2020届湖南省邵阳市第二中学高三数学文科模拟试题(有答案)

利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试题满分150分.考试时量120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的）1．给出下列函数：①3x x y -=，②x x x y cos sin +⋅=，③x x y cos sin ⋅=， ④x x y -+=22，其中是偶函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．若α、β终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是 （ ）A ．βαsin sin =B ．βαcos cos =C ．βαtan tan =D ．βαcot cot =3．设全集U=R ，(},034|{},2|||{2I A x x x B x x A 则<+-=>= B ）是 （ ）A ．}2|{-<x xB ．}32|{≥-<x x x 或C ．}3|{≥x xD ．}32|{<≤-x x4．函数xx x f 9)(+=的单调递增区间是（ ）A ．（－3，3）B ．),3(),3,(+∞--∞C ．（－3，+∞）D ．（－3，0），（0，3）5．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:36．若1212221012)23(x a x a x a a x ++++=+Λ，则-++++211531)(a a a a Λ 212420)(a a a a ++++Λ的值是（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－27．在平面α内的两条直线l 、m 都平行于平面β是平面βα//的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分也不必要条件8．把)(x f =3x 的反函数)(1x f -图象向右平移2个单位就得到曲线C ，函数)(x g 的图象与曲线C 关于x y =成轴对称，那么)(x g 等于（ ） A ．2)()(+=x f x g B ．2)()(-=x f x gC ．)2()(+=x f x gD ．)2()(-=x f x g9．已知点A 为双曲线122=-y x 的顶点，点B 和点C 在双曲线的同一分支上，且A 与B 在y 轴的异侧，则正△ABC 的面积是 （ ） A ．33 B ．332 C ．33 D ．3610．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过其焦点的直线交于两点A 、B ，则OB OA ⋅等于（ ） A ．43B ．43-C ．－3D ．311．记函数x x x f sin 3)(2+=在区间[－2，2]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M+m 的值为（ ） A ．0B ．3C ．6D ．812．13年前有一笔扶贫助学资金，每年的存款利息（年利率11.34%，不扣税）可以资助100人上学，平均每人每月94.50元。

2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，2}D．{2}2．若复数z满足z2＝5﹣12i，则z＝（）A．3+2i或﹣3﹣2i B．3﹣2i或﹣3+2iC．1+2i或1﹣2i D．±133．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+4B．3πC．2πD．π4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．5．设a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a3＞b3”成立的（）A．充要不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充要也不必要条件6．若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）7．已知函数f（x）＝sin（x+α），x∈R，则当α∈[0，π]时函数f（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．8．在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝3，a n+2＝a n+1﹣a n（n≥1），则该数列的前50项之和是（）A．18B．8C．9D．49．已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝2x，则f（log212）＝（）A．B．C．D．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点E为棱BB1上的点，且BE ＝2EB1，则异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝2，则直线PF的方程为（）A．x﹣y﹣＝0B．x﹣y+1＝0C．x﹣y﹣1＝0D．x+y﹣＝0 12．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈（0，π），有f′（x）sin x＜f（x）cos x，且f（x）+f（﹣x）＝0．设a＝﹣2f（﹣），b＝f（），c ＝f（），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a二、填空题：有4个小题，每小题5分，满分20分．13．在△ABC中，＝（1，2），＝（﹣4，2），则△ABC的面积为．14．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件：（i）老年人的人数多于中年人的人数；（ii）中年人的人数多于青年人的人数；（ⅲ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数．①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为；②抽取的总人数的最小值为．15．已知函数f（x）＝，若存在四个不同的实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4＝．16．已知点O为坐标原点，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x+2）2+y2＝4，A，B分别为圆M和圆N上的动点，△OAB面积的最大值为．三、解答题：有6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣a1，且满足a1，a2+，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求使|T n﹣2|＜成立的n的最小值．18．已知函数f（x）＝cos x（sin x+cos x）﹣．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）在区间[m，]上的最小值为﹣1，求m的最大值．19．如图，在平面图形PABCD中，ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD＝，M为CD的中点，将△PAD沿直线AD向上折起，使BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若直线PM与平面ABCD所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．半圆O：x2+y2＝1（y≥0）的直径两端点为A（﹣1，0），B（1，0），点P在半圆O 及直径AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．21．已知f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈[1，+∞），都有x•f（x）≥a，求实数a的取值范围．22．某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点．运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：[﹣5，0），[0，5），[5，10），[10，15），[15，20]，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”．