第一章 第2节 单摆

第2节单__摆1.单摆的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力，只有在摆角较小时，才满足F ＝－kx ，才可看做简谐运动。

2．单摆在平衡位置时速度最大，回复力为零，但摆球所受合外力不为零。

3．单摆的周期公式T ＝2π lg，其大小与摆球质量及振幅无关。

1．单摆2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mglx 或F ＝－kx 。

3．单摆做简谐运动的条件在偏角较小的情况下，单摆做简谐运动。

[跟随名师·解疑难]1．单摆的运动特点(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v ≠0，沿半径方向都受向心力。

(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力。

2．单摆的动力学特征(1)任意位置：如图所示，G2＝G cos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝G sin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力。

(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符。

(3)单摆做简谐运动的推证：在θ很小时，sin θ≈tan θ＝x l，G1＝G sin θ＝mgl x，G1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－mgl x＝－kx。

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。

(摆角一般不超过5°)[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是()A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力作用，故A错。

重力垂直于摆线的分力提供回复力。

当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，拉力等于重力沿摆线的分力大小，则拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错，B对。

1．影响单摆周期的因素实验表明，单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长。

2．单摆的周期公式(1)探究单摆周期与摆长的关系： ①制作单摆：②测量：用停表测出单摆做30～50次全振动的时间，计算周期T ；用游标卡尺测量摆球直径，用米尺测出摆线长度，求出单摆摆长l ；改变摆长，得到多组数据。

③数据处理：猜测T 与l 的关系可能，作出T 2-l 图像，确定关系。

(2)周期公式：荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比，他确定为：T ＝2πl g 。

(3)影响单摆周期的相关因素：由单摆的周期公式可知，单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与摆长l 和当地的重力加速度g 有关，而与振幅和摆球的质量无关，故又叫做单摆的固有周期。

[跟随名师·解疑难]1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l ＝l ′＋d2，l ′为摆线长，d 为摆球直径。

(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长。

其周期T ＝2πl sin αg ，图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

2．重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GMR 2，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。

另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值。

(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

如图所示，此场景中的等效重力加速度g′＝g sin θ。

球静止在O时，F T＝mg sin θ，等效加速度g′＝F Tm＝g sin θ。

[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则()A．f1>f2，A1＝A2B．f1<f2，A1＝A2C．f1＝f2，A1>A2D．f1＝f2，A1<A2解析：选C单摆的频率由摆长决定，摆长相等，频率相等，所以A、B错误；由机械能守恒，小球在平衡位置的速度越大，其振幅越大，所以C正确，D错误。

1．下列有关单摆运动过程中的受力说法，正确的是()A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力C．单摆经过平衡位置时合力为零D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力[思路点拨]单摆的回复力由摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供，在平衡位置处，摆球位移为零，水平加速度为零。

解析：单摆是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程中不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合外力不仅要提供回复力，还要提供向心力，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，A、D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C 错误。

答案：B[探规寻律](1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。

单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处。

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。

(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。

[跟踪演练]对于单摆的运动，以下说法中正确的是( ) A ．单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B ．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力 C ．摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D ．摆球经过平衡位置时所受加速度为零解析：选C 单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m v 2l ，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大有向心加速度，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故只有C 项正确。

2．有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30 次用的时间t ＝60.8 s ，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？ [思路点拨](1)如何由周期公式求重力加速度。

提示：由T ＝2πl g可得g ＝4π2lT2(2)秒摆的周期为多少？要改变单摆的周期，可以采取什么措施？提示：秒摆的周期为2 s ，由于同一地点的重力加速度不变，要改变单摆的周期可以改变单摆的摆长。

解析：(1)当单摆做简谐运动时， 其周期公式T ＝2πl g ，由此可知g ＝4π2lT 2，只要求出T 值代入即可。

因为T ＝t n ＝60.830s ＝2.027 s所以g ＝4π2l T 2＝4×3.142×1.022.0272m/s 2 ＝9.79 m/s 2。

(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0， 由于在同一地点重力加速度是不变的， 根据单摆的振动规律有：T T 0＝ll 0，故有：l 0＝T 02l T 2＝22×1.022.0272m ＝0.993 m 。

所以其摆长要缩短Δl ＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m 。

答案：(1)9.79 m/s 2 (2)缩短 0.027 m[探规寻律]有关单摆周期问题的处理方法：(1)明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件。

(2)在运用T ＝2πlg 时，要注意l 和g 是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l 和g 时的运动时间。

(3)改变单摆振动周期的途径是：①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。

[跟踪演练]已知单摆a 完成10次全振动的时间内，单摆b 完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m ，则两摆长l a 与l b 分别为( )A．l a＝2.5 m，l b＝0.9 m B．l a＝0.9 m，l b＝2.5 mC．l a＝2.4 m，l b＝4.0 m D．l a＝4.0 m，l b＝2.4 m解析：选B设两个单摆的周期分别为T a和T b，由题意知10T a＝6T b，即T a∶T b＝3∶5。

根据单摆周期公式T＝2πlg，得l＝g4π2T2，由此可得l a∶l b＝T a2∶T b2＝9∶25，且l b－l a＝1.6 m，解得l a＝0.9 m，l b＝2.5 m。

[课堂双基落实]1．[多选]单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()A．摆线质量不计B．摆线长度不伸缩C．摆球的直径比摆线长度短得多D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动解析：选ABC单摆的理想化条件是摆线质量很小，伸缩性很小，摆球密度较大，直径比摆线短得多，摆动时摆角较小，故A、B、C正确，D错误。

2．关于单摆，下列说法中正确的是()A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B．摆球受到的回复力是它的合力C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比解析：选A单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，A对，B 错；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)，C错；另外摆球所受的合力不是回复力，所以与位移大小不成正比，D错。

3.如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10 cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，那么() A．v1＜v2，t1＜t2B．v1＞v2，t1＝t2C ．v 1＝v 2，t 1＝t 2D ．以上三种情况都有可能解析：选B 因为AO 弧长远小于半径，所以小球从A 、B 处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摆动，即做简谐运动，等效摆长为2 m ，单摆的周期与振幅无关，故t 1＝t 2，因mgh ＝12m v 2，所以v ＝2gh ，故v 1＞v 2。