浅析初高中二次函数的衔接教学

初高中衔接二次函数方程不等式一、明确复习目标1．掌握二次函数的图象和性质；2．掌握一元二次函数、方程、不等式的关系;3．会讨论二次方程实根分布和二次不等式的解；4．会运用数形结合、分类讨论、函数与方程以及等价转化等重要的数学思想分析解决有关二次的问题。

二．建构知识网络1．二次函数的三种表达式：一般式：；顶点式：；零点式：2．二次函数图象抛物线的开口方向，对称轴：，顶点：，最值：，单调区间：，3．二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，要按对称轴相对于区间的位置进行讨论。

4.一元二次函数、方程、不等式之间的关系5.一元二次方程实根分布的讨论（1） 利用函数的图象、性质;（2） 利用韦达定理、判别式。

三、双基题目练练手1.已知函数f（x）=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f（1）的范围是A.f（1）≥25B.f（1）=25 ( )C.f（1）≤25D.f（1）＞252.二次函数y=x2－2（a+b）x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c 为△ABC的三边长，则△ABC为 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三D.等腰三角形3.如果函数f(x)＝x＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)二、填空题4.函数f（x）=2x2－6x+1在区间［－1，1］上的最小值是______，最大值是________.5．已知函数，则的单调递增区间为简答1-4、ABA； 4、－3 9； 5、；1.对称轴 ≤－2m≤－16，∴f（1）=9－m≥25.2.顶点为（a+b，c2－a2－b2）,由已知c2－a2－b2=0.∴Rt△3．对称轴为x=2;四、经典例题做一做【例1】已知方程（1）都小于零； （2）都小于1；（3）； （4）（5）恰有一根在（1，2）区间内。

借助二次函数衔接初高中数学【摘要】初高中数学教育的重要性不言而喻，而二次函数作为数学学科中重要的一部分，在初高中阶段更是发挥着关键作用。

本文通过探讨二次函数的基本性质，以及初中和高中数学知识与二次函数的联系，揭示了借助二次函数实现初高中数学知识的有效衔接的必要性和可能性。

通过案例分析，展示了如何利用二次函数来衔接不同阶段的数学知识，从而确保学生学习的连贯性和深度。

结论部分强调了二次函数在数学教育中的重要作用，并呼吁进一步完善使用二次函数衔接初高中数学的方法和策略，以促进学生数学学科的全面发展和学习效果的最大化。

通过借助二次函数，可以有效地实现初高中数学知识的衔接，为学生的数学学习提供更好的支持和指导。

【关键词】初高中数学教育、二次函数、衔接工具、基本性质、联系、案例分析、有效衔接、重要作用、方法、策略、未来。

1. 引言1.1 初高中数学教育的重要性数学是一门具有普适性的学科，它不仅在自然科学领域有着广泛的应用，还在工程技术、经济管理等领域发挥着重要作用。

初中数学教育和高中数学教育的衔接至关重要。

只有通过系统性的学习和逐层深化，学生才能建立起完整的数学知识体系，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

在整个教育体系中，数学是一个贯穿始终的主题。

初高中数学教育的衔接非常重要，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

通过借助二次函数作为衔接工具，可以有效地提高学生的数学学习能力，促进他们的全面发展和素质提升。

1.2 二次函数在数学学科中的地位和应用二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在数学学科中有着特殊的地位和广泛的应用。

