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《数学建模》上机作业信科05-3韩亚0511010305实验1 线性规划模型一、实验名称：线性规划模型—设备的最优配备问题。
二、实验目的：掌握线性规划模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB 库函数求解。
三、实验题目：某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
四、实验要求：1、若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型。
2、利用相应的数值方法求解此问题的数学模型。
3、谈一谈你对这类线性规划问题的理解。
4、举一个简单的二维线性规划问题，并针对此问题将你所了解的线性规划的求解方法作出总结。
5、用软件lindo 或lingo 求解上述问题。
（选做题）6、编写单纯形算法的MATLAB 程序。
（选做题） 五、实验内容：解：设第i 个月进货xi 件，销售yi 件，则下半年总收益为销售收入减去进货费和仓库储存费之和，所以目标函数为：1211109871211109711109871211109875.232427252628252528262729)2345(5.0)2345)300(6(5.07x x x x x x y y y y y y y y y y y x x x x x x z y ------+++++++++++++++++-=整理后得：90024255.28275.2831255.25295.27295.31121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z由于仓库的容量为1500件，每个月的库存量大于0，小于1500，所以有如下约束条件150030001500300015003000150030001500300015003000111210119108978710119108978791089787897877877≤-+-+-+-+-++≤≤-+-+-+-++≤≤-+-+-++≤≤-+-++≤≤-++≤≤+≤y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x又有年底库存量不少于300则：300300121112101191089787≥--+-+-+-+-++y y x y x y x y x y x x化为抽象的线性规划模型为：90024255.28275.2831255.25295.27295.31max 121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z ，;12,,8,7;0,0120030012003001200300120030012003001200300121112101191089787111210119108978710119108978791089787897877877 =≥≥--+-+-+-+-+≤-+-+-+-+-+≤-≤-+-+-+-+≤-≤-+-+-+≤-≤-+-+≤-≤-+≤-≤≤-i y x y y x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y x y x x y x x x STi i线性规划目标函数的系数:f = [31; 28.5; 27; 28.5;25;24;-31.5;-29;-27.5;-29;-25.5;-25]; 约束方程的系数及右端项： A=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 1,1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0 1,1,1,0,0,0,-1,-1,0,0,0,0 1,1,1,1,0,0,-1,-1,-1,0,0,0 1,1,1,1,1,0,-1,-1,-1,-1,0,0 1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,0 -1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 -1,-1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0 -1,-1,-1,0,0,0,1,1,0,0,0,0 -1,-1,-1,-1,0,0,1,1,1,0,0,0 -1,-1,-1,-1,-1,0,1,1,1,1,0,0 -1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,0 -1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1];b=[1200;1200;1200;1200;1200;1200; 300; 300; 300; 300; 300; 300;0]; lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);实验2 非线性规划模型一、实验名称：非线性规划模型。
数学建模论文--生产与存贮问题的优化模型摘要本文针对生产与存贮问题，建立了一种优化模型。
通过分析生产与存贮过程中的各种因素，包括供应链、库存管理、生产调度、成本控制等，建立了相应的数学模型，并使用线性规划方法对模型进行求解。
