平行四边形的判定(2)

平行四边形的判定（二）一、教学目标1、知识与技能目标（1）、掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定平行四边形。

（2）、通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力。

2、过程与方法目标通过平行四边形判定条件的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性学生的实践能力及创新意识。

3、情感态度与价值观目标培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值。

二、教学重点掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。

三、教学难点几何推理方法的应用，平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。

四、教学过程（一）复习、引入1、什么叫平行四边形？2、平行四边形有什么性质？3、学了哪些平行四边形的判定？教师提问，学生口答，之后出示表1，让学生进一步理清所学平行四边形的判定。

（二）问题牵引，导入新知【探究一】 取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？先有学生猜想，然后经过推理论证得出四边形ABCD 是平行四边形。

教师引导学生用不同的方法进行证明，以活跃学生的思维。

并让学生上讲台演示，得出本节的知识点。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 问题 平行四边形的判定方法共有几种？教师引导学生从边、角、对角线三个方面去总结，便于学生记忆这些判定定理。

出示例题已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明 四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单。

证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC∴ DE=BF∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） ∴ BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路。

鉴识平行四边形的基本方法怎样鉴识一个四边形是平行四边形呢 ?下面举例予以说明 .一、运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”判别例 1 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC 上,A D 且 AE =CF ,试说明四边形 DEBF 是平行四边形 .E解析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”进行鉴识 .为此 ,需连接 BD.解：连接 BD 交 AC 于点 O.OF B C图 1由于四边形 ABCD 是平行四边形 ,因此 AO =CO,BO=DO . 又 AE= CF,因此 AO -AE=CO -CF ,即 EO= FO .因此四边形 DEBF 是平行四边形 .二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”鉴识例 2 如图 2，是由九根完满同样的小木棒搭成的图形，请A F E你指出图中所有的平行四边形，并说明原由 .解析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则图中各四边形的B C D边长即可求得，故应试虑运用“两组对边分别相等的四边形是平图 2行四边形”进行鉴识 .解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则AF = BC=1, AB= FC=1,因此四边形 ABCF 是平行四边形 .同样可知四边形 FCDE 、四边形 ACDF 都是平行四四边形 .由于 AE=DB=2, AB=DE=1,因此四边形 ABDE 也是平行四边形.D C 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判F别E 例 3 如图 3，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两A B点，AE=CF,DF =BE,DF ∥BE，试说明四边形 ABCD 是平行四边图 3形.解析: 题目给出的条件都不能够直接鉴识四边形 ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ ADF ≌△CBE，由此即可获得鉴识平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件 .解：由于 DF∥BE，因此∠ AFD =∠CEB .由于 AE =CF,因此 AE+ EF= CF+ EF ，即 AF= CE .又 DF = BE, 因此△ ADF ≌△CBE，因此 AD=BC，∠DAF =∠BCE，因此 AD ∥BC .因此四边形 ABCD 是平行四边形 .1四、运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”鉴识 例 4 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，∠ DAB 、∠BCD 的均分线分别交 BC 、AD 边于点 E 、F ，则四边形 AECF 是平行 四边形吗？为什么？AF1 3D解析：由平行四边形的性质易得 AF ∥EC ，又题目中给出 的是有关角的条件，借助角的条件可获得平行线，故本题应试2B E C虑运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”进行鉴识 . 图 4解：四边形 AECF 是平行四边形 .原由：由于四边形 ABCD 是平行四边形，因此 AD ∥BC ， ∠DAB =∠BCD ，因此 AF ∥EC .又由于∠ 1= 1 2∠DAB ，∠2= 1 2∠BCD ，因此∠ 1=∠2.由于 AD ∥BC ，因此∠ 2=∠3， 因此∠ 1=∠3，因此 AE ∥CF. 因此四边形 AECF 是平行四边形 .判断平行四边形的五种方法平行四边形的判断方法有： （1）证两组对边分别平行； （2）证两组对边分别相等； （3）证一组对边平行且相等； （4）证对 角线互相均分； （5）证两组对角分别相等。

判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

一、 两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。

分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，A FB DC E 图1这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

平行四边形的定义性质与判定
1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．性质：
(1)平行四边形的对边平行且相等；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．两条平行线间的距离：
定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．
性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．
5．平行四边形的面积：
1.平行四边形的面积=底×高；
2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．。

