第2讲 不等式选讲【高考考情解读】 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查学生的基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．1． 算术—几何平均不等式a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (a 1>0，a 2>0，…，a n >0)．2． 绝对值三角不等式定理1 如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2 如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )·(b －c )≥0时，等号成立． 3． 绝对值不等式的解法(1)|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x >a 或x <－a .(2)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的解法有三种：①根据绝对值的意义结合数轴直观求解；②用零点分段法去绝对值，转化为三个不等式组求解；③构造函数，利用函数图象求解．4． 证明不等式的基本方式(1)比较法 作差或作商比较．(2)综合法 根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法 执果索因的证明方法． (4)反证法 反设结论，导出矛盾．(5)放缩法 通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法． (6)数学归纳法 证明与正整数有关的不等式． 5． 一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立.考点一 含绝对值不等式的解法例1 (2013·辽宁)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．(1)若不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 无实数解，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 由绝对值的几何意义知|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，而|x ＋1|＋|x －2|<a 无解，∴a ≤3.(2)(2012·陕西)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,4]解析 利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.(3)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. ①当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；②设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解 ①当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． ②∵a >－1，则－a 2<12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ⎝⎛⎭⎫x <－a 2a ＋1 ⎝⎛⎭⎫－a 2≤x <124x ＋a －1 ⎝⎛⎭⎫x ≥12当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43. 考点二 证明不等式 例2 已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值．(1)方法一：左边乘上因式(a ＋b )后展开，再利用基本不等式证明；方法二：运用作差比较法证明． (2)运用(1)中证出的不等式求解． (1)证明 方法一 ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a ＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 方法二 ∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∵a 2b ＋b 2a≥a ＋b . (2)解 ∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x ≥(1－x )＋x ＝1.当且仅当1－x ＝x ，即x ＝12时等号成立．∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值为1.(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式或绝对值不等式的性质证明．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 考点三 不等式的综合应用例3 (1)(2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．答案 2解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.(2)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明 方法一 因为a ，b ，c 均为正数，由算述一几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以(1a ＋1b ＋1c )2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．方法二 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ， c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac . ① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac ，②故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋1a 2＋1b 2＋1c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥6 3.③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出算术—几何平均不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．(1)(2012·湖北)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z 等于( )A.14B.13C.12D.34答案 C解析 通过等式找出a ＋b ＋c 与x ＋y ＋z 的关系． 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ，①①与a 2＋b 2＋c 2＝10相加可得 (x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10， 所以不妨令⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝b ，y －b ＝c ，z －c ＝a， 则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m . ①求m 的值；②求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.①解 方法一 f (x )＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6(x ≥4)，2(2<x <4)，－2x ＋6(x ≤2)，可得函数的最小值为2.故m ＝2.方法二 f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2， 当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.②证明 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n 2a 2＋⎝⎛⎭⎫p 2b 2＋⎝⎛⎭⎫q 2c 2·(a 2＋b 2＋c 2)≥⎝⎛⎭⎫n 2a·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c 2， 即⎝⎛⎭⎫n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c 2×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2＝4， 故n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.1． 对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．2． 使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x ＋2|＋|x －4|≥|(x ＋2)－(x －4)|＝6.3． 易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算述一几何平均不等式、柯西不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件．1． 若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．答案 [－3,5]解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， ∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立， 只需|m －1|≤4，即－3≤m ≤5.2． 