯形ABCD 的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52，扇形ADE 的面积S 2＝(2)2×π×18＝π4，故丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10.7．从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，那么星期某某排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．解析：设两名女生为a 1，a 2，两名男生为b 1，b 2，那么所有可能的结果如下：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共12种，其中星期某某排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以所求概率为P ＝412＝13.答案：138．集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，那么直线OA 与抛物线y ＝x 2＋1有交点的概率是________．解析：易知过点(0,0)与抛物线y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P ＝416＝14.答案：149．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为________．解析：基本事件为6×6＝36，P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P ＝36×6＝112.答案：11210．某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和D ，E 两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑．(1)写出所有选购方案；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)解：(1)画出树状图如图：那么选购方案为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )．(2)A 型号电脑被选中的情形为(A ，D )，(A ，E )，即基本事件为2种，所以A 型号电脑被选中的概率为P ＝26＝13.11．甲袋中有1只白球、2只红球，乙袋中有2只白球、2只红球，现从两袋中各取一球．(1)求两球颜色相同的概率； (2)求至少有一只白球的概率．解：将甲袋中1只白球记为a 1,2只红球记为b 1，b 2；乙袋中2只白球记为a 2，a 3,2只红球记为b 3，b 4，所以“从两袋中各取一球〞所包含的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共有12种．(1)设A 表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同〞，所以事件A 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共6种．所以P (A )＝612＝12.(2)设B 表示“从两袋中各取一球，至少有一只白球〞，所以事件B 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，共8种，所以P (B )＝812＝23.12．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取假设干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：组别 ABCDE人数 50100 150 150 50 抽取人数6(2)在(1)中，假设A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：组别 A B C D E人数5010015015050抽取人数3699 3(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝418＝29.(时间120分钟总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，那么样本中高三学生的人数为( )A．50人B．100人C．150人D．20人解析：选B 因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×3004 500＝100(人)．2．阅读如下图的算法框图，运行相应的程序，假设输入x的值为1，那么输出y的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128解析：选C 由算法框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.3．阅读下面的算法框图，运行相应的程序，那么输出i 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C S ＝10，i ＝0，i ＝i ＋1＝1，S ＝S －i ＝10－1＝9，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝2，S ＝S －i ＝9－2＝7，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝3，S ＝S －i ＝7－3＝4，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝4，S ＝S －i ＝4－4＝0，满足S ≤1，输出i ＝4.4．5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B 记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，那么任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品〞为事件A ，那么A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝610＝0.6.5.如图，正方形ABCD 的边长为2，△EBC 为正三角形．假设向正方形ABCD 内随机投掷一个质点，那么它落在△EBC 内的概率为( )A.32B.34C.12D.14解析：选B 正方形的面积为4，S △EBC ＝12×2×3＝3，所以，质点落在△EBC 内的概率为34. 6．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．假设低于60分的人数是15，那么该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：选B 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，那么低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，那么15m＝0.3，m ＝50.7．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5X 标签，有放回地随机选取两X 标签，两X 标签上的数字之和为奇数的概率是( )A.25B.35C.1225D.925解析：选C 基本事件的总数为25个，其中两X 标签上的数字之和为奇数的情况有：(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，共12个，所以所求概率为P ＝1225.8.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，假设甲、乙两人的平均成绩分别为x 甲，x 乙，那么以下表达正确的选项是( )A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定 解析：选C 由题意可知，x 甲＝15×(72＋77＋78＋86＋92)＝81， x 乙＝15×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.故x 甲<x 乙．又由方差公式可得s 2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，s 2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，因为s 2乙<s 2甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定． 9．阅读以下程序： 输入x ； If x ＜0 Theny ＝π2x ＋3ElseIf x ＞0 Theny ＝－π2x ＋5Elsey ＝0End If End If 输出y .如果输入x ＝－2，那么输出结果y 为( ) A ．3＋π B ．3－π C ．π－5D ．－π－5解析：选B 输入x ＝－2，那么x ＝－2＜0成立，那么y ＝π2×(－2)＋3＝－π＋3，那么输出3－π.10．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，那么每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.23B.12C.16D.13解析：选D 如图给4块试验田分别标号为A 1，A 2，B 1，B 2.基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)122B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6个基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻〞的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个．∴P (A )＝26＝13.11．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，那么△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916解析：选D 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，那么△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S 4，∴所求概率为S △ADES △ABC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916. 12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人〞．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4B ．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体平均值为2，总体方差为3解析：选D 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，表达不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，那么在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是________．解析：抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是10010 000＝1100，那么在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25. 答案：2514．变量x ，y 的回归方程为y ＝bx ＋a ，假设b ＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，那么回归方程为________．解析：因为a ＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为y ＝0.51x ＋6.647 5. 答案：y ＝0.51x ＋6.647 515．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为________．解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56.答案：5616．设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，那么方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率为________．解析：点(p ，q )组成了边长为6的正方形，S 正方形＝62＝36. 由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0，即p 2＋q 2≥1.所以当点(p ，q )落在“正方形内且单位圆外〞的阴影区域时，方程的两根都是正数．由图可知，阴影部分面积d ＝S 正方形－S 圆＝36－π.所以原方程两根都是实数的概率为1－π36.答案：1－π36三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)随机抽取一个年份，对某某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴晴晴晴晴晴阴雨阴阴日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估计某某市在该天不下雨．．．的概率； (2)某某市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． 解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，某某市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对〞(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18．(本小题总分值12分)(某某高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如下图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，那么月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，那么0.45＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．19．(本小题总分值12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台〞融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台〞的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台〞的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台〞记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台〞记为B 1，B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台〞中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．所以所求的概率P＝1－110＝9 10.(2)这20家“省级卫视新闻台〞的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.20．(本小题总分值12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)甲班的平均身高为x＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设“身高为176 cm的同学被抽中〞的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学的身高，那么所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P(A)＝410＝2 5.21．(本小题总分值12分)目前全世界面临能源紧X问题，降低油耗成为汽车制造厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x(百公里)与相应的油耗y (L)的几组对照数据.(1)(2)假设该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33 L ．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗．解：(1)根据表中数据可分别求得：x ＝2.5，y ＝15.6，∑i ＝14x i y i ＝186.4，∑i ＝14x 2i ＝30.所以b ＝186.4－4×2.5×15.630－4×2.52＝6.08. a ＝15.6－6.08×2.5＝0.4.所以回归方程为y ＝6.08x ＋0.4.(2)把x ＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8 L ，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2 L.22．(本小题总分值12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到〞，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.。