本文的模型可以为企业在生产与存贮过程中提供有效的参考，帮助企业实现成本最小化和效益最大化。
关键词：生产与存贮；优化模型；供应链；库存管理；生产调度；成本控制AbstractThis paper establishes an optimization model for production and storage problems. By analyzing various factors in the process of production and storage, including supply chain, inventory management, production scheduling, cost control, etc., corresponding mathematical models are established, and linear programming method is used to solve the model. The model of this paper can provide effective reference for enterprises in the process of production and storage, helping enterprises to achieve cost minimization and benefit maximization.Keywords: production and storage; optimization model; supply chain; inventory management; production scheduling; cost control 1. 引言生产与存贮是企业的核心业务之一，对企业的发展和运营至关重要。
两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。
采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。
模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。
针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。
通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。
类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。
讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。
最后指出了模型的优缺点。
0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1 某商场销售的某种商品。
市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。
请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。
问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。
数学建模在商业分析中有哪些应用案例数学建模在商业分析中的应用案例在当今竞争激烈的商业世界中，数据驱动的决策已成为企业取得成功的关键。
数学建模作为一种强大的工具，能够帮助企业从海量的数据中提取有价值的信息，预测市场趋势，优化运营流程，从而制定更加明智的商业策略。
以下将为您介绍一些数学建模在商业分析中的应用案例。
一、库存管理对于任何企业来说，库存管理都是至关重要的。
过多的库存会占用大量资金，增加仓储成本；而库存不足则可能导致缺货，影响客户满意度和销售业绩。
数学建模可以帮助企业确定最佳的库存水平。
例如，一家电子零售商通过建立数学模型来预测不同产品的需求。
该模型考虑了历史销售数据、季节性因素、市场趋势、促销活动等多个变量。
通过模型的分析，企业能够准确地预测每种产品在未来一段时间内的需求量，从而合理安排采购和库存，既避免了库存积压，又降低了缺货的风险。
此外，数学建模还可以用于确定再订货点。
当库存水平降至再订货点时，企业及时下达采购订单，以确保库存的持续供应。
通过精确计算再订货点，企业能够减少订货次数，降低订货成本，同时提高库存的周转率。
二、市场细分与客户关系管理数学建模在市场细分和客户关系管理方面也发挥着重要作用。
企业可以利用聚类分析等数学方法，将客户根据其购买行为、消费偏好、地理位置等因素进行细分。
例如，一家银行通过建立数学模型，将客户分为不同的群体，如高价值客户、潜在流失客户、新客户等。
针对不同的客户群体，银行可以制定个性化的营销策略和服务方案。
对于高价值客户，提供专属的理财顾问和优惠政策；对于潜在流失客户，及时采取挽留措施，如提供个性化的服务和优惠；对于新客户，设计有吸引力的开户奖励和入门产品。
通过数学建模进行客户细分和精准营销，企业能够提高客户满意度和忠诚度，增加客户的生命周期价值，从而提升市场竞争力。
三、定价策略合理的定价策略对于企业的盈利能力有着直接的影响。
数学建模可以帮助企业确定最优的产品价格。
数学中的数学建模与优化问题数学建模和优化是数学领域中的两个重要概念，它们在解决实际问题中起着关键作用。
本文将探讨数学建模和优化的定义、原理及其在实际中的应用。
一、数学建模数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并通过建立数学模型来描述和分析问题。
