最优捕捞策略

一、问题的重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业）的开发必须适度。

一种合理简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

假设某种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。

渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。

常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。

以及对某承包这种鱼捕捞业务的渔业公司，提出最优捕捞策略。

同时提供了一种可再生资源的开发思路与管理模型。

二、问题分析因为通常使用的鱼网只能捕捞3、4龄鱼，所以年收获量（捕捞总重量）是由3、4龄鱼的捕捞条数决定。

由于3、4龄鱼的年捕捞量与其各自的条数成正比（比例系数称为捕捞强度系数k i）,同时按照题意要求：实现可持续收获，即每年开始捕捞时渔场中3、、4龄鱼各自的条数应该是一个固定不变的量，那末年收获量实质是由捕捞强度系数决定的量，因此可以把本题就转化为约束极值问题。

通常情况下，渔业管理以一年为一个周期，则称“捕捞——产卵”为一个周期（每年的1到8月“捕捞”，后4月“产卵”），为满足可持续收获这一约束条件，可将问题看作多阶段。

又因为上一年产卵成活1龄鱼的多少直接影响这一年2龄鱼的多少，这一年2龄鱼的多少直接影响下一年3龄鱼的多少……即各个阶段的各年龄组鱼群的数量存在必然联系，所以依据这些关系，我们可以从“离散”入手建立一系列的方程，然后在此基础上，利用微分方程处理“连续”的情况，逐步求得最优解。

三、三、基本假设和符号说明（一）基本假设1、 1、 鱼群生活在稳定的环境中，不考虑鱼群的迁入和迁出，也不考虑鱼群的空间分布；2、 2、 1龄鱼、2龄鱼可以在一年即一个周期的任意时间内死亡；3、 3、 3龄鱼、4龄鱼死亡时间相对集中，在产卵之后、下一年开始捕获之前；4、 4、 成活的i 龄鱼每经过一年即一个周期变为(1+i )龄鱼 )3,2,1(=i ，而4龄鱼不变；5、 5、 假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T 年底第i年龄组的鱼的条数等于第T 年初第i+1年龄组的鱼的条数。

6、 6、 各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定，不考虑由于饲养技术、环境等因素引起变化；7、 7、 只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略； （二）符号说明四、 四、 模型建立及求解（一） （一） 模型1首先，我们把整个过程以年为单位离散化来处理，通过假设使得1、2、3龄组的鱼群可能经不同时间成长变化为2、3、4龄组的鱼群，同时使得3、4龄鱼捕获期与产卵期分离且死亡时间集中。

对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则，n k r T F n k r T F T F 5.0)1()1()1(1022.11022.15.0)1()1()1()(331111331⨯-⨯-⨯-+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-=n k r T F n k r T F ⨯-⨯-⨯-+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-+)1()1()1(1022.11022.1)1()1()1(34111144 ………………………… ……（1-1）对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，则)1()1()(12r T F T F -⨯-= ……（1-2）对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，则，)1()1()(23r T F T F -⨯-= ……（1-3）对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，则，)1()1()1()1()1()1()(33444k r T F k r T F T F -⨯-⨯-+-⨯-⨯-=……（1-4）题目要求“实现可持续捕获”，即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年的条数，建立等式如下，)1()(-=T F T F i i 4,3,2,1=i ……（1-5）根据题目已知条件，“只能捕获3龄鱼和4龄鱼，捕获强度系数之比为0.42：1”，则 4342.0k k ⨯= ………（1-6） 由于题目要求在“实现可持续捕获”前提下达到最高的捕获量，且“只能捕获3龄鱼和4龄鱼”，则年收获量等于3、4龄鱼捕获的条数与各自的平均重量乘积的和，建立函数关系为max 3344)(86.17)(99.22k T F k T F S ⨯⨯+⨯⨯= ……（1-7）把（1）至（6）式作为约束条件，（7）式作为目标函数，即 max 3344)(86.17)(99.22k T F k T F S ⨯⨯+⨯⨯=s.tn k r T F n k r T F T F 5.0)1()1()1(1022.11022.15.0)1()1()1()(331111331⨯-⨯-⨯-+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-=n k r T F n k r T F ⨯-⨯-⨯-+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-+)1()1()1(1022.11022.1)1()1()1(34111144……（1-1）)1()1()(12r T F T F -⨯-= ……（1-2）)1()1()(23r T F T F -⨯-= ……（1-3） )1()1()1()1()1()1()(33444k r T F k r T F T F -⨯-⨯-+-⨯-⨯-= ……（1-4） )1()(-=T F T F i i 4,3,2,1=i ……（1-5） 4342.0k k ⨯= ……（1-6）根据已知条件：r=0.8，n=1.109×105 ,解方程得到： k 4=0.97, k 3=0.4074，最后3龄鱼的数目约为4龄鱼的8.3868倍，其中3龄鱼的数目为 2.5142×109条，4龄鱼的数目为 2.9978×108条。