设函数f (x )＝|x －3|＋|x －a |，如果对任意x ∈R ，f (x )≥4，求a 的取值范围．解 若a ＝3，则f (x )＝2|x －3|，不满足题设条件； 若a <3，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋3， x ≤a ，3－a ， a <x <3，2x －a －3， x ≥3，f (x )的最小值为3－a ； 若a >3，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋3， x ≤3，a －3， 3<x <a ，2x －a －3， x ≥a ，f (x )的最小值为a －3，所以对任意x ∈R ，f (x )≥4的充要条件是|a －3|≥4，解得a ≥7或a ≤－1. 故a 的取值范围为(－∞，－1]∪[7，＋∞)． 3． 设函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}，求a 的值；(2)若g (x )＝1f (x )＋f (x ＋1)＋m 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．解 (1)由已知得|2x －1|≤a ，即－a ≤2x －1≤a ， 所以1－a 2≤x ≤1＋a 2，因为不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＝0，1＋a 2＝1，解得a ＝1.(2)由g (x )＝1|2x －1|＋|2x ＋1|＋m 的定义域为R 知，对任意实数x ，有|2x －1|＋|2x ＋1|＋m ≠0恒成立， 因为|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，所以m ＋2>0.所以m >－2，即实数m 的取值范围为(－2，＋∞)．(推荐时间：40分钟)一、填空题1． (2013·江西)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．答案 [0,4]解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0|x －2|≤2得0≤x ≤4. ∴不等式的解集为[0,4]．2． (2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为_______．答案 13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13.3． 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________. 答案 {x |－2≤x ≤5} 解析 由|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．4． 设f (x )＝1ax 2－bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________．答案 (－3,3)解析 ∵1ax 2－bx ＋c <0的解集是(－1,3)， ∴1a >0且－1,3是1ax 2－bx ＋c ＝0的两根． 则函数f (x )＝1a x 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为x ＝ab 2＝1， 且f (x )在[1，＋∞)上是增函数，又∵7＋|t |≥7>1,1＋t 2≥1，则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，得7＋|t |>1＋t 2，即|t |2－|t |－6<0，亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0，∴|t |<3，即－3<t <3.5． 设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 答案 1333 解析 由柯西不等式可知，(a ＋2b ＋3c )·⎣⎡⎦⎤(3)2＋12＋⎝⎛⎭⎫132≥(3a ＋2b ＋c )2， ∵a ＋2b ＋3c ＝13， ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1693， ∴3a ＋2b ＋c ≤1333， 当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号， 又∵a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取得最大值1333. 二、解答题6． (2012·江苏)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518. 证明 因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16， 从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518. 7． (2013·福建)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ， (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解 (1)因为32∈A ，且12∉A ， 所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3.8． 设a ，b ，c 均为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3. 证明 因为a ，b ，c 是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc . 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc·abc ＝23， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥23，当且仅当a ＝b ＝c ＝63时取等号．9． 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x －4|>m 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．解 (1)当x ≥4时，由f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4；当－12≤x <4时，由f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0， 得x >1，所以1<x <4；当x <－12时，由f (x )＝－2x －1＋x －4＝－x －5>0， 得x <－5，所以x <－5.综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <－5}．(2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－2x ＋8|＝9，当－12≤x ≤4时等号成立．所以m <9.故m 的取值范围是(－∞，9)．10．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4；当x >1时，由2x <4，得1<x <2.∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2,2)．(2)证明 a ，b ∈M ，即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a＋b|<|4＋ab|.。
常考题型强化练——函数一、选择题1． (2011·江西)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1>0，log 12(2x ＋1)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.2． (2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x 答案 A解析 利用复合函数单调性的判断方法——同增异减求解．对于A 选项，可看成由函数y ＝ln u ，u ＝x ＋2复合而成，由于两函数都为增函数，单调 性相同，所以函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数． B 、C 均为减函数．对于D 选项，y ＝x ＋1x在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数．3． (2011·大纲全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)等于 ( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.12答案 A解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (－52)＝f (－52＋2)＝f (－12)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12.4． (2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点． 二、填空题5． (2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调函数．f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3) ＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.6． (2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 先求出函数g (x )＝|x －a |的单调区间，再结合复合函数单调性判断． g (x )＝|x －a |的增区间为[a ，＋∞)， ∴f (x )＝e |x －a |的增区间为[a ，＋∞)．∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.7． (2012·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 先利用奇函数条件求出f (x )与f (－x )的关系． ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数， ∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0.∴f (1)＋f (－1)＋2＝0. ∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1. 三、解答题8． (2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围． 解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 9． (2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．B 组 专项能力提升一、选择题1． (2011·四川)函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是 ( )答案 A解析 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1的图象如图所示，关于y ＝x 对称的图象大致为A 选项对应图象．2． (2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)， ∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x <6时， f (x )＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5.x 7＝6也是f (x )＝0的根． 故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7.3． (2012·福建)函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 答案 D解析 通过构造某些特殊函数，排除不合适的选项，利用反证法证明③正确，再两次应 用定义式证明④正确．令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1<x <3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1,3]，都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1,3]上的图象不连续，故①不正确； 令f (x )＝－x ，则f (x )在[1,3]上具有性质P ， 但f (x 2)＝－x 2在[1，3]上不具有性质P ， 因为－⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确； 对于选项③，假设存在x 0∈[1,3]，使得f (x 0)≠1， 因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1,3]，所以f (x 0)<1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3， 由f (x )在[1,3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]，由于f (x 0)<1，f (4－x 0)≤1，故上式矛盾． 即对∀x ∈[1,3]，有f (x )＝1，故选项③正确． 对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]， f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422 ≤12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋f ⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42 ≤12⎩⎨⎧⎭⎬⎫12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)] ＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，即选项④正确． 二、填空题4． (2012·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 由f (x )的周期为2，得f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12是关键．因为f (x )的周期为2， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.5． (2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.答案 32解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不 成立，∴a ≠1. (2)当a <1时，∵x >0，∴(a －1)x －1<0，不等式可化为： x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增， 且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f (x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0.又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32.6． (2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________． 答案 －4<m <－2解析 将①转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0解集的子集求解； ②转化为f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． 若g (x )＝2x －2<0，则x <1. 又∵∀x ∈R ，g (x )<0或f (x )<0， ∴[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集． 又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知， m 不可能大于或等于0，因此m <0. 当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0. 当2m ＝－m －3，即m ＝－1时， f (x )<0的解集为{x |x ≠－2}，满足条件． 当2m >－m －3，即－1<m <0时， f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}． 依题意2m <1，即m <12，∴－1<m <0.当2m <－m －3，即m <－1时， f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}． 依题意－m －3<1，即m >－4，∴－4<m <－1. 因此满足①的m 的取值范围是－4<m <0. ②中，∵当x ∈(－∞，－4)时，g (x )＝2x －2<0， ∴问题转化为∃x ∈(－∞，－4)，f (x )>0， 即f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． 又m <0，则(x －2m )(x ＋m ＋3)<0.由①的解法知，当－1<m <0时，2m >－m －3，即－m－3<－4，∴m>1，此时无解．当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，∴m<－2.综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4<m<－2.三、解答题7．(2012·福建)已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.解(1)由于f′(x)＝e x＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝e x－e x.此时f′(x)＝e x－e.由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(－∞，1)时，有f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e x－e x0＋2a(x－x0)．①若a≥0，当x>x0时，g′(x)>0，则当x>x0时，g(x)>g(x0)＝0；当x<x0时，g′(x)<0，则当x<x0时，g(x)>g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合题意．②若a<0，令h(x)＝e x－e x0＋2a(x－x0)，则h(x0)＝0，h′(x)＝e x＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)<0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)>0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．a ．若x 0＝x *，当x ∈(－∞，x *)时， g ′(x )＝h (x )>h (x *)＝0；当x ∈(x *，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )>h (x *)＝0.所以g (x )在R 上单调递增．