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复习课（三）概率古典概型,也有解答题,且常与统计等问题综合考查.错误!1.互斥事件与对立事件的概率（1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件;对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.（２）当事件A与Ｂ互斥时,Ｐ（A+B）=P(A)+Ｐ（Ｂ),当事件A与B对立时，P(A+B）＝Ｐ(A）+Ｐ(B）=1,即Ｐ（A）＝1－P（B)．(３）求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(Ａ)＝1－Ｐ(错误!)求解.2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数ｍ,有时需用列举法把基本事件一一列举出来,再利用公式P（A)=错误!求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏.[典例］柜子里有3双不同的鞋,随机地取出２只,试求下列事件的概率:(1）取出的鞋不成双；（２)取出的鞋都是左脚的;（３)取出的鞋都是同一只脚的;(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双.[解］用A1，A２；B１,B2；C1,C２分别表示３双不同的鞋,其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚,则从6只鞋中取２只所有的取法有:A 1A2,A１B1，A１B２,A1Ｃ1,Ａ1Ｃ2，Ａ2B1,A２B2,A2C1,A2C２，B 1B2,Ｂ1C1,B1C2，Ｂ２Ｃ１,B2Ｃ2,Ｃ1C2，共１5种．(１)取出的鞋不成双的所有取法有:Ａ1Ｂ1,Ａ1B2,Ａ1C1,A1C2，A 2B1，A２B2，A2Ｃ1，A2C2,Ｂ1C1,B1C2，Ｂ２C1,B2Ｃ2，共12种．其概率为P1=＼f(1２，1５)＝错误!.（2）取出的鞋都是左脚的所有取法有:A 1B1,Ｂ1C1,A1Ｃ1,共3种．其概率为P２＝315=15。

3.2.3 互斥事件一、教学目标：1、知识与技能：(1)理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用X围和具体运算法则解决简单的概率问题。

（2）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（3）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（4）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。