（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“精英店与采促销活动有关”；采用促销无促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价x i（单位：元）和日销量y i（单位：件）（i＝1，2…，10）的一组数据后决定选择y＝a+bx2作为回归模型进行拟合．具体数据如表，表中的w i＝x i2（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ﹣）（w i ﹣）（y i ﹣）45.8395.52413.5 4.621.6﹣2.3﹣7.2①根据上表数据计算a，b的值；②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价x定为多少时日利润z可以达到最大．附①：K2＝P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828附②：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝﹣．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，2}D．{2}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{﹣1，2}，B＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，∴A∩B＝{﹣1}．故选：A．2．若复数z满足z2＝5﹣12i，则z＝（）A．3+2i或﹣3﹣2i B．3﹣2i或﹣3+2iC．1+2i或1﹣2i D．±13【分析】设复数z＝a+bi（a，b∈R），满足z2＝5﹣12i，可得a2﹣b2+2abi＝5﹣12i，可得a2﹣b2＝5，2ab＝﹣12，解出即可得出．解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），满足z2＝5﹣12i，∴a2﹣b2+2abi＝5﹣12i，∴a2﹣b2＝5，2ab＝﹣12，解得a＝3，b＝﹣2，或a＝﹣3，b＝2．∴z＝3﹣2i，或﹣3+2i．故选：B．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3π+4B．3πC．2πD．π【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：由题意可知，几何体是半个圆柱，所以几何体的体积为：＝π．故选：D．4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A为OB的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．解：不妨设OA＝1，扇形中心角为θ．∴此点取自扇面（扇环）部分的概率＝＝．故选：C．5．设a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a3＞b3”成立的（）A．充要不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充要也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．解：设f（x）＝x|x|＝，如图示：则函数f（x）为增函数，则当a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分必要条件．而a＞b⇔a3＞b3，故“a|a|＞b|b|”是“a3＞b3”成立的充要条件，故选：C．6．若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z＝x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．7．已知函数f（x）＝sin（x+α），x∈R，则当α∈[0，π]时函数f（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的性质的应用．奇偶性的应用和函数的值的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin（x+α），设g（x）＝，h（x）＝sin（x+α），由于g（﹣x）＝＝﹣g（x）所以函数g（x）为奇函数．当α＝0或π时，函数h（x）为奇函数．当时，函数h（x）为偶函数．所以f（x）＝g（x）h（x）为偶函数或奇函数．当函数为偶函数时，若x时，选B．当x时，选A．当函数为奇函数时x或x，函数sin x＞0，g（x）＝＜0．选项D有可能．故排除C．故选：C．8．在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝3，a n+2＝a n+1﹣a n（n≥1），则该数列的前50项之和是（）A．18B．8C．9D．4【分析】利用数列的通项公式，利用递推思想先求出数列的前8项，得到数列{a n}是以6为周期的数列，由此能求出该数列的前50项之和．解：∵在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝3，a n+2＝a n+1﹣a n（n≥1），∴a3＝3﹣1＝2，a4＝2﹣3＝﹣1，a5＝﹣1﹣2＝﹣3，a6＝﹣3+1＝﹣2，a7＝﹣2+3＝1，a8＝1+2＝3，∴数列{a n}是以6为周期的数列．∵50＝6×8+2，∴该数列的前50项之和是：S50＝8×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2＝8（1+3+2﹣1﹣3﹣2）+1+3＝4．故选：D．9．已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝2x，则f（log212）＝（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由f（x）＝f（x+4）分析可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由对数的运算性质可得log212＝log23+2，由函数的解析式，计算可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），则函数f（x）是周期为4的周期函数，f（log212）＝f（log23+2﹣4）＝f[﹣（2﹣log23）]＝﹣f（2﹣log23）＝﹣2 2﹣log23＝﹣．故选：A．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点E为棱BB1上的点，且BE ＝2EB1，则异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与A1B1所成角的正弦值．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），E（2，2，2），A1（2，0，3），B1（2，2，3），＝（2，2，2），＝（0，2，0），设异面直线DE与A1B1所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴sinθ＝＝＝．∴异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为．故选：B．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝2，则直线PF的方程为（）A．x﹣y﹣＝0B．x﹣y+1＝0C．x﹣y﹣1＝0D．x+y﹣＝0【分析】利用抛物线的定义，结合＝2，P的纵坐标为正数求出直线的斜率，即可求出直线PF的方程．解：设Q到准线l的距离为d，则|QF|＝d，∵P（P的纵坐标为正数）为C的准线上一点，Q是直线PF与C的一个交点，＝2，∴|PQ|＝2d，∴直线PF的斜率为﹣，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y＝﹣（x﹣1），或x+y﹣＝0．故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈（0，π），有f′（x）sin x＜f（x）cos x，且f（x）+f（﹣x）＝0．