分数的意义和性质-讲义

分数的意义和性质一、分数的意义两个正整数p 、q 相除，可以用分数（fraction ）p q表示，即p ÷q=p q，其中p 为分子，q 为分母。

p q读作q 分之p 。

特别地，当q=1时，p q=p 。

二、分数的分类分子比分母小的分数叫做真分数（proper fraction ）。

分子大于或者等于分母的分数叫做假分数（improper fraction ）。

一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数（mixed numbers ）。

假分数转化成带分数：分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边的整数部分，余数作分子。

例如：将5221化为带分数，52÷21=2……10，则5221=10221。

假分数的分子除以分母之后，刚好除尽没有余数，那么这时假分数就转换成了整数。

例如：287=4，99=1。

带分数转化成假分数：分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子。

例如：10221=221⨯21+10=5221。

三、分数的基本性质一张涂色的纸，涂色部分占这张纸的34。

小明、小杰、小丽分别用这样的纸折成不同等分的图案，你能发现什么结论呢？在这些大小相同、不同等分的纸中，涂色部 分分别占纸的几分之几？这些分数有什么 关系？通过观察我们发现，这些分数的大小是相等的，即36912481216===。

由分数34的分子、分母分别同乘以2、3、4可得分数68、912、1216；由分数1216、912、68的分子、分母分别除以4、3、2都可得分数34。

由上可得：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等。

即a a k a nb b kb n⨯÷==⨯÷ (b ≠0,k ≠0,n ≠0)。

分子和分母互素的分数，叫做最简分数。

把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分（cancelling ）。

将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分。

分数的意义和性质综合本讲主要是将分数与除法运算进行对比，介绍分数的意义和其基本性质，要求在整数的运算基础上，将数的范畴进一步扩大。

另外，分数的性质对后面分数的运算及比例运算都有着非常重要的意义，它是我们学习比例性质的基础。

同时它是学生系统学习分数的开始，是学生对数的概念的一次重要的扩展，分数的概念比较重要，又比较抽象，这部分知识，是本单元的重要内容之一。

学生学好这部分内容，将会对以后学习真分数、假分数等概念以及学习分数基本性质、分数四则运算、分数应用题等内容奠定坚实的基础。

知识梳理1. 分数的意义1. 把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份或几份的数,叫分数.【注】(1) 必须是平分;(2) 单位“1”与自然数1的区别自然数的单位是1，任何自然数都是由1组成的。

在自然数中，1表示一个物体；单位“1”表示一个整体。

2. 正整数p 、q 相除,可以用分数q p 表示,即p ÷q =qp ,其中p 为分子,q 为分母. 知识梳理2. 分数基本性质1.分数的基本性质：()0,0a a k a k b k b b k b k⨯÷==≠≠⨯÷ 2.分子和分母互素的分数，叫做最简分数；3.把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分.利用分数的基本性质进行约分，将分数化为最简分数的方法：一般情况下，如果某个运算的结果是分数，那么这个分数要表达为最简分数形式，也就是说要使分数的分子、分母是互素关系，我们可以利用分数的基本性质，通过约分的手段达到这样的要求.要进行正确的约分，一般需要找出分子、分母的最大公因数.我们可以逐步约分，约去分子、分母的公因数，也可以利用小学学过的短除法先找到分子、分母的最大公因数，再进行一次性约分.4.关键字：“……是……的（几分之几）”“……占……的（几分之几）”5. 把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数(式)的过程，叫做通分。

知识梳理3.分数比较大小分数比比大小的方法（1）分母相同比分子，分子越大，分数值越大（2）分子相同比分母，分母越小，分数的值越大分子、分母都不同，化成同分母或同分子再比较。

五年级分数的意义和性质第四章 分数的意义和性质（一）分数的意义教学目标：1、使学生了解分数的产生，理解分数的意义，认识分数的分母、分子，认识分数单位的特点，能正确读、写分数，学会用直线上的点表示分数，正确解答求一个数是另一个数的几分之几。

2、培养学生抽象概括能力。

3、感受“知识来源于实践，又服务于实践”的观点。

教学重点：理解分数的意义。

教学难点：正确解答求一个数是另一个数的几分之几的问题。

教学内容：（一）分数意义1、我们可以把1个物体看作一个整体，也可以把许多物体看成一个整体。

将一个物体或是许多物体看成一个整体，通常我们把它叫做单位“1”.2、把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份或者几份的数，叫做分数。