平行四边形的定义、性质及判定
一
1.两组对边平行的四边形是平行四边形.
2.性质：
(1)平行四边形的对边相等且平行；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分.
3.判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.对称性：平行四边形是中心对称图形.
二
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分 .
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

三
1.平行四边形定义：在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。

2.平行四边形判定定理：两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

平行四边形9个判定平行四边形是初中数学中常见的图形之一，平行四边形的判定方法也是比较经典的问题。

本文将围绕“平行四边形9个判定”进行讲解。

一、平行四边形的定义平行四边形是有四边的四边形，其中相邻两边两两平行。

二、平行四边形的基本性质1. 对角线互相平分2. 对角线相交于中心点3. 相邻角互补，即相邻两角和为180度4. 对角线长度相等5. 对边平等6. 具有对称性三、平行四边形的判定平行四边形的判定方法有很多，根据实际条件选择不同的判定方法即可。

下面列举9种平行四边形的判定方法。

1. 对边平等：如果一个四边形的对边平等，那么它就是平行四边形。

2. 对角线互相平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么它就是平行四边形。

3. 对角线互相垂直：如果一个四边形的对角线互相垂直，那么它就是平行四边形。

4. 一组对边平行：如果一个四边形的一组对边平行，那么它就是平行四边形。

5. 同位角相等：如果两个平行线之间的同位角相等，那么它们所对应的四边形是平行四边形。

6. 利用夹角的性质：如果一个四边形的内部相邻两角是补角，则它是平行四边形。

7. 直角定理：如果一个四边形有两个相对的直角，则它是平行四边形。

8. 垂直平分线的性质：如果一个四边形有一个内部点与相邻两边垂直平分线相交，则它是平行四边形。

9. 等角平分线的性质：如果一个四边形有一个内部点与相邻两边等角平分线相交，则它是平行四边形。

四、总结平行四边形是初中数学中比较基础的图形，学好平行四边形的属性和判定方法，有利于以后的学习。

通过以上的九种判定方法，学生们可以灵活运用，来解决实际的问题。

建议同学们在学习过程中注重实际运用，并多做习题来加深理解，从而真正理解和掌握平行四边形的知识。

平行四边形的判定21.以下四个命题：(D两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边相等，一组邻角相等C.一组对边平行，一组邻角相等D.一组对边平行，一组对角相等3.不能判定四边形4¾笫为平行四边形的题设是()A.AB=CD,AB//CDB.AA=AC,/B=ZDC.AB=AD,BC=CDD.AB=CD,AD=BC4一四边形4¾力中，4。

交勿于点Q,如果只给条件’，那么还不能判定四边形4腼为平行四边形，给出以下四种说法：(1)如果再加上条件«BC=AU',那么四边形/1阅9一定是平行四边形；(2)如果再加上条件"ZBAD=ZBCD",那么四边,形4%力一定是平行四边形；(3)如果再加上条件"AO=OC',那么四边形月时一定是平行四边形；(4)如果再加上条件"ND班=Ne46",那么四边形力AR一定是平行四边形其中正确的说法有()个.D. 1 B.2 C.3 D.A5.如图，在平行四边形/发力中，点反尸分别在边8。

、上，请添加一个条件,使四边形力的是平行四边形(只填一个即可).6.如图，在四边形力中，对角线4G加交于点0,49〃%,请添加一个条件：,使四边形力犯9为平行四边形(不添加任何辅助线).7.：如图,□ABCD中,E、〃分别是边被09的中点.(1)求证：四边形能叨是平行四边形；⑵假设力〃刃生2,/住60°,求四边形砌力的周长.8.：如图，点£,尸是5阅9中科，如边上的点,且AE=CF,蛛结DE,BF.求证：DE=BF.1.以下命题中，真命题的个数有().①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.A.3个B.2个C.1个D.O个2.能判定四边形力版是平行四,边形的是( )A.AB//CD t AD=BCB./A=/B,/C=ZDC.AB=CD,AD=BCD.AB=AD,CB=CD3.在四边形4ra中，根据下面选项中N4N反NG 的度数比，可以判定四边形4¾力是平行四边形的是()A.1：2：3：4B.2：3：2：3C.2：2：3：3D.1：2：2：34.四边形/腼中，对角线力C、协相交于『点0,给出以下四个条件.：①AAC戾②AD=BC•,③曲=玄；®0B=OD.从中任选两个条件，能使四边形川?如为平行四边形的选法有( )A.1种B.2种C.3种D.4种5.四边形4¾力中，力，请补充一个条件,使得四边形/1腼是平行四边形.7.如图，在四边形力比9中M8=6Z?"C交加于点0,如果想使该四边形成为平行四边形，那么只需添加的条件是(添一个即可).8.如图，在平行四边形4¾券中,E、厂分别在力反刃边上，且丝=6F.(1)求证：4ADEq2CBF∙,(2)求证：四边形皮，泥、是平行四边形。

