2015年四川省成都市石室外语学校自主招生考试数学试卷

2014年成都市石室外语学校自主招生考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．﹣9的相反数是（）A．﹣B．C．﹣9 D．92．如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．为了传承和弘扬港口文化，我市将投入6000万元建设一座港口博物馆，其中“6000万”用科学记数法表示为（）A．0.6×108B．6×108C．6×107D．60×1064．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤15．下列计算，正确的是（）A．x4﹣x3＝x B．x6÷x3＝x2C．x•x3＝x4D．（ax3）2＝ax66．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：用电量（度）120 140 160 180 200户数 2 3 6 7 2则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（）A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，1807．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°8．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱9．小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了20km；（2）小陆全程共用了1.5h；（3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；（4）小李在途中停留了0.5h．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C 的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A．B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11．分解因式：mn2+6mn+9m＝．12．已知反比例函数y＝的图象经过点A（m，1），则m的值为．13．今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为元．14．如图，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，它们的横坐标分别为1和5，则不等式k1x＞﹣b的解集是．三、解答题（共7小题，满分54分）15．（6分）计算：（π﹣3）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．16．（6分）解不等式组：．17．（6分）某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°（即∠PBA＝30°），长度为4m（即PB＝4m），无障碍通道PA的倾斜角为15°（即∠PAB＝15°）．求无障碍通道的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98）18．（8分）先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x＝﹣2．19．（8分）端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了两次转盘．（1）该顾客最少可得元购物券，最多可得元购物券；（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率．20．（10分）如图，已知函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．将y＝x的图象向下平移6个单位后与双曲线y＝交于点B，与x轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）若＝2，求反比例函数的解析式．21．（10分）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x+b（b＞0）与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x+b的对称点O′．（1）求证：四边形OAO′B是菱形；（2）当点O′落在⊙O上时，求b的值．B卷（50分）一、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）22．如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝．23．如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有个．24．已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为．25．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）26．如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点P n（x n，y n）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是；点P n的坐标是（用含n的式子表示）．二、解答题（共3小题，满分30分）27．（8分）某公司有甲种原料260kg，乙种原料270kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共40件．生产每件A种产品需甲种原料8kg，乙种原料5kg，可获利润900元；生产每件B种产品需甲种原料4kg，乙种原料9kg，可获利润1100元．设安排生产A种产品x件．（1）完成下表甲（kg）乙（kg）件数（件）A 5x xB 4（40﹣x）40﹣x（2）安排生产A、B两种产品的件数有几种方案？试说明理由；（3）设生产这批40件产品共可获利润y元，将y表示为x的函数，并求出最大利润．28．（10分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE＝CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．（1）求证：AF⊥BE；（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；（3）若GO：CF＝4：5，试确定E点的位置．29．（12分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）参考答案与试题解析1．【解答】解：﹣9的相反数是9．故选：D．2．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第五个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；综上所述，第三个和第五个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个．故选：C．3．【解答】解：将6000万用科学记数法表示为：6×107．故选：C．4．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1，故选：C．5．【解答】解：A、不是同底数幂的除法指数不能相减，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；故选：C．6．