★其中，表示一份的数叫做它的分数单位。

如： 74的分数单位是71 一定要平均分，分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。

如果只取1份，也就是它的分数单位。

如：全班有24名同学，其中男同学占全班的35。

这里把全班人数看作单位“1”。

35的5是分母，表示把单位“1”平均分的份数；3是分子，表示取的份数。

它的分数单位是15，有3个这样的分数单位。

35表示的意义是：把全班人数平均分成5份，男同学的人数占其中的3份。

例：某市今年修的公路总长是去年的1110，1110的意义是：（二）分数与除法(0)a a b b b ÷=≠分数线相当于除法中的除号。

例：把3米长的绳子平均分成4份，每份的长度是多少米？ 填一填1、把全班学生平均分成9个小组，其中4个小组占全班人数的（ ），这里的单位“1”表示的是（ ）。

2、在城市绿化中，草坪面积约占35。

35的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的单位。

3、一项工程计划8天完成，平均每天完成这项工程的（ ）（ ），3天完成这项工程的（ ）（ ）。

4、用分数表示下面各题的结果。

（1）用4米长的布料做5个桌帘，每个桌帘需布料（ ）米。

（2）一根绳子长6米，平均截成7段，每段长（ ）米。

分数的意义和性质有这样的( )份。

知识讲解（三）分数单位的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。

一个分数的分母越大，分数单位越小，分母越小，分数单位越大。

最大的分数单位是1/2.（如32的分数单位是31，32里面有2个31；85的分数单位是81，85里面有5个81）如：的分数单位____, 的分数单位是____，的分数单位是____。

过关精炼127读做( )，它的分数单位是( )，有( )个这样的单位。

5217读做( )，它的分数单位是( )，有( )个这样的单位。

731的分数单位是（ ），再减去（ ）个这样的分数单位，这个分数就变为0. 题海拾贝（四）分数与除法的关系：分数表示除法算式的商（被除数÷除数=除数被除数） 分数可以用整数除法的商表示：用除数(不能是0)作分母，被除数作分子。

即：被除数÷除数＝除数被除数。

用字母表示：a ÷b=ba(b ≠0) 如：3÷5＝53 因此53的意义是：把3平均分成5份，表示这样一份的数。

分数与除法的区别：除法是一种运算。

分数是一个数，也可以看作两个数相除（分把下面的带分数化成整数或带分数：1323＝28＝515＝49＝611＝40123＝7824＝3108＝ 4、把整数化成假分数——分母整数分母⨯ 把带分数化成假分数——分母分子整数分母+⨯过关精炼： 2＝(2⨯)=()2=3⨯=()3=(7⨯)=()7265=(6+⨯)=()64112=11+⨯=()11直接写出结果： 5＝()73＝()39＝()911＝()12653＝()()416＝()()1152＝()()979＝()()知识点三、分数的基本性质分数的基本性质——分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。

32 ＝ 8382⨯⨯ ＝ 2416＝ 64424416=÷÷ (同时乘上8) (同时除以4)例题1：从左到右观察第一个等式，想一下，这三个分数的分子、分母怎样变化才保证了分数的大小不变．分数的分子、分母都乘上同一个数，分数大小不变．例题2：从左到右观察第二个等式，这三个分数的分子、分母发生了怎样的变化，才保证了分数大小不变呢？分数的分子、分母都除以同一个数（不为0），分数大小不变． 过关精炼：52=⨯⨯52=()101814=÷÷1814=()9()24127=()2172=()991211=()85649=()11179=易错题判断：不同的分数，分数单位一定不同。

第四单元 分数的意义和性质1【知识点1：分数的意义】1、一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。

2、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

表示其中一份的数，叫做分数单位。

一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。

3、分母越大,分数单位越小，最大的分数单位是21 4、举例说明一个分数的意义：73表示把单位“1”平均分成7份，表示这样的3份；还表示把3平均分成7份，表示这样的1份。