二次函数是代数学中最基本的函数之一，其形式为y=ax^2+bx+c，是一种二次多项式函数。

在数学学科中，二次函数不仅在初中阶段就开始学习，而且在高中数学中也是重要的内容之一。

掌握二次函数可以帮助我们更好地理解函数的概念和性质，为进一步学习数学打下坚实的基础。

二次函数在数学学科中有着丰富的应用。

做好初高中二次函数的衔接在初中教材中，二次函数的内容跟老教材比起来已经删了很多，在初中对二次函数的理解也只是停留在简单的应用上，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解．进入高中以后，要对他们的基本概念和基本性质（图像以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需更加深入的学习．为了使学生能够更好的学习好二次函数，我觉得要在初中怎样学习这部分的内容值得我们研究,作为初中数学老师我们要做好下面几点.一、首先要理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，但学生真正对理解的不多，特别是给定一个自变量的值就有一个函数值与之对应，学生不理解，可以举例说明如：1、下列图像不是表示Y是X的函数的是（）2下列关系式中不是表示Y是X的函数的是（）A Y2=2XB Y=2X+1C Y=X2D Y=3X通过这样的练习学生就能够理解函数的概念对后续学习打下基础进入高中后在学习集合的基础上要学习映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念．二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识．二、要掌握二次函数的单调性，最值与图像在初中阶段对于二次函数的单调性、最值与图像都是画图理解的，要把这种数形结合的思想教给学生，并能够应用，到了高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性．对于初中许多解决这类二次函数的问题方法到高中也能用，为了高中学好，初中就要打好基础如：对于二次函数y=3x2－5x+6（1）、顶点坐标为什么？对称轴为什么？函数何时有最大值？（2）当X为何值时Y随着X的增大而增大？（3）当-3≤x≤－1时，求Y的取值范围？到了高中类似的有如：y=3x2－5x+6（1）求函数的单调区间，并求最值（2）当-3≤x≤－1时，求该函数的值域．如果在初中能够熟练的掌握了二次函数的这些重要知识到了高中学生学起来也不会吃力了．三、平时渗透二次函数的思想解题，训练学生的思维当我们遇到一些问题常规方法无法解的时候，要训练学生用函数的思想去解决问题如：1、设一元二次方程ax2+2x-5=0有且只有一个根在0和1之间，求a的范围．学生通常都是用求根公式去解，而我们的学生没有学过一元二次不等式，如果用二次函数的知识去解要简单的多，只要知道函数Y=ax2+2x-5 经过（0，-5）画出符合题意的图像，利用函数的值的取值范围就可以求出：•就可以看出当X取1时函数值大于0，可以解出a＞32、求证：不论m取什么实数，方程X2－（m2+m）X+m－2＝0必有两个不相等的实数根．学生看到这样的题想到一元二次方程的△>0的问题．然而本题的判别式△是一个关于m的一元四次多项式，符号不易判断，这就给证明带来了麻烦，若用函数思想分析题意，设Y＝X2－（m2+m）X+m－2，由于它的开口向上，所以只要找到一个实数X0，使得Y<0，就说明这个二次函数的图像与x轴有两个交点，问题就得到了解决．注意观察，容易发现当x＝1时，Y＝1－（m2+m）+m－2＝－m2－1<0，故这个图像必与x轴有两个交点．这就说明要证明的结论是成立的．如果我们老师能在平时的课堂上加以渗透，让学生体会到函数思想在解题中的应用的重要性，到高中后学生自然就不会惧怕函数，那我们的学生到高中以后要轻松的多．二次函数，它有丰富的内涵和外延．作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力，因此这部分内容十分重要．二次函数的内容在初高中的教学中有着重要的地位，作为一位初中数学老师我们是学生学习函数的启蒙老师，要打好学生的函数基础又要为学生的以后的发展服务．。

二次函数在初高中衔接教学中的应用研究摘要：随着教育体制改革的不断深入，初中和高中的教学衔接逐渐受到越来越多的关注。

以初高中数学中二次函数的连接为例，不仅要求学生具有较强的逻辑性，还要求教师不断引入多样化的教学方法，加深学生对相关内容的理解。

因此，在初中和高中实现二次函数教学的有效衔接仍有很大的机遇和挑战。

分析二次函数在初高中衔接教学中的应用价值，进而提出具体的策略。

关键词：二次函数；初高中衔接教学；应用在当前课程改革深化的背景下，数学教学对二次函数指导的要求也在不断提高，要求教师在指导中实现初高中知识的趋同。

然而，考虑到二次函数逻辑性强，学生认知不足，初中数学教师也应注重引入多种教学方法，构建高效的指导课程，以加深学生对相关内容的理解。

一、二次函数在初高中衔接教学中的应用价值在初中数学教学中，二次函数是教学中的重要教学内容。

然而，考虑到学生现阶段的认知和成熟程度，他们的思维能力和逻辑思维意识仍有待提高，相关课程指导标准在这方面并不高。

学生可以掌握相关概念，理解地图，分析和总结二次函数图形的特点，从而获得二次函数的一些直观性质。

然而，高中二次函数的教学在学习方向和内容上更加详细和扩展，这需要学生使用集合和映射等知识来解决当下的问题。

鉴于此，为了保证学生的未来发展，加深学生对二次函数相关知识的理解，初中数学教师应在初中二次函数教学的基础上开展相关知识拓展的教学，如二次方程组合的综合指导，二次不等式和二次函数。

此外，与初中二次函数不变的静态模式不同，高中二次函数仅结合范围和定义的内容就足够了，其函数系数具有一定的变化范围，处于动态模式。

因此，教师在教学中可以将多种教学方法与图像分析方法相结合，深入探究二次函数的奇偶性和单调性，引导学生回顾过去，重新学习新知识。

在此过程中，如果学生无法充分内化二次函数的知识，教师可以通过引导探究、合作学习等方式引导学生学习相关基础知识，从而加深学生对动态二次函数相关内容的理解。

课题：《初高中衔接04二次函数图象与性质》一 教学目标：①掌握二次函数的概念及性质；②能根据二次函数的性质作出简图；③会用配方法研究二次函数的性质；二 教学重点：用配方法研究二次函数的性质与图像；三 教学难点：研究二次函数的性质与图像的一般方法；四 教学过程：1开口向 ，并向上无限延伸。