【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，160，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（160+160）÷2＝160．故选：A．7．【解答】解：∵△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠5＝∠4＝70°，∵a∥b，∴∠3＝∠5＝70°．故选：C．8．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：D．9．【解答】解：（1）根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了20km，故原说法正确；（2）根据图象可得：小陆全程共用了：2﹣0.5＝1.5h，故原说法正确；（3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆用1个小时到B地，小李用1.5个小时到B地，所以小李的速度小于小陆的速度，故原说法正确；（4）根据图象可得：表示小李的S﹣t图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1﹣0.5＝0.5小时，故原说法正确．故选：A．10．【解答】解：法一：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，∵DP＝PA，∴PA+PC＝PD+PC＝CD，∵B（3，），∴AB＝，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2，由三角形面积公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝，∵C（，0），∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝，即PA+PC的最小值是，法二：如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．∵AB＝，OA＝3∴∠AOB＝30°，∴∠DOC＝2∠AOB＝60°∵OC＝OD∴△OCD是等边三角形∴DM＝CD•sin60°＝，OM＝CM＝CD•cos60°＝∴AM＝OA﹣OM＝3﹣＝∴AD＝＝即PA+PC的最小值为故选：B．11．【解答】解：mn2+6mn+9m＝m（n2+6n+9）＝m（n+3）2．故答案为：m（n+3）2．12．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（m，1），∴2＝m，即m＝2．故答案为：2．13．【解答】解：假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出：（1+10%）＝，解得：x＝2200，经检验得出：x＝2200是原方程的解，答：则条例实施前此款空调的售价为2200元，故答案为：2200．14．【解答】解：∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝交于A、B两点，它们的横坐标分别为1和5，∴不等式k1x＞﹣b的解集是1＜x＜5或x＜0，故答案为：1＜x＜5或x＜0．15．【解答】解：原式＝1+3﹣2×﹣8＝2﹣7．16．【解答】解：，由①得：x≥3，由②得：x＜5，故不等式组的解集为：3≤x＜5．17．【解答】解：在Rt△PBC中，PC＝PB•sin∠PBA＝4×sin30°＝2m，在Rt△APC中，PA＝PC÷sin∠PAB＝2÷sin15°≈9.5m．答：无障碍通道的长度约是9.5m．18．【解答】解：÷（x+1﹣）＝÷[﹣]＝÷＝×＝当x＝﹣2时，原式＝＝．19．【解答】解：（1）画树状图得：则该顾客最少可得20元购物券，最多可得80元购物券；故答案为：20，80；（2）∵共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况，∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为：＝．20．【解答】解：（1）∵y＝x的图象向下平移6个单位后与双曲线y＝交于点B，与x轴交于点C，∴直线BC的解析式为y＝x﹣6，把y＝0代入得x﹣6＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0）；（2）作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，∵OA∥BC，∴∠AOC＝∠BCF，∴Rt△OAE∽Rt△CBF，∴＝＝＝2，设A点坐标为（a，a），则OE＝a，AE＝a，∴CF＝a，BF＝a，∴OF＝OC+CF＝+a，∴B点坐标为（+a，a），∵点A与点B都在y＝的图象上，∴a•a＝（+a）•a，解得a＝3，∴点A的坐标为（3，4），把A（3，4）代入y＝得k＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为y＝．21．【解答】（1）证明：连接OO′，∵点O关于直线y＝x+b的对称点为O′，∴直线y＝x+b是线段OO′的垂直平分线，∴AO＝AO′，BO＝BO′，又∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴AO＝AO′＝BO＝BO′，∴四边形OAO′B是菱形．（2）解：如图，菱形OAO′B的对角线交点为点M，当点O′落在圆上时，∵OM＝OO′＝1，∵设直线y＝x+b与x轴、y轴的交点坐标分别是N（﹣b，0），P（0，b），∴△ONP为等腰直角三角形，∴∠ONP＝45°，∵四边形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN，∵∠ONP＝45°＝∠OPN，∴OM＝PM＝MN＝1，在Rt△POM中，由勾股定理得：OP＝，即b＝．22．【解答】解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，则AC＝BE，DE＝DC+CE＝DC+AB＝6，又∵BD＝AC且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF＝DE＝3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF＝9．故答案为：9．23．【解答】解：，由①得：x≥，由②得：x≤，不等式组的解集为：≤x≤，∵整数解仅有1，2，，∴0＜≤1，2≤＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6，∴a＝1，2，3，b＝4，5，∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有（1，4），（2，4），（3，4），（1，5），（2，5），（3，5）即6个，故答案为：6．24．【解答】解：作A关于x轴的对称点E，连接EB，延长EB交x轴于M，连接AM，则此时AM﹣BM的值最大，∵A（1，5），∴E（1，﹣5），设直线EB的解析式是y＝kx+b，把E（1，﹣5）和B（3，﹣1）代入得：，解得：k＝2，b＝﹣7，即直线EB的解析式是y＝2x﹣7，把y＝0代入得：2x﹣7＝0，x＝3.5，即M的坐标是（3.5，0）．25．【解答】解：①∵方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0中，△＝（a+b）2﹣4（ab﹣1）＝（a﹣b）2+4＞0，∴x1≠x2故①正确；②∵x1x2＝ab﹣1＜ab，故②正确；③∵x1+x2＝a+b，即（x1+x2）2＝（a+b）2，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（a+b）2﹣2ab+2＝a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2．