通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。

3、情感、态度与价值观：通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。

重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。

难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。

二、教学过程:问题引入：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球．从中任取 1个小球.求:(1)得到红球的概率;(2)得到绿球的概率;(3)得到红球或绿球的概率.设问：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系,可以同时发生吗?事件得到“红球或绿球”与上两个事件又有什么关系?它们的概率间的关系如何?我们把“从中摸出 1个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C．三、新课讲解如果从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生．就是说，事件A与B不可能同时发生。

2.3 互斥事件一、互斥事件1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．二、对立事件及其概率的求法公式1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A 与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.2．性质P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A)．思考：(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？[提示] (1)因为1为奇数，所以A⊆B.(2)①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是( )A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立C[必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．]2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论哪个是正确的( )A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥C[由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．]3．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③C[从1～9中任取两个数，有以下三种情况．(1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故③为对立事件．]4．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．0．2[设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.]对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生．[解] 从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．1．(1)抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A．A与B B．B与CC．A与D D．B与D(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为________．①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．(3)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①至少有1个白球，都是白球；②至少有1个白球，至少有一个红球；③至少有1个白球，都是红球．[解] (1)C (2)④[(1)A与D互斥，但不对立．(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点．事件A 包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点， 事件B 包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点， 事件C 包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，所以B 与C 是对立事件．故填④.](3)解：①不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．②不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．③是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．【例2】 袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率； (2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．[思路探究] 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．[解] (1)从袋中任取一球，记事件A 为“得到红球”，B 为“得到黑球”，C 为“得到黄球”，D 为“得到绿球”，则事件A ，B ，C ，D 两两互斥．由已知P (A )＝13，P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512， P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512，∴P (B ＋C ＋D )＝1－P (A )＝1－13＝23.∵B 与C ＋D ，B ＋C 与D 也互斥，∴P (B )＝P (B ＋C ＋D )－P (C ＋D )＝23－512＝14，P (D )＝P (B ＋C ＋D )－P (B ＋C )＝23－512＝14，P (C )＝1－P (A ＋B ＋D )＝1－(P (A )＋P (B )＋P (D ))＝1－⎝⎛⎭⎪⎫13＋14＋14＝1－56＝16.故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球， ∴得到的球是红球或黄球，即事件A ＋C ， ∴P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝13＋16＝12，故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12.1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．2．(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为( )A ．0.42B ．0.38C ．0.2D ．0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．[解] (1)C [记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 为互斥事件，且A ＋B ＋C 为必然事件，由题意知P (A )＋P (B )＝0.58，P (A )＋P (C )＝0.62，P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，解得P (A )＝0.2.](2)设A ，B ，C 分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D 表示军火库爆炸，已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.12，P (C )＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A ，B ，C 是互斥事件，且D ＝A ＋B ＋C ，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.1．若令A ＝“小明考试及格”，A ＝“小明考试不及格”，则事件A 与事件A 能不能同时发生，或者都不发生？为什么？提示：不可能同时发生，由于事件A 与A 是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A 与A 也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A 与A 必有一个发生．2．将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数．设U ＝“出现点数的全体”，A ＝“出现的点数是偶数”，B ＝“出现的点数是奇数”，则A ，U 是互斥事件吗？A ，B 是互斥事件吗？B ，U 是互斥事件吗？”提示：A ，U 不是互斥事件，A ，B 是互斥事件，B ，U 不是互斥事件．【例3】 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[思路探究] 先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决．[解] 法一：利用等可能事件求概率．(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为P 2＝5＋4＋212＝1112.法二：利用互斥事件求概率．记事件A 1＝{任取1球为红球}；A 2＝{任取1球为黑球}；A 3＝{任取1球为白球}；A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法三利用对立事件求概率的方法．(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.3．据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：(2)求至少2人排队等候的概率．[解] 记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥．(1)至多2人排队等候的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.1．互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立；对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.1．思考辨析(1)已知事件A 与事件B ，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． ( )(2)若三个事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( ) (3)事件A 与事件B 互斥，则事件A 与B 互为对立事件．( ) (4)事件A 与事件B 若满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( )[解析] (1)×，A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． (2)×，P (A )＋P (B )＋P (C )的值不确定． (3)×，A 与B 不一定对立．(4)×，例如a ，b ，c ，d 四个球，选中每个球的概率相同，事件A 为选中a ，b 两个球，则P (A )＝12；事件B 为选中b ，c 两个球，则P (B )＝12，则P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为________．0．05 [“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件， 所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与抽到“一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.] 3．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________． 1928[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.]4．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率(60分才及格)．[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.。

