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结构力学课件11位移法(1)

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结构力学(I)结构静力分析篇(位移法)@@

结构力学(I)结构静力分析篇(位移法)@@
l
EI
正对称
q q q
h
反对称
q
哈工大 土木工程学院

29 / 65
q
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
哈工大 土木工程学院

30 / 65
q
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
A 2EI
l
B
EI c
l
C
原始结构
C
A
Z1
B c
基本结构 基本体系
k R 0 1Z 11 1 C
哈工大 土木工程学院
基本方程

33 / 65
4i
Z1 1
3i
8i
k 11
3i
8i
12 i l 12 i l
M1
1 2 i l
k i 1111
R 1C
3i l
c
3i l
MC
9i R1C c l
哈工大 土木工程学院
15 / 65

3i
Z1 1
k 11
4i
3i
1 Z1 FPl 56i
2i
1 FPl 8 1 FPl 8
M1
4i k i 117
R1P
1 FPl 8
M Z M M 1 1 P
3 FPl 56 8 FPl 56 9 FPl 56
FP
MP
1 R 1P F Pl 8
哈工大 土木工程学院

21 / 65
Z1 1

结构力学_11超静定结构-位移法

结构力学_11超静定结构-位移法

§11.3 位移法的基本未知量和基本体系
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形 （2）变形后的曲杆长度与其弦等长。





C
C
D
D
A
B
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的
基本方法 （手算）
机算
力法
位移法
矩阵 力法
力矩分配法
矩阵 位移法
力法几次9超次静定?
位移法几1次次超静定?
§11.1
P C θA
θA
位移法的基本概念
B
A
附加
刚臂 C
P B
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
A 用下附加刚臂上
产生附加力矩
C θA
B
θA
施加力偶使结点产 生的角位移，以实
A 现结点位移状态的
一致性。
D
2
C
F22
A
D
A
D
Fk1111
2i B
1 =1
i
A
C
kF2211
Fk122
B
i
D
A
建立基本方程
F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a)
k111 + k122 +F1P =0………..(1) k211 + k222 +F2P =0………..(2)

[工学]位移法

[工学]位移法

[ e ] B
(b)
b M F Q B A
单元刚度方程——单元杆端力和杆 端位移的关系式。
推导单元刚度方程思 路及方法：
方法1
已知梁的两端固定支座发生位移A、 B、，求杆端力FQAB、MAB、FQBA、 MBA。推导是求超静定梁在支座移动 时的支座反力（杆端力）的过程，直 接由力法计算。
方法 2
已知简支梁两端作用有集中外力偶 MAB、MBA，同时B支座有支座位移， 用单位荷载法求位移A、B，然后将 杆端力FQAB、MAB、FQBA、 MBA表示成 位移的函数形式。推导是对静定梁在 荷载和支座移动下，求梁两端转角位 移的过程。
按方法2建立单元刚度方程
M A B A M B A B B `
FQAB FQBA
6 EI 6 EI 12 EI 2 A 2 B 3 L L L
(9-2-1a)
4）当考虑典型单元上同时也作用荷 载时的单元刚度方程
M A B A
A E IL
(a)
[e]
B B `

F Q A B

F M B A
F M A B
B
(b)
4 EI 2 EI 6 EI F M AB A B 2 M AB L L L 2 EI 4 EI 6 EI F M BA A B 2 M BA L L L
EI0=
L
EI
EI
(a)
L
z1 EI0=
z1
EI
EI
(b)
解 1)确定位移法基本未知量
6i 2) M AB M BA z1 L 2 6i qL M CD z1 L 12 2 6i qL M DC z1 L 12

位移法(结构力学).

位移法(结构力学).
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； • 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； • 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零。
k12=－1.5i Δ2 i/16 k21 =15 乘 M2
0.75i
k2
1.5i
F1 k11 1 k12 2 F1P 0 F2 k21 1 k22 2 F2 P 0
k22 F 21 2P
3 i 0 16
0 6i 0
3i 6i ql 1. 56 i 4 24
2i 4i 4i
M图
1
4i
i
2i
M 2图
3i
2i
（3）计算系数项
EI 设 i l
k11 4i 4i 8i k21 2i
k22 4i 3i i 8i k12 2i
(4)计算自由项
ql2 F1P 2 3ql 2 3ql 2 3ql 2 F2 P 8 16 16
1 2i 4i M
QBA
MBA<0
M AB 4i,
i=EI/l
M BA 2i
Δ
MBA
由单位杆端位移引起的形常数
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B B
MBA
QAB= QBA
θ=1
4i 1
6i l
2i
6i l
6i
l
12i
l2
A
θ=1

