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模糊控制系统的设计方法随着科技的不断发展，人工智能技术在各个领域中得到了广泛应用。
模糊控制系统作为一种重要的控制方法，其设计方法也越来越受到关注。
本文将介绍模糊控制系统的设计方法，帮助读者更好地理解和应用该技术。
我们需要了解什么是模糊控制系统。
模糊控制系统是基于模糊逻辑的一种控制方法，它模拟人类的思维方式，通过模糊集合和模糊规则来实现对系统的控制。
相比传统的控制方法，模糊控制系统更能应对复杂、模糊的问题。
模糊控制系统的设计主要包括以下几个步骤：1. 系统建模在设计模糊控制系统之前，我们首先需要对控制对象进行建模。
建模的目的是将实际系统转化为数学模型，便于后续的分析和设计。
建模方法可以根据实际问题的特点选择，常见的有物理建模和数据建模两种方法。
2. 设定输入和输出变量在模糊控制系统中，输入和输出变量通常是模糊化的。
输入变量表示系统的输入条件，输出变量表示系统的输出结果。
通过设定输入和输出变量，可以明确控制系统的目标。
3. 设计模糊集合模糊集合是模糊控制系统的基础，它用来描述输入和输出变量的模糊状态。
模糊集合可以通过隶属函数进行描述，隶属函数表示变量在某个模糊集合中的隶属程度。
常见的隶属函数有三角隶属函数、梯形隶属函数等。
4. 构建模糊规则库模糊规则库是模糊控制系统的核心部分，它用来描述输入变量和输出变量之间的关系。
模糊规则库由若干个模糊规则组成，每个模糊规则包括一个条件部分和一个结论部分。
条件部分是输入变量的模糊集合，结论部分是输出变量的模糊集合。
5. 模糊推理模糊推理是模糊控制系统的关键步骤，它通过模糊规则库将模糊输入转化为模糊输出。
常见的推理方法有最大隶属度法、最小最大法等。
模糊推理的结果是模糊输出，需要进行模糊化处理。
6. 解模糊处理解模糊处理是将模糊输出转化为具体的控制信号。
解模糊处理可以通过模糊加权平均法、模糊中心法等方法进行。
解模糊处理的结果是具体的控制信号，用来驱动控制对象。
7. 性能评估和调整设计完成后，我们需要对模糊控制系统进行性能评估和调整。
3-4 已知某一加炉炉温控制系统，要求温度保持在600℃恒定。
目前此系统采用人工控制方式，并有以下控制经验（1） 若炉温低于600℃，则升压；低得越多升压越高。
（2） 若炉温高于600℃，则降压；高得越多降压越低。
（3） 若炉温等于600℃，则保持电压不变。
设模糊控制器为一维控制器，输入语言变量为误差，输出为控制电压。
两个变量的量化等级为七级、取五个语言值。
隶属度函数根据确定的原则任意确定。
试按常规模糊逻辑控制器的设计方法设计出模糊逻辑控制表。
模糊控制器选用的系统的实际温度T 与温度给定值T d 的误差d e T T =-作为输入语言变量，把控制加热装置的供电电压u 选作输出语言变量。
模糊输出量隶属度函数控制规则规则1、如果误差e 是NB ，则控制U 为NB; 规则2、如果误差e 是NS ，则控制U 为NS; 规则3、如果误差e 是ZE ，则控制U 为ZE; 规则4、如果误差e 是PS ，则控制U 为PS; 规则5、如果误差e 是PB ，则控制U 为PB; 由上可得 (3)0.4PS μ= 10.4U PS=(3)1PB μ= 21U PB=120.41U U U PSPB=+=+控制输出：00.4500.43515046.66670.40.41v ⨯+⨯+⨯==++误差(2)1PS μ= 11U PS=(2)0.3PS μ= 20.3U PB=120.31U U U PSPB=+=+精确化 控制输出：00.340140400.31v ⨯+⨯==+(1)0.1ZE μ= 10.1U ZE = (1)0.4PS μ= 20.4U PS=120.10.4U U U ZEPS=+=+控制输出：00.4350.4500.1350.125400.40.40.10.1v ⨯+⨯+⨯+⨯==+++(1)0.4N S μ-= 10.4U N S= 20.1U ZE=120.10.4U U U ZEN S=+=+00.4100.4250.1250.135200.40.40.10.1v ⨯+⨯+⨯+⨯==+++(2)0.3NB μ-= 10.3U N B= (2)1N S μ-= 21U N S=120.31U U U N BN S=+=+控制输出：00.320120200.31v ⨯+⨯==+(3)1N S μ-= 11U N B =(3)0.4NS μ-= 20.4U N S=120.41U U U N BN S=+=+：00.4250.41011013.33330.40.41v ⨯+⨯+⨯==++因此模糊逻辑控制表。