故③错误；综上所述，正确的结论序号是：①②．故答案是：①②．26．【解答】解：过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，∵△P1OA1是等腰直角三角形，∴P1E＝OE＝A1E＝OA1，设点P1的坐标为（a，a），（a＞0），将点P1（a，a）代入y＝，可得a＝1，故点P1的坐标为（1，1），则OA1＝2，设点P2的坐标为（b+2，b），将点P2（b+2，b）代入y＝，可得b＝﹣1，故点P2的坐标为（+1，﹣1），则A1F＝A2F＝﹣1，OA2＝OA1+A1A2＝2，设点P3的坐标为（c+2，c），将点P3（c+2，c）代入y＝，可得c＝﹣，故点P3的坐标为（+，﹣），综上可得：P1的坐标为（1，1），P2的坐标为（+1，﹣1），P3的坐标为（+，﹣），总结规律可得：P n坐标为：（+，﹣）．故答案为：（+，﹣），（+，﹣）．27．【解答】解：（1）表格分别填入：A甲种原料8x，B乙种原料9（40﹣x）；（2）根据题意得，，由①得，x≤25，由②得，x≥22.5，∴不等式组的解集是22.5≤x≤25，∵x是正整数，∴x＝23、24、25，共有三种方案：方案一：A产品23件，B产品17件，方案二：A产品24件，B产品16件，方案三：A产品25件，B产品15件；（3）y＝900x+1100（40﹣x）＝﹣200x+44000，∵﹣200＜0，∴y随x的增大而减小，∴x＝23时，y有最大值，y最大＝﹣200×23+44000＝39400元．28．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE＝CF，∴AE＝DF，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE和△DAF，∵，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠AOE＝90°，即AF⊥BE；（2）解：BO＝AO+OG．理由：由（1）的结论可知，∠ABE＝∠DAF，∠AOB＝∠DGA＝90°，AB＝AD，在△ABO和△DAG中，∵，则△ABO≌△DAG，所以，BO＝AG＝AO+OG；（3）解：过E点作EH⊥DG，垂足为H，由矩形的性质，得EH＝OG，∵DE＝CF，GO：CF＝4：5，∴EH：ED＝4：5，∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，∴∠AEB＝∠EDH，△ABE∽△HED，∴AB：BE＝EH：ED＝4：5，在Rt△ABE中，AE：AB＝3：4，故AE：AD＝3：4，即AE＝AD．29．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（1，﹣），O（0，0）三点的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：，解得：，故所求抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x；（2）存在．理由如下：如答图①所示，∵y＝﹣x2﹣x＝﹣（x+1）2+，∴抛物线的对称轴为x＝﹣1．∵点C在对称轴x＝﹣1上，△BOC的周长＝OB+BC+CO；∵OB＝2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O与点A关于直线x＝﹣1对称，有CO＝CA，△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA，∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．设直线AB的解析式为y＝kx+t，则有：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣，当x＝﹣1时，y＝﹣，∴所求点C的坐标为（﹣1，﹣）；（3）设P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＞0），则y＝﹣x2﹣x①如答图②所示，过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ 轴于点E，则PQ＝﹣x，PG＝y，由题意可得：S△PAB＝S梯形AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP＝（AF+BE）•FE﹣AF•FP﹣PE•BE＝（y++y）（1+2）﹣y•（2+x）﹣（1﹣x）（+y）＝y+x+②将①代入②得：S△PAB＝（﹣x2﹣x）+x+＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+）2+∴当x＝﹣时，△PAB的面积最大，最大值为，此时y＝﹣×+×＝，∴点P的坐标为（﹣，）．。

成都石室中学高2017届2015～2016学年度下期四月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知向量(,1)=-a x ，(,4)=b x r ，其中∈x R .则“2=x ”是“⊥a b r r”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.与双曲线2214yx -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为（ ）A ．221312y x -=B ．18222=-x yC ．18222=-y xD ．221312x y -=3.直线y ax a =+与圆221x y +=的位置关系一定是（ ）A ．与a 的取值有关B ．相切C ．相交D ．相离4.设,a b R ∈，0ab ≠，则直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的大致图形是（ ）5.圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x 6.设变量,x y 满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最大值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87.双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，AOF ∆的面积为22a ，则两条渐近线的夹角为（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒8.已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；2p ：若()22x x f x -=-，则x R ∀∈，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =；4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P 使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”. 给出下列直线：①1+=x y ，②2y =，③x y 34=，④12+=x y ，其中为“B 型直线”的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．①④ 10.已知点P 是正四面体ABCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则P 点的轨迹被平面ABE 所截得的图形为 （ ） A.线段 B.椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+B ．1224C ．2+．8+12.设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于点,A B ．