设a＝﹣2f（﹣），b＝f（），c ＝f（），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】可设，根据条件即可得出x∈（0，π）时，g′（x）＜0，即得出g （x）在（0，π）上是减函数，并根据条件可判断出g（x）是偶函数，这样即可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．解：设，∴，∵x∈（0，π）时，f′（x）sin x＜f（x）cos x，∴x∈（0，π）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上是减函数，又x∈R时，f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的偶函数，∴，∴c＜b＜a．故选：D．二、填空题：有4个小题，每小题5分，满分20分．13．在△ABC中，＝（1，2），＝（﹣4，2），则△ABC的面积为5．【分析】利用数量积运算性质、三角形面积计算公式即可得出．解：∵•＝﹣4+4＝0，∴AC⊥AB．又＝＝，||＝＝2．∴△ABC的面积＝×＝5．故答案为：5．14．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件：（i）老年人的人数多于中年人的人数；（ii）中年人的人数多于青年人的人数；（ⅲ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数．①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为6；②抽取的总人数的最小值为12．【分析】由题意，求出老年人的最大值、青年人数的最小值，可得结论．解：①若青年人的人数为4，则老年人数小于2×4＝8，故老年人数最多为7，∵老年人的人数多于中年人的人数，故中年人的人数对多为6．②由题意，∵青年人的人数最少为3，故中年人的人数最少为4，老年人的人数最少为5，抽取的总人数的最小值为3+4+5＝12，故答案为：6；12．15．已知函数f（x）＝，若存在四个不同的实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4＝8．【分析】作出函数f（x）的图象，根据图象对称性即可求得答案．解：作出函数f（x）的图象如图，由图可知x1+x2＝2，x3+x4＝6，则x1+x2+x3+x4＝8．故答案为8．16．已知点O为坐标原点，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x+2）2+y2＝4，A，B分别为圆M和圆N上的动点，△OAB面积的最大值为．【分析】以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，推得F为BO的中点，由对称性可得OA＝OE，由三角形的面积公式推得，可得S△ABO ＝S△EAO＝2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，运用三角形的面积公式和凸函数的性质，计算可得所求最大值．解：如图以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，则NF与OB垂直，又NB＝NO，F为BO的中点，由对称性可得OA＝OE，由S△ABO＝OA•OB sin∠AOB，S△EBO＝OE•OB sin（π﹣∠AOB）＝OE•OB sin∠AOB，可得S△ABO＝S△EAO＝2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，由圆内接三角形A'B'C'的面积S＝a'b'sin C'，a'＝2sin A'，b'＝2sin B'，S＝2sin A'sin B'sin C'≤2（）3，由f（x）＝sin x，x∈[0，π]，为凸函数，可得≤sin＝sin＝，当且仅当A'＝B'＝C'＝时，取得等号，可得2（）3≤2×＝．即三角形OEF的面积的最大值为．进而得到S△ABO最大值为2×＝，故答案为：三、解答题：有6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣a1，且满足a1，a2+，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求使|T n﹣2|＜成立的n的最小值．【分析】（1）由递推关系式S n＝2a n﹣a1，可得a n＝2a n﹣1（n≥2），结合a1，a2+，a3成等差数列，可求得a1＝1，从而可得数列{a n}的通项公式为；（2）由（1）得＝，利用等比数列的求和公式可求得T n＝2﹣，再由|T n ﹣2|＜，即可求得使|T n﹣2|＜成立的n的最小值．解：（1）由已知S n＝2a n﹣a1，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n＝2a n﹣1，（n≥2），从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又∵a1，a2+，a3成等差数列，∴a1+a3＝a2+1，∴a1+4a1＝4a1+1，解得a1＝1，∴{a n}的通项公式为：a n＝2n﹣1；（2）由（1）得＝，所以T n＝＝2﹣，由|T n﹣2|＜，即＜，∴2n﹣1＞500，即2n＞1000，∴n的最小值是10．18．已知函数f（x）＝cos x（sin x+cos x）﹣．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）在区间[m，]上的最小值为﹣1，求m的最大值．【分析】（1）化简可得出，然后解不等式，k∈Z即可得出f（x）的单调递减区间；（2）根据题意即可得出，存在，使，从而得出，k∈Z，这样即可求出m的最大值．解：（1）＝＝，解得，，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为；（2）当f（x）在区间上的最小值为﹣1时，存在，使，∴，k∈Z，解得，k∈Z，则k＝0时，存在，∴m的最大值为．19．如图，在平面图形PABCD中，ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD＝，M为CD的中点，将△PAD沿直线AD向上折起，使BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若直线PM与平面ABCD所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（1）取AD中点E，连接PE，EM，AC，可得PE⊥AD，然后证明BD⊥PE，可得PE⊥平面ABCD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（2）由（1）知，PE⊥平面ABCD，连接EM，可得∠PME＝30°，求解三角形可得PE ＝1，再求出四边形ABCD的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】（1）证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，∵PA＝PD，得PE⊥AD，由底面ABCD为菱形，得BD⊥AC，∵E，M分别为AD，CD的中点，∴EM∥AC，则BD⊥EM，又BD⊥PM，∴BD⊥平面PEM，则BD⊥PE，∴PE⊥平面ABCD，而PE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知，PE⊥平面ABCD，连接EM，可得∠PME＝30°，设AB＝a，则PE＝，EM＝，故tan∠PME＝tan30°＝，即，解得a＝2．故PE＝1，．故．20．半圆O：x2+y2＝1（y≥0）的直径两端点为A（﹣1，0），B（1，0），点P在半圆O 及直径AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．【分析】（1）设Q（x，y），则P（x，），分别讨论P在直径AB上时，以及P在半圆O上时，代入方程，化简可得所求曲线的方程；（2）设曲线上两动点G（x，y），H（x0，y0），显然G，H至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大，不妨设y≥y0≥0，运用两点的距离公式和椭圆方程，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值，即曲线C的“直径”．