第六章模糊控制系统教学内容首先讲解用于控制的模糊集合和模糊逻辑的基本知识;然后讨论模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性;最后举例说明FLC的应用。
教学重点模糊控制的数学基础,模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性。
教学难点对定义的准确把握和理解,模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性。
教学方法通过对数学基础的牢固掌握,对模糊控制进行深入的理解,课堂教授为主。
教学要求掌握用于控制的模糊集合和模糊逻辑的基本知识;模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性6.1 模糊控制基础教学内容模糊集合、模糊逻辑定义及运算;模糊逻辑推理一般方法;模糊判决方法。
教学重点模糊集合、模糊逻辑定义及运算;模糊逻辑推理一般方法;模糊判决方法。
教学难点对抽象公式的理解、熟练运算;模糊逻辑推理一般方法。
教学方法课堂教授为主,课后作业巩固。
教学要求掌握模糊集合、模糊逻辑定义及运算;模糊逻辑推理一般方法;能够熟练使用模糊判决方法。
6.1.1 模糊集合、模糊逻辑及其运算设为某些对象的集合,称为论域,可以是连续的或离散的;表示的元素,记作={}。
定义6.1模糊集合(fuzzy sets)论域到[0,1]区间的任一映射,即: →[0,1],都确定的一个模糊子集;称为的隶属函数(membership function)或隶属度(grade of membership)。
也就是说,表示属于模糊子集F的程度或等级。
在论域中,可把模糊子集表示为元素与其隶属函数的序偶集合,记为:若U为连续,则模糊集F可记作:若U为离散,则模糊集F可记作:定义6.2模糊支集、交叉点及模糊单点如果模糊集是论域U中所有满足的元素u构成的集合,则称该集合为模糊集F的支集。
当u满足,则称此模糊集为模糊单点。
定义6.3模糊集的运算设A和B为论域U中的两个模糊集,其隶属函数分别为和,则对于所有,存在下列运算:(1) A与B的并(逻辑或)(2) A与B的交(逻辑与)(3) A的补(逻辑非)定义6.4直积(笛卡儿乘积,代数积) 若分别为论域中的模糊集合,则这些集合的直积是乘积空间中一个模糊集合,其隶属函数为:定义6.5模糊关系若U,V是两个非空模糊集合,则其直积U×V中的一个模糊子集R称为从U到V的模糊关系,可表示为:定义6.6复合关系若R和S分别为U×V和V×W中的模糊关系,则R和S的复合是一个从U到W的模糊关系,记为:定义6.7正态模糊集、凸模糊集和模糊数定义6.8语言变量定义6.9常规集合的许多运算特性对模糊集合也同样成立。
模糊控制的应用实例与分析本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March模糊控制的应用学院实验学院专业电子信息工程姓名指导教师日期 2011 年 9 月 20 日在自动控制中，包括经典理论和现代控制理论中有一个共同的特点，即控制器的综合设计都要建立在被控对象准确的数学模型(如微分方程等)的基础上，但是在实际工业生产中，很多系统的影响因素很多，十分复杂。
建立精确的数学模型特别困难，甚至是不可能的。
这种情况下，模糊控制的诞生就显得意义重大，模糊控制不用建立数学模型，根据实际系统的输入输出的结果数据，参考现场操作人员的运行经验，就可对系统进行实时控制。
模糊控制实际上是一种非线性控制，从属于智能控制的范畴。
现代控制系统中的的控制能方便地解决工业领域常见的非线性、时变、在滞后、强耦合、变结构、结束条件苛刻等复杂问题。