开口向 ，并向下无限延伸。

对称轴是x ＝ ， 顶点坐标是 对称轴是x ＝ ，顶点坐标是 2、例题分析例1、已知二次函数6421)(2++=x x x f . （1）利用配方求()f x 的最值、顶点坐标、对称轴. （2）求()f x 与x 轴的交点.（3）列表作()y f x =的图象. （4）指出()f x 的单调区间. 例2 已知将二次函数2()f x x bx c =++的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数2x y =的图象，求b 、c 的值.变式：求把二次函数1422+-=x x y 的图象经过下列变换后得到的图象所对应的函数解析式：⑴、向右平移2个单位，向下平移1个单位；⑵、关于直线1-=x .《初高中衔接04二次函数的图象与性质》作业班级 学号 姓名1. 函数2)12(-=x y 的顶点是 （ ）（A ）(1,0) （B ）(－1,0) （C ）(21,0) （D ）(－21,0) 2. 抛物线c x x y +-=422的顶点在x 轴上，则c 值为 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）43. 若0<a ，则函数522-+=ax x y 的图形的顶点在 （ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 4. 函数2)1(22+-=x y 是将函数22x y = （ ）（A ）左移1个单位、上移2个单位得到的 （B ）右移2个单位、上移1个单位得到的（C ）下移2个单位、右移1个单位得到的 （D ）上移2个单位、右移1个单位得到的 5. 设二次函数)1(,0)(,)(2+<-+-=m f m f a x x x f 则若的值为 （ ）（A ）正数 （B ）正、负与m 有关 （C ）负数 （D ）正、负与a 有关 6. 函数3222--=x x y 的单调区间是 （ ）（A ）(∞-,1] （B ）(∞-,－1］ （C ）21,(-∞］ （D ）),21[+∞- 7. 二次函数122++-=x x y 的图像与x 轴交点的个数为 （ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个8. 二次函数422++-=x x y ，则函数 （ ）（A ）对称轴为x=1,最大值为3 （B ）对称轴为x=－１,最大值为5（C ）对称轴为x=1, 最大值为5 （D ）对称轴为x=－１,最小值为39. 已知函数c bx ax y ++=2） （A ）321212--=x x y （B ）321212+-=x x y （C ）321212-+-=x x y （D ）321212+--=x x y 10. 二次函数c bx ax y ++=2图像顶点为(2,1)-，与ｙ轴交点坐标为(0,11),则（ ）（A ）a=1，b=－４，ｃ＝－11 （B ）a=3，b=12，c=11（C ）a=3，b=－6，c=－11 （D ）a=3，b=－12，c=1111. 函数)3(2x x y -=的图像可能是 （ ）12. 若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间(3,1)-上 （） （A ）单调递增 （B ）单调递减 （C ）先增后减 （D ）先减后增 13. 已知,0,0<<b a 那么抛物线22++=bx ax y 的顶点在 （） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 14. 用配方法将函数12212+-=x x y 写成k h x a y +-=2)(的形式是 （） （A ）1)2(212--=x y （B ）1)1(212--=x y（C ）3)2(212--=x y （D ）3)1(212--=x y15. 已知二次函数的图像经过点（1,0），（2,0），（0,2），则该函数的解析式为 （） （A ）222++=x x y （B ）232++=x x y（C ）322+-=x x y （D ）232+-=x x y16. 已知抛物线的顶点坐标为（3,－2），且与x 轴的两个焦点的距离为4.（1）求这个二次行数的解析式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值.A. B. C.。

-057-2021年第12期︵总第264期︶教学案例JIAOXUE ANLI引 言函数概念是中学数学中一个十分重要的基本概念，在整个中学阶段的数学学习中起着非常重要的作用。

在初中阶段，学生只需了解函数的基本概念及基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等即可。

而不同于初中函数的学习，高中阶段，学生要学习函数的概念、定义域、函数解析式等更加抽象的内容。

函数的基本性质也需要在任意函数中体现出来，而并不只局限于某一特殊函数［1］。

正是这些严密抽象的数学语言、多变丰富的表达方式，使得函数成为刚步入高中阶段的学生最难理解与掌握的内容。

因此，要想做好高中函数的入门教学工作，教师就要处理好二次函数的教学衔接工作。

本文主要从初高中二次函数的教学差异着手，提出了初高中二次函数教学衔接的具体建议。

一、初高中二次函数教学差异（一）要求不同初中对二次函数的要求相对较低，只要求学生了解常量与变量的含义，能从变量的角度来理解二次函数的概念，能通过描点、画图掌握二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点、函数的对称轴、有无最值的求解即可。

高中对二次函数的要求则相对较高，要求学生学会用集合对应的语言来刻画二次函数，并且此阶段学习的二次函数更加抽象、复杂。

对于二次函数解析式和最值的考查，在初中的教学中，教师往往会通过以下例题引入。

例1：已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-1,10)，B (1,4)，C (2,7)三点。

（1）求该抛物线的解析式；（2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴。

解：（1）由已知的三点，可得关于a ，b ，c 的三元一次方程组解这个方程组，得a =2，b =-3，c =5.所求二次函数是y =2x 2-3x +5（2）根据公式法，对称轴，顶点坐标是,则y =2x 2-3x +5的对称轴为34，顶点坐标为.而在高中数学教学中，例题的难度会增加很多。