若53AF FB =，则k 的值为（ ）A B C ． D ．3二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13.一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,3,,59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次 为1,2,3,,6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ．14.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是 ．15.如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为12,F F ，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点， 1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则a = ．16.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=切于点P ，21||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （Ⅰ）A cos 的值；（Ⅱ）若422=+c b ，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值．20. （本小题满分12分）已知圆()22:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2M 的直线交曲线C 于,A B ，若12AM MB =，求直线AB 的方程．21. （本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c 、()0,b 的直线的距离为12c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．22. （本小题满分12分）设,Q G 分别为ABC ∆的外心和重心，已知()1,0A -，()1,0B ，//QG AB ．（Ⅰ）求点C 的轨迹E ；（Ⅱ）轨迹E 与y 轴两个交点分别为12,A A （1A 位于2A 下方）．动点,M N 均在轨迹E 上，且满足11A M A N ⊥，试问直线1A N 和2A M 交点P 是否恒在某条定直线l 上？成都石室中学高2017届2015～2016学年度下期三四月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知向量(,1)=-a x ，(,4)=b x r ，其中∈x R .则“2=x ”是“⊥a b r r”成立的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.与双曲线2214yx -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为（ D ）A ．221312y x -=B ．18222=-x yC ．18222=-y xD ．221312x y -=3.直线y ax a =+与圆221x y +=的位置关系一定是（ C ）A ．与a 的取值有关B ．相切C ．相交D ．相离4.设,a b R ∈，0ab ≠，则直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的大致图形是（ B ）5.圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ） A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x 6.设变量,x y 满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最大值（ B ）A ．2B ．4C ．6D ．87.双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，AOF ∆的面积为22a ，则两条渐近线的夹角为（ A ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒8.已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-；3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >． 其中真命题的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知两点()5,0M -和()5,0N ，若直线上存在点P 使6PM PN -=，则称该直线为“B 型直线”. 给出下列直线：①1+=x y ，②2y =，③x y 34=，④12+=x y ，其中为“B 型直线”的是（ C ） A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．①④ 10.已知点P 是正四面体ABCD 内的动点，E 是棱CD 的中点，且点P 到棱AB 和棱CD 的距离相等，则P 点的轨迹被平面ABE 所截得的图形为 （ C ）A.线段B.椭圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 双曲线的一部分11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ D ）A ．88226++B ．126224++C ．2226++D ．88246++12.设椭圆22143x y +=的右焦点为F ，斜率为(0)k k >的直线经过F 并且与椭圆相交于点,A B ．若53AF FB =，则k 的值为（ A ）A ．3B ．5C ．22D ．3 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13.一个总体中有60个个体，随机编号0,1,2,3,,59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1,2,3,,6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 43 ．14.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PFPA的最小值是 22．15.如图，焦点在x 轴上的椭圆22213x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点， 1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则a = 4 ．16.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=切于点P ，21||3||PF PF =，则该双曲线的离心率为 26 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （Ⅰ）A cos 的值；（Ⅱ）若422=+c b ，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+2sin cos sin()sin A A B C A ⇒⋅=+=，又0A π<<sin 0A ⇒≠，12cos 1cos2A A ∴=⇒=.…………………4分（Ⅱ）由1cos sin 2A A =⇒=，由22sin sin aa A A=⇒==………………6分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-222431bc b c a ⇒=+-=-=.