4.4 平行四边形的判定(2)

平行四边形的判定（二）一、教学目标1、知识与技能目标（1）、掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定平行四边形。

（2）、通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力。

2、过程与方法目标通过平行四边形判定条件的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性学生的实践能力及创新意识。

3、情感态度与价值观目标培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值。

二、教学重点掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法。

三、教学难点几何推理方法的应用，平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用。

四、教学过程（一）复习、引入1、什么叫平行四边形？2、平行四边形有什么性质？3、学了哪些平行四边形的判定？教师提问，学生口答，之后出示表1，让学生进一步理清所学平行四边形的判定。

（二）问题牵引，导入新知【探究一】 取两根等长的木条AB 、CD ，将它们平行放置，再用两根木条BC 、AD 加固，得到的四边形ABCD 是平行四边形吗？先有学生猜想，然后经过推理论证得出四边形ABCD 是平行四边形。

教师引导学生用不同的方法进行证明，以活跃学生的思维。

并让学生上讲台演示，得出本节的知识点。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 问题 平行四边形的判定方法共有几种？教师引导学生从边、角、对角线三个方面去总结，便于学生记忆这些判定定理。

出示例题已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明 四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单。

证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC∴ DE=BF∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） ∴ BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路。

一、学习目标1、理解并掌握平行四边形的判别方法。

2、理解并会运用平行四边形判别方法及几何符号语言，解决相关问题。

3、通过练习和讨论，进一步发展观察、比较、分析解决问题的能力。

4、凝聚小组智慧，展现小组风采，实现小组共同达标。

二、学习过程第一步：创景引入：老师提问：1、平行四边形定义是什么？如何表示？2、平行四边形性质是什么？如何概括？3、上节课学的平行四边形判定方法有哪些？演示图片：选择各种四边形图片展示。

提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？第二步：应用举例：例1（教材P105例3）已知：如图ABCD 的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC 上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．例2（补充）已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．如果学生仍不能够理解，教师可示范定理1，学生探讨定理2。

合作探究小组展示，展示的是思路和方法。

其它小组补充质疑、评价。

（三）巩固练习：先自主完成，再小组交流。

梳理小组问题，准备展示。

小组提出疑惑，其他小组帮助解决。

（四）总结梳理目的是让学生对照目标落实自己的学习情况，以便查漏补缺。

数学教案－平行四边形的判定（第二课时）一、教学目标1.认识平行四边形及其特点；2.能够判定给定的四边形是否为平行四边形；3.能够使用线段相等法、对角线互相平分法和同位角相等法判定平行四边形。

二、教学内容本节课程的主要内容是平行四边形的判定方法。

通过教学，学生将能够熟练掌握线段相等法、对角线互相平分法和同位角相等法判定平行四边形的方法。

三、教学重点1.掌握线段相等法判定平行四边形的方法；2.理解对角线互相平分法判定平行四边形的原理；3.熟练应用同位角相等法判定平行四边形。

四、教学准备1.讲台展示工具：白板、马克笔；2.学生课堂用具：铅笔、直尺、橡皮擦。

五、教学过程与方法1. 导入新知识（5分钟）老师通过提问和引导学生回顾上节课学习的内容，培养学生对平行四边形的初步认识和理解。

2. 线段相等法判定平行四边形（15分钟）a. 引导学生思考老师通过提问，引导学生回忆线段相等的概念，并与平行四边形的性质联系起来，思考如何通过线段相等判断给定的四边形是否为平行四边形。