例2：已知f (x )=ax 2-2x +1，若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )=M (a )-N (a )，求g (a )的表达式.解：因为，由13≤a ≤1，得1≤1a ≤3，所以.当1≤1a ≤2，即12≤a ≤1时，M (a )=f (3)=9a -5，故；当2≤1a≤3，即13≤a ≤12时，M (a )=f (1)=a -1，故.所以由以上例题可知，初中求解二次函数的解析式一般是用待定系数法，求顶点或顶点坐标一般也采用配方法或者公式法；而学习高中二次函数，要求学生能够熟练地应用配方法讨论函数的对称轴及最值问题，理解不同形式的最值、单调性问题，掌握所应用的数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化的数学思想。

初高中衔接中对二次函数的探究二次函数是中学数学中重要的内容之一，它是代数学的一部分，对于初高中阶段的学生来说，掌握二次函数的相关知识对于进一步学习数学会有很大的帮助。

接下来，我将从定义、图像、性质和解题四个方面来探究二次函数。

首先，我们来定义二次函数。

二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

其中，a 决定了二次函数的开口方向，正数 a 表示开口向上，负数 a 表示开口向下；b 决定了二次函数的位置，正数 b 表示向右移动，负数 b 表示向左移动；c 决定了二次函数的交点与 y 轴的位置，正数 c 表示向上移动，负数 c 表示向下移动。

这是二次函数的一般形式，也可以通过顶点坐标形式 y = a(x-h)^2 + k 来表示。

其次，我们来看二次函数的图像特征。

首先，图像的开口方向由a的正负决定，当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

其次，顶点坐标(h,k)即为二次函数的最低（或最高）点，由h和k的值决定了图像的位置。

最后，对称轴为直线x=h，图像沿对称轴对称。

接着，我们来讨论二次函数的性质。

首先，二次函数的定义域是实数集，因为任意实数都可以代入到二次函数中。

其次，由于二次函数的开口方向不同，因此有不同的值域。

当a>0时，值域是[k,+∞)；当a<0时，值域是(-∞,k]。

不管开口方向如何，当a≠0时，二次函数都会通过点(h,k)，即函数的顶点。

最后，二次函数的对称轴为直线x=h，这意味着对称轴两侧的点函数值相等。

最后，我们来探究如何解决二次函数的相关问题。

首先，可以通过函数表达式来求解二次函数的顶点坐标，使用公式h=-b/(2*a)和k=f(h)。

其次，可以通过分解因式来求解二次函数的零点，即使得f(x)=0的x值。

具体而言，可以将二次函数表示为f(x)=a(x-p)(x-q)的形式，其中p和q分别为零点。

初高中衔接中二次函数的教学研究摘要：在初中数学之中，函数属于一项重要内容，一直贯穿在中学数学当中。

在初中阶段，函数内容主要含有正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数。

在这之中，二次函数属于初高中当中函数内容的一个衔接点。

所以，把二次函数有关的初中高时期数学教学的衔接工作做好非常重要。

本文旨在对初中高时期数学衔接方面二次函数有关教学策略展开探究，希望能对实际教学有所帮助。

关键词：初中；高中；二次函数前言：在初中以及高中阶段的数学教学之中，存在很多衔接点，二次函数就是其中一个重要内容。

在初中阶段的数学教学之中，大纲对二次函数的整体要求有所降低，致使学生对二次函数的整体理解受到较大限制。

之后，为对高中学习进行适应，需全面分析初高中时期二次函数，这样才可对二次函数这个内容进行有效衔接。

一、图像平移例如，将二次函数图像向上进行平移两个单位，之后向左侧平移四个单位，可以得到的函数图像，求、的值。

解法一：，将其图像向上进行平移两个单位，之后向左侧平移四个单位，可以得到的图像，即的函数图像。

因此，可以得到：，进而得到， .解法二：将二次函数图像向上进行平移两个单位，之后向左侧平移四个单位，可以得到的函数图像，其等价于将的函数图像向下进行平移两个单位，之后向左侧平移四个单位，进而获得的函数图像。

因为将的函数图像向下进行平移两个单位，之后向左侧平移四个单位，进而获得的函数图像，也就是的函数图像。

那么和代表同一函数，进而得到， .上面两种解法可以反映出不同思维方式。

其中，解法一是对条件加以直接运用，通过正向思维对问题进行求解，对应较大的运算量[1]。

解法二主要通过逆向思维进行求解，把原问题实施等价转化，此种解法计算量比较小，可以大大降低解题难度。

在高中阶段，正难则反属于一种常用的解题技巧。

二、分类讨论例如，谈一谈函数图像具有的相关性质。

（1）是否存在最值，如果存在，求出最值；（2）当之时，求函数最值；（3）当之时，求函数最值；（4）结合之前三问，你可以得到什么结论？解析：此题设计是先对基础知识进行复习，不仅能够借助配方法把一般式变成顶点式，可以说明函数具有的性质，同时可以把函数图像呼出来，借助图像说明性质。