解：（1）设Q（x，y），则P（x，），由题意可得当P在直径AB上运动时，显然y＝0（﹣1＜x＜1）；当P在半圆O上时，x2+（）2＝1（y≥0），所以曲线C的方程为y＝0（﹣1＜x＜1）或x2+＝1（y≥0）；（2）设曲线上两动点G（x，y），H（x0，y0），显然G，H至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大，不妨设y≥y0≥0，则|GH|2＝（x﹣x0）2+（y﹣y0）2≤（x﹣x0）2+y2＝（x﹣x0）2+4（1﹣x2），∵（x﹣x0）2+4（1﹣x2）＝﹣3x2﹣2x0x+x02+4＝﹣3（x+）2++4≤+4＝，∴|GH|2≤，等号成立时，G（，），H（﹣1，0）或G（﹣，），H（1，0），由两点的距离公式可得|GH|max＝，故曲线C的“直径”为．21．已知f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈[1，+∞），都有x•f（x）≥a，求实数a的取值范围．【分析】（1）先对函数进行求导，结合已知定义域分类讨论a的范围即可求解；（2）由x•f（x）≥a，得ax2﹣a﹣xlnx≥0，结合x≥1，可得，构造函数，结合导数分类讨论a，判定g（x）的单调性，可求．【解答】解（1），令φ（x）＝ax﹣1，x∈（0，+∞），当a≤0时，φ（x）＜0，f（x）在（0，+∞）单调递减，当a＞0时，令φ（x）＝0，，由f'（x）＞0，，f（x）在[1，+∞）上单调递增；由f'（x）＜0，，f（x）在上单调递减；所以，f（x）的递增区间是[1，+∞）；f（x）的递减区间是；（2）∵x•f（x）≥a，即ax2﹣xlnx≥a，得ax2﹣a﹣xlnx≥0，又x≥1，不等式两边同时除以x，得，即，设，则，若a≤0，则当x＞1时，，lnx＞0，此时g（x）＜0，不满足题意；若a＞0，令g'（x）＝0，即ax2﹣x+a＝0，当△＝1﹣4a2≤0时，即，g'（x）≥0恒成立，所以g（x）在x∈[1，+∞）上递增．而g（1）＝0，所以当x∈[1，+∞）时，g（x）≥0满足题意；当△＞0时，即，g'（x）＝0有两个不等的实数根，设为x1，x2，且x1＜x2，则x1x2＝1，，所以0＜x1＜1＜x2，当1＜x＜x2，g'（x）＜0，故g（x）在（1，x2）上单调递减，而g（1）＝0，当x∈（1，x2）时，g（x）＜0，不满足题意，综上，．22．某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点．运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：[﹣5，0），[0，5），[5，10），[10，15），[15，20]，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”．（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“精英店与采促销活动有关”；采用促销无促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价x i（单位：元）和日销量y i（单位：件）（i＝1，2…，10）的一组数据后决定选择y＝a+bx2作为回归模型进行拟合．具体数据如表，表中的w i＝x i2（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ﹣）（w i ﹣）（y i ﹣）45.8395.52413.5 4.621.6﹣2.3﹣7.2①根据上表数据计算a，b的值；②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价x定为多少时日利润z可以达到最大．附①：K2＝P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828附②：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝﹣．【分析】（1）直接由题意可得2×2列联表；（2）①由已知求得b与a的值；②由①求得线性回归方程，若售价为x，单价利润为x ﹣15，日销售量为，写出日利润z＝，利用导数求最值．解：（1）2×2列联表如图，采用促销无促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100∵＞6.635，∴有99%的把握认为“精英店与采促销活动有关；（2）①由根式可得，，；②由①可得线性回归方程为．若售价为x，单价利润为x﹣15，日销售量为．故日利润z＝，z′＝﹣（x+30）（x﹣40）．当x∈（0，40）时，z＝单调递增，当x∈（40，+∞）时，z＝单调递减，∴当售价为40元时，日利润达到最大值为元．。

邵阳市2020届高三第2次联考数学（文）一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|22}P x x =-≤≤，{|1}Q x x =<，那么P Q =I （ ）A ．[2,1)-B ．[0,1)C ．[2,2]-D ．(0,1) 解：∵{|22}P x x =-≤≤，{|01}Q x x =≤<，∴P Q =I [0,1)，故选B ．2. 已知复数2(1)(1)i z i i +=-，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为iB ．||2z =C ．z 的共轭复数1z i =-+D ．2z 为纯虚数解：∵2(1)22(1)2(1)1(1)1(1)(1)2i i i i i z i i i i i i +-+=====+-++-，∴z 的虚部为1； ||2z =；1z i =-，故只有D 对，验证22(1)2z i i =+=正确，故选D ．3．太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近 12 个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时） 的茎叶图如图，若其众数为 x ，中位数为 y ，则 x - y =（ ）A ．19.5B ．2C ．21D ．11.5解：∵众数为x =87，中位数为646765.52y +==，∴8765.511.5x y -=-=，故选D ． 4．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点 A 到一条渐近线的距离为223a ， 则双曲线的离心率是( ) A.223 B. 13C.3D. 22 解1：∵(,0)A a ，取一条渐近线为0by x bx ay a =⇒-=，则22||223()ab d a b a ==+-，∴322b c =，平方得222229()89c a c c a -=⇒=，则22293c e e a==⇒=，故选C ．解2：如图．∵2||F H b =，22||3AB a =，2||OF c =， ||OA a =，∴由三角形相似可得223aa b c=， 即322b c =，同上解得3e =，故选C ．5．已知向量(2,2)AB =u u u r ，(1,)AC a =u u u r ，若||1BC =u u u r，则AB AC ⋅=uu u r uuu r （ ）A ．2B ．4C ．6D ．8解：∵(1,2)BC AC AB a =-=--u u u r u u u r u u u r ，则22||(1)(2)1BC a =-+-=uu u r ，解得2a =，∴(2,2)(1,2)246AB AC ⋅=⋅=+=u u u r u u u r，故选C ．6．已知0a >且1a ≠，0b >，则log 0a b >是1ab >的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：特取12a =，14b =满足121log 204=>，但118ab =<，为不充分条件；又2a =，1b =满足1ab >，但2log log 10a b ==，为不必要条件，故选D ．7．人们在研究植物的生长过程中发现，某一种树苗的生长规律为：树苗在第一年长出一条新枝， 新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每一条树枝都按照这个规律生长， 则第 7年的枝条数可以达到（ ）条A ．64B ． 34C ．21D ．13解：每年的树枝数由老枝和新枝组成．设第 n 年树枝数为n a ，并且a 1 =1, a 2 =1, 从n =3开始， 其树枝条数有a n = a n -1 + a n -2 ，(即斐波拉契数列)．每年的树枝数有：1,1,2,3,5,8,13， 则第7年后共有13条树枝，故选D ．8．已知函数()2sin(1)f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立， 则12||x x -的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．