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高中数学第三章概率教案北师大版必修3错误!教学分析本节是对第三章知识和方法的归纳与总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章共有三部分内容，是相互独立的，随机事件的概率是基础,在此基础上学习了古典概型和几何概型，要注意它们的区别和联系，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有着广泛的应用．三维目标通过总结和归纳本章的知识,使学生进一步了解随机事件，了解概率的意义,掌握各种概率的计算公式，能够用所学知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，让概率更好地为人类服务．重点难点概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质,古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题．课时安排1课时错误!导入新课思路1。

同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同的教练带领下战斗力会有很大的不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防俱佳所向披靡,为什么呢？因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系．我们学习也是一样需要不断归纳整理、系统总结、升华提高,现在我们就概率这一章进行归纳复习，引出课题．思路2。

为了系统掌握本章的知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题．推进新课错误!错误!1．随机事件的概率包括几部分？2．古典概型包括几部分？3．几何概型包括几部分？4．本章涉及的主要数学思想是什么？5．画出本章的知识结构图．讨论结果：1．随机事件的概率随机事件是本章的主要研究对象，基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．(1)概率的概念在大量重复进行的同一试验中，事件A发生的频率错误!总是接近于某一常数，且在它的附近摆动,这个常数就是事件A的概率P(A),概率是从数量上反映一个事件．求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．(2）概率的意义与性质①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量,事件A的概率越大,其发生的可能性就越大;概率越小，事件A发生的可能性就越小．②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在[0,1］之间，从而任何事件的概率在［0,1］之间，即0≤P（A)≤1.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A)＋P(B）．（3）频率与概率的关系与区别频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率,频率本身也是随机的，两次同样的试验,会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．2．古典概型(1)古典概型的概念①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性)②每个基本事件出现的可能性相等．（等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability)，简称古典概型．(2)古典概型的概率计算公式为P（A）＝错误!.在使用古典概型的概率公式时，应该注意:①要判断该概率模型是不是古典概型;②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．要学会把一些实际问题化为古典概型，不要把重点放在“如何计数”上．3．几何概型(1)对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability），简称几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式：P(A）＝错误!.几何概型研究的是随机事件的结果有无限多个,且事件的发生只与区域的长度(面积或体积）成比例的概率问题．(4)随机数是在一定范围内随机产生的数,可以利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，估计概率,学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，从而更好地体会概率的意义．4．本章涉及的主要思想是化归与转化思想(1）古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题:一是所有基本事件的个数即总结果数n，二是事件A所包含的结果数m，最后化归为公式P（A)＝错误!.（2)几何概型中，要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度，最后化归为几何概型的概率公式求解．5．如图1。

高中数学第三章概率31随机事件的概率教案北师大版必修3(数学教案3.1随机事件的概率3.1.1频率和概率在本节中，教材分析1，三维目标1，知识和技能理解随机事件、不可避免事件和不可能事件的概念；正确理解事件A发生频率的意义，明确事件A发生频率fn(A)与事件A发生概率P(A)之间的区别和联系2，过程和方法发现法教学，通过在掷硬币和掷骰子实验中获得数据，总结测试结果，发现规律，在探索中真正学会，在探索中提高3，情感态度和价值观通过学生的动手、动脑和动手实验来理解知识和体验数学知识与现实世界的联系；培养学生辩证唯物主义，增强科学意识。

2。

关键教学事件的分类；概率的定义以及与频率的区别和联系；三、教学难点、随机事件发生的统计规律。

4、教学建议在现实世界中，随机现象是普遍存在的，而且随机现象中有定量的规律性，因此我们可以用数学方法来定量地研究随机现象；本课旨在引导学生从量的角度研究随机现象的规律性。

随机事件的概率广泛应用于现实生活中，如自动控制、通信技术、军事、气象、水文、地质、经济等领域。

通过对这一知识点的学习和应用，学生可以理解偶然性存在于必然性的辩证唯物主义思想，学习和体验数学的奇异美和应用美。

在日常生活中，一些问题可以通过在新课导入设计中引入场景并显示目标来准确回答。

例如，明天太阳会从东方升起吗？第一节课必须在明天早上八点吗？等等，所有这些事情都是不可避免的。

同时，许多问题很难准确回答。

例如，你明天什么时候来学校？明天12: 10有多少人会在学校食堂吃饭？你能赢得这张福利彩票吗？例如，这些问题的结果是偶然的和不确定的。

案例分析:为了研究这个问题，北京某学校高一五班的学生在XXXX做了如下实验:在相同条件下反复大量扔图钉，观察“指甲尖翘”发生频率的变化(1)每个人手向下握住图钉的钉尖和钉帽，让图钉从1.2的高度自由落下，钉尖向上指向米的高度图3-1 (2)重复:XXXX 3月11日发生9.0级地震。