初高中衔接教育在中考中的应用——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系中文要求：一、初高中衔接教育在中考中的应用1、二次函数在中考中的应用（1）二次函数的定义：二次函数是一种可以准确表示具有某种特征曲线的函数，它是单调函数的一种，关于横轴对称，可以用于求解各种坐标运动等场合。

（2）二次函数在中考中的应用：在中考中，可以应用二次函数来解答坐标运动的题目，需要运用抛物线的两个焦点、横坐标或纵坐标的变化，以及声明方程的解析式可让抛物线变得更加清晰明了。

2、一元二次方程在中考中的应用（1）一元二次方程的定义：一元二次方程是多项式不超过2次的方程，比如ax2+bx+c=0，它可以使用因式分解法、公式法及图解法解答。

（2）一元二次方程在中考中的应用：一元二次方程可以用来描述各种问题，比如方程的根，物体的运动轨迹等。

在中考中能够应用到解答椭圆的相关题目，可以使用一元二次方程的形式推导一元二次椭圆的方程，从而可以更加清晰的描述运动轨迹及寻求极值点。

3、一元二次不等式在中考中的应用（1）一元二次不等式的定义：一元二次不等式是一种不等式方程，它包括两部分，一部分为一元二次多项式，另一部分为不等式号。

比如ax2+bx+c>0，可以求得解集。

（2）一元二次不等式在中考中的应用：一元二次不等式可以用来表达物体的运动轨迹、计算几何图形的面积，以及求解椭圆的相关题目等。

在中考中，用一元二次不等式可以更加精准的描述物体的运动轨迹和表现出形状，可以使用这种形式提高中考成绩。

二、结论通过上述分析，可以知道，初高中衔接教育在中考中应用二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式等知识点，在解决坐标运动的题目、计算几何图形的面积以及描述物体的运动轨迹等等方面更加精准，可以大大提高考试成绩。

一元二次函数衔接要点：1、二次函数的三种表达一般式：顶点式：交点式：2：二次函数图像抛物线的性质：（1）、图像是轴对称图形（2）、有一个顶点，坐标为（ ）（3）、二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，a>0,开口向上，a<0时开口向下，|a|越大，抛物线的开口越小（4）、常数项C 决定抛物线与Y 轴的交点，抛物线与Y 轴交于（0，c ）3、抛物线与X 轴交点的个数△>0时，抛物线与X 轴有2个交点，△=0时，抛物线与X 轴有1个交点，△<0时，抛物线与X 轴没有交点。

4、二次函数的最值：二次函数在自变量X 取任意实数时的最值情况：当a>0时，函数在 处取得最小值 ，4无最大值当a<0时，函数在 处取得最大值 ，无最小值典例解析：类型一：基本性质例1、（1）已知抛物线2244y x x =-+-,顶点坐标是 ，与Y 的交点坐标是 ，以其顶点为中心旋转180°，得到的新抛物线解析式为 。

（2）、将抛物线243y x x =++化成2()y a x h k =-+的形式是 ，其对称轴为 ，开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而增大。

（3）、已知抛物线2246y x x =--+，则其和X 轴的交点坐标为 ，当 时，y>0;当 时，y ≤0.（4）、二次函数23(1)2y x =--+的图像，可由23y x =-的图像先向 平移 个单位，再向 平移 个单位。

类型二：求二次函数解析式例2、已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-5,0），B （-1,0），顶点C 到X 轴的距离为2，求此抛物线的解析式小结：求二次函数解析式，应根据函数的图像，结合待定系数法求解。

变式：已知y 是二次函数，当x=3时，y 有最大值10，且它的图像在x 轴上截得的线段长为4，求函数y 的解析式。

类型三：求给定区间上二次函数的最值例3、函数223y x x =--，（1）、求当22x -≤≤时，y 的最大值和最小值（2）、求当4a x ≤≤时，函数y 的最小值例4设函数221,y x x x R =+--∈,求函数y 的最小值例5、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值（其中t 为常数）小结：1、作出函数在给定范围的图像及其对称轴的草图，观察图像的最高点和最低点，由此得到函数的最大值，最小值及函数取到最值时相应的自变量x 的范围；2、二次函数在给定范围上的最值问题，要根据x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。

初高中教材衔接--二次函数的图像与性质初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平，二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题。

而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；同时以函数知识点间的逻辑思想作为核心，再次学习二次函数的图像与性质，让学生体验和适应高中数学函数的知识特点。

