课时分层作业41 正弦函数、余弦函数的图象

正弦函数.余弦函数的图象[进修目的] 1.懂得运用单位圆中的正弦线画正弦曲线的办法.2.控制“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步折衷办法,能用“五点法”作出简略的正弦.余弦曲线.3.懂得正弦曲线与余弦曲线之间的接洽．常识点一 正弦曲线正弦函数y ＝sin x(x∈R)的图象叫正弦曲线．运用几何法作正弦函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象的进程如下： ①作直角坐标系,并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆,如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图象越准确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可以得到对应于0,π6,π3,π2,…,2π等角的正弦线．③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合．⑤连线：用滑腻的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右衔接起来,即得y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象．在精度请求不太高时,y ＝sin x,x∈[0,2π]可以经由过程找出(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,－1),(2π,0)五个症结点,再用滑腻曲线将它们衔接起来,就可得正弦函数的简图．思虑 在所给的坐标系中若何画出y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象？若何得到y ＝sin x,x∈R 的图象？答案 y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：只要将函数y ＝sin x,x∈[0,2π)的图象向左.向右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象． 常识点二 余弦曲线余弦函数y ＝cos x(x∈R)的图象叫余弦曲线． 依据引诱公式sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x,x∈R.只需把正弦函数y ＝sinx,x∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．要画出y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,可以经由过程描出(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π20,(π,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π0,(2π,1)五个症结点,再用滑腻曲线将它们衔接起来,就可以得到余弦函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象．思虑 鄙人面所给的坐标系中若何画出y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象？ 答案题型一 “五点法”作图的运用例1 运用“五点法”作出函数y ＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解 (1)取值列表：(2)描点连线,跟踪练习 1 作函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x,x∈[0,2π]的简图,并研讨它们之间的关系． 解 按五个症结点列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋sin x－1－1－2－1由图象可以发明,把y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x,x∈[0,2π]的图象． 题型二 运用正弦.余弦函数图象求界说域例2 求函数f(x)＝lg sin x ＋16－x2的界说域． 解 由题意得,x知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x>016－x2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x≤4sin x>0作出y ＝sin x 的图象,如图所示．联合图象可得界说域：x∈[－4,－π)∪(0,π)．跟踪练习2 求函数f(x)＝lg cos x ＋25－x2的界说域． 解 由题意得,x知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x>025－x2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧cos x>0－5≤x≤5,作出y ＝cos x 的图象,如图所示．联合图象可得界说域：x∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－5－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤32π5.题型三 运用正弦.余弦函数图象断定零点个数例3 在统一坐标系中,作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象,依据图象断定出方程sin x ＝lg x 的解的个数．解 树立坐标系xOy,先用五点法画出函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象,再依次向左.右持续平移2π个单位,得到y ＝sin x 的图象．描出点(1,0),(10,1)并用滑腻曲线衔接得到y ＝lg x 的图象,如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个． 跟踪练习3 方程x2－cos x ＝0的实数解的个数是． 答案 2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解．数形联合思惟在三角函数中的运用例4 函数f(x)＝sin x ＋2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不合的交点,求k 的取值规模．解f(x)＝sin x ＋2|sin x|＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧3sin xx∈[0π]－sin x x∈π2π].图象如图,若使f(x)的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不合的交点,依据图可得k 的取值规模是(1,3)．1．函数y ＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．用五点法画y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是症结点( ) A ．(π6,12)B ．(π2,1)C ．(π,0)D ．(2π,0)3．函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝.4．运用“五点法”画出函数y ＝2－sin x,x∈[0,2π]的简图．5．已知0≤x≤2π,试摸索sin x 与cos x 的大小关系．一.选择题1．函数y ＝－sin x,x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π23π2的简图是()2．在统一平面直角坐标系内,函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝sinx,x∈[2π,4π]的图象( ) A ．重合B ．外形雷同,地位不合C ．关于y 轴对称D ．外形不合,地位不合3．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 4．函数y ＝cos x ＋|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为( ) 5．如图所示,函数y ＝cos x|tan x|(0≤x<3π2且x≠π2)的图象是( )6．若函数y ＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个关闭的平面图形,则这个关闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D．4π 二.填空题 7．函数y ＝log 12sin x 的界说域是．8．函数y ＝2cos x ＋1的界说域是．9．函数f(x)＝sin x ＋116－x2的界说域为．10．设0≤x≤2π,且|cos x －sin x|＝sin x －cos x,则x 的取值规模为． 三.解答题11．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x,x∈[0,2π]的简图．12．依据y ＝cos x 的图象解不等式： －32≤cos x≤12,x∈[0,2π]．13．分离作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x|,x∈R; (2)y ＝sin|x|,x∈R. 当堂检测答案 1．答案 D 2．答案 A 3．答案 3π 解析 如图所示, x1＋x2＝2×3π2＝3π.4．解 (1)取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232(2)描点连线,5．解 用“五点法”作出y ＝sin x,y ＝cos x(0≤x≤2π)的简图． 由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时,sin x ＝cos x;②当π4<x<5π4时,sin x>cos x;③当0≤x<π4或5π4<x≤2π时,sin x<cos x.课时精华精辟答案 一.选择题 1．答案 D 2．答案 B解析 依据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝sin x,x∈[2π,4π]的图象只是地位不合,外形雷同． 3．答案 A解析 在统一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：依据图象可知方程有7个根． 4．答案 D 解析 由题意得y ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2cos x 0≤x≤π2或32π≤x≤2π0π2<x<32π.显然只有D 适合． 5．答案 C解析 当0≤x<π2时,y ＝cos x·|tan x|＝sin x;当π2<x≤π时,y ＝cos x·|tan x|＝－sin x;当π<x<3π2时,y ＝cos x·|tan x|＝sin x,故其图象为C. 6．答案 D解析 作出函数y ＝2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y ＝2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的暗影部分．运用图象的对称性可知该暗影部分的面积等于矩形OABC 的面积,又∵OA＝2,OC ＝2π,∴S 暗影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 二.填空题7．答案 {x|2kπ<x<2kπ＋π,k∈Z}解析 由log 12sin x≥0知0<sin x≤1,由正弦函数图象知2kπ<x<2kπ＋π,k∈Z.8．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2kπ－23π2kπ＋23π,k∈Z解析2cos x ＋1≥0,cos x≥－12,联合图象知x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2kπ－23π2kπ＋23π,k∈Z.9．答案 (－4,－π]∪[0,π] 解析⎩⎪⎨⎪⎧sin x≥016－x2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2kπ≤x≤2kπ＋π－4<x<4⇒－4<x≤－π或0≤x≤π.10．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π45π4解析 由题意知sin x －cos x≥0,即cos x≤sin x,在统一坐标系画出y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示：不雅察图象知x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π45π4.三.解答题11．解 (1)取值列表如下：x 0 π2 π 32π 2π sin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212(2)描点.连线12．解 函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示： 依据图象可得不等式的解集为 {x|π3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3}．13．解(1)y ＝|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x 2kπ≤x≤2kπ＋π－sin x 2kπ＋π<x≤2kπ＋2π (k∈Z)．其图象如图所示,(2)y ＝sin|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x x≥0－sin x x<0. 其图象如图所示,。

