当前位置：文档之家 › 函数的周期性

函数的周期性

  • 格式：docx
  • 大小：390.27 KB
  • 文档页数：9

09 函数的周期性知识梳理1.周期函数的定义对于函数)(x f y =，如果存在一个常数0T ≠，能使得当x 取定义域内的一切值时，都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f y =叫做以T 为周期的周期函数。

2.与周期相关的结论(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数)()(R x a x f ∈=； (2)周期函数的定义域是无界的；(3)若T 为)(x f y =的周期，则nT )0(≠∈n Z n 且也是)(x f y =的周期(4)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，则()f x 是周期函数，b a -是它的一个周期； (5)若函数()f x 恒满足()()f x a f x +=-(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；（4）（5）以及周期性定义可概括为：“和或差为0型”即0)()(=+±+b x f a x f 型(6)若函数()f x 恒满足1()()f x a f x +=(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足1()()f x a f x b +=+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；(7)若函数()f x 恒满足1()()f x a f x +=-(0)a ≠，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数()f x 恒满足1()()f x a f x b +=-+()a b ≠，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；（6）（7）可概括为：“乘积为1±型”即1)()(±=+⋅+b x f a x f 型(8)若函数()f x 是偶函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数关于直线,()x a x b a b ==≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；(9)若函数()f x 是奇函数，且关于直线(0)x a a =≠对称，则()f x 是周期函数，4a 是它的一个周期；推论：若函数关于点(,0)a 、直线()x b a b =≠对称，则()f x 是周期函数，4a b -是它的一个周期；(10)若函数()f x 是奇函数，且关于点(,0)(0)a a ≠对称，则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；推论：若函数关于点(,0)a 、(,0)()b a b ≠对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期。

（8）（9）（10）可概括为：“满足两个对称型”即“两条对称轴或两个对称中心或一个对称中心，一条对称轴”型 （11）分式递推型：即函数)(x f 满足)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+得)2(1)2(b x f a x f +-=+，进而得1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是b a T -=4经典习题 （提示：本知识点常考小题，因此练习为主）一. 选择题1.设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()=5.7f （ ）B.－D.－2.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间()6,0内解的个数的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为（ ）A.1-B.0C.1D.24. 设函数))((R x x f ∈为奇函数，且)2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=，则)5(f 等于（ ）A. 0B. 1C.25D. 5 5. 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x = 的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是（ ）.A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f << 6.定义在R 上的函数)(x f 满足=)(x f ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则)2009(f 的值为( )A. -1B. 0C. 1D. 27.已知定义在R 上的函数()f x 满足3()()2f x f x =-+且=-=-)1()2(f f 1-,(0)2f =,则(1)(2)(2008)(2009)f f f f ++++=…（ ） A.2-B.1-C.0D.18.定义在R 上的函数()x f 是奇函数，又是以2为周期的周期函数,则=++)7()4()1(f f f ( )9．定义在R 上的偶函数)(x f 满足=+)1(x f )(x f -，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．ac b >> D ．a b c >>10. 设函数()f x （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则( ) .A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <- 11. 函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0-上是减函数，那么()f x 在[]2,3上是( ).A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数12. 设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()2f x x =，则(113.5)f =( ).A 27-.B 27 .C 15- .D 1513. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x = 在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为( ).A 0.B 1.C 3.D 514. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为( ).A 21-.B 21.C 23-.D23 15.已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足)1()1(x f x f -=+，则“)(x f 为偶函数”是“2为函数)(x f 的一个周期”的 ( )A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件16.设()x f 是定义在R 上的正值函数,且满足()()()x f x f x f =-+11.若()x f 是周期函数,则它的一个周期是（ ）A .3B .2C .6D .4 17.在R 上定义的函数()x f 是奇函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ ）A.在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]2,3--上是减函数，区间[]1,0上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数 二. 填空题18.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()1f x f x +⋅=对于x R ∈恒成立，且()0f x >，则(119)f =19. 函数()f x 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+若5)1(-=f ，则()()5f f =__________20.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)3()2()1(f f f ++=++)5()4(f f21. 若存在常数0p >，使得函数()f x 满足()()2pf px f px =-()x R ∈，()f x 的一个正周期为22. 设1()1x f x x -=+，记(){[()]}n n ff x f f f f x =⋅⋅⋅14243个，则=)2011(2011f23．已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f三. 解答题24. 设函数)(x f 是定义域R 上的奇函数，对任意实数x 有)23()23(x f x f --=+成立 （1）证明：)(x f y =是周期函数，并指出周期； （2）若2)1(=f ，求)3()2(f f +的值25. 已知函数()f x 的图象关于点)0,43(-对称，且满足3()()2f x f x =-+，又2)0(,1)1(-==-f f ，求)2011()3()2()1(f f f f ++++Λ的值.26.已知函数)(x f 是定义为R 上的奇函数，且它的图像关于直线1=x 对称 （1）求证：)(x f 是周期为4的周期函数； （2）若)10()(≤<=x x x f ，求[]4,5--∈x 时，函数)(x f 的解析式。

27. 已知函数)(x f 的定义域为R ，且满足)()2(x f x f -=+（1）求证：)(x f 是周期函数；（2）若)(x f 为奇函数，且当10≤≤x 时，x x f 21)(=，求使21)(-=x f 在[]2009,0上的所有x 的个数。

28. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[]0,7 上，只有(1)(3)0f f ==． (1)试判断函数()y f x =的奇偶性；(2)试求方程()0f x =在闭区间]2011,2011[-上的根的个数，并证明你的结论.29.定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期4，且()0,2x ∈时，3()91xx f x =+。

合集下载

函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结

函数周期性公式大总结函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了数值之间的关系。

而函数的周期性则是函数中一种特殊的性质，它在数学推导和实际应用中具有广泛的应用价值。

本文将对函数周期性公式进行总结，以帮助读者加深对这一概念的理解。

一、正弦函数与余弦函数的周期性公式正弦函数与余弦函数是最常见的周期函数之一，它们在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

它们的周期性公式如下：1. 正弦函数的周期性公式：\[sin(x+2πn)=sin(x)\]其中 \(n\) 为整数。

这个公式意味着正弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。

2. 余弦函数的周期性公式：\[cos(x+2πn)=cos(x)\]同样地，这个公式说明了余弦函数在 \(2π\) 的整数倍的变换下保持不变。

二、指数函数的周期性公式指数函数是另一类常见的函数，其公式如下：\[f(x)=a^x\]其中 \(a\) 为常数，又称为底数。

指数函数不同于正弦函数和余弦函数，它通常不具备周期性。

然而，我们可以通过引入“模”的概念，使指数函数具备周期性。

3. 指数函数的周期性公式：\[a^{x+ln(a)n}=a^x\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。

这个公式说明了指数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。

三、对数函数的周期性公式对数函数是指数函数的逆运算，其公式如下：\[f(x)=log_{a}(x)\]其中 \(a\) 为底数。

对数函数也可以借助模的概念引入周期性。

4. 对数函数的周期性公式：\[log_{a}(x+ln(a)n)=log_{a}(x)\]其中 \(n\) 为整数，\(ln(x)\) 为自然对数。

这个公式说明了对数函数在 \(ln(a)\) 的整数倍的变换下保持不变。

四、三角函数的周期性公式除了正弦函数和余弦函数外，还有其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

它们同样具备周期性，并可以通过以下公式进行表示。

函数的周期性

函数的周期性

函数的周期性周期函数的定义： 一、 对于函数y =f (x ),如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x +T )=f (x )都成立，那么就把函数y =f (x )叫做周期函数，T 叫做函数的周期. 如果T 为函数的一个周期，那么T 的整数倍nT 也是函数的周期；如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期. 二、一些结论1、若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。

2、若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3、)()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=24、若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.推理：)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数5、若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 6、：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期. 7、如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为kT Tx 22+=)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ） 如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为)0,22(kT T+)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）8、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。

周期性函数

周期性函数

周期性函数函数的周期性定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。

当自变量增大任意实数时（自变量有意义），函数值有规律的重复出现。

假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期。

(1)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b-a|。

(2)若函数f(x)关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b-a|。

(3)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为2a。

(4)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，则其周期为4a。

根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

函数周期性公式大总结：f（x+a）＝－f（x）。

那么f（x+2a）＝f=-f（x+a）＝－［－f（x）］＝f（x）。

所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

f（x+a）＝1/f（x）。

那么f（x+2a）＝f=1/f（x+a）＝1/[1/f（x）］＝f（x）。

所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

f（x+a）＝－1/f（x）。

那么f（x+2a）＝f=-1/f（x+a）＝1/[-1/f（x）］＝f（x）。

所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

周期公式sinx的函数周期公式T=2π，sinx是正弦函数，周期是2π。

cosx的函数周期公式T=2π，cosx是余弦函数，周期2π。

tanx和cotx的函数周期公式T=π，tanx和cotx分别是正切和余切。

secx和cscx的函数周期公式T=2π，secx和cscx是正割和余割。

函数的周期性

函数的周期性

函数的周期性
函数的周期性是指当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生重复的变化。

在数学中，周期性是函数的一个重要性质。

周期性可以应用于多个不同的数学对象，如三角函数、周期矩阵和周期函数。

其中，最常见的就是三角函数的周期性。

三角函数的周期性
三角函数是一类特殊的周期函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

这类函数的周期性非常明显，它们的图像在一个特定的区间内重复出现。

以正弦函数为例，其周期性是指当自变量的值增加或减小2π时，函数的取值会发生重复的变化。

正弦函数的图像在一个周期内呈现出上升和下降的趋势，而在周期的不同区间内则重复这种趋势。

周期矩阵的周期性
周期矩阵也具有周期性。

周期矩阵是一个二维的矩阵，其中的元素具有周期性的变化。

这意味着当一个元素的索引增加或减小一个特定的数值时，元素的值会发生重复的变化。

周期函数的周期性
周期函数是指在某一特定的区间内，函数的值会以一定的规律进行重复。

这种周期性的现象往往与周期矩阵类似，当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生重复的变化。

周期函数可以用数学公式表示，其中包括正弦函数、余弦函数和周期指数函数等。

这些函数在一定的区间内重复出现，具有明显的周期性。

总结
函数的周期性是函数的一个重要性质，可以应用于三角函数、周期矩阵和周期函数等数学对象上。

在这些对象中，函数的值会以一定的规律进行重复，当自变量的值增加或减小一个特定的数值时，函数的值会发生相同的变化。

通过研究函数的周期性，我们可以更好地理解函数的变化规律和特点。