教学目标：①知识与技能：二次函数的图像与性质；二次函数与,,a b c的关系；二次函数与一元二次方程的关系；②方法与过程：回顾我们已经学习过的内容，函数知识点间的逻辑思想（推广、类比、特殊化），我们将函数的性质大致分为三个（单调性、对称性、最值），在确保学生对二次函数的知识点有一定基础的情况下，以研究函数的单调性、对称性、最值为目标，研究和学习二次函数的图像和性质；③情感态度价值观：学生提高数学逻辑能力；学生提高数据分析能力；学生提高数学思维、数学眼光；教学重点：二次函数的图像与性质；二次函数与,,a b c的关系；二次函数与一元二次方程的关系；教学难点：以研究函数的单调性、对称性、最值为目标，研究和学习二次函数的图像和性质；教学方法：讲解、讨论、提问、授课教学用具：希沃白板教学过程：（导入）回顾初高中衔接课--一次函数与反比例函数中的知识点：函数知识点间的逻辑思想①推广；②类比；③特殊化；再次明确高中函数类比关系中的三个性质：单调性、对称性、最值，并以此为研究和学习的目标，再次研究和学习二次函数的图像与性质。

一次函数 二次函数 推广 正比例函数 特殊化类比类比 类比反比例函数（授课）知识点一：二次函数的图像与性质定义2(,,,0)y ax bx c a b c a =++≠为常数 a 的取值 0a > 0a <图象性质 单调性 1.在对称轴左侧,即当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小.2.在对称轴右侧,即当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大.1.在对称轴左侧,即当2b x a<-时,y 随x 的增大而增大.2.在对称轴右侧,即当2b x a>-时,y 随x 的增大而减小. 对称性 1.对称轴为直线2b x a =-. 2.利用122x x x +=求解(其中12,x x 为图象上关于对称轴对称的两点的横坐标).最值 当2b x a =-时,y 取最小值,最小值为244ac b a-. 当2b x a=-时,y 取最大值,最大值为244ac b a -. 顶点坐标 1.顶点坐标:24(,)24b ac b a a --. 2.将一般式配方为顶点式()y a x h k =-+,则顶点坐标为(,)h k .难点突破：引导学生明确研究问题，如我们现在要研究2(,,,0)y ax bx c a b c a =++>为常数的单调性，则引导学生通过二次函数的图像找到二次函数的单调性，并确定具体的单调性为当2bx a <-时,函数y 随x 的增大而减小，当2bx a >-时,函数y 随x 的增大而增大.知识点二：二次函数2(,,,0)y ax bx c a b c a =++≠为常数的图像与,,a b c 的关系2220,0,0,2,0,20,240,2,,40,140,a a a by a b a b y a b y a b ac x a b c b ac x b ac x ⎧⎪⎪>⎧⎪⎨<⎩⎪⎧->⎪⎪⎪-=⎨⎨⎪⎪-<⎪⎩⎧∆=->⎪∆=-=⎨⎪∆=-<⎩开口向上决定函数图像开口的方向开口向下对称轴图像偏轴右侧共同决定函数图像的横向位置对称轴图像关于轴对称对称轴图像偏轴左侧图像与轴有个交点共同决定函数图像的纵向位置图像与轴有个交点图像与轴有没有交点⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 知识点三：二次函数与一元二次方程的关系x ∆⎧⎫⎪⎪∆⎨⎬⎪⎪∆⎭⎩ 2个,>0二次函数的图像与轴的交点个数 1个,=0一元二次方程的根的个数 无 ,<0例题讲解：求函数223y x x =--的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．21,2,30121,1,4)24(1,4),a b c a bx x a x y x x y x b ac b a a ==-=->∴=-∴=∴<>--∴-解：由题可知：函数图像开口向上对称轴函数的对称轴是当时函数随的增大而减小当时函数随的增大而增大函数的顶点坐标为（，函数的顶点坐标为函数的最大值为-4y x-1 3课堂小结：知识点一：二次函数的图像与性质，以函数的单调性、对称性、最值为主要方向研究和学习二次函数；知识点二：二次函数2(,,,0)y ax bx c a b c a =++≠为常数的图像与,,a b c 的关系与数形结合的思想；知识点三：二次函数与一元二次方程的关系与推广学习的逻辑思想；课后作业：求函数216y x x =+-的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．。

高效课堂新课程NEW CURRICULUM搭建“衔接”桥梁，构建和谐课堂———二次函数在初、高中教学中的过渡王世平（甘肃省榆中县第四中学）二次函数是初、高中阶段中基本的初等函数，对于初中生而言，二次函数逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。

近年来，随着课改的浪潮，初中数学教材也进行了几次改版，教学内容作了较大程度的压缩，而高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，二次函数在表面来看，初、高中是一致的，其实，在初中阶段，只注重学生掌握二次函数的基础知识的应用和简单的实际情景问题的应用。

在高中阶段的学习，虽和初中阶段的学习存在很多共同点，但最多的是不同点。

因此，如何衔接初、高中数学教学，如何充分发挥二次函数在中学阶段的衔接功能。

使学生比较顺利、自然、快捷地完成由初中向高中的过渡。

一、初、高中课程标准对二次函数教学目标的对比（一）初中课程标准1.对实际问题情境的分析确定二次函数表达式，并体会二次函数的意义。

2.描点法画出二次函数图象，能从图象上认识二次函数的性质。

3.配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点，说出二次函数的开口方向画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题。