………………8分∴11sin 2224==⋅=ABC S bc A △.…………………10分18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分所以222422n n nn a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分（Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212nn n a b n =-．……………………………………………………………7分 则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分 ()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=︒，求二面角1B OB C --的余弦值．（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以1A O BD ⊥．………………1分因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分 因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1A CO ．…………………………………………………4分（Ⅱ）因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．………………6分则()1,0,0B，()C，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB ==．………………………7分设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ， 因为()1,0,0OB =，()1OB =，所以0,0.x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n ．…………………………………………………………9分同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分所以cos ,4<>==n m ．…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角， 所以二面角1B OB C --的余弦值为4-．……………………………………12分20. （本小题满分12分）已知圆()22:11F x y +-=，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切,与定圆F 相外切．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2M 的直线交曲线C 于,A B ，若12AM MB =，求直线AB 的方程． 解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则1PF r =+.设(),P x y ，根据圆P 与x 轴相切，以及动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧，可得0r y =>，1y =+.……………………3分化简得：24x y =．所以，动点P 的轨迹C 的方程为()240x y y =>.……………………5分（Ⅱ）设直线AB 的方程为2y kx =+ 由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --=……………………7分 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212121248x x x x k x x ⎧-=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，……………………10分12k =±直线AB 的方程为122y x =+或122y x =-+．……………………12分21. （本小题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c 、()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆M ：()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．解：（Ⅰ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O 到直线的距离bcd a==， 由12d c=，得2a b ==解得离心率2c a =. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且|AB |=.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-= ………6分设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =. ………8分 从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-== (10)分由|AB |23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. ………12分 22. （本小题满分12分）设,Q G 分别为ABC ∆的外心和重心，已知()1,0A -，()1,0B ，//QG AB ． （Ⅰ）求点C 的轨迹E ；（Ⅱ）轨迹E 与y 轴两个交点分别为12,A A （1A 位于2A 下方）．动点,M N 均在轨迹E 上，且满足11A M A N ⊥，试问直线1A N 和2A M 交点P 是否恒在某条定直线l 上？解：（Ⅰ）设),(y x C ，∵)0,1(-A ，)0,1(B ∴)3,3(yx G ……1分 又∵Q 是外心，且AB QG // ∴)3,0(y Q ……2分∵||||QC QA =∴9491222y x y +=+，即)0(1322≠=+y y x ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知)3,0(),3,0(21A A -设N A 1的方程为3-=kx y ，∵M A N A 11⊥∴M A 1的方程为31--=x ky ，代入方程1322=+y x 得： 032)13(22=++kx x k ，解得1332,0221+-==k k x x ，…………6分 代入方程31--=x ky 可得)13333,1332(222+-+-k k k k M ………8分 ∴k k k k k k M A 313323133332222=+--+-=， ∴M A 2的方程为33+=kx y …………10分∴由)32,3(333--⇒⎩⎨⎧+=-=k P kx y kx y∴点P 在定直线32-=y 上． ………12分。