可编程控制器以其高可靠性、编程方便、耐恶劣环境、功能强大等特性很好地解决了工业控制领域普遍关心的可靠、安全、灵活、方便、经济等问题，这两者的结合，可在实际工程中广泛应用。
所谓模糊控制，其定义是是以模糊数学作为理论基础，以人的控制经验作为控制的知识模型，以模糊集合、模糊语言变量以及模糊逻辑推理作为控制算法的一种控制。
模糊控制具有以下突出特点：(1)模糊控制是一种基于规则的控制，它直接采用语言型控制规则，出发点是现场操作人员的控制经验或相关专家的知识，在设计中不需要建立被控对象的精确的数学模型，因而使得控制机理和策略易于接受与理解，设计简单，便于应用(2)由工业过程的定性认识出发，比较容易建立语言控制规则，因而模糊控制对那些数学模型难以获取，动态特性不易掌握或变化非常显著的对象非常适用。
(3)基于模型的控制算法及系统设计方法，由于出发点和性能指标的不同，容易导致较大差异；但一个系统语言控制规则却具有相对的独立性，利用这些控制规律间的模糊连接，容易找到折中的选择，使控制效果优于常规控制器。
模糊控制应用实例1. 引言模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，它能够处理不确定性和模糊性问题。
本文将介绍模糊控制的应用实例，包括模糊控制在机器人导航、温度控制和交通信号灯控制等方面的应用。
2. 模糊控制在机器人导航中的应用2.1 模糊控制器设计在机器人导航中，模糊控制可以用于控制机器人的运动路径。
首先，需要设计一个模糊控制器，该控制器包括输入和输出变量以及一组模糊规则。
输入变量可以是机器人与障碍物的距离、机器人当前的角度等。
输出变量通常是机器人的速度和转向角度。
2.2 模糊控制器实现在机器人导航中，可以使用传感器来获取机器人与障碍物的距离和机器人当前的角度。
这些信息可以作为输入变量输入到模糊控制器中。
模糊控制器根据一组模糊规则来计算机器人的速度和转向角度，然后将其作为输出变量输出给机器人的控制系统。
2.3 模糊控制器优势相比于传统的控制方法，模糊控制在机器人导航中具有一定的优势。
首先，模糊控制能够处理不确定性和模糊性问题，使得机器人能够更好地适应复杂的环境。
其次，模糊控制可以通过调整模糊规则和输入变量的权重来优化机器人的导航性能。
最后，模糊控制可以很容易地与其他控制方法结合使用，以实现更高级的导航功能。
3. 模糊控制在温度控制中的应用3.1 温度控制系统在温度控制中，模糊控制可以用于调节加热器或制冷器的功率，以维持目标温度。
温度控制系统通常包括一个温度传感器、一个控制器和一个执行器。
温度传感器用于测量当前的温度，控制器根据温度的变化来调整执行器的功率。
3.2 模糊控制器设计在温度控制中，需要设计一个模糊控制器来根据当前的温度误差和误差变化率来调整执行器的功率。
模糊控制器的输入变量可以是温度误差和误差变化率，输出变量可以是执行器的功率。
通过选择适当的模糊规则和调整输入变量的权重，可以实现温度的稳定控制。
3.3 模糊控制器实现在温度控制中，可以使用一个模糊控制器来计算执行器的功率。
模糊控制器根据一组模糊规则来决定执行器的功率大小，然后将其输出给执行器。
基于模糊控制的系统建模与设计模糊控制是一种基于模糊逻辑推理的控制方法，它能够处理各种复杂的非线性系统。
通过将模糊规则应用于系统控制中，可以实现对输入输出之间的模糊关系进行建模与设计。
本文将介绍基于模糊控制的系统建模与设计方法，并通过实例分析说明其应用场景与效果。
一、模糊控制理论概述模糊控制理论是由日本学者石田昌弘于上世纪60年代提出的，它是一种模拟人类思维方式的控制方法。
传统的控制方法通常基于精确的数学模型，在实际应用中可能会面临模型不准确或无法建立的问题。
而模糊控制则通过模糊规则的设计，将模糊的输入映射为模糊的输出，从而实现对复杂系统的控制。
二、模糊控制系统的建模过程1. 确定系统输入和输出：首先需要确定系统的输入和输出，即控制器接受的输入信号和输出信号。
系统的输入可以是一个或多个，输出也可以是一个或多个。
2. 建立输入与输出之间的模糊关系：通过模糊化方法将输入和输出变量转化为模糊集。
