常微分方程习题2

1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。

由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。

（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。

解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。

2、求下列方程的解。

１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。

则令2X x =-，73Y y =-。

故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。

3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。

2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。

常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。

在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。

本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。

将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。

百度文库•让每个人平等地捉升口我习题1.21・—=2xy,并满足初始条件：x=0, y=l 的特解。

dx解：—=2xdx 两边积分有：ln|y|=x'+cy=e ' +e =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2, x=0 y=l 时c=l特解为尸e r \2. y' dx+(x+l)dy=O 并求满足初始条件：x=0, y=l 的特解。

dy 1 + y 2* — 了dx xy + x^ydy _ 1 + y 2 1 dx y x + A 3 dy= ------ r dx X + X'两边积分：x(l+x 2) (1+y 2 )=cx"4. (1+x)ydx+(l-y)xdy=O解：原方程为：—dy=-—dx y x两边积分：In | xy +x-y=c另外x=0, y=0也是原方程的解。

5・(y+x) dy+(x-y)dx=O解：原方程为：解：y - dx=-(x+l)dy卑 dy=J x + 1 dx 两边积分：-丄=-ln|x+l|+ln|c| y I尸 In 1 c(x + 1)1另外y=0> X-1也是原方程的解x=0, y=l 时 c=e 特解：y=In I c(x + \) I解：原方程为:dy x- ydx x + y八V … t dv du 小、亠令i =u 则——=u+x 代入有: x dx dx---- d u= — dx iC +1 xln(u~ +l)x~ =c-2arctgu即 ln(y ~+x~ )=c-2arctg 厶.6. x — -y+ -Jx 2 — y 1 =0解：原方程为：y^=- + —-Jl-(-)2 dx xxv xA y dv dii 贝U 令—=u — =u+ x — x dx dx,du=sgnx — dx VI-w 2 Xarcsin —=sgnx In I x I +c x7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：—=—fgy ctgx两边积分:In |siny =-ln |cosx I-In I c I1 c siny= ---------- = ------ 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.dx y解：原方程为：学二 dx y2 e ' -3e~ =c.9・ x (lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：——=—In — dx x xA v rjl dy du 令—=u ，贝11 — =u+ x —— x dx dxduu+ x — =ulnudxln(lnu-l)=-ln|cx|1+1 n = =cy・xdx解：原方程为：g二11 — =(x+y) 2dx“A十du解：令x+y=u,则〒=〒T dx dxdx------du=dx\ + ir arctgu=x+c arctg (x+y)=x+cdx (x+y)-“ 八dy du解：令x+y=u,则一=——1 dx dxu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.cly 2x - y +113.—= ---------- :——dx x-2y+ 1解：原方程为：(x-2y+l) dy=(2x-y+l)dx xdy+ydx-(2y-l)dy-(2x+l)dx=O dxy-d (y' -y) -dx +x=c乍•>xy-y - +y_x - _x二c—dy x-y+ 5dx x _ y _ 2解：原方程为：(x-y-2) dy= (x-y+5) dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=O1 . 1 .dxy-d (— y' +2y) -d( —x" +5x) =02 2y - +4y+x - +10x-2xy 二c・15：— =(x+l) 2+(4y+l)，+8xy + l dx解：原方程为：—=(x+4y) 2+3 dx八 e ■ 1 d" 1令x+4y=u 贝(J ——= -------dx 4 dx 41du 1 =------ =iT +34 dx 4—=4 U2+13dx3z、u= —t g(6x+c)T22t g(6x+c) = -(x+4y+l).16:证明方程丄学=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程: y dx1) y(l+x2 y2)dx=xdyX 心二2 + x：y： y dx2)2-x2y2证明:令xy=u,则x— +y= —dx dx…, dy 1 du u亠贝9于=—: ---- •有:dx x dx Q——=f (u) +1 u dx------ ! ------- d u= — dx«(/(«)+ 1) X所以原方程可化为变量分离方程。

习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。

解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。

8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。

河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．方程y”＋4y’＝x2－1的待定特解形式可设为[ ]．A．y＝x(ax2＋b)B．y＝x(ax2＋bx＋c)C．y＝ax2＋bx＋cD．y＝ax2＋b正确答案：B 涉及知识点：常微分方程2．微分方程x ln x．y”＝y’的通解是[ ]．A．y＝C1xln x＋C1B．y＝C1x(ln x—1)＋C2C．y＝xln xD．y＝C1x(ln x—1)＋2正确答案：B 涉及知识点：常微分方程3．函数y＝3e2x是微分方程y”－4y＝0的[ ]．A．通解B．特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：B 涉及知识点：常微分方程4．方程y”＋y＝cosx的待定特解形式可设为[ ]．A．y＝axcosxB．y＝acosxC．y＝a cosx＋b sin xD．y＝x(a cos x＋bsin x)正确答案：D 涉及知识点：常微分方程5．若某二阶常系数齐次微分方程的通解为y＝C1e－2x＋C2ex，则该微分方程为[ ]．A．y”＋y’＝0B．y”＋2y’＝0C．y”＋y’－2y＝0D．y”－y’－2y＝0正确答案：C 涉及知识点：常微分方程填空题6．已知二阶常系数齐次微分方程的通解为y＝C1ex＋C2e－x，则原方程为_______．正确答案：y”－y＝0 涉及知识点：常微分方程7．以y＝e3x，y＝xe2x为特解的二阶常系数齐次微分方程为_______．正确答案：y”－4y’＋4y＝0 涉及知识点：常微分方程8．已知微分方程y”＋y＝x的一个解为y1＝x,微分方程y”＋y＝ex的一个解为，则微分方程y”＋y＝x＋ex的通解为_______．正确答案：y＝C1cosx＋C2sinx＋＋x。