2015年成都市成都外国语学校自主招生考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题：每小题3分，共45分．1．﹣|﹣|的负倒数是（）A．B．C．D．2．计算：（a2b）3的结果是（）A．a6b B．a6b3C．a5b3D．a2b33．在式子，，，中，x可以取1和2的是（）A．B．C．D．4．如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米＝10﹣9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A．30×10﹣9米B．3.0×10﹣8米C．3.0×10﹣10米D．0.3×10﹣9米5．的平方根是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．±26．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．68°B．32°C．22°D．16°7．已知a2﹣5a+1＝0，则a+﹣3的值为（）A．4 B．3 C．2 D．18．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣19．下列命题中真命题是（）A．有理数都能表示成两个整数之比B．各边相等的多边形是正多边形C．等式两边同时乘以（或除以）同一个实数，所得结果仍是等式D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等10．已知|a|＝2，|b|＝3，则|a﹣b|＝5的概率为（）A．0 B．C．D．11．某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．2πC．πD．1212．某校九年级共有1100名学生参加“二诊”考试，随机抽取50名学生进行总成绩统计，其中有20名学生总成绩达到优秀，估计这次“二诊”考试总成绩达到优秀的人数大约为（）A．400 B．420 C．440 D．46013．若x1，x2是方程x2+2x﹣k＝0的两个不相等的实数根，则x12+x22﹣2是（）A．正数B．零C．负数D．不大于零的数14．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为s；△A′B′C′的三边长分别为a′，b′，c′，面积为s′，且a＞a′，b＞b′，c＞c′，则s与s′的大小关系一定是（）A．s＞s′B．s＜s′C．s＝s′D．不确定15．b＞a，将一次函数y＝ax+b与y＝bx+a的图象画在同一个直角坐标系内，则能有一组a、b的取值，使得如下四个图中为正确的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．16．函数有意义，则x 的取值范围是 ． 17．已知一组数据24、27、19、13、x 、12的中位数是21，那么x 的值等于 ．18．已知x 2﹣x ﹣1＝0，那么代数式x 3﹣2x+1的值是 ．19．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ．若S △APD ＝15cm 2，S △BQC ＝25cm 2，则阴影部分的面积为 cm 2．20．已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线l 的垂线BM 和DN ，垂足分别为点M 、点N ，如果BM ＝5，DN ＝3，那么MN ＝ ．21．已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x+2y+z ＝5，x+y ﹣z ＝2，若S ＝2x+y ﹣z ，则S 的最小值为 ．三、解答题：本大题共7小题，计69分，写出必要的推算或演算步骤．22．（7分）根据题意回答下列问题：（1）如果（a ﹣2）+b+3＝0，其中a 、b 为有理数，那么a ＝ ，b ＝ ．（2）如果（2+）a ﹣（1﹣）b ＝5，其中a 、b 为有理数，求a+2b 的值．23．（8分）逸夫楼前石室水景广场园林及道路改造项目是我校2012年校园文化﹣﹣环境文化建设的重点项目之一，该项目2012年2月11日正式动工，经过四个多月的紧张施工，于2012年6月5日竣工，若该工程拆除旧设施每平方米需要80元，建造新设施每平方米需要800元，计划拆除旧设施与建造新设施共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建设施只完成了计划的90%而拆除旧设施则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？24．（8分）已知y＝m2+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数）（1）求a、b、c的值；（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数，再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2012？证明你的结论．25．（9分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．26．（12分）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∠A＝60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E 是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；（2）如图2，当点G在点F的右侧时；①求证：△BDF∽△BGD；②设AE＝x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）如果△DFG的面积为，求AE的长．27．（12分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ＝2PN．28．（13分）如图，已知抛物线y＝x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：﹣|﹣|＝﹣，﹣的负倒数是．故选：B．2．【解答】解：（a2b）3＝a6b3，故选：B．3．【解答】解：有意义的条件是x≠1，有意义的条件是x≠2，有意义的条件是x≥1，有意义的条件是x≥2，故选：C．4．【解答】解：30纳米＝30×10﹣9米＝3×10﹣8米．故选：B．5．【解答】解：∵＝4，∴4的平方根为±2，故选：D．6．【解答】解：∵CD＝CE，∴∠D＝∠DEC，∵∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°×2＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°．故选：B．7．【解答】解：∵a2﹣5a+1＝0，∴a2+1＝5a，∴a+＝5，a+﹣3＝5﹣3＝2，故选：C．8．【解答】解：∵点P（﹣2，a）与Q（b，3）关于原点对称，∴b＝2，a＝﹣3，则a+b的值为：2﹣3＝﹣1．故选：D．9．【解答】解：A、有理数包括整数和分数，整数可以表示为整数：1的形式，分数本身就是分子：分母的形式，故本选项正确；B、各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故本选项错误；C、等式两边同时乘以（或除以）同一个实数（除数不为0），所得结果仍是等式，故本选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故本选项错误；故选：A．10．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3，∴有|a﹣b|＝1，|a﹣b|＝5，|a﹣b|＝1，|a﹣b|＝5四种情况，∵|a﹣b|＝5的概率为＝．故选：B．11．【解答】解：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，故体积为：πr2h＝π×1×3＝3π，故选：A．12．【解答】解：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有20名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为：20÷50＝40%，又∵某校九年级共1100名学生参加“二诊”考试，∴该校这次“二诊”考试总成绩达到优秀的人数大约为：1100×40%＝440人．故选：C．13．