73吨表示把1吨平均分成7份，表示这样的3份；还表示把3吨平均分成7份，表示这样的1份。

例1 用分数表示图中的阴影部分。

（ ） （ ） （ ） （ ） 例2 判断1、一堆苹果分成4份，每份占这堆苹果的41。

( ) 2、把5米长的绳子平均分成7段，每段占全长的75。

( ) 3、自然数1和单位“1”相同。

( )4、有一个质量为5千克的西瓜，把它平均切成8块，每块的质量是85。

( ) 5、甲看了一本书的41,乙看了一本书的41。

他们看的页数同样多。

( )6、把4片面包分给5个小朋友，每个小朋友分得54。

（ ） 7、小亮买书用去所带钱数61，小明买同一本书用去所带钱数的71。

小亮带的钱多。

（ ） 8、小明看一本书,第一天看全书的101，第二天看了剩下的101,第二天看的页数多。

( ) 例3 填空 1、83表示把单位“1”平均分成（ ）份，取其中的（ ）份。

2、把一块蛋糕平均分成4份，表示其中的3份就是（ ），这里的单位“1”表示的是（ ）。

3、在生活垃圾中，废纸约占35。

35的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的单位。

4、海洋约占地球总面积的71100，71100的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的单位。

5、1根木料长3米，平均截成7段，每段长（ ）（ ）米。

6、一项工程计划10天完成，平均每天完成这项工程的（ ）（ ），7天完成这项工程的（ ）（ ）。

2023-11-06contents •分数的意义•分数的性质•分数的运算•分数的应用•分数的历史与文化•分数的挑战与未来目录01分数的意义什么是分数分数是一种数学概念，表示整体的一部分或多个整体之间的关系。

分数由分子和分母组成，分子表示整体的一部分，分母表示整体的份数。

分数可以表示为一个小数和一个整数的组合，其中小数部分表示分子除以分母的结果。

分数可以用普通数字表示，例如1/2、2/3等。

分数也可以用分数线表示，例如1/2可以写作1-2。

分数还可以用百分数表示，例如50%表示1/2。

分数的表示方法分数的种类非既约分数分子和分母有公因数大于1的分数称为非既约分数。

既约分数分子和分母只有公因数1的分数称为既约分数。

带分数一个整数和一个真分数组成的分数称为带分数。

真分数分子小于分母的分数称为真分数。

假分数分子大于或等于分母的分数称为假分数。

02分数的性质分数的基本性质分数不等如果两个分数的分子与分母不相等，那么这两个分数不等。

分数的基本性质的意义分数的基本性质是数学中的一个基本原理，它可以帮助我们比较分数的大小，进行分数的计算，以及转化分数的形式等。

分数相等如果两个分数的分子与分母分别相等，那么这两个分数相等。

通分通分是将两个或多个分数的分母统一为一个相同的不带单位的数的一种方法。

约分约分是将一个分数化成最简分数的一种方法，也就是将分子和分母的最大公约数约掉。

通分和约分的概念通分的方法找到两个或多个分数的最小公倍数，将每个分数的分母都乘以这个最小公倍数，得到通分后的分数。

约分的方法找到分子和分母的最大公约数，将分子和分母都除以这个最大公约数，得到最简分数。

通分和约分的方法03分数的运算分数加减法的定义01分数加减法是分数的基本运算之一，其定义是将两个分数合并成一个新的分数的运算。

分数加减法的规则02在进行分数加减法时，需要将分子相加减，分母保持不变。

例子03例如，$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} =\frac{7}{6}$。

期中复习讲义（苏教版）2020-2021学年苏教版数学五年级下册期中章节复习精编讲义第四单元《分数的意义和性质》知识互联网知识导航知识点一：分数的意义1.一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数 1 来表示，通常我们把它叫做单位“1”。

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。

表示其中一份的数，叫做分数单位。

一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。

2.分母越大,分数单位越小，最大的分数单位是 1/2。

3.举例说明一个分数的意义：3/7 表示把单位“1”平均分成 7 份，表示这样的 3 份；还表示把 3 平均分成 7 份，表示这样的 1 份。

3/7 吨表示把 1 吨平均分成 7 份，表示这样的 3 份；还表示把 3 吨平均分成 7 份，表示这样的 1 份。

知识点二：分数与除法的关系：1.被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。

被除数÷除数= 被除数/除数如果用a 表示被除数，b 表示除数，可以写成a÷b=a/b(b≠0)2.4 米的 1/5 和 1 米的 4/5 同样长。

3.求一个数是(占)另一个数的几分之几，用除法列算式计算。

方法：是（占）前面的数除以后面的数写成分数。

男生人数是女生人数的 3/4，则女生人数是男生人数的 4/3。

知识点三：真分数、假分数和带分数1.分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。

2.真分数小于 1。

假分数大于或等于 1。

真分数总是小于假分数。

3.能化成整数的假分数，它们的分子都是分母的倍数。

反过来，分子是分母倍数的假分数，都能化成整数。

(用分子除以分母)4.分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数，通常叫做带分数。

带分数是假分数的另一种形式。

例如，4/3 就可以看作是 3/3(就是 1)和 1/3 合成的数，写作 1⅓，读作一又三分之一。

带分数都大于真分数，同时也都大于 1。

第4讲分数的意义和性质知识点一：分数的意义和性质1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表这样的一份或者几份的数，叫做分数。