2．3互斥事件●三维目标1．知识与技能使学生理解互斥事件和对立事件的概念；能利用公式解决简单的概率问题．2．过程与方法通过知识迁移，与集合中相关概念的对比；培养学生用对立统一思想分析问题并解决问题．3．情感、态度与价值观通过学生独立思考、分组讨论，培养学生自主学习的习惯、与人合作的团队精神．●重点难点重点：理解互斥事件和对立事件概念的区别和联系．难点：灵活运用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)和P(A)＝1－P(A)两个公式来解决问题．●教学建议以问题为主线，引导发现法，教师可以从学生生活掷骰子事件出发，逐步导出互斥事件，使学生既有兴趣又很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好理论基础．●教学流程创设情境，引入新课，以课本上的掷骰子为例探究各事件间的关系⇒总结出互斥和对立事件的概念并展现它们之间的区别与联系，给出概率加法公式⇒通过例1及变式训练，使学生明确，互斥和对立事件的关系掌握判断事件的方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握互斥事件概率的运算⇒通过对互斥事件和对立事件的理解完成例3及变式训练进一步体会概率加法公式⇒归纳总结，知识升华，使学生从整体上把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．1．事件D3与事件F能同时发生吗？【提示】不能．2．如果事件“C2发生或C4发生或C6发生”，就意味着哪个事件发生？【提示】意味着事件G发生．3．事件D2与事件H同时发生，意味着哪个事件发生？【提示】C5发生．1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验中不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．在知识1的问题导思中，事件G与事件H能同时发生吗？这两个事件有什么关系？【提示】事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.2．性质P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A).判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球．”【思路探究】根据对立事件和互斥事件的定义来判断．【自主解答】从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球，2只白球1只红球，3只白球．因此它与“取出3只红球”不能同时发生，它们是互斥事件，且它们中必有一个发生，所以又是对立事件．(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，若不能同时发生，则为互斥事件，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．2．判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要，它直接决定了求解是否正确．应注意互斥事件不能同时发生，对立事件除不能同时发生外，其和事件为必然事件，这些也可类比集合进行理解．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数为1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们是对立事件，(3)不是互斥事件，也不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112. 求(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．【思路探究】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．【自主解答】 法一 (1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34. (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112. 法二 (1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A ＋B 的对立事件为C ＋D ，故“取出1球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－(P (C )＋P (D ))＝1－(16＋112)＝34. (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112.1．解决本题的关键是明确取到不同颜色球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也有上述规律．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率．【解】分别记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中7环以下的概率．【思路探究】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．【自主解答】(1)记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B.由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.(2)记“射中7环以下”为事件E，E的对立事件为E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”．由“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥事件，故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.所以射中10环或7环的概率为0.49，射中7环以下的概率为0.03.1．必须分析清楚事件A，B是否互斥，只有互斥事件才可以用概率的加法公式．2．当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：(1)(2)至少1人排队等候的概率是多少？【解】记事件“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及以上”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．(1)至多2人排队等候的概率是：法一P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.法二P(A＋B＋C)＝1－P(D＋E＋F)＝0.56.(2)至少1人排队等候的概率是：法一 P (B ＋C ＋D ＋E ＋F )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.16＋0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.9.法二P (B ＋C ＋D ＋E ＋F )＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.对互斥事件概念理解有误抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ＋B )．【错解】 P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1.【错因分析】 误认为事件A 、B 是互斥事件，所以错误地得出P (A )＝12，P (B )＝12，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1. 【防范措施】 运用公式时，要明确公式所使用的范围，否则容易出错．【正解】 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1、A 2、A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．故P (A ＋B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23.1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式，如果事件不互斥，那么公式就不能使用！3．求复杂事件的概率通常有两种方法方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．1．事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.6，则P (B )等于( )A ．0.4B ．0.6C ．0.5D ．1【解析】 由对立事件的性质知P (A )＋P (B )＝1，∴P (B )＝1－0.6＝0.4.【答案】 A2．某产品分甲、乙、丙三级，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到甲级品的概率为( )A ．0.09B ．0.97C ．0.99D ．0.96【解析】 产品共分三个等级，出现乙级品和丙级品的概率分别为0.03和0.01，则出现甲级品的概率为1－0.03－0.01＝0.96.【答案】 D3．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【解析】 设“重量小于200克”为事件A ，“重量在[200,300]克之间”为事件B ，“重量超过300克”为事件C ，则P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.2－0.5＝0.3.故选B.【答案】 B4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．【解】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，“甲获胜”可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．于是，(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16，即甲获胜的概率是16. (2)法一 设事件A 为“甲不输”，它可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23.。