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣k＝0的两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4﹣4×1×（﹣k）＞0，∴4+4k＞0，∴2+2k＞0，又∵x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣k，∴x12+x22﹣2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2＝2+2k，∵2+2k＞0，∴x12+x22﹣2＞0，故选：A．14．【解答】解：已知a＞a′，b＞b′，c＞c′，分三种情况讨论：①△ABC∽△A′B′C′，此时＝＞1，∴s＞s'；②设a＝b＝，c＝20，则＝10，由勾股定理得：h c＝＝1，∴s＝×20×1＝10，取a′＝b′＝c′＝10，则h c'＝10×sin60°＝5，∴s'＝×10×5＝25＞10，即s＜s'；③设a＝b＝，c＝20，则同②h c＝1，s＝10，取a′＝b′＝，c′＝10，则由勾股定理得h c'＝＝2，∴s'＝×10×2＝10，即s＝s'．∴s与s′的大小关系不确定．故选：D．15．【解答】解：A、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误；B、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，因为b＞a，所以函数y＝bx+a与y轴的交点在y＝ax+b与y轴交点的下方，故本选项正确；C、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象过一、三、四象限，因为函数y＝ax+b与y ＝bx+a的交点坐标为（1，a+b），由图象可知a≠﹣b和b＞a，两结论矛盾，故本选项错误；D、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象过一、三、四象限，故本选项错误．故选：B．16．【解答】解：由题意，得，解得x≥2且x≠3．故答案为x≥2且x≠3．17．【解答】解：根据题意，x的位置按从小到大排列只可能是：12，13，19，x，24，27．根据中位数是21得（19+x）÷2＝21．解得x＝23．故答案为：23．18．【解答】解：根据题意，x2﹣x＝1，∴x3﹣x2＝x，即x3﹣x＝x2，∴x3﹣2x+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2，故答案为：2．19．【解答】解：如图，连接EF∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF＝S△DEF，即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，即S△APD＝S△EPF＝15cm2，同理可得S△BQC＝S△EFQ＝25cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝15+25＝40cm2．故答案为40．20．【解答】解：如图1，在正方形ABCD中，∵∠NAD+∠BAM＝90°，∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠NAD＝∠MBA，在△ABM和△ADN中，∵，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝DN＝3，AN＝BM＝5，∴MN＝AM+AN＝8，如图2，在正方形ABCD中，∵∠DAN+∠BAM＝90°，∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠NAD＝∠MBA，在△ABM和△ADN中，∵，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝DN＝3，AN＝BM＝5，∴MN＝AN﹣AM＝2，综上所述：MN的值为2或8，故答案为：2或8．21．【解答】解：要使S取最小值，联立得到方程组，（1）+（2）得：4x+3y＝7，y＝，（1）﹣（2）×2得：x+3z＝1，z＝，把y＝，z＝代入S＝2x+y﹣z，整理得：S＝x+2，当x取最小值时，S有最小值，∵x、y、z是三个非负实数，∴x的最小值是0，∴S的最小值为2．故答案为：2．22．【解答】解：（1）由（a﹣2）+b+3＝0，得到a＝2，b＝﹣3；故答案为：2；﹣3；（2）由（2+）a﹣（1﹣）b＝5整理得：（a+b）+（2a﹣b﹣5）＝0，∵a、b为有理数，∴，解得：a＝，b＝﹣，则a+2b＝﹣．23．【解答】解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则答：原计划拆建各4500平方米．（2）计划资金y1＝4500×80+4500×800＝3960000元实用资金y2＝1.1×4500×80+0.9×4500×800＝4950×80+4050×800＝396000+3240000＝3636000∴节余资金：3960000﹣3636000＝324000∴可建绿化面积＝平方米答：可绿化面积1620平方米．24．【解答】解：（1）设m2+m+4＝k2（k为非负整数），则有m2+m+4﹣k2＝0，由m为整数知其△为完全平方数，即1﹣4（4﹣k2）＝p2（p为非负整数），（2k+p）（2k﹣p）＝15，显然2k+p ＞2k﹣p，∴或，解得：p＝7或p＝1，∴m＝，∴m1＝3，m2＝﹣4，m3＝0，m4＝﹣1，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1．（2）三个数，任意两个求其和，再除以，同求其差，再除以，剩下的一个数不变，经过两次这样的操作就又变成原来的三个数了，即（）2+（）2+p2＝m2+n2+p2，∵32+（﹣4）2+（﹣1）2≠2012．∴对a、b、c进行若干次操作后，不能使所得三个数的平方和等于2012．25．【解答】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE＝∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，∴△ODH∽△OBD，∴＝＝又∵sin∠ABC＝，OB＝9，∴OD＝6，易得∠ABC＝∠ODH，∴sin∠ODH＝，即＝，∴OH＝4，∴DH＝＝2，又∵△ADH∽△AFB，∴＝，＝，∴FB＝．26．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AD＝BD，∴CD＝AD＝BD，∵∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，AD＝BD＝AC，∵AC＝4，∴AD＝BD＝AC＝4，∵BM∥AC，∴∠MBC＝∠ACB＝90°，又∵CD⊥EF，∴∠CDF＝90°，∴∠BDF＝30°，∴∠BFD＝30°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BF＝BD＝4；（2）①证明：由翻折，得∠E′CD＝∠ACD＝60°，∴∠ADC＝∠E′CD，∴CE′∥AB，∴∠CE′D＝∠BDG，∵BM∥AC，∴∠CED＝∠BFD，又∵∠CE′D＝∠CED，∴∠BDG＝∠BFD，∵∠DBF＝∠GBD，∴△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD，得＝，∵D为AB的中点，∴BD＝AD，又∵BM∥AC，∴∠DBF＝∠DAE，∠BFD＝∠DEA，在△BFD和△AED中，∵，∴△BFD≌△AED（AAS），∴BF＝AE＝x，∴＝，∴BG＝，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝4，根据勾股定理得：BC＝＝4，∵点D到直线BM的距离d＝BC＝2，∴S△DFG＝FG•d＝（BG﹣BF）•d，即y＝×（﹣x）×2＝﹣x（0＜x＜4）；（3）（i）当点G在点F的右侧时，由题意，得6＝﹣x，整理，得x2+6x﹣16＝0，解得x1＝2，x2＝﹣8（不合题意，舍去）；（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示：同理得到S△DFG＝FG•d＝（BF﹣BG）•d，即y＝x﹣（x＞4），由题意，得6＝x﹣，整理，得x2﹣6x﹣16＝0，解得x3＝8，x4＝﹣2（不合题意，舍去），综上所述，AE的值为2或8．