模糊化的过程通常采用隶属函数来描述变量的隶属度。
3. 设计模糊规则集：根据系统的特性和要求，设计一系列的模糊规则。
模糊规则由IF-THEN形式的条件语句组成，其中IF部分描述输入的状态，THEN部分描述输出的状态。
4. 模糊推理和模糊解模糊化：将输入信号通过模糊推理引擎进行推理，得出模糊输出。
然后通过解模糊化方法将模糊输出转化为实际的输出信号。
5. 性能评估和调整：根据系统的性能指标，对模糊控制器进行评估和调整，以获取更好的控制效果。
三、模糊控制系统设计实例为了更好地理解基于模糊控制的系统建模与设计，以下以智能温控系统为例进行实例分析。
智能温控系统是一种能够根据室内温度和设定温度自动调整空调开关状态的控制系统。
通过模糊控制方法可以实现对室内温度的精确调节，提高舒适度和能源利用效率。
首先，确定系统的输入和输出。
系统的输入为室内温度和设定温度，输出为空调开关的状态（开或关）。
然后，建立输入与输出之间的模糊关系。
假设室内温度的隶属度函数为高、低，设定温度的隶属度函数为冷、舒适、热，空调开关的状态的隶属度函数为开、关。
模糊控制学院：电气工程学院班级： 09级自动化3班*名：**学号：任课教师：**单倒置摆控制系统的状态空间设计一．设计题目1.介绍单倒置摆系统的原理图，如图1所示。
设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。
小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。
若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。
控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。
2.用途倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题,也因此成为自动控制实验中验证控制算法优劣的极好的实验装置。
单倒立摆的系统结构、数学模型以及系统的稳定性和可控性,对倒立摆进行了成功的控制,并在MATLAB 中获得了良好的仿真效果。
倒立摆控制理论将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、伺服控制领域、导弹拦截控制系统、航空器对接技术等方面具有广阔的开发利用前景。
3.意义倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统. 人们试图寻找同的控制方法以实现对倒立摆的控制,以便检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。
同时，由于摩擦力的存在，该系统具有一定的不确定性。
对这样一个复杂系统的研究在理论上将涉及系统控制中的许多关键问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以它为例进行研究。
二．被控对象的模型为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。
这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。
设小车瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为(z+lsinθ)。
在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u 平衡，则有u l z dtd m dt z d M =++)θsin (2222 即u θsin θml - θcos θ)(2=++•••••ml z m M (1)由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 m glsin θθcos )]θsin ([22=+l l z dtd m 即θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+•••••(2)式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。