4.用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

（二）高中课程标准而对二次函数内容提出的要求较高，要熟练掌握图象和性质，特别是利用函数思想、数形结合思想、待定系数法、配方法等思想方法来重新认识多项式、方程和不等式，研究解的有关问题和最值问题，同时向三角函数、数列、解析几何、立体几何渗透，使二次函数的应用不断拓展和深化，由单一走向综合。

由此可见，初中所学内容是远远不能满足高中教学和需要。

现就例题做一说明：求函数y=3sin x2+sin x+4的最小值和最大值。

分析：该题是利用二次函数解决三角函数的最值问题，若设t=sin x，（-1≤t≤1），所以该函数化为y=3t2+t+4（-1≤t≤1），再求最小值和最大值。

以二次函数为例，谈初高中数学教学的衔接问题摘要：《高中新课程标准》的出台，导致课程衔接难题接踵而至，倍受重视。

对初中、高中学生来说，被视作数学的基础教育，虽然二者存在着明显差异，但二者却又处于相互联系的二大段，尤其是二次函数这一知识点可谓是中初高的一个关键衔接节点。

因此，从二次函数来谈初高中数学如何合理衔接极具重要价值。

笔者首先就初高中二次函数的差异和中学数据对中学知识的重要作用做出了说明，而后又根据实际情况给出了基于二次函数的初高中9数学衔接对策。

关键词：二次函数；初高中数学；衔接问题引言：在新课程改革政策强力推行的背景下，初高中数学课程内容均有了很大改变，这也就对高中的数学教育工作提出了全新需求，使其更需要对如何设计、进行教育工作方可帮助学校更好的应对高中课程进行反思。

如二次函数在初高中生都是重中之重，于中学为参数分析的集大成者，于中学为变量属性探究的重要典范。

当前，中国较多数学教师在教学时滞着眼于课程目标的实现，而并未对初高中内容的衔接性进行考虑。

因此，本次研究成果以二次函数为例，并将其作为中国初高中数学课程衔接的重要代表进行了研讨，为中国初高中数学更好的衔接进行了参考。

一、初高中二次函数的区别以往的教学方法较为被动与呆板且为机械式的复习方式,往往忽视了高中生的主体感受和数学观念的养成,限制高中生探索的脚步。

新课改的新内容中提出的新数学教育思想为在课堂理念层面的转变创造了条件,也蕴含了研究性学习的主要意义。

新课堂改革在利用学科素养,认识研究性学习的重要意义的同时赋予了高中生自由实践的时间,并引导高中生在数学模拟环境中应用科学知识,从而建立独立的知识点教学架构,让高中生在教学实践中把问题抽象为模型,并加以解决和利用。

当进入高中以后，从以往的单纯函数问题发展至更加抽象函数问题，从而导致函数问题图形的开口方位和对称轴出现改变，并使得区间具有相应变形，使得问题更加抽象，从而要求学生具有较强的逻辑思维和想象能力。

二、新课程理念下信息技术教学的革新论之重视学生个性的体现 新课标出台后，规定了教育教学要以发展学生个性为前提，学 校教育教学更应该重视培养学生的个性，激发学生的潜力。作为教 师，要在教学过程中引导学生的自主能力，培养学生的自主能力， 新课程理念下的教学，要求教师摒弃传统的教学模式，因为传统的 教育教学模式中，注重时间的均匀分配，在整节课的教学中规定了 每个部分的时间，这样的教学难免让学生觉得死板，没有新意，减 少了学生对课程的兴趣。随着新课程理念的提出以及信息化时代 的来临，学校教育教学更加注重与信息技术相结合，真正做到信息 技术教学，在教育教学中运用多媒体等设备，由老师带领同学进行 生动的讲解，不再是过去黑板式的教学方式，教师还可以在讲课方 法上面采用让学生给学生讲课的方法，在学生中选择有一定基础 的同学，可以根据自身学习知识和积累知识的经验，给同学讲解学 习过程中应该注意的事项。在学生上学后，学生讲课的事情是非常 少见的，教师可以将多媒体交给学生，让他们进行课前的 PPT 演 讲，自己回家制作课件，为同学讲解所需要学习的基本知识，而且 学生讲课会大大激发其他学生学习的兴趣，教师在讲解完基本要 求后，每节课安排同学讲课，会起到事半功倍的教学效果。 三、新课程理念下信息技术教学的革新论之“授之以渔”的教 学方法 学校教育教学的最终目的是培养学生对学习的爱好、对我国 文化和文明的兴趣，进而让学生能够主动地进行学习，提高自身素 质和修养。新课标中教学任务的根本，是让教师教授学生学习的方 法，使学生养成学习的好习惯。在学校教育教学中，教师不仅要教
116 新课程学习
新课程理念下信息技术教学的革新论
文/孙万斌
摘 要：在新课标出台后，全国各项教学都根据新课标的要求进行教育教学的改革创新。针对科技的发展趋势以及信息技术教学 的革新，在新课程理念的指导下，对新课程理念下信息技术教学加以分析，进行教学改革，提高教学质量。浅谈新课程理念下信息技术 教学的革新论。