所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *. b ．若x 0>x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增， 且h (x 0)＝0，则当x ∈(x *，x 0)时有g ′(x )＝h (x )<h (x 0)＝0， g (x )>g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g (x 1)>0. 又当x ∈(－∞，x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－(e ＋f ′(x 0))x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)<e x 1＋ax 2－(e ＋f ′(x 0))x －f (x 0)＋ x 0f ′(x 0) ＝ax 2＋bx ＋c ，其中b ＝－(e ＋f ′(x 0))，c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)．由于a <0，则必存在x 2<x 1，使得ax 22＋bx 2＋c <0.所以g (x 2)<0，故g (x )在(x 2，x 1)内存在零点， 即g (x )在R 上至少有两个零点． c ．若x 0<x *，仿b 并利用e x>x 36，可证函数g (x )在R 上至少有两个零点．综上所述，当a <0时，曲线y ＝f (x )上存在唯一的点P (ln(－2a )，f (ln(－2a )))， 曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .。
第1讲几何证明选讲【高考考情解读】高考中主要考查三角形相似、平行截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力．与圆有关的切线、割线以及三角形的综合问题是高考的热点．高考中主要是应用定理解决有关求角、求线段长、求线段长的比以及证明等类型的题目，题型以解答题形式出现，难度为中档，分值为10分．1．相似三角形的判定与性质(1)判定定理①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．(2)性质定理①相似三角形对应边上的高的比、中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．直角三角形的射影定理及逆定理(1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．3．圆周角与圆心角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(3)推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．4．圆内接四边形的性质与判定定理(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (2)性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．5． 圆的切线的判定及性质(1)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)圆的切线的性质定理①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 6． 直线与圆位置关系的“四定理”(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.考点一 相似三角形的判定与性质例1 如右图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .(1)证明 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形． ∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ， ∴△EDM ∽△FBM .(2)解 ∵△EDM ∽△FBM ， ∴DM BM ＝DEBF. ∵F 是BC 的中点， ∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ， ∴BM ＝13DB ＝3.判定三角形相似的常用方法：(1)利用三角形判定定理； (2)利用平行线分线段成比例定理； (3)利用与圆有关的“四定理”．(1)(2013·陕西改编)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知∠A ＝ ∠C ，PD ＝2DA ＝2，求PE 的长． 解 ∵BC ∥PE ，∴∠PED ＝∠C ＝∠A ，∴△PDE ∽△PEA ，∴PE P A ＝PDPE ，则PE 2＝P A ·PD ，又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6.(2)如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交 BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E . ①求证：AB 2＝DE ·BC ；②若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长． ①证明 ∵AD ∥BC ， ∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD .又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC . ∴△CDE ∽△BCD ，∴DC BC ＝DE DC .∴CD 2＝DE ·BC ， 即AB 2＝DE ·BC .②解 由①知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ， ∴PD PB ＝DE BC ＝49. 又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815.∴PC 2＝PD ·PB ＝365×815＝54252.∴PC ＝545.考点二 圆的切割线定理的应用例2 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，D 为⊙O 上一点，AD ，BC 相交于点E . (1)若AD ＝AC ，求证：AP ∥CD ；(2)若F 为CE 上一点使得∠EDF ＝∠P ，已知EF ＝1，EB ＝2， PB ＝4，求P A 的长．(1)证明 ∵P A 是⊙O 的切线，AD 是弦， ∴∠P AD ＝∠ACD . ∵AD ＝AC ， ∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴∠P AD ＝∠ADC ， ∴AP ∥CD .(2)解 ∵∠EDF ＝∠P ， 又∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA ， 有EF EA ＝EDEP， 即EF ·EP ＝EA ·ED .而AD ，BC 是⊙O 的相交弦， ∴EC ·EB ＝EA ·ED ， 故EC ·EB ＝EF ·EP ，∴EC ＝EF ·EP EB ＝1×(2＋4)2＝3.由切割线定理有P A 2＝PB ·PC ＝4×(3＋2＋4)＝36， ∴P A ＝6.在与圆有关的问题中，或在特殊的几何图形中，常利用“四定理”及三角形相似等知识来证明线段相等或线段成比例等问题．一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理中线段之间的关系的区别．(1)(2013·广东改编)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的长．解 因为C 为BD 中点，且AC ⊥BC ， 所以△ABD 为等腰三角形．又∵AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2， 又AE AC ＝ACAD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝2 6. 在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.(2)如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P . ①求证：PM 2＝P A ·PC ；②若⊙O 的半径为23，OA ＝3OM ，求MN 的长．①证明 如图，连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形， 则∠OBN ＝∠ONB .∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN . 根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， ∴PM 2＝P A ·PC .②解 ∵OA ＝23，OA ＝3OM ，∴OM ＝2， 在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2＋OM 2＝4， 延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN . 由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BM BD ，即23BN ＝443，∴BN ＝6.∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2. 考点三 圆的有关性质的综合应用例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B 、E 、F 、C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． (1)证明 因为CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC F A ＝DCEA ，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°. 