12H xyOF 1F 2Ab y x a=B解：∵依题意有1min ()()2f x f x ==-，2max ()()2f x f x ==，∴12min2||122Tx x ππ-===，故选B ． 9．如图，已知正三棱柱 A BC ―A 1B 1C 1 的底面边长为 1cm ，高为 5 cm ，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A 1 点的最短路线的长为（ ）cm. A ．12 B ．13 C ．61 D ．15解：将正三棱柱 A BC ―A 1B 1C 1 沿侧棱展开，再拼接一次，如图．在侧面展开图中，最短距离是六个矩形对角线连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值． 则226561d =+=，故选C ．10．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”．三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是( ) A ．30B ．40C ．50D ．60解：设大正方形的边长为1，区域2的两直角边为,()a b a b <．∵sin12a π=，cos12b π=，∴小正方形的面积为221()(cos sin )1sin 121262S b a πππ=-=-=-=， 所以飞镖落在区域1的概率是12，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是50，故选C ．11．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ，面积为 S ，则“三斜求积”公式为2222221[()]42a cb S ac +-=-．若2sin 5sin a C A =，22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( ) A.32 B. 3 C. 12D. 2 解：∵22sin 5sin 5a C A a c a =⇔=，∴5ac =；又由22()16a c b +=+，得2221626a c b ac +-=-=，所以2216[5()]242S =-=，故选D ． 12．已知()1010sin x xf x x -=-+, 则不等式(21)(4)0f x f x ++-<的解集为( )A. (,5)-∞-B. (,5)-∞C. (5,)-+∞D. (5,)+∞ 解：∵()1010sin ()xx f x x f x --=--=-，∴()f x 是奇函数；又()1010(1)cos 1010cos 0x xx x f x x x --'=-⋅-+=++>，则()f x 是增函数．(21)(4)0(21)(4)(4)f x f x f x f x f x ++-<⇔+<--=-，则有214x x +<-，解得5x <-，故选A ．二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20 分． 13．4cos()45x π-=，那么sin 2x = . 解：∵24cos()(cos sin )425x x x π-=+=，则42sin cos 5x x +=，两边平方得 2232(sin cos )2sin cos 25x x x x ++=，则3272sin cos 12525x x =-=，∴7sin 22sin cos 25x x x ==． 14．已知实数 x ，y 满足约束条件210240x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的取值范围为 .解：如图．∵在点(1,2)A 处，3z x y =+取得最小值5；在点(2,3)C 处，3z x y =+取得最大值9， ∴3z x y =+的取值范围是[5,9]．15．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于223+，则球O 的体积等于 . 解：∵正四棱锥体积最大，如图，设SO =R ，则AC =2R ，2AB R =，∴22212223(2)42()22R R R R +=+⨯⨯⨯+， 解得1R =，所以球O 的体积是34433V R ππ==． 16．已知曲线1:()2xC f x e x =--，曲线2:()cos C g x ax x =+．（1）若曲线1C 在 x = 0 处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a = ；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为l 1 ，总存在C 2 上一点处的切线l 2 ，使得l 1 ⊥ l 2 ，则实数 a 的取值范围为 ．（第一空 2分，第 2空 3分）解：（1）∵()2xf x e '=--，∴曲线1C 在 x = 0 处的切线的斜率是1(0)3k f '==-；又∵()sin g x a x '=-，∴2C 在2x π=处的切线的斜率是2()12k g a π'==-．由两切线平行得13a -=-，解得2a =-；（2）∵曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2xk f x e '==--，则与1l 垂直的直线的斜率为11(0,)22x e ∈+． 而过C 2 上一点处的切线的斜率2()sin [1,1]k g x a x a a '==-∈-+，依题意必有10112a a -≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得112a ≤≤，∴实数a 的取值范围为1[,1]2．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共 60 分.xOy2x+y -4=0x-y +1 =02AC B（12 分）设数列{a n }满足： a 1 = 1,且2a n = a n +1 + a n -1(n ≥ 2) ， a 3 + a 4 = 12 ． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列21{}n n a a +的前 n 项和． 解：（1）由2a n = a n +1 + a n -1(n ≥ 2)，可知数列{a n }是等差数列，设公差为 d ．∵a 1 = 1，由a 3 + a 4 = 12 ，得 d =2，………………………4分 ∴{a n }的通项公式为a n = 2n -1(n ∈ N )；…………………6分 （2）∵211111()(21)(23)42123n n a a n n n n +==--+-+，…………………8分∴数列21{}n n a a +的前 n 项和： 111111111[()()()()]41537592123n S n n =-+-+-++--+L ……………9分1111[(1)432123n n =+--++，…………………11分 113(21)(21)n n n +=-++．…………………12分（12 分）随着支付宝和微信支付的普及，“扫一扫”已经成了人们的日常，人人都说现在出门不用带钱包，有部手机可以走遍中国。

湖南省邵阳市二中2020届高三数学第二次月考试卷命题、制卷： 肖 帆 2020-9-9一、选择题(10×5=50分)1. 设{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∈21|,2|,|,*n x x M n x x Q n x x P N n ，则以下判断不正确的是（ ）A. Q P ⊆ B. M Q ⊇ C. P M Q =I D. M P Q Y =2. 若 x>y>z, 且 x+y+z=0 则必有（ ）A. xy>yzB. xz>yzC. x|y|>z|y|D. xy>xz3. 已知,10)(xx f =则)]()([21x f x f y --=的反函数是（ ）且在R +上递（ ）A. 奇函数、减B. 偶函数、减C. 奇函数、增D. 奇函数、增 4. 直线0=++C By Ax 的倾斜角为锐角的一个充分不必要条件是（ ）A. A>0且B>0B. A>0且B<0C.0<BAD. 0<⋅B A 5. 若直线0120222=-+++=-k kx y x y x 与曲线相切，则=k （ ）A. 2-B. 2C. 22或-D. 11或-6. βα、为两个不同的平面，c b a 、、为三条不同的直线，若c ＝，βαβαI ⊥，,,b a a ⊥⊥β且b c 与不平行，则（ ）A. 相交与且∥αβb bB. b 不在α内且β∥bC. α与b 相交D. α⊥b 且α与b 不相交 7. nxx N n n )1(),(1023*-∈≤若的展开式有常数项，则这样的n 有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 不存在 8. 设=-=++-=)1(62.0)1(),1lg()(22f f x x x x f 则（ ）A. 1.38B. 0.62C. 1.62D. 0.38 9．已知f （2x ＋1）是偶函数，则函数f （2x ）图像的对称轴为（ ） A ．x ＝1 B ．21=x C ．21-=x D ．1-=x 10. 设21,F F 为双曲线1sin 2222=-b y x θ（20,0πθ≤<>b ）的两个焦点，过1F 的直线交双曲线同支于B A ,两点。