涉及知识点：常微分方程9．微分方程xy’－yln y＝0的通解为_______．正确答案：y＝eCx 涉及知识点：常微分方程10．微分方程y”＝2y’的通解为_______．正确答案：y＝C1＋C2e2x 涉及知识点：常微分方程11．微分方程y’＝e2x－y满足初始条件的特解为_______。

常微分方程 练习题二一、填空题1．方程y y xy ln d d =所有常数解是（ y=1 ）． 2．方程y x x y cos cos d d +=满足解的存在惟一性定理条件的区域是（ 全平面 ）．3．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（ n ）维线性空间．4．方组0y y ''+=的基本解组是（ y 1=cos x, y 2=sin x ）．5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上（ 恒等于零 ）． 6．方程d cos d x y y xe x+=的任一解的最大存在区间必定是 (,)-∞+∞ ． 7．方程sin cos dy x y dx =⋅满足解的存在惟一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．8．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．9．方程2sin dy x y dx=的所有常数解是 ,0,1,2,y k k π==±± ． 10．方程20y y y '''++=的基本解组是 y=ex - y=xe x - ．一、 单项选择题 1．方程t t x x xcos 2=++ 的任一解的最大存在区间都是（ B ）． （A ）),0(∞+ （B ）),(∞+-∞ （C ）)0,(-∞ （D ）)2,1(2. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ A ）条件．（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分3．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ C ）． （A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+4．方程03=+x x的任一非零解在),,(x x t 空间中（ A ）． （A ）不能与t 轴相交 （B ）可以与t 轴相交（C ）可以与t 轴横解相交 （D ）可以与t 轴相切5．用待定系数法求方程x y y sin 2=+''的非齐次特解1y 时，应将特解1y 设为（ D ）．（A ）x A y sin 1= （B ）x B x A y cos sin 1+=（C ）x B y cos 1= （D ）)cos sin (1x B x A x y +=6．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的( B )条件．（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分7． 方程0x x +=的任一非零解在tox 平面上（ A ）与t 轴横截相交．（A ）可以 （B ）不可以 （C ）只能在0t =处可以 （D ）只能在2t π=处可以8. 方程1y '=（ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ） 无9．方程y '=(0,0)解sin y x =，这个解的存在区间是（ C ）．（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[,]22ππ-（D ）(,)-∞+∞ 10．线性齐次微分方程组的解组12(),(),,()n Y x Y x Y x 在区间I 上线性相关的（ B ）条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式()0W x =．（A ）充分 （B ）充分必要 （C ）充分非必要 （D ）必要三、简答题1. 用分离变量法求解方程()()dy f x y dxϕ=的步骤和原理是什么？ 化成积分方程求解且二者等价1. 该方程在全平面上满足解的存在唯一及延展定理条件,因此该方程任一解可以延展到平面的无穷远处，为什么该方程的所有解不能都在(,)-∞+∞上存在,这与解的延展定理矛盾吗?为什么？不矛盾，因为平面的无穷远有任意的方向。

《常微分方程》试题一.填空题1．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是n 阶线性齐次方程的一个基本解组，x(t)为非齐性齐次方程方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为2．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的 基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ（t ）具有关系：3．若ϕ（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________4．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间.6. 向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0.7.若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是8.若)()(t t ψφ和都是'X =A(t)X 的基解矩阵，则 )()(t t ψφ和具有关系：二.单选题1.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。

（式中C C 12,为任意常数）（ ）（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin2.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )（A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ） b axe x +3.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )（A ）A x sin （B ）A x cos（C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+4.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（ ） （A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+（C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +25.微分方程012'''=++y y 的通解是（ ）（A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21；（C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 21sin cos 21-+=。

常微分方程期终考试试卷 (1)一、填空题( 30%)1、方程 M (x, y)dx N(x,y)dy 0有只含 x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含 y 的积分因子的充要条件是 ___________________________________ 。

２、 _______________ 称为黎卡提方程，它有积分因子 _____________ 。

３、 ____________________ 称为伯努利方程，它有积分因子 _______ 。

４、若 X 1(t), X 2(t),L ,X n (t) 为n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件 ５、形如 _____________________ 的方程称为欧拉方程。

６、若 (t)和 (t)都是 x' A(t)x 的基解矩阵，则 (t)和 (t)具有的关系是７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为 ______ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 ____________ 。

二、计算题(６０％) 1、 ydx (x y 3)dy 0２、 xx sint cos2t211A1 4 试求方程组 x(t), (0)３、若Ax 的解2 并求 expAt(d d y x )3 4xy dy 8y 2 0dyx y 2４、 dxdx５、求方程 dx 经过0，0)的第三次似解三、证明题(１０％)１、 n 阶齐线性方程一定存在 n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷 (2)、填空题 30%1、形如 _____________ 的方程，称为变量分离方程，这里 . f (x). (y)分别为 x.y 的连续函数。

2、形如 _______________ 的方程，称为伯努利方程，这里P(x).Q(x)为x的连续函数.n 0.1是常数。

引入变量变换，可化为线性方程。

3、 如 果 存 在 常 数 L 0,使得不等式________________________________________ 对 于 所 有(x,y 1),(x,y 2) R 都成立， L 称为利普希兹常数。

考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。