b. 讲解和示范老师利用白板上的图形，讲解线段相等法的判定方法，并通过示例演示如何应用该方法判断给定四边形的特性。

c. 练习与讨论学生根据提供的练习题，利用线段相等法判定是否为平行四边形，然后与同桌进行讨论，互相纠正和完善答案。

3. 对角线互相平分法判定平行四边形（20分钟）a. 概念讲解老师引导学生回忆对角线、对角线互相平分的概念，并与平行四边形的特点进行对比。

b. 讲解与讨论老师通过讲解对角线互相平分法的判定方法，并与学生一起讨论和分析为什么对角线互相平分的四边形一定是平行四边形。

c. 练习与总结学生根据提供的例题，利用对角线互相平分法判断四边形的特性，并总结判定方法的步骤和要点。

4. 同位角相等法判定平行四边形（20分钟）a. 引导学生回忆老师通过提问，引导学生回忆同位角的概念，并与平行四边形的特点联系起来思考同位角相等法的判定方法。

b. 讲解与练习老师讲解同位角相等法判定平行四边形的步骤和方法，并让学生进行相关练习，巩固所学知识。

《平行四边形的判定（2）》评课稿
授课人
评课人
《平行四边形的判定（2）》评课稿
聆听了周老师的课。

下面就周老师执教的《平行四边形的判定（2）》这一课谈谈自己的看法。

周老师这堂课紧凑有序，首先创设以被誉为我国新四大发明之一的高铁的情景，引发学生思考工人如何确保两条铁轨是平行的。

周教师与学生合作探究一组对边如何特殊才能确保四边形是平行四边形，之后再用证明的方法验证猜想的正确性。

至此，平行四边形的几个判定已经讲完，学生对一个定义和四个判定的掌握还不是那么牢固，之后必须经过复习巩固才能保证做题顺畅。

在巩固练习环节，一道以梯形为问题背景的动点问题将平心四边形的判定推向升华，充分提升了学生综合分析问题的能力。

当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾：在遇到图形稍微复杂一些的题目时，学生就显得无从下手。

第2课时平行四边形的判定(二)1．下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是(C) A．一组对角相等B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相平分D．一组邻角和为180°2．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是(D) A．AD∥BC且AD＝BCB．OA＝OC，OB＝ODC．AD＝BC，AB＝CDD．AD∥BC，AB＝CD【解析】A可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定；B可由对角线互相平分的四边形是平行四边形判定；C可由两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定．故选D.3．在给定条件下，能画出平行四边形的是(A) A．以20 cm，36 cm为对角线，22 cm为一条边B．以6 cm，10 cm为对角线，2 cm为一条边C．以60 cm为一条对角线，20 cm，34 cm为两条邻边D．以6 cm为一条对角线，3 cm，10 cm为两条邻边【解析】A，B是看对角线的一半与一边能否组成一个三角形；C，D是看两边与对角线能不能组成三角形．4．[2013·泸州]如图4－4－12，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(D)图4－4－12A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BC【解析】A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故不符合题意；B、由“AB＝DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，故不符合题意；C、由“AO＝CO，BO＝DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故不符合题意．D、由“AB∥DC，AD＝BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故符合题意．5．[2012·广东]已知：如图4－4－13所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO＝DO.求证：四边形ABCD是平行四边形．图4－4－13证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.又∵BO＝DO，∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．6．如图4－4－14所示，在▱ABCD中，E是AB的中点，延长DE，CB相交于点F.求证：四边形AFBD是平行四边形．图4－4－14证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠FBE.∵AE＝BE，∠AED＝∠BEF，∴△ADE≌△BFE，∴AD＝BF.∵AD∥BF，∴四边形AFBD是平行四边形．7．如图4－4－15所示，已知点M，N是▱ABCD的对角线AC上的两点，且AN ＝CM，求证：四边形BMDN是平行四边形．图4－4－15证明：连结BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AN＝CM，∴OA－AN＝OC－CM，即ON＝OM，∴四边形BMDN是平行四边形．8．如图4－4－16所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．图4－4－16证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，∴△FDO≌△EBO，∴OF＝OE.∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．9．如图4－4－17所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.图4－4－17证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE.同理可得：OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GF∥HE.10．[2013·牡丹江]如图4－4－18，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD 相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，若DE＝BF，图4－4－18则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是(B) A．4 B．3C ．2D ．1【解析】 ∵DE ＝BF ，∴DF ＝BE . 在Rt △DCF 和Rt △BAE 中， ⎩⎨⎧CD ＝AB ，DF ＝BE ，∴Rt △DCF ≌Rt △BAE (HL )， ∴FC ＝EA ，故①正确；∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴AE ∥FC . ∵FC ＝EA ，∴四边形CF AE 是平行四边形， ∴EO ＝FO ，故②正确； ∵Rt △DCF ≌Rt △BAE ， ∴∠CDF ＝∠ABE ，∴CD ∥AB . ∵CD ＝AB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故③正确； 由以上可得出：△CDF ≌△ABE ， △CDO ≌△ABO ，△CDE ≌△ABF ， △CFO ≌△AEO ，△CEO ≌△AFO ， △ADF ≌△CBE 等，故④图中共有四对全等三角形错误． 故正确的结论有3个．11．[2013·镇江]如图4－4－19，AB ∥CD ，AB ＝CD ，点E ，F 在BC 上，且BE ＝CF .图4－4－19(1)求证：△ABE ≌△DCF ；(2)试证明：以A ，F ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形．第11题答图证明：(1)∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C .∵在△ABE 与△DCF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△DCF (SAS )． (2)如图，连结AF ，DE . 由(1)知，△ABE ≌△DCF ， ∴AE ＝DF ，∠AEB ＝∠DFC ， ∴∠AEF ＝∠DFE ， ∴AE ∥DF ，∴以A ，F ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形．12．已知：如图4－4－20，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，给出下列5个条件：①AB ∥DC ；②OA ＝OC ；③AB ＝DC ；④∠BAD ＝∠DCB ；⑤AD ∥BC . (1)从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有(用序号表示)：如①与⑤、________(直接在横线上再写出两种)； (2)对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明．图4－4－20解：(1)①与②、①与③；(2)③与⑤不能推出四边形ABCD是平行四边形，反例：如图所示．第12题答图。