平行四边形的所有判定
平行四边形是一种特殊的四边形，它有着许多独特的性质和判定。

在本文中，我们将探讨平行四边形的所有判定。

1. 对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分。

这意味着，如果我们将平行四边形的两条对角线相交，那么它们将会互相平分。

这个性质可以用来证明平行四边形的对角线相等。

2. 对边平行
平行四边形的对边互相平行。

这意味着，如果我们连接平行四边形的相邻顶点，那么我们将得到两条平行线段。

这个性质可以用来证明平行四边形的对边相等。

3. 对边相等
平行四边形的对边相等。

这意味着，如果我们连接平行四边形的相邻顶点，那么我们将得到两条相等的线段。

这个性质可以用来证明平行四边形的对边平行。

4. 对角线互相垂直
平行四边形的对角线互相垂直。

这意味着，如果我们将平行四边形的两条对角线相交，那么它们将会互相垂直。

这个性质可以用来证
明平行四边形是矩形。

5. 对角线平方和等于四边形的两条对边平方和的和
平行四边形的对角线平方和等于四边形的两条对边平方和的和。

这意味着，如果我们知道平行四边形的两条对边的长度，那么我们可以通过求出对角线的平方和来计算出平行四边形的面积。

6. 对角线中点连线平行于底边
平行四边形的对角线中点连线平行于底边。

这意味着，如果我们将平行四边形的两条对角线的中点相连，那么这条线段将会平行于底边。

这个性质可以用来证明平行四边形是菱形。

平行四边形有着许多独特的性质和判定，这些性质和判定可以帮助我们更好地理解和解决与平行四边形相关的问题。

平行四边形的判定方法• 1.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

4.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

• 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

6.两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。

7.相邻两角分别互补的四边形是平行四边形。

•（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积：S=底×高。

平行四边形的面积•平行四边形面积：平行四边形面积=底×高，用字母表示：S=a×h。

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形称为平行四边形。

平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图平行四边形记为平行四边形ABCD。

平行四边形的性质：1、两组对边平行且相等；2、两组对角大小相等；3、相邻的两个角互补；4、对角线互相平分；5、对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；6、四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形的面积计算公式：1、（1）平行四边形的面积公式：底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*s inα2、平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b) 底×1X高平行四边形的主要类别：1、平行四边形属于平面图形。

§5、5 平行四边形的判定（2）教学目标设计：1、经历平行四边形判别条件的探索过程，掌握平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；2、会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形；并在与他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程；3、会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题，通过探索式证明法，开拓学生的思路，发展学生的思维能力；4、在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。

教学重点、难点：教学重点是平行四边形的判定定理；由于例2的证明步骤较多，且要综合运用平行四边形的判定定理和性质定理，是本节教学的难点。

教学策略及教法设计：活动策略：课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判定”的方法。

学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。

教法：A、讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。

B、练习法：精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平。

教学过程设计：一、首先复习性质和判定，从寻找相关的联系入手：如果在前一课的教学中，已经对平行四边形的判定定理3有一定的发现，那么本课就可以直接引入，或视学生的具体情况而定。

教师结合下图性质与判定的对比，一方面给学生以总结，巩固学生的旧知，也为本课的引入奠定基础：或可以采用情境引入：小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面的方法。

方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，（当然上述的方法也可以让学生进则四边形ABCD就是平行四边形。

行操作，让学生在在拼摆各种图形的过程中，积累数学活动经验，增强学生的创新意识，培养学生团结协作的精神，并满足他们的好胜心。