结构力学位移法

结构力学位移法
× Δ2
Δ2=1
k22
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
n个结点位移的位移法典型方程 k11D1 k12D2 k1nDn F1P 0 k21D1 k22D2 k2nDn F2P 0
kn1D1 kn2D2 knnDn FnP 0
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
4）画M、MP;由平衡求系 数和自由项；
15
B
F1P 9
MP
F1P=15－9=6
4i
Δ1=1
C
5）解方程，求基本未知量； A
D1
F1P k11
6 7i
2i
4i
B
k11 3i
M1
3i k11=4i+3i=7i
6）按 M=∑Mi·Δi+MP16.72
11.57 9
叠加最后弯矩图
30
C
7）校核平衡条件
A
时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约
束1、位2中移产法生方的程约的束力含矩义和：约基束本力；体系在结点位
移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。
F1P F2P
k11
Δ1 Δ1=1
k21
× Δ1
k12
m 41.7k3Ni .m
CB
2i
A 3i B 4i
C
M1 E 1.5i
F
4m 2m
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A 4iI B
5iI
i
i
30I.75 i

第11章 位移法

第11章 位移法
Kii ：基本结构在结点位移Δi=1单独作用下，附加约束i处产生的约束力 Kij （i≠j） ：基本结构在结点位移Δj=1单独作用下，附加约束i处产生的约束力
Kij=Kji？ 反力互等定理
FiP ：基本结构在荷载单独作用下，附加约束i处产生的约束力
结构力学——第11章 位移法 11
11.1、位移法
A A
A A A
θ=1 B
B
1
4i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ=1
B
B 1
3i
3i
l
3i
i
l
0
l2
16
θ=1
B
－i
0
结构力学——第11章 位移法
11.2、等截面直杆的形常数和载常数
3、载常数
固端力与杆件所受荷载的形式有关，故称为载常数。
固端力：三类基本构件只受荷载作用时所得到的杆端力
i
6m 2kN/m
C
2）按照静力条件，列出位移法方程；
k111 F1P 0
15
A 3）求位移法方程中的各项系数； （画 M1 、MP图，求对应的约束力） P220-221表11.1、2 4）解方程，求位移；
C
MP
F1P 9 F1P=15－9=6 k11
4i Δ1=1 3i
F1P 6 1 k11 7i
F1P=40-41.7= -1.7kNm 41.7 F2P=41.7kNm
40 F2P
A B F1P 41.7 B E
D
C
结构力学——第11章 位移法
2m
21
A 4I C B i 5I i i=EI/l=EI 3I 0.75 i 0.5i 2）按照静力条件，列出位移法方程； 3I E k111 k12 2 F1P 0

结构力学 位移法

S in
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
D
B
E
C
A
注意：
(1)铰处的转角不作基本未知量。
Δ
(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。
(3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行，
q4l02kN2.m0•42 84q1l 2.7kN82.m0•5
12 12
2
MBA
m 41.7kN.m CB
44mm
EE
300I..7755M图(kN.M300)I..55
1.7
55mm 4.9FF
MCB MCD
MCF 44mm
MBC M 4•0.75 3 =3.4
BE
B
B
M 3 40 =43.5 MBE
FP
B FQBA FQBC
MBC
M B 0M B A M B C 0
11iB
9i qL2 L 12
0
……①
Y 0
FQBA FQBC FP 0 ……②
求FQBA MAB A
q
FQAB
求FQBC
MBC B FQBC
MA 0
B
MBA
FQBA
M AB
M BC L
qL 2
FQBA
12i L
3 2 1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
刚架结构，有两个刚结点D、E，
故有两个角位移，结点线位移由铰
结体系来判断，W=3×4－2×6=0，
A
B

结构力学——位移法


15
75 105 180
45 180
135 45
165
135
M(kN m)
第四节 用位移法求解某些特殊问题
４支座变位问题
Z1
Z2
i3
i1
i2
如左图刚架体系所示，发生支座变位
1 ，2 ， ，求该体系在支座变位
情况下所产生的弯矩图
Z3
在 Z1 1 作用下所产生的弯矩图
1
2i3
3i1 4i3
2
M1
1 L
１、两端固支
M AB
4iA
2iB
6i
AB L
M
f A
6i
AB L
M
f BA
q B
EI
B AB
M BA
Q BA
QAB
MAB
MBA L
QfAB
6iA L
6iB L
12
i L2
AB
QfAB
QBA
MAB
MBA L
QfBA
6iA L
6iB L
12
i L2
AB
QfBA
结构力学
第三章 位移法
一、等直杆的转角位移方程 二、按基本结构建立典型方程 三、按节点和截面平衡条件建立位移法方程 四、用位移法求解某些特殊问题
第一节 等直杆的转角位移方程
P
一．等直杆的转角位移方程
A MAB
已知AB杆，杆端位移为
A
A B AB
下面根据杆端约束情况来确定等
QAB
直杆的转角位移方程
qL
L 2
MEB 0
M BE
Q BE
qL
QBE qL