数学建模的核心是找到问题的本质，抽象出关键因素，并建立合适的数学模型。
通过建模，我们可以利用数学工具和方法来解决问题，预测未来的趋势，制定决策。
在数学建模中，常用的数学工具包括微积分、线性代数、统计学等。
数学建模的过程通常包括问题分析、模型假设、模型建立、模型求解和模型验证等步骤。
通过这些步骤，我们可以得到符合实际情况的数学模型，并进行预测和优化。
二、数学优化数学优化是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的一组变量取值。
数学优化在解决实际问题中，通常涉及到决策、资源分配、路径规划等方面。
通过优化，我们可以在有限资源下找到最优解，提高效率和经济性。
数学优化的常用方法包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
这些方法通过数学理论和算法，求解最优解或次优解。
在实际应用中，我们可以通过优化来改进生产制造、物流配送、交通规划等领域，提高整体效益。
三、数学建模与优化的应用数学建模和优化在各个领域都有广泛的应用。
以下是数学建模和优化在几个领域的具体应用示例：1. 交通规划：通过数学建模和优化，可以确定最短路径、优化交通信号配时、减少拥堵等，提高城市交通效率。
2. 生产制造：通过数学建模和优化，可以优化工厂生产线布局、减少生产成本、提高生产效率，增加企业竞争力。
3. 资源分配：通过数学建模和优化，可以优化资源的分配，合理规划资源的使用，提高资源利用率和经济效益。
4. 环境保护：通过数学建模和优化，可以优化污染治理方案，减少环境污染，保护生态环境。
5. 金融投资：通过数学建模和优化，可以帮助投资者制定投资组合、分散风险、最大化收益。
通过数学建模和优化，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高决策的科学性和准确性。
库存管理优化建模步骤详解将应用问题转化为数学模型是一个涉及多个步骤的过程，它要求将实际问题中的复杂情况抽象化、量化，并用数学结构来表示。
以下是详细的步骤说明：1. 彻底理解问题首先，需要深入理解和分析问题的背景、目标、约束条件以及涉及的所有关键要素。
确保对问题有全面而准确的认识。
2. 定义变量和参数●变量：在问题中，可能会有一些未知数或可变的量，这些需要用数学符号（如x,y,z等）来表示。
变量通常代表我们想要找到或优化的量。
●参数：参数是问题中给定的已知数或条件，它们可能影响变量的取值，但在建模过程中被视为常量。
3. 建立假设由于现实问题的复杂性，通常需要对问题做出一些合理的假设，以便能够用数学方式来表示。
这些假设应该基于问题的本质和目的，并且应该尽量保持简洁和明确。
4. 选择合适的数学工具根据问题的性质，选择合适的数学工具来表示问题。
这可能包括：●方程：用于描述变量之间的关系。
●不等式：用于表示变量的约束条件。
●函数：用于描述一个变量如何随其他变量变化。
●优化模型：如果目标是找到最优解，则可能需要建立优化模型（如线性规划、非线性规划、整数规划等）。
●概率模型：如果问题涉及随机性，可能需要使用概率论和统计学的方法。
●动态系统模型：如果问题涉及时间变化或系统动态行为，可能需要使用差分方程、微分方程等。
5. 构建数学模型基于以上步骤，使用数学语言构建模型。
这通常涉及将问题中的信息转化为数学表达式、方程、不等式或函数等。
模型应该能够准确地反映问题的核心要素和变量之间的关系。
6. 验证和调整模型●验证：检查模型是否准确地反映了问题的实际情况。
这可以通过比较模型预测结果与实际情况、进行敏感性分析等方式进行。
●调整：如果发现模型存在问题（如预测不准确、不满足约束条件等），需要及时调整模型的假设、参数或结构，直到模型满足要求。
7. 求解模型使用数学方法（如解析法、数值法、仿真法等）对模型进行求解。
这取决于模型的复杂性和求解目标。
数学建模题目：生产与存贮问题姓名：班级：学号：联系方式：2010-5-26 摘要：关键字：生产与存贮，线性规划一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。
因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。
本模型特点是未知量较多，但有限制条件，要求目标耗费符合线性关系，所以采用转化为线性规划问题借助计算机软件matlab来解决。
主要结果：半年内每月生产计划如下：第一个月15第二个月0第三个月8第四个月0第五个月0第六个月 4半年内每月库存量如下：第一个月9第二个月 4第三个月9第四个月7第五个月0第六个月0总耗费为408。
正文：1.问题分析此题是生产与存贮问题，最终目的是安排合理的生产计划来达到总的费用最小。
所以要搞清总费用：=总费用+总的存贮耗费总的生产耗费2.模型假设（1）.存贮耗费跟生产耗费都用 工时 衡量。
（2）.每月存贮的产品在下个月保持满足每月需求的情况下必须用完。
（3）.每月库存量包括月初库存（即上月的剩余量）和月末库存（本月剩余量）。