控制系统中模糊控制器的设计与实现控制系统中采用的控制器可以分为许多种类，其中一种常用的控制器是模糊控制器。
模糊控制器是一种基于模糊逻辑理论的控制器，它可以处理模糊的输入和输出，适用于非线性和复杂的控制系统。
本文将介绍模糊控制器的设计和实现步骤。
一. 模糊控制器的基本原理模糊控制器的基本原理是模糊逻辑理论，它采用了一种模糊的方式来处理不确定性和模糊性的问题。
其基本思想是将系统输入或输出的模糊化，使输入和输出变成了隶属于某种模糊集合之内的量，并根据一定的模糊规则，将输入转化为输出。
模糊控制器的工作流程如下：首先将输入信号进行模糊化，将其转化为一组隶属度值。
然后根据预设的模糊规则，将输入转化为输出信号。
最后将输出信号进行去模糊化，得到具体的控制量，然后输出给被控对象。
二. 模糊控制器的设计步骤模糊控制器的设计步骤主要包括以下几个方面：1. 确定系统的模糊输入和输出模糊控制器的输入和输出通常表示为模糊变量，其基本形式是一个三元组(Name, Universe of discourse, Membership function)。
其中Name表示模糊变量的名称，Universe of discourse表示变量所描述的宇域，Membership function是变量的隶属度函数。
2. 确定模糊控制器的规则库模糊控制器的输入和输出之间建立的模糊规则来自于专家知识和经验。
将这些知识和经验编码成规则库，每个规则的形式为：“If X1 is A1 and X2 is A2 and…Xnis An, Then Y is B”。
其中X1，X2 …Xn 是输入模糊变量，A1，A2…An是它们的隶属程度，Y是输出模糊变量，B是它的隶属程度。
3. 确定模糊控制器的推理机制模糊控制器的推理机制是指如何从规则库中推导出具体的输出。
常用的推理机制有最小最大合成、中心平均合成等。
4. 确定模糊控制器的去模糊化方法模糊控制器的输出是一组隶属度值，需要将其转化为具体的控制量。
模糊控制的应用实例与分析模糊控制是一种针对模糊系统进行控制的方法，它通过运用模糊逻辑和模糊规则来进行控制决策。
模糊控制广泛应用于各个领域，以下是几个不同领域的模糊控制应用实例和相关分析。
1.模糊控制在温度控制系统中的应用：温度控制系统是模糊控制的一个常见应用领域。
传统的温度控制系统通常使用PID控制器，但是由于环境和外部因素的干扰，PID控制器往往不能很好地应对这些复杂情况。
而模糊控制可以通过建立模糊规则来实现对温度的精准控制。
例如，如果设定的温度为25度，模糊控制系统可以根据当前的温度和温度变化率等信息，通过判断当前温度是偏低、偏高还是处于目标温度范围内，然后根据这些模糊规则来决定是否增加或减少加热器的功率，从而实现温度的稳定控制。
2.模糊控制在交通信号灯控制中的应用：交通信号灯控制是一个动态复杂的系统，传统的定时控制往往不能适应不同时间段、不同拥堵程度下的交通流需求。
而模糊控制可以通过模糊规则来根据交通流的情况进行动态调整。
例如，交通信号灯的绿灯时间可以根据路口的车辆数量和流动情况进行自适应调整。
当车辆较多时，绿灯时间可以延长，以减少拥堵；当车辆较少时，绿灯时间可以缩短，以提高交通效率。
模糊控制可以将车辆数量和流动情况等模糊化，然后利用模糊规则来决策绿灯时间，从而实现交通信号灯的优化控制。
3.模糊控制在飞行器自动驾驶中的应用：飞行器自动驾驶是一个高度复杂的系统，传统的控制方法往往不能满足复杂的空中飞行任务。
模糊控制可以通过模糊规则来根据飞行器的状态和目标任务要求进行决策。
例如，飞行器的高度控制可以利用模糊控制来应对不同高度要求的任务。
通过将目标高度和当前高度模糊化处理，然后利用模糊规则来决策飞行器的升降舵和发动机功率等参数，从而实现对飞行器高度的精准控制。
综上所述，模糊控制作为一种针对模糊系统进行控制的方法，具有很大的应用潜力。
它可以通过建立模糊规则来解决传统控制方法难以解决的复杂问题。
虽然模糊控制存在一些问题，如规则的设计和调试等工作比较困难，但是随着计算机技术的发展和模糊控制理论的不断完善，模糊控制在各个领域中的应用将会越来越广泛。