《互斥事件》互斥事件与对立事件是北师大版数学必修3第三章第2节的内容，新课标的要求是：理解互斥事件概念，掌握互斥事件和对立事件的区别和联系，为以后学习相互独立事件和次独立重复试验做好铺垫，因此这节课有着深化知识层面，拓展能力范围的作用，是本章的重要内容。

之 【知识与能力目标】理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。

【过程与方法目标】通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。

通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。

【情感与态度目标】通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。

◆ 教材分析◆教学目标【教学重点】：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。

【教学难点】：互斥事件与对立事件的区别与联系。

多媒体课件一、互斥事件1．互斥事件的定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件例如，在一个盒子里放有大小相同的10个小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.从盒中摸出1个小球得到的结果可能是红球，也可能是绿球或黄球，并且只能是其中一种情况.我们把“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A ，“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B ，“从盒中摸出1个小球，得到黄球”叫做事件C ，那么这里的事件A 、事件B 、事件C 中的任何两个是不可能同时发生的.事件A 与事件B 、事件B 与事件C 都是互斥事件.从集合的角度来看，事件A 与事件B 是互斥事件，则事件A 所包含的基本事件构成的集合与事件B 所包含的基本事件构成的集合的交集是空集.2．互斥事件有一个发生的概率设A 、B 为互斥事件，当事件A 、B 有一个发生时，我们把这个事件记作A+B ．事件A+B 发生的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和,即P （A+B ）=P （A ）+P （B ），此公式也称概率和公式.例如上例中“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A ，则P （A ）=0.7；“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B ，则P （B ）=0.2．若记“从盒中摸出1个小球，得到红球或绿球”为事件D ，则D=A+B ，此时P （D ）=P （A +P （B ）=0.7+0.2=0.9.3．一般地，如果事件A1，A2，…，An 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An 彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，则P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）◆ 教学重难点 ◆ ◆ 课前准备◆◆ 教学过程+…+P （A n ）.二、对立事件对立事件的定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A ．从集合的角度看，由事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.此时，事件A 和它对立事件的交集为空集，而并集为全集.若对立事件A 与必有一个发生，则A+是必然事件，从而P （A ）+P （）= P （A+）=1 .由此我们可以得到一个重要公式： P （）= 1- P （A ）.由此可知，当从正面求一个事件的概率比较困难时，可以通过求其对立事件的概率来求解.例如，一枚硬币连掷3次，则出现正面的概率是多少？此题若从正面分析则有以下三种情况：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面二次反面.虽然它们是互斥事件，可以利用互斥事件有一个发生的概率公式来求解，但解题比较复杂.如果考虑其反面利用对立事件的概率来求解，则简单得多.解：出现正面的对立事件是出现的三次都是反面，由于三次都是反面的概率为 ，则出现正面的概率为1- =.三、互斥事件和对立事件的区别与联系两个事件若对立则必然互斥，且必有一个事件发生.因此，两个事件是对立事件需满足两个条件：①互斥，②两个事件中必有一个发生.两个事件若是对立事件则一定是互斥事件，但若是互斥事件则不一定是对立事件.四、互斥事件有一个发生的概率的求解步骤（1）确定这些事件是互斥事件；（2）这些事件有一个发生；（3）分别求每一个事件的概率，再相加.前两条是使用互斥事件有一个发生的概率的概率和公式的前提条件，如果不符合这一点就不能用概率和公式.三、布置作业 A A A A AP143【练习1】，P147【练习2】◆教学反思略。