3.符号说明第i 个月月初的库存量Hi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月月末的库存量hi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月的生产量xi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月的需求量ki （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月生产单位产品耗费工时pi （i=1，2，3，4，5，6） 第i 个月总生产耗费Pi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月存贮耗费 Si （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月总耗费 Mi （i=1，2，3，4，5，6）总耗费 M库存单位产品每月耗费工时 T4.模型建立与求解首先把握整体，总费用：∑===61i i Mi M …………………… ①再细分到考虑单个月份的：Si Pi Mi += …………………… ②每月的生产耗费：pixi Pi ⨯= …………………… ③ 每月的存贮耗费： T hi Si ⨯= …………………… ④将③和④代入②，得：T hi pi xi i ⨯+⨯=M …………………… ⑤hi 即每月月末的库存量，第六个月为0：{6i 054321i xi hi hi =⋯⋯==⋯⋯-+==hi ki Hi ，，，，Hi 是每月月初的库存量，第一个月为2：{1i 265432i 1Hi =⋯⋯==⋯⋯=-=Hi Hi h i ，，，，所以，每月的hi 如下： 第一个月x1+2-8 第二个月x2+ x1+2-8 -5 第三个月x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 第四个月x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 第五个月 x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7第六个月 x6+ x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7 -4又由于 h6=0，得：x6+x5+x4+x3+x2+x1=27 (I)还有90≤≤hi 和h6=x6+H6-4=0所以：0 ≤ x1+2-8 ≤ 90 ≤ x2+ x1+2-8 -5 ≤ 90 ≤x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 ≤ 9 0 ≤x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 ≤ 9 0 ≤x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7 ≤ 9 x6+ H6 - 4 =0解得：6≤x1 ≤ 150≤x2 ≤ 140≤x3 ≤ 120≤x4 ≤ 110≤x5 ≤ 110≤x6 ≤ 4将上述hi带入⑤，得每月的总耗费：第一个月11·x1 + x1+2-8第二个月18·x2 + x2+ x1+2-8 -5第三个月13·x3 + x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3第四个月17·x4 + x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2第五个月20·x5 + x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7第六个月10·x6 + 0再将上面数据代入到①中，得：(42017)2)(⨯⨯+=7010654(181)115+)3)13(23(TxxT-M⨯TxxTxTTx⨯+⨯⨯++⨯⨯+++⨯+⨯⨯+到此把问题转化为了一个线性规划问题，如下：目标函数：⨯(421720))+⨯=706510(31()5(11184133(2))⨯+xxT-M⨯TxxTxTTx⨯T+⨯+⨯++⨯⨯+⨯++⨯+约束条件：6≤x1 ≤ 150≤x2 ≤ 140≤x3 ≤ 120≤x4 ≤ 110≤x5 ≤ 110≤x6 ≤ 4等式关系：x6+x5+x4+x3+x2+x1=27只要求出使M最小时的xi值即可，代入题目中各数据，暂取T=1，用matlab解得：半年内每月生产计划如下：第一个月15第二个月0第三个月8第四个月0第五个月0第六个月 4半年内每月库存量如下：第一个月9第二个月 4第三个月9第四个月7第五个月0第六个月0M=408注：Matlab程序请看附录5.结果分析与检验检验：xi分别取6，5，5，6，1，4等级组数据时，M都大于408。
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
生产与存贮问题的探讨摘 要在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。
本文根据题中的条件针对如何在成本费与库存费之和最优的情况下，使总工时最小的问题，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。
我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值,并且使他们所花的工时也最少。
我们根据实际生活中生产的部件的性质可以将生产模式分成两种情况：允许有缺货的情况和不允许有缺货的情况。
在模型一中,我们假设这种部件是不允许缺货的，于是目标函数为：∑∑==+++=6161)(7.03.0min k k k k k k c h p akx g在模型二中,我们假设这种部件是可以缺货的，但是我们要求上个月所缺的部件必须要在本月补回来。