模糊控制应用实例模糊控制是一种部分基于逻辑的控制方法，它通过将模糊集合理论应用于控制系统中的输入和输出来模拟人类决策的过程。
与传统的精确控制方法相比，模糊控制更适合于处理模糊的、不确定的和复杂的系统。
在现实世界中，模糊控制广泛应用于各个领域，例如工业自动化、交通控制、飞行器导航等。
在本文中，我将介绍几个模糊控制的应用实例，以帮助读者更好地了解其实际应用价值。
1. 交通信号灯控制系统交通信号灯控制是一个典型的实时决策问题，涉及到多个信号灯的切换以及车辆和行人的流量控制。
传统的定时控制方法往往无法适应实际交通状况的变化，而模糊控制可以根据不同时间段和交通流量的变化，动态地调整信号灯的切换时间和优先级，以实现交通拥堵的缓解和行车效率的提高。
2. 温度控制系统在许多工业生产过程中，温度的精确控制对产品质量和产量的影响非常重要。
模糊控制可以根据温度传感器采集到的实时数据，结合事先建立的模糊规则库，调整加热或制冷设备的输出，以实现温度的稳定和精确控制。
与传统的PID控制方法相比，模糊控制对于非线性和时变的系统具有更好的适应性和鲁棒性。
3. 汽车制动系统汽车制动系统是保证驾驶安全的重要组成部分，而制动力的控制是其关键。
模糊控制可以根据制动踏板的压力以及车辆的速度和加速度等信息，动态地调整制动力的输出，以实现舒适而有效的制动。
模糊控制还可以考虑路面的湿滑情况和车辆的负荷情况等因素，自适应地调整制动力的分配，提高制动系统的性能和安全性。
4. 智能家居系统智能家居系统通过感应器、执行器和控制器等组件，实现对家庭设备和环境的智能控制。
模糊控制可以根据家庭成员的习惯和偏好，结合各种传感器采集到的数据，自动地调节室内温度、湿度、光线等参数，提高居住舒适度并节约能源。
在夏天的炎热天气中，模糊控制可以根据室内外温度、湿度和人体感觉来控制空调的开关和风速，实现智能舒适的环境控制。
总结回顾：模糊控制在各个领域都有着广泛的应用。
它通过基于模糊集合理论的推理和决策方法，实现对复杂系统的智能控制。
模糊控制大作业一.基本模糊控制系统的matlab辅助设计、分析二.某温度恒定系统。
系统输入位控制加热电流的控制电压信号U。
输出为炉温T。
设e的论域为x，量化为7个等级x={-3,-2,-1,0,1,2,3}控制量U的论域为Y，量化为7个等级Y={-3,-2,-1,0,1,2,3}X、Y赋值表-3-2-10123 PB000000.61PS000010.500000.510.500NS00.510000NB10.600000控制规则：if E=NB then U=PBif E=NS then U=PSif E=0then U=0if E=PS then U=NSif E=PB then U=NB系统采用最大隶属度判决，试计算控制系统的模糊控制表。
解:R1：if E=NB then U=PBR2：if E=NS then U=PSR3：if E=0then U=0R4：if E=PS then U=NSR5：if E=PB then U=NBPB=(000000.61)PS=(000010.60)0=(000.610.600)NS=(00.610000)NB=(10.600000)首先,求每条规则所描述的模糊关系Ri，然后求总的模糊关系R，即R＝R1∨R2∨R3∨R4∨R5R1=NB×PB=NB T。
PB=000000.61 000000.60.6 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭同理R2=NS×PS=NS T。
PS=0000000 00000.60.60 000010.60 0000000 0000000 0000000 0000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭R3=0×0=0T。
0=0000000 0000000 000.60.60.600 000.610.600 000.60.60.600 0000000 0000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭R4=PS×NS=PS T。