（二） （二） 模型2因为3、4龄鱼的死亡时间与1、2龄鱼同样具有不确定性：可以为一年的任意时间点，而模型1是在假定3、4龄鱼的死亡时间在一个确定的时间范围内建立的，所以在模型2中我们重点对模型1的这一部分进行整改。

思路为：先考虑第T 年（T 为一个确定值）内的任意t 时刻（ t ∈(0,1) ）3、4龄鱼的条数，然后把T 也作为变量，递推出第T+1年的情况。

首先，我们假设3、4龄鱼可以在一年的任意时间点死亡，把第T 年（这里T 为定值）的t 时刻3、4龄鱼各自的条数),(∧T t N i 看作t 的连续函数。

),(∧∆+T t t N i 在t∆)0(−→−∆t 时间内的变化量)},(),({T t N T t t N i i -∆+∧，等于它的变化率（假定为α）与t ∆以及),(∧T t N i 三者的积)},({T t N t i ⨯⨯∆α，由此建立微分方程如下，i iN dt dN ⨯=α ……（2-1）然后，考虑α的取值。

第一， 由题目已知鱼的自然死亡率 r ，则定义（1—r ）为自然存活率，是α的一个因子；第二， 在一定水域范围内所能容纳的各种鱼群总数是有限的（定义为M i ）。

根据鱼类饲养知识，M i 与鱼的增长是负相关的，当N i =M i 时，N i 不再增长，则可以构造)),(1(ii M T t N ∧-作为α的一个因子；第三，因为一年内前8个月存在捕捞情况，而后4个月没有，则应该分段的来处理α的取值。

前者存在一个)1(i k -因子，而后者没有； 第四，由于T 一个固定值，所以暂时不考虑（i-1）类鱼的转化为i 龄鱼; 综上所诉，得到以下微分方程式，),()1)(),(1)(1(∧∧---T t N k M T t N r i i i i)32,0(∈t =dt dN i()4,3=i ),()1)(),(1)(1(∧∧---T t N k M T t N r i i i i)1,32(∈t ……（2-2）通过以上微分方程可以求得),(∧T t Ni 关于t 的连续函数： 令),0(T N i 为第T 年的初始状态，e r k t T N i i )1)(1(),0(--⨯⨯)32,0(∈t=),(T t N ie r t T N i )1(),0(-⨯⨯ )1,32(∈t……（2-3）将),(4T t N 、),(3T t N 代入目标函数有：444442.02.0)1(29.386.172.0)142.0(1.1099.22k k t k k t S e e ⨯⨯⨯-⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=……（2-4）st ： 104≤<k320≤<t下面采用逐步搜索法求解S 的最大值及相应的捕捞系数k 4, 结果为：96.04=k ，4032.042.096.03=⨯=k ，S=357646(吨)（三） （三） 模型3通过前面的分析可知：从整体上看，各龄鱼的数目在不同年份是一个离散模型。

因此，以年为单位把鱼生长期按年龄离散化，可得到一个离散模型：)),(()1,(T t N G T t N i i ∧∧=+该式子用来描述第i 龄鱼在第T+1年的数目与 第i 龄鱼在第T 年的数目之间的函数关系，这实际上是一个差分方程。

假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第T 年初第i+1年龄组的鱼的条数。

对于题目中的第二问，要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，可以理解为捕捞5年后鱼群的年龄组成尽量接近于可持续捕捞时鱼群的年龄组成。

由于只有3、4龄鱼可产卵繁殖为1龄鱼，且只有3、4龄鱼可被捕捞，所以3、4龄鱼的数量变化对1龄鱼影响最大，即1龄鱼对捕捞策略的贡献最大。

因此，只需要控制每年初1龄组鱼群的数量尽量接近于可持续捕捞时1龄组鱼群的组成即可。

这样，上述离散模型变为：)),(()1,(11T t N G T t N ∧∧=+ 结合模型1，考虑每年的捕捞强度系数不相同的情况，T T k k ,3,4和分别表示第T 年的捕捞强e k t k S S 2.0)2442.1(88.2564⨯-⨯⨯-⨯⨯=化简有：将度系数，对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则，nk r T N n k r T N T N T T 5.0)1()1()1,0(1022.11022.15.0)1()1()1,0(),0(,331111,331⨯-⨯-⨯-+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-=n k r T N n k r T N T T ⨯-⨯-⨯-+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-+)1()1()1,0(1022.11022.1)1()1()1,0(,441111,44……（3-1）对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，则)1()1,0(),0(12r T N T N -⨯-= ……（3-2）对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，则，)1()1,0(),0(23r T N T N -⨯-= ……（3-3）对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，则，)1()1()1,0()1()1()1,0(),0(,33,444T T k r T N k r T N T N -⨯-⨯-+-⨯-⨯-=……（3-4）根据前面的分析，要使5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，则只需要控制每年初1龄组鱼群的数量尽量接近于可持续捕捞时1龄组鱼群的组成即可。