如果中间某个月或者是某几个月出现缺货的现象,就会因为有损失费,面对这样的情况时,如果损失费比生产费少的话,对于这种方案公司还是可以考虑,根据这种情况我们可以得到目标函数为：∑∑==++++=6161)(7.03.0min k k k k k k k q p h c akx g我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S ，若生产量为X ，则成本费为S/X 元，设反比系数S 为840。
我们利用Lingo 软件求解，在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时，一到六月的逐月分配方案为：7 4 5 4 3 4；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时，一到六月的逐月分配方案为：6 3 4 3 3 8，每月的缺货量为：0 2 1 0 4 0。
存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。
在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。
模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。
本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。
首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。
这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。
其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。
根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。
此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。
总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。
关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。
现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。
产品库存优化模型数学建模
（一）Weibull函数的引入
Weibull首先开发了三参数模型，并且将其应用到实际中，建模了的失效数据,从此weibull模型成为了失效建模和可靠性领域中使用的最广泛的模型, 之后，Harter和Moore给出Weibull模型有关货物的变质、物品的销售寿命、零件的寿命特征和电子元件的失效等方面的具体应用。
因此,本文研究中将认为易
（二）模型建立
库存水平是研究的基础，首先我们通过建立微分方程来描述库存系统的库存水平，由于缺货和不缺货的库存水平不同，因此下文我们将分别研究，又因为不
定 理 1 当0()()(0)k
j k
j
I d F e
t L β
αγψψ--≤
=⎡⎤+-⎣⎦
时,系统将不会发生缺货。
证明:若系统不缺货,即要求当k j t t L =+时，库存水平大于()0k k
j j I t L +≥。
将k
j t t L =+代人(3)式，()()0()0
()()0k k j j k
t L t L k k x j j
j I I t L d e
dx e
e β
β
βαγαγαγ+-+----⎡⎤+=-+≥⎢⎥⎣
⎦
⎰ 并化简即可得到定理1。
由定理可得知,当j d F ≤时,系统将不会发生缺货；当j d F >时,系统发生缺货。
以后我们将把情况分为缺货与不缺货分别进行讨论。
但因为库存水平0k I 未知,下面将给出定理2求解0k I 。
定 理 2
定理2证明:
思路：由于0k I Q r =-+上一周期末的库存水平为了简化模型，我们将库存水平到达再订购点r 的时刻作为0时刻,重新建立坐标系。
现在我们将't 视为当前时刻,''()k I t 表示需求率为k d 时,'t 时的库存水平；下面我们用微分方程来描述上一周期提前期内的库存水平变化趋势：
''''''()
()(),0k k k k dI t d t I t t dt θ=--≤≤∆ （9） ''''()
,k k k dI t d t L dt
=-∆≤< （10） 其中，'k ∆为库存水平下降到0的时刻；
下面分情况讨论：
由于以上讨论的是只是一个周期，为了简化原问题的求解,下面给出定理3和定理4。
定理 3 各周期初的库存水平是独立同分布的离散随机变量。
由假设可知，0D 和1D 是独立同分布的随机变量，又因为当前周期的库存水平是上一个周期内需求率的函数推出，因此0I 和1I 也是独立同分布的随机变量。
以此类推，各周期初的库存水平都是独立同分布的离散随机变量。
定理 4 各周期的周期时长的期望相等，各周期系统的平均期望运作成本相 等。
证明:由（6）和定理2可知,每个周期的周期时长仅与此周期以及上一个周期内的需求情况有关，因此第一个周期的周期时长的期望可表示为：
(){}(){}
(){}(){}
1101000010100()()()()()
()()()()
j k j k j k j k k k j
j k j
j k d F d F
d F d F k k j
j k j
j k d F d F
d F d F
E T L t
L P D d P D d t
L P D d P D d t
L P D d P D d t
L P D d P D d ≤≤≤≤≤≤≥≥≤≤≥≥=+==+
+==++==+
+==∑∑∑∑∑