2020年湖南省邵阳市武冈第二中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是的（ A ）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2A 解析：由得：或，所以能推出或，但或，不能推出，故是的充分不必要条件，故选A。

【思路点拨】先由得：或，再做出双向判断即可。

2. 连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法同向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件个数，由此能求出向上的点数之差的绝对值为2的概率．【解答】解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），共有8个，∴向上的点数之差的绝对值为2的概率：p==．故选：B．3. 已知集合，则=,或参考答案：D4. 二次函数的部分对应值如下表：可以判断方程的两根所在的区间是（）A.和B. 和C. 和D. 和参考答案：A略5. 已知集合，，则A∩B=（）A. （-1,2）B. （1,2）C. （0,2）D. （－1,1）参考答案：C【分析】分别求出集合A 和集合B ，再求出集合A,B的交集。

【详解】由题解得，，则，选C 。

【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题。

6. 等差数列的前n项和为S n ，若，则( )A ．55 B．100C．95 D．不能确定参考答案：C7. 语文、数学、英语共三本课本放成一摞，语文课本与数学课本恰好相邻放置的概率是（）A. B. C. D.参考答案：D8. 函数的最小值和最大值分别为( )A. B. C. D.参考答案：C,因为，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，选C.9. 复数为虚数单位)在复平面内所对应的点在__________.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B略10. 已知实数a＜0，函数，若f（1﹣a）≥f（1+a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）参考答案：B【考点】函数的值．【分析】根据条件判断1﹣a和1+a的范围，结合分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：∵a＜0，则1﹣a＞1，1+a＜1，则f（1﹣a）≥f（1+a）等价为﹣（1﹣a）≥（1+a）2+2a，即a2+3a+2≤0，得﹣2≤a≤﹣1，即实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]，故选：B【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断变量1﹣a和1+a的范围是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设空间向量，，且，则，．参考答案：试题分析：因为则考点：空间向量共线的充要条件12. 已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，且三棱锥O-ABC的高为1(O 为球心)，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值为____参考答案：略13. 已知是递增的等差数列，，为其前项和，若成等比数列，则▲ .参考答案：14. 奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为参考答案：15. 积分的值是参考答案：16. 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -?EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.参考答案：118.8由题意得，四棱锥O-EFGH 的底面积为，其高为点O 到底面的距离为3cm ，则此四棱锥的体积为．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．17. 设单位向量m =（x ，y ），b =（2，-1）。

邵阳市2020届高三第2次联考数学（文）一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|22}P x x =-≤≤，{|1}Q x x =<，那么P Q =I （ ）A ．[2,1)-B ．[0,1)C ．[2,2]-D ．(0,1)2. 已知复数2(1)(1)i z i i +=-，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为iB ．||2z =C ．z 的共轭复数1z i =-+D ．2z 为纯虚数3．太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近 12 个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的茎叶图如图，若其众数为 x ，中位数为 y ，则 x - y =（ ）A ．19.5B ．2C ．21D ．11.54．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点 A 到一条渐近线的距离为223a ， 则双曲线的离心率是( ) A.223 B. 13C.3D. 22 5．已知向量(2,2)AB =u u u r ，(1,)AC a =u u u r ，若||1BC =u u u r，则AB AC ⋅=uu u r uuu r （ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 6．已知0a >且1a ≠，0b >，则log 0a b >是1ab >的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．人们在研究植物的生长过程中发现，某一种树苗的生长规律为：树苗在第一年长出一条新枝， 新枝一年后成长为老枝，老枝以后每年都长出一条新枝，每一条树枝都按照这个规律生长， 则第 7年的枝条数可以达到（ ）条A ．64B ． 34C ．21D ．138．已知函数()2sin(1)f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x ≤≤成立， 则12||x x -的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．129．如图，已知正三棱柱 A BC ―A 1B 1C 1 的底面边长为 1cm ，高为 5 cm ，一质点自 A 点出发， 沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A 1 点的最短路线的长为（ ）cm. A ．12 B ．13 C ．61 D ．1510．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”．三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是( ) A ．30B ．40C ．50D ．6011．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ，面积为 S ，则“三斜求积”公式为2222221[()]42a cb S ac +-=-．若2sin 5sin a C A =，22()16a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( ) A.32 B. 3 C. 12D. 2 12．