§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、选择题1.对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A.向左右无限伸展B.与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C.与x 轴有无数个交点D.关于y 轴对称2.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C.(π，0)D.(2π，0)3.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则将f (x )的图象( ) A.与g (x )的图象相同 B.与g (x )的图象关于y 轴对称 C.向左平移π2个单位，得g (x )的图象D.向右平移π2个单位，得g (x )的图象4.函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的简图是( )5.方程sin x ＝x10的根的个数是( )A.7B.8C.9D.106.函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )7.若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A.4 B.8 C.2π D.4π二、填空题8.函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________.9.函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝________.10.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是________________________.11.设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________. 三、解答题12.用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图.13.利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合.四、探究与拓展14.已知函数y ＝2sin x (π2≤x ≤5π2)的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为( ) A.4 B.8 C.4πD.2π15.函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.答案精析1.D2.A3.D4.D5.A6.D7.D8.⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 9.3π10.{x |－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N }11.⎣⎡⎦⎤π4，5π412.解 (1)取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212(2)描点、连线，如图所示.13.解 首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立. 所以12<sin x ≤32的解集为{x |π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z }. 14.C [数形结合，如图所示.y ＝2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与直线y ＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x ＝π2，x ＝5π2，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝⎛⎭⎫5π2－π2×2＝4π.] 15.解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]. 图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1,3).。