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢？下面举例予以说明•一、运用两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上, 且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析：由于已知条件与对角线有关，故考虑运用两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别•为此，需连接BD.解：连接BD交AC于点0.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO,BO=DO.又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即卩EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形"进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF = BC=1,AB=FC=1, 所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF = BE,DF // BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析：题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得厶ADF CBE , 由此就可得到判别平行四边形所需的一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF // BE，所以/ AFD=Z CEB.因为AE = CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF =BE, 所以△ ADF ◎△ CBE，所以AD=BC，Z DAF=Z BCE，所以AD // BC.所以四边形ABCD是平行四边形.E C四、运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4 如图4，在平行四边形ABCD中，/ DAB、/ BCD 的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF // EC,又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别•图4 解：四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD // BC, /DAB= / BCD,1 1所以AF // EC.又因为/ 1= / DAB,/ 2= / BCD ,2 2所以/ 1= / 2•因为AD // BC,所以/ 2= / 3, 所以/仁/ 3,所以AE/ CF.所以四边形AECF是平行四边形•判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

平行四边形的判定方法（2）一、证明方法：方法一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(证明略)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

方法三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

方法四、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

方法五、两组对角相等的四边形是平行四边形。

二、五种方法归纳：1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、对角线互相平分5、两组对角相等三、练习：1．在四边形ABCD中，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ cm，CD=___ cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若∠A=50°，那么当∠B=_ _，∠C=__ ，∠D=__ 时，四边形ABCD为平行四边形；（3）若AC、BD相交于点O，AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ cm，DO=__ _cm 时，四边形ABCD为平行四边形。

2、已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：BE=CF Array3、．如图：在ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AE∥CF。

求证：四边形AECF是平行四边形。

4、已知：如图，ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点。

求证：DFBE是平行四边形。

5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF。

求证：四边形BFDE是平行四边形.（至少用3种方法证明）6、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．7、如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．课后作业：1. 平行四边形的对边且，对角，邻角,对角线。

2、两组对边分别或的四边形是平行四边形。

3．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．对角线互相平分C．一组对边相等D．对角线互相垂直4、能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（）A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行5、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC6、一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°C.88°，92°，92°D.88°，92°，88°7、四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°8、如图，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断是否正确。

平行四边形的判定
平行四边形的判定主要从定义入手：即两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

但是如果将平行四边形的角、对角线、边中的三要素中任选两者进行组合，则会呈现很多不同的命题，那么这些命题是否能判定一个平行四边形是平行四边形呢？对于真命题，我们需要证明，对于假命题，只需要举一个反例即可。

角、边、对角线之间的条件组合
命题1:一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.（假命题）
命题2:一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.（真命题）
命题3:一组对边平行且一组对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（真命题）
命题4:一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.（假命题）
命题5:一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（假命题）
命题6:一组对角相等且过这组对角顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.（假命题）
命题7:一组对角相等且过这组对角顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.（真命题）
从以上的探究中我们可以发现，平行四边形的判定有以下3个方向:(1)从定义出发，定义可以作图形的判定；(2)从性质定理的逆命题出发，寻找判定定理；(3)从边、角和对角线中任意选取2个条件，构造命题，判断命题真假进而得到判定。

在面对具体问题时，通过画图和
证明(举反例)两者相结合的方式去判断。

总结：第5、6题利用了角平分线的性质定理进行辅助线的添加。

分别是往角两边做垂线以及利用三线合一定理补齐成一个等腰三角形。

总结：分类讨论，合理设元，依据勾股定理求解对角线长度。