∑∑∑令2T 表示第二个周期的周期时长，2D 表示第二个周期的需求率，则：
(){}(){}
(){}(){}
2101000010100()()()()()
()()()()
j i j i j i j i k k j
j i j
j i d F d F
d F d F k k j
j i j
j i d F d F
d F d F
E T t
L P D d P D d t
L P D d P D d t
L P D d P D d t
L P D d P D d ≤≤≤≤≤≤≥≥≤≤≥≥=+==+
+==++==+
+==∑∑∑∑∑
∑∑∑
由上易知：12()()E T L E T =。
以此类推，各周期的周期时长的期望相等。
因此，
各周期系统总的平均期望运作成本相等。
（三）模型简化
本文的问题可简化为求解最优的(r,Q)策略,使第一个周期内的平均期望成
本最小的问题。
即：00,1()()()min (,)()
r Q K c Q r E h I t dt I t dt TC r Q E T L π+-⎡⎤
+-++⎢⎥⎣⎦=
⎰⎰
其中，{}{}()max 0,(),()min 0,()I t I t I t I t +
-
==
下面分别求解系统的各项成本:
（1）系统总的订购成本（固定订购成本+可变订购成本） ()OD K c Q r =+-（18）
（2）[0,]k j t L +内，总的期望库存成本
()
()
()
()()()0()()10()00001()()()()(0)k j j k L x L k t x t j j k d F d F k x j r Q r d e dx e e IH h d e dx e dt P D d P D d e r Q r L d e h d e dx β
ββββ
βββαγαγαγαγαγαγαγαγψψ-----∆-----≤≤≤≤----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎡⎤-+-+⎪⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪=-+⋅==⎨⎬⎢⎥ ⎪⎪⎪
⎪⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩⎭
---++-+⎰∑∑⎰⎰()
()
()10()00
0()()()0()()0()()k j j k k t t j k d F d F L
x L k t x j d e dt P D d P D d e r Q r d e dx e e h d e dx e β
ββββββαγαγαγαγαγαγαγ∆----≤≤≥--------⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎨⎬⎪⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⋅==⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎪⎪ ⎪
⎢⎥⎪⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭
⎛⎡⎤-+-+ ⎢⎥⎣⎦ +-+⎝∑∑⎰⎰⎰⎰()
()10001()()()
1()0
()()(0)(k j j k t j k d F d F k t k x t j j e dt P D d P D d r Q r L d d e h d e dx e dt P D d e β
ββββαγαγαγαγαγψψ∆--≥≤≤--------⎧⎫⎡⎤⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎢⎥⎪⋅==⎨⎬⎢⎥ ⎪⎪⎪
⎪⎢⎥⎪⎪⎭⎣⎦⎩⎭
⎡⎤⎛⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥ ⎪---+⎢⎥⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭+-+⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪
⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑⎰⎰00)()k j j k k d F d F P D d ∆≥≥⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∑∑⎰（19）
（3）[0,]k j t L +内，总的期望缺货成本
)
⎫⎪⎬
⎪⎭
（四）模型求解
下面我们的目标是寻求,r Q 的最优值，使得(,)TC r Q 最小。
具体步骤如下： 步骤1：分别求(,)TC r Q 关于,r Q 的一阶偏导数，并令其为0，可得
(,)
0(,)
TC r Q r TC r Q Q ∂⎧=⎪∂⎪
⎨∂⎪=∂⎪⎩
（22） 我们在使得方程成立的多组取值中，取11,r r Q Q ==为这些取值中使得(,)TC r Q 最小的一组取值，并且把对应的目标函数值记作11(,)TC r Q 。
步骤2：将0,r r Q ==分别带入问题(1)P ，分别求Q 在这两种情况下的最优值23,Q Q 及对应的目标函数值22(,)TC r Q ，33(,)TC r Q 。
步骤3：比较11(,)TC r Q 22(,)TC r Q 33(,)TC r Q 的大小，其中使得(,)TC r Q 最大的,r Q 的取值即为最优策略。