新授课1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（一）知识与技能（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状 （2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）能用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； （二）过程与方法通过实验与演示，让学生经历图象产生的过程与方法，养成善于发现、善于探究的良好习惯。

（三） 情感态度与价值观通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；重点：五点法作图.难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；教学方法：合作探究 教学工具：多媒体设备教学过程： 一、复习引入：1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离r(02222>+=+=y x y x r )则比值r y叫做α的正弦 记作： ry =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．（1）函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？根据诱导公式cos sin()2x x π=+,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （课件第三页“平移曲线” ）正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高。

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“黄花梨和紫檀是数一数二的好料，市场认可度又高，所以我们这里专注做这两种木料的手串。

”端木轩的尚女士向记者引见说。

海黄紫檀领风骚手串是源于串珠与手镯的串饰品，今天曾经演化为集装饰、把玩、鉴赏于一体的特征珍藏品。

怕上当受骗，我们教你如何鉴别小叶紫檀的真伪！点击访问：木缘鸿官网“目前珍藏、把玩木质手串的人越来越多，特别是海黄和印度小叶檀最受藏家追捧，有人把黄花梨材质的手串叫做腕中黄金。

”纵观海南黄花梨近十年的价钱行情，不难置信尚女士所言非虚。

一位从事黄花梨买卖多年的店主夏先生通知记者，在他的记忆中，2000年左右黄花梨上等老料的价钱仅为60元/公斤，2002年大量收购时，价格也仅为2万元/吨左右，而往常，普通价钱坚持在7000-8000元/公斤，好点的1公斤料就能过万。

“你看这10年间海南黄花梨价钱涨了百余倍，都说水涨船高，这海黄手串的价钱自然也是一路飙升。

”“这串最低卖8000元，能够说是我们这里海黄、小叶檀里的一级品了，普通这种带鬼脸的海黄就是这个价位。

”檀梨总汇的李女士说着取出手串让记者感受一下，托盘里一串直径2.5mm的海南黄花梨手串熠熠生辉，亦真亦幻的自然纹路令人入迷。

当问到这里最贵的海黄手串的价钱时，李女士和记者打起了“太极”，几经追问才通知记者，“有10万左右的，普通不拿出来”。

同海南黄花梨并排摆放的是印度小叶檀手串，价位从一串三四百元到几千元不等。

李女士引见说，目前市场上印度小叶檀原料售价在1700元/公斤左右，带金星的老料售价更高，固然印度小叶檀手串的整体售价不如海黄手串高，但近年来有的也翻了数十倍，随着老料越来越少，未来印度小叶檀的升值空间很大。