表示其中的一份的数，叫做分数单位。

若干份是分母，其中的一份或者几份的数是子分。

小结：单位“1”与分数单位的区别单位“1”表示：一个物体、一些物体、一个计量单位或者一个整体。

分数单位表示：把单位“1”平均分成若干份，其中1份的数。

2、分数与除法的关系被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。

小结：知识点二：真分数假分数小结：真分数、假分数和带分数与1的关系真分数小于1；假分数大于1或者等于1；带分数大于1；知识点三：分数的基本性质分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫约分。

一般用分数的分子和分母同时除以它们的公因数（1除外），通常要除到得出最简分数为止。

知识点四：约分分解质因数的方法也用于约分，必须看准分子分母。

1、分子分母都是偶数除以2。

2、分子分母同时是0或5除以5.3、分子分母都是奇数或一奇一偶找3、7和11.4、除此之外看大数是否是小数的倍数。

5、当分子分母中小的数是质数时，一定要看大数是否是小数的倍数，如果是就要同时除以小的数。

知识点五：通分1、把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

用乘法。

（1）异分母化成同分母；（2）分数大小不变。

2、通分的一般方法：（1）求原来几个分母的最小公倍数。

（2）把各分数化成以这个最小公倍数作分母的分数。

知识点六：分数与小数互化1、分母是10，100，1000，……的分数化小数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个0，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。

2、分母不是10、100、1000……的分数化小数，可以用分子除以分母；除不尽的，可以根据需要按四舍五入法保留几位小数。

考点一：分数的意义和性质例1．（2020秋•土默特左旗校级期末）100克盐水中含盐10克，盐占盐水的（）A．B．C．D．1．（2020秋•肇源县期末）把一张纸对折3次后展开，每一小块占这张纸的（）A．B．C．2．（2020秋•兴仁市校级期末）一条公路，修路队一星期修完，那么3天修了这条路的（）A．B．C．D．3．（2020秋•广东期末）10米长的绳子，平均分成3份，每份占全长的（）A．B．C．D．考点二：真分数假分数例2．（2020春•桃江县期末）把下列假分数化成整数或带分数，把带分数化成假分数．＝．＝．＝．1．（2020春•阜平县期末）分数单位是的最小真分数是，最大真分数是，最小假分数是，最小带分数是．2．（2019秋•宝鸡期末）分母为4的最简真分数有和，它们的分数单位都是，分子是3的假分数有个．3．（2019秋•渭滨区期末）的分子与分母的最大公因数是，化成最简分数是．考点三：分数的基本性质例3．（2020春•桐梓县期末）的分子扩大3倍，要使分数大小不变，分母应加上16．（判断对错）1．（2020•隆回县）分数的分子和分母同时乘一个相同的数，分数的大小不变．．（判断对错）2．（2020春•田东县期末）约分和通分的依据都是分数的基本性质．（判断对错）3．（2019春•昌乐县期末）把的分子乘3，分母加6后，分数值不变．（判断对错）考点四：约分例4．（2020秋•深圳期末）圈出最简分数，并把其余的分数约分．1．（2020春•南海区期末）约分．＝＝＝2．（2019春•吴忠期中）写出每组数的最大公因数．12和6013和1424和423．（2018春•隆化县校级期中）用你喜欢的方法求出下列各组数的最大公因数．（1）15和20（2）24和18（3）13和19考点五：通分例5．（2020春•长白县期末）有两瓶质量相同的饮料，小红喝了其中一瓶的0.35千克，小琪喝了其中的五分之二千克，谁剩下的饮料多一些？1．（2020春•桃江县期末）一块菜地的种了辣椒，种了茄子，种了丝瓜，种了空心菜．哪些菜地的面积一样大？2．（2020春•陕州区期末）用收割机收割一块麦田．第一台收割机用1.4小时能完成，第二台收割机用小时能完成．哪一台收割得快一些？3．五2班同学的人参加了舞蹈小组，的人参加了书法小组，哪个小组的人数多？考点六：分数与小数互化例6．连一连。