结构力学课件位移法典型方程

第六章 位移法
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径： 典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的 叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面 的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义： 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中 产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约 束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI

结构力学-位移法-PPT(1)


五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
基本体系 4EI 3EI 7EI r11 l l l
Mp图
r11 Z1 R1 p
R1 P
ql 2 8
0
Z1
R1 p r11
ql2 8
7 EI
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
M AB
3
EI l
A
3
EI l2
Δ
M
f AB
M BA 0
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QAfB
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QBfA
令：i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”，则：
M AB
3i A
R1 r11Z1 r12 Z 2 R1P R2 r21Z1 r22 Z 2 R2P
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB
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A
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
l
B
MBA
对结点或支座以逆时针为正。
MAB
A
（1）由杆端弯矩M A和 BM B引 A 起 A和 的 B
B
MBA
MBA
利用单位荷载法可求得
A E1I12MABl32MBAl13
MAB
1
El I13MAB16MBA
设 EI i
l
A31iMAB61iMBA
24.11.2020
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
MAB3iA 3li
Q A BQ 因B A B 6 li0 A ,Q A 6 liB B Q B 1 l2 i A 2 0 (2 )
3i l
3i l2
0
11
二、由荷载求固端反力
mAB
Q AB Q AB
q
EI l q
EI l
mABq82l
Q BA
mBA
Q BA
mBA
ql 2 8
Q AB
5 8
ql
Q BA
3 ql 8
Q AB
3 8
ql
Q BA
5 ql 8
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角
位移方程）：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
Q . A BQ B A 6 li A 6 li B 1 l2 i 2 7 (2 )
用力法求解单跨超静定梁
11X112X21CA 21X122X22CB
11E 1I2l 3 23E l I22 12E 12 Il1 36E l I21
EAi li
sin 2 i
P
基本 未知
ui sini
几何条件
量
Ni sini P
平衡条件
24.11.2020
El.iAi sin2i P
P
EAi li
sin2
4
i
位移法基本作法小结:
（1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的实质含义是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件
（变形协调条件）
位移法的特点： 基本未知量—— 独立结点位移
基本体系——一组？单跨超静定梁
基本方程—— 平衡条件
24.11.2020
.
13
二、基本未知量的选取
1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
MAB
4iA
2iB
6i l
mAB
MBA
2iA
4iB
6i l
mBA
24.11.2020
Q AB 6 li A6 l.i B 1 l2 i2 Q AB
12
§11-3 位移法的基本体系
一、超静定结构计算的总原则:
欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
12i l 2
1
4
2
3
24.11.2020
.
9
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
24.11.2020
l
MBA
MAB4iA MBA2iA
1
同理可得
.
B61iMAB31i6MBA
MAB
A
MAB
A
EI
l
BHale Waihona Puke BMBA MBAA31iMAB61iMBA
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
24.11.2020
第十一章
位移法
24.11.2020
.
1
§11-1 位移法的基本概念
P
A θA
C
θA
荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N；
位移效应：θA
B
附加
P
刚臂 A
C
A θA
C
θA
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
B 用下附加刚臂上
产生附加力矩
24.11.2020
.
施加力偶使结点产
生的角位移，以实
B 现结点位移状态的
体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;
（4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。
关于刚架的结点未知量
A
P C
A
q
B
A
M AB
P A
A
M AB A
C
B
24.11.2020
.
5
§11-2 等截面杆件的刚度方程
一、由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定
MAB
EI
①杆端转角θA、θB ，弦转角 β＝Δ/l都以顺时针为正。
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上 的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
24.11.2020
.
3
i
1 2 34 5
B B
P
B
A i
Ai ,li B
ui
B
ui sini
i B
B
Ni
选择
物N理i 条E件lAi i ui
变形条件
Ni EliAi sini
Ni
EAi li
sin i
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
.
M A B iA M B A 10iA
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
24.11.2020
.
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l 12 i
l2
1C
l
2C
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
24.11.2020 令
i EI l
Δ
θA
X1
θB
X2
Δ
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
4i
A
2i B
6i l
.
X2
2i A
4i B
6i l
8
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
一致性。
2
P A θA
C
实现位移状态可 分两步完成：
θA
1）在可动结点上附加约束，
限制其位移，在荷载作用下，
附加约束上产生附加约束力；
B 2）在附加约束上施加外力，
使结构发生与原结构一致的结
分析：
点位移。
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；
（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
2
C
D
1
C
D
A
B
24.11.2020
.
14
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几 何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的 几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。