“和海黄手串比起来，印度小叶檀的价钱相对低一些，普通买家能消费得起。

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象编写时间：2020年 月 日 第二学期 总第 课时 编写人：马安山课 题正弦函数、余弦函数的图象授课班级高一(17）班 授课时间2020年 月 日学习目标1.通过简谐振动实验演示,让学生对函数图像有一些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.教学重点 正弦函数、余弦函数的图象．教学难点 将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.课 型 新 课 主要教学方法 自主学习、思考、交流、讨论和概括．教学模式合作探究，归纳总结教学手段与教具多媒体教学、几何画板软件．教 学 过 程 设 计各环节教学反思问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象?对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2操作结果、总结提炼:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图象.②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题如何画出余弦函数y=cosx,x∈R的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?意图:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.图3正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点. 提出问题问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:①略.②关键点也有五个,它们是:(0,1),(2π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1).学生练习巩固：1。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法．2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象．3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象时，关键的五点是：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-【注意】（1）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象．（2）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故c o s y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到． 二、正（余）弦函数的图象三、用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．题型一 五点法作三角函数的图象【例1】用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）A ．30,,,,222ππππ B ． 30,,,,424ππππ C ．0,,2,3,4ππππ D ．20,,,,6323ππππ【答案】B【解析】由“五点法”作图知：令2x ＝0，2π，π，32π，2π，解得x ＝0，4π，2π，34π，π，即为五个关键点的横坐标，故选：B.【变式1-1】用“五点法”作函数cos 1y x =-，[]0,2x π∈的大致图像，所取的五点是______．【答案】(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫-⎪⎝⎭，(2,0)π 【解析】由“五点法”作函数cos 1y x =-，[0x ∈，2]π的图象时的五个点分别是(0,0)，,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,2)π-，3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)π．【变式1-2】用“五点法”画出下列函数的简图：（1）cos 1y x =-，[],x ππ∈-； （2）sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （3）sin y x =-，[]0,2x π∈． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）按五个关键点列表（2）按五个关键点列表描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图（3）按五个关键点列表描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图【变式1-3】用“五点法”作下列函数的简图.（1）2sin ([0,2])y x x π=∈； （2）5sin()([,])222y x x πππ=-∈. （3）2sin(2)3y x π=-(x ∈R ).【答案】（1）图象答案见解析；（2）图象答案见解析；（3）图象答案见解析. 【解析】（1）列表如下：描点连线如图：（2）列表如下：描点连线如图：（3）函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长为一个周期π的区间上的图象，列表如下：x6π512π23π1112π76π23x π-0 2ππ32π2πy 02 0 -2 0再向左右两边扩展，其图象如下：题型二 含绝对值的三角函数【例2】函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（ ）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0，π]C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像根据各选项判断只有D 选项正确. 故选：D.【变式2-1】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像． 【答案】图见解析【解析】函数[][]3sin ,0,2sin sin sin ,,0x x y x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩，其图如下所示：【变式2-2】作出函数sin ||,[2,2]=∈-y x x ππ的大致图像. 【答案】图象见解析 【解析】列表作图：先作出的图像，又原函数是偶函数图像关于轴对称，即可作出[)2,0π-的图像.【变式2-3】作函数3sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【答案】图象见解析.【解析】3sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ cos 22,Z 223cos 22,Z 22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象， 如图题型三 三角函数识图问题【例3】函数1sin =+y x x的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数1sin =+y x x是定义域(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数∴其图象关于原点对称，排除选项D ；当(0,)x π∈时，sin 0x >，此时1sin 0x x+>，∴当(0,)x π∈时，()f x 的图象在x 轴上方，排除选项B ；当32x π=时，322sin 10233πππ+=-+<，()f x 的图象在x 轴下方，排除选项C ； 综上所述，函数1sin =+y x x的大致图象为选项A .故选：A .【变式3-1】函数2sin 2x y x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令0x =，则02sin 01y =-=，排除C 、D ；令1x =-，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B.