上好二次函数再研究，做好初高中数学衔接教学摘要：初高中数学在难度方面具有较大的落差，这导致不少高一学子感到学习上的不适。

二次函数是学生在初中学习过的难度较大的知识点，其在高中数学中具有承上启下的重要作用。

本文结合高中数学课堂需要，探讨了二次函数在高中数学课堂再研究的意义与内容，为做好初高中数学衔接教学提供有益的参考与启迪。

关键词：二次函数再研究；初高中数学；衔接教学在高一上学期必修①的教学中，学生常常会感到高中数学难学难懂。

与初中学习相比，普遍的出现成绩大幅下滑的现象。

除了高中数学难度的加大，抽象性更强以外，初高中数学学习缺乏有效的衔接与过渡，也是一个很重要的原因。

在“双减”背景形势下，义务教育阶段追求的是学生的整体全面提高，学生的学习形式更生动活泼了，学生的整体成绩也不断提升了，但学生的学习难度却相对降低了。

这就是初高中数学教学脱节的根本原因。

如果不在学生一升入高中的起始阶段，对这些脱节的知识点进行补充，学生在学习中就会感到茫然，给学习后续课程增加许多不必要的障碍。

比如，因式分解，在初中，学生没有要求用十字相乘法，或者有要求也是二次项系数为1的二次三项式；对于公式法分解因式，立方和、差公式则被删除了，如果不及时补充，学生也会在今后练习中感到困难。

另外，一些因式分解的特殊技巧，如添项拆项法，配方法等，学生也从未接触过。

当然，以上这些知识点的缺漏可以在碰到相应练习时补充即可，不一定用专门的课时去解决。

可是，对于二次函数，笔者以为单靠这样的修补学习是不够的。

二次函数，学生在初中学习中已有了一些基础，但这些基础还不够系统化，高中数学中还要学习的三大函数—指数函数，对数函数，幂函数，相比之下会更具抽象与概括性。

二次函数系统学习中的研究方法对于这些函数的学习无疑具有指导与借鉴意义。

因此，笔者以为要做好初高中数学衔接教学，除了做好平时练习的补充以外，增加二次函数再研究的学习也是迫切需要的。

那么如何上好“二次函数再研究”，做好初高中数学的衔接教学呢？一、复习二次函数y=ax2+bx+c并系统化1.温故而知新我常常对学生说：只学习、不练习、不复习、铁定没出息！数学的精髓在于解题，问题是数学的灵魂。

知识文库 第14期93浅谈一元二次函数的初高中衔接教学纪贤高初高中数学在难度、知识量和学习方式上都有很大差别。

初中数学内容较通俗易懂，直观形象，对抽象思维能力要求不高。

而高中数学教材较多的研究的是变量，需要学生具有较强的抽象思维能力。

因此学生进入高中后，存在一定的学习困难。

作为教师，有必要对初高中数学衔接教学进行研究。

本文着重探讨一元二次函数的初高中衔接教学。

1 加强二次函数初高中衔接教学的必要性1.1二次函数在高中数学具有举足轻重的地位。

二次函数是高中数学的重要内容，它贯穿着几乎整个高中数学的教学内容，如集合、函数、不等式、三角函数、解析几何、导数等都有二次函数的身影。

许多数学方法，如配方法、换元法、分类讨论法等都与二次函数有密切的关系。

同时二次函数也是高考考查的重点，分析每年全国各地的高考试卷，或多或少有涉及到二次函数的相关知识或方法。

1.2初中二次函数内容较少，高中更丰富。

初中与二次函数相关内容只有一元二次方程、二次函数的图像和性质。

而高中还要掌握十字相乘法、根与系数的关系、一元二次不等式等内容。

1.3初高中对二次函数的要求上存在很大差异。

初中只要求学生掌握一元二次方程的解法，二次函数图像与性质的简单应用，难度较小，要求不高。

而高中二次函数的知识分散在其它内容之中，解题方法多变，考查方式灵活，难度增大。

这使得很多学生的思维停留在初中上，给学生学习二次函数造成了很大的困难。

基于以上几个原因，教师很有必要加强对初高中二次函数衔接教学。

2 初高中二次函数学习的主要差异2.1从两个二次到三个二次的提升。

根据《全日制义务教育数学课程标准》，二次函数这部分内容的要求是：理解二次函数和抛物线的概念，会用描点法画出二次函数的图像，会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴，会求抛物线的解析式，理解一元二次方程与二次函数的关系。

而高中，在学习了集合之后，利用集合来定义函数，使函数的研究内容、研究方法和初中比有很大的提升。