已知()1010sin xxf x x -=-+, 则不等式(21)(4)0f x f x ++-<的解集为( )A. (,5)-∞-B. (,5)-∞C. (5,)-+∞D. (5,)+∞二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20 分． 13．4cos()45x π-=，那么sin 2x = . 14．已知实数 x ，y 满足约束条件210240x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的取值范围为 .15．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于223+，则球O 的体积等于 .16．已知曲线1:()2xC f x e x =--，曲线2:()cos C g x ax x =+．（1）若曲线1C 在 x = 0 处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a = ；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为l 1 ，总存在C 2 上一点处的切线l 2 ，使得l 1 ⊥ l 2 ，则实数 a 的取值范围为 ．（第一空 2分，第 2空 3分）三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共 60 分.（12 分）设数列{a n }满足： a 1 = 1,且2a n = a n +1 + a n -1(n ≥ 2) ， a 3 + a 4 = 12 ． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列21{}n n a a +的前 n 项和．（12 分）随着支付宝和微信支付的普及，“扫一扫”已经成了人们的日常，人人都说现在出门不用带钱包，有部手机可以走遍中国。

2020年湖南省邵阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知x，，，则A. B. C. D.3.若双曲线C：的一条渐近线方程为，则A. B. C. D.4.某地区城乡居民储蓄存款年底余额单位：亿元如图所示，下列判断一定不正确的是A. 城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长B. 农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升C. 到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额D. 城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降5.已知向量，，且，则A. B. 2 C. D. 36.设x，y满足约束条件，则的最大值为A. B. 2 C. 0 D. 47.从集合中任意取出两个不同的元素，则取出的两元素之和为奇数的概率是A. B. C. D.8.在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，，则AC边上的高线的长为A. B. C. D.9.如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，有下列四个结论：与CM是异面直线；，CM，相交于一点；；平面D.其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.10.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而提出，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足，，如图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要输出斐波那契数列的前50项，则图中的空白框应填入A. ，B. ，C. ，D. ，11.过抛物线C：的焦点F作直线l，且直线l与C及其准线分别相交于A，B，D三点，若，则A. 直线l的斜率为B. 直线l的斜率为C. D.12.已知函数，若在上无零点，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．14.已知直线是曲线的一条切线，则______．15.设为锐角，若，则______．16.一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在公比大于0的等比数列中，已知，且，，成等差数列．求的通项公式；已知，试问当n为何值时，取得最大值，并求的最大值．18.在三棱锥中，，，平面平面ABC，点M在棱BC上．若M为BC的中点，证明：．若三棱锥的体积为，求M到平面ABD的距离．19.某水果批发商经销某种水果以下简称A水果，购入价为300元袋，并以360元袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元袋的价格低价处理完毕根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购入该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成如频数分布条形图．记x表示A水果一天前8小时内的销售量，y表示水果批发商一天经营A水果的利润，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数．若，求y与x的函数解析式；假设这100天中水果批发商每天购入A水果15袋或者16袋，分别计算该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数，以此作为决策依据，每天应购入A水果15袋还是16袋？20.已知函数．若，求的单调区间；若存在唯一的零点，且，求a的取值范围．21.已知椭圆上的点P到左、右焦点，的距离之和为，且离心率为．求椭圆的标准方程；过的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求面积的最大值．22.在极坐标系中，极点为O，一条封闭的曲线C由四段曲线组成：，．求该封闭曲线所围成的图形面积；若直线l：与曲线C恰有3个公共点，求k的值．23.已知函数．求不等式的解集；若存在，使得关于x的方程恰有一个实数根，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：因为集合，，所以，，所以．故选：D．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：由，得，则，，即，，所以，．故选：A．利用复数的四则运算、复数相等即可得出．本题考查了复数的四则运算式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得．故选：C．由题意知，且双曲线是焦点在x轴上的双曲线，写出其渐近线方程，结合已知可得关于m的方程，则m值可求．本题考查双曲线的渐近线方程，考查运算求解能力，是中档题．4.答案：C解析：解：到2019年，在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然小于城镇居民储蓄存款所占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城镇居民的存款总额，选项C说农村居民的存款年底总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的．故选：C．根据扇形统计图和条形统计图即可判断出答案．本题考查表的应用，考查数据分析能力以及运算求解能力．5.答案：A解析：解：向量，，由，得，所以，则．故选：A．直接根据数量积结合已知条件即可求解结论．本题考查平面向量数量积公式，考查运算求解能力．6.答案：B解析：解：由题可知，再画出可行域如图，解得，当l：平移到过点时，z取得最大值，最大值为：2．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，平移直线，判断最优解，利用数形结合即可的得到结论．本题考查线性规划问题，考查数形结合的思想以及运算求解能力．7.答案：B解析：解：由题可知1，2，3，，从集合A的元素中取出两个不同的元素共有种情况，取出的两元素之和为奇数的有种情况，故取出的两元素之和为奇数的概率为．故选：B．从集合A的元素中取出两个不同的元素共有种情况，取出的两元素之和为奇数的有种情况，由此能求出取出的两元素之和为奇数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，是基础题．