故选：A【变式3-2】已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．()sin ln ||f x x x =⋅B ．()sin ln ||f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()|sin ln |f x x x =⋅ 【答案】A【解析】图象关于原点对称，为奇函数，CD 中定义域是0x >，不合，排除，AB 都是奇函数，当(0,1)x ∈时，A 中函数值为负，B 中函数值为正，排除B ．故选：A ．【变式3-3】已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =- 【答案】B【解析】对于A ，()()sin πsin π()f x x x x x f x -=--==，所以函数()sin πf x x x =为偶函数，故排除A ； 对于D ，()010f =-≠，故排除D ；对于C ，[]()cos π(1)cos πf x x x x x =+=-，则()()cos πf x x x f x -==-， 所以函数[]()cos π(1)f x x x =+为奇函数，故排除C.故选：B.题型四 利用图象解三角不等式【例4】不等式2sin (0,2)x x π∈…的解集为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】2sin (0,2)x x π∈…sin y x =函数图象如下所示：∴344ππ≤≤x ，∴不等式的解集为：3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．【变式4-1】在()0,2x π∈上，满足cos sin x x >的x 的取值范围（ ）A ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】作出sin y x =和cos y x =在()0,2x π∈的函数图象，根据函数图象可得满足cos sin x x >的x 的取值范围为50,,244πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式4-2】在[]0,2π内，不等式sin x < ） A ．(0，π) B ．3,34ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】画出y ＝sin x ，[]0,2x π∈的草图如下．[]0,2x π∈内，令sin x =43x π=或53x π=，结合图象可知不等式sin x <45,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式4-3】若函数()f x = ）A ．56,622k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．56,644k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．156,644k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 【答案】B【解析】要使函数有意义，则2sin 103x π-≥，即1sin32x π≥， 即522636k x k πππππ+≤≤+，k ∈Z ，得156622k x k +≤≤+，k ∈Z ， 即函数的定义域为156,622k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）.故选：B【变式4-4】已知()f x 的定义域是⎡-⎢⎣⎦，则(sin 2)f x 的定义域为（ ） A ．2,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．22,236k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．2,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【答案】A【解析】()f x 的定义域是⎡-⎢⎣⎦，故由1sin 2x -≤≤解得()422233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ()236k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈ 因此，函数(sin 2)f x 的定义域为()22,236k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故选：A.【变式4-5】函数y ________． 【答案】{}22,x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】由1122log sin 0log 1x ≥=知，0sin 1x <≤，由正弦函数图象特征知，22,k x k k Z πππ<<+∈． 故定义域为{}22,x k x k k Z πππ<<+∈.故答案为：{}22,x k x k k Z πππ<<+∈.题型五 与正余弦函数有关的零点【例5】函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像与直线23y =-的交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像，再画直线23y =-，可知所求交点的个数为2．故选：C ．【变式5-1】已知函数f (x )=12x⎛⎫⎪⎝⎭-sin x ，则f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】令sin 01()2xf x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭= ，则1()sin 2x x =，在同一坐标系中，作出1(),sin 2xy y x ==，如下图所示：由图知，f (x )在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B.【变式5-2】()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x -=+，[]1,0x ∈-时，()sin 2f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()()e xg x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为（ ）A ．2021B ．4043C ．2020D ．4044 【答案】B 【解析】(1)(1)f x f x -=+，()(2)f x f x ∴=+，即函数()f x 的周期为2，当[]1,0x ∈-时，()sin()sin()22f x x x πππ=+=-，则当[]0,1x ∈时，()()sin()sin()22f x f x x x ππ=-=--=，由此可作出函数()f x 与函数e -=xy 的大致图象如下，由图象可知，每个周期内有两个交点， 所以函数((e))xg x f x -=-在区间[]2021,2022-上零点的个数为2021214043⨯+=个．故选：B ．【变式5-3】函数()sin 3|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(1,0)(0,3)-C ．(2,4)D ．(1,4) 【答案】C【解析】当[0,]x π∈时，()sin 3sin 4sin f x x x x =+=，当(],2x ππ∈时，()sin 3sin 2sin f x x x x =+=-， 所以函数()f x 的图像如图所示，所以函数()f x 的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点时，(2,4)k ∈.故选：C【变式5-4】已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（ ） A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-， 所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π， 所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥ 综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B。