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解 连结CE ，因为∠CBE ＝90°， 所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ， 由DB ＝BE ，有CE ＝DC ， 又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 值为12.高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．(1)证明 连结DE ， 则∠DCB ＝∠DEB ， ∵DB ⊥BE ，∴∠DBC ＋∠CBE ＝90°，∠DEB ＋∠EDB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠CBE ＝∠DEB ＋∠EDB ，又∠CBE ＝∠EBF ＝∠EDB ， ∴∠DBC ＝∠DEB ＝∠DCB ， ∴DB ＝DC .(2)解 由(1)知：∠CBE ＝∠EBF ＝∠BCE ， ∴CE ＝BE ， ∴∠BDE ＝∠CDE ，∴DE 是BC 的垂直平分线，设交点为H ，则BH ＝32， ∴OH ＝1－34＝12，∴DH ＝32，∴tan ∠BDE ＝3232＝33，∴∠BDE ＝30°，∴∠FBE ＝∠BDE ＝30°，∴∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠BFC ＝90°， ∴BC 是△BCF 的外接圆直径． ∴△BCF的外接圆半径为32.1． 几何证明的难度应严格控制，在解决同一个问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过两次，添置的辅助线不超过三条．2． 相似三角形是平面几何中极为重要的内容．从概念上看，相似是全等的拓展，全等只是相似的特殊情形，而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研究有关各种相似问题．3． 圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理．关系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．4． 直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和与圆有关的比例线段定理又是本节的重点，利用上述定理可以很方便地证明角相等、线段相等以及线段的比例问题．1． 如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE交AC 于点F .若AE AD ＝14，求AFAC的值．解 如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ， ∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AF AC ＝17.2． 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，AC 是∠BAF 的平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为 点M .(1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)求证：AM ·MB ＝DF ·DA .证明 (1)如图，连结OC ， ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝OAC . 又∵CA 是∠BAF 的平分线， ∴∠DAC ＝∠OAC .∴∠DAC ＝∠OCA .∴AD ∥OC .又CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，即DC 是⊙O 的切线．(2)∵CA 是∠BAF 的平分线，∠CDA ＝∠CMA ＝90°，AC ＝AC ， ∴△ACD ≌△ACM ，∴CD ＝CM .由(1)知DC 2＝DF ·DA ，又CM 2＝AM ·MB ， ∴AM ·MB ＝DF ·DA .(推荐时间：60分钟)1． 如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求BE 的长．解 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128，∴CD ＝8 2. 又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2.2． 如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，求AF 的长．解 如图，连结CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故 △AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233.3． 如图，已知P A 、PB 是圆O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为圆O 上不与A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，求∠APB 的大小． 解 如图，连结OA ，OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P ，A ，O ，B 四点共圆， 故∠APB ＝60°.4． (2013·广东改编)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED的长．解 如图，作DF ⊥AC 于点F ， 由AB ＝3，BC ＝3知∠BAC ＝60°. 从而AE ＝32，同理CF ＝32，DF ＝32，所以EF ＝AC －AE －CF ＝23－32－32＝ 3. 所以在△DEF 中：DE 2＝DF 2＋EF 2＝94＋3＝214，所以DE ＝212. 5． (2012·江苏)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE . 求证：∠E ＝∠C .证明 如图，连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的 两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B . 所以∠E ＝∠C .6． 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA绕点O 逆时针旋转60°到OD ，求PD 的长． 解 方法一 连结AB ，∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点， ∴AB ＝OB ＝OA ，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7.∴PD ＝7.方法二 过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，∴∠POD ＝120°，∴∠DOE ＝60°，可得OE ＝12，DE ＝32，在Rt △PED 中，PD ＝PE 2＋DE 2＝254＋34＝7.7． 如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ ED ＝1，P A ＝2，求AC 的长．解 ∵P A 是⊙O 的切线，∴由切割线定理得P A 2＝PC ·PD .∵P A ＝2，PC ＝1，∴PD ＝4.又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形，∴AB ＝CE ＝2，连结BC ，如图，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠P AC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦，∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△P AC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CAAB ，∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.8． 如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .证明：(1)B 、D 、H 、E 四点共圆；(2)CE 平分∠DEF .证明 (1)在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°.因为AD 、CE 分别是∠BAC 、∠DCF 的平分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC ＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°.所以∠EBD ＋∠EHD ＝180°，所以B 、D 、H 、E 四点共圆．(2)连结BH ，则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD ＝30°.由(1)知B 、D 、H 、E 四点共圆，所以∠CED ＝∠HBD ＝30°.又∠AHE ＝∠EBD ＝60°，由已知可得EF ⊥AD ，可得∠CEF ＝30°.所以CE 平分∠DEF .9． (2013·江苏)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .10．(2013·辽宁)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE . 证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .。