8.答案：D解析：解：因为，，，所以由余弦定理，可得，整理可得，又，所以．因为，所以AC边上的高线的长为．故选：D．由已知利用余弦定理可得，结合，可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解AC边上的高线的长．本题考查余弦定理以及三角形面积公式，考查运算求解能力，属于基础题．9.答案：B解析：解：因为，，所以AP与CM是相交直线，又面面，所以AP，CM，相交于一点，则不正确，正确．令，因为M，N分别是，BC的中点，所以，，则为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，不正确，正确．综上所述，正确，故选：B．本题利用线线间的关系，以及线线平行和线面平行的条件求解．本题考查了空间中点、线、面的位置关系，需要学生有较强的空间想象能力，逻辑分析能力．10.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得执行第1次，，，，，循环，因为第二次应该计算，，循环，执行第3次，因为第三次应该计算，由此可得图中的空白框应填入，．故选：A．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查数学文化在算法中的应用，考查赋值语句的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：当直线l的斜率为正数时，准线与x轴交于点M，过A，B两点分别作，垂直于准线，如图所示，则，即，设，所以，，，．所以直线l的斜率为，，解得，即．由对称性可知直线l的斜率为，．故选：C．当直线l的斜率为正数时，准线与x轴交于点M，过A，B两点分别作，垂直于准线，结合图形，设，通过比例关系，转化求解弦长即可．本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合的思想和运算求解能力．12.答案：B解析：解：，若，则，在上无零点，，则，，解得．又，解得，，当时，；当时，．．故选：B．先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简，得，由于在上无零点，因此，且，，在的限制条件下，解不等式即可得解．本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.答案：12解析：解：根据题意，函数，则，，；则有；故答案为：12．根据题意，由函数的解析式可得，，；计算即可得答案．本题考查分段函数的函数值计算，注意认真分析函数的解析式，属于基础题．14.答案：解析：解：设，且与相切于点，因为，所以，且，解得．故答案为：．先对函数求导数，然后令导数为4，求出切点的横坐标，进而利用曲线求出切点坐标，代入直线方程，即可求出b的值．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．属于基础题．15.答案：解析：解：因为为锐角，，所以，则，，所以．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据二倍角公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.答案：解析：解：如图，设，则，设，则底面的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高，该圆锥的体积为．故答案为：．由题意画出图形，由圆锥的侧面积求出母线长及底面半径，再由圆锥体积公式求解．本题考查圆锥的结构特征、体积与表面积计算公式，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．17.答案：解：设的公比为q，，由，得，即，因为，，成等差数列，所以，即，即，解得舍去，，所以，；，由，所以当或4时，取得最大值，．解析：设的公比为q，，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；由等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，可得，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值和n的值．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．18.答案：解：证明：取AC的中点O，连接OB，OD，因为，所以．又因为平面平面ABC，且相交于AC，所以平面ABC，所以．因为，所以，所以，所以≌，所以，且M为BC的中点，所以．解：，所以．在中，，设M到平面ABD的距离为h，则，解得．所以M到平面ABD的距离为．解析：取AC的中点O，连接OB，OD，则推导出平面ABC，从而推导出，，≌，，且M为BC的中点，由此能证明．，从而设M到平面ABD的距离为h，由，能求出M到平面ABD的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：当时，，当时，，综上，．若水果批发商每天购入A水果15袋，则这100天中有80天的利润为900元，有20天的利润为760元，因此该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数为．若水果批发商每天购入A水果16袋，则这100天中有50天的利润为960元，有30天的利润为820元，有20天的利润为680元，因此该水果批发商这100天经营A水果的利润的平均数为．比较两个平均数可知，每天应购入A水果15袋．解析：对x与16的大小关系进行分类，得出y关于x的分段函数；分别计算两种情况时的平均利润，得出结论．本题考查了函数解析式，函数值计算，属于基础题．20.答案：解：因为，则，，令，解得．当时，；当时，．故在，上单调递增，在上单调递减．当时，，的零点是，不符合题意．当时，，当时，在R上单调递增，所以，不符合题意，当时，令，解得，在，上单调递增，在上单调递减．若存在唯一的零点，且，则，解得．综上，a的取值范围为．解析：将代入，求导，解关于导函数的不等式，进而得出函数的单调区间；分及两种情况讨论，当时显然不符合题意，当时，再分及两种情况讨论，综合即可得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查函数的零点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：，所以，，所以，所以，椭圆的标准方程为．由题可知直线l的斜率必存在，又，设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，化简得，所以，．，当且仅当时，取得最大值．所以面积的最大值为．解析：利用椭圆的定义以及离心率，转化求解椭圆的标准方程．已知，直线斜率显然存在，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，结合三角形的面积通过基本不等式转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．如果是考试用题：建议：第一问得出，各得分，写出椭圆的标准方程得分；第二问未说明直线l的斜率存在扣分；若采用其他方法解题，参照本评分标准按步骤给分．22.答案：解：以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的直角坐标方程为，，，．曲线C由弧，弧，弧，弧四段圆弧组成，每段圆弧均在半径为2的圆上，则该封闭曲线所围成的图形面积．直线l的直角坐标方程为，即．当直线l经过点H，A，B时，．当直线l经过点E，F，D时，，故k的值为．解析：首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步求出封闭图形的面积．利用直线和曲线的位置关系的应用求出k的值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，分割法的应用，直线和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，作出函数的图象如图：由，得，由，得．不等式的解集为；存在，使得关于x的方程恰有一个实数根，即存在，使得，即，，的取值范围是解析：写出分段函数解析式，作出图象，数形结合可得不等式的解集；存在，使得关于x的方程恰有一个实数根，即存在，使得，即，由的范围求得的范围得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．。