27．【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且．∵AB∥CD，∴．∵AD∥CE，∴．∴＝＝．又∵＝，∴OQ＝3DN．∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．∴AN+CQ＝2DN．∴＝＝2．即MN+PQ＝2PN．28．【解答】解：（1）令y＝0，即y＝x2﹣（b+1）x+＝0，解得：x＝1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x＝0，解得：y＝，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．则S四边形PCOB＝S△PCO+S△POB＝••x+•b•y＝2b，∴x+4y＝16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO＝∠EOD＝∠ODP＝90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD＝90°．∴∠EPC＝∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE＝PD，即x＝y．由解得由△PEC≌△PDB得EC＝DB，即﹣＝b﹣，解得b＝＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB＝∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO＝∠BAQ＝90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ＝∠AQB．此时∠OQB＝90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ＝∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO＝90°或∠OQC＝90°．（I）当∠OCQ＝90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ＝CO＝．由AQ2＝OA•AB得：（）2＝b﹣1．解得：b＝8±4．∵b＞2，∴b＝8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC＝90°时，△OCQ∽△QOA，∴＝，即OQ2＝OC•AQ．又OQ2＝OA•OB，∴OC•AQ＝OA•OB．即•AQ＝1×b．解得：AQ＝4，此时b＝17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．。

【精品解析】四川省石室中学2015届高三一诊模拟数学文试题考试时间：120分钟 总分 150分【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数、充分、必要条件、集合、复数、圆锥曲线、抽样方法、概率、程序框图等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一、选择题（每题5分，共50分）【题文】1.已知集合{}24B x x =≤，则集合R B =ð（）A.()2∞，+B.[)2∞，+C.()()2-∞⋃∞，-2，+D.(][)22-∞⋃∞，-，+ 【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】C解析：因为{}{}2422B x x x x =≤=-≤≤，所以()(),22,R B =-∞-+∞ð，则选C.【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行解答.2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =（）A ．9B ．10C ．12D ．13 【知识点】分层抽样I1 【答案】【解析】 D 解析：因为603131208060n =÷=++，所以选D.【思路点拨】因为分层抽样是按比例抽样，所以样本和总体中各层所占的比例相等.【题文】3.已知a b ，均为单位向量，且它们的夹角为60，那么a b -=（） A.1 B.3 C.32D.12【知识点】向量的数量积F3【答案】【解析】 A 解析：因为()21122211cos601a b a b a b -=-=+-∙=-⨯⨯⨯︒=，所以选A.【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答. 【题文】4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（） A ．21 B ．26 C ．30 D ．55【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】C解析：该程序框图为循环结构，依次执行循环体得：第一次执行：n=2,p=5, 第二次执行：n=3,p=14, 第三次执行：n=4,p=30,此时30＞20,所以输出p=30，则选C.【思路点拨】遇到循环结构的程序框图，可依次执行循环体，直到跳出循环体，再判断选项即可. 【题文】5．()()12221910log log 24⎛⎫-- ⎪⎝+⎭的值等于（） A ．2- B ．0 C ．8 D ．10【知识点】指数运算性质 对数运算性质B6 B7 【答案】【解析】A 解析：因为()()()012221910log log 2312224⎛⎫--=-+-∙=- ⎪⎝⎭+所以选A. 【思路点拨】熟记指数的运算性质及对数的运算性质是解题的关键. 【题文】6．已知α是平面，,m n 是直线，则下列命题正确的是（）A ．若,,m n m α∥∥则n α∥ B ．若,,m n αα⊥∥则m n ⊥ C ．若m m n α⊥⊥，，则n α⊥ D ．若m n αα，∥∥，则m n ∥【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5 【答案】【解析】 B解析：选项A ，直线n 还可能在平面α内，所以错误；选项B ，因为n ∥α,所以在α一定存在直线a ∥n ，而m ⊥α,所以m ⊥a,得m ⊥n ，所以B 正确，因为只有一个正确选项，则答案只能为B.. 【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【题文】7．如果实数x y ，满足等式()2232x y +=-，那么yx的最大值是（） A ．12 B ．33 C ．32D ．3 开始P=1，n=1 n=n+1 P=P+n 2P>20? 输出P结束是 否【知识点】圆的方程H3 【答案】【解析】D解析：因为(x,y)为()2232x y +=-圆上的点，yx为圆上的点与原点连线的斜率，显然其最大值为过原点与圆相切的切点在第一象限的切线斜率，设倾斜角为α，显然3sin ,602αα==︒，所以其斜率为3，则选D.【思路点拨】本题可抓住代数式的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】8．关于x 的方程2160mx x -+=在[]110x ∈，上有实根，则实数m 的取值范围是（） A ．[]8，17 B ．(]1，8 C ．(][)88-∞-⋃+∞，， D ．5885⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】A 解析：由已知得()()22441616,'1x x m x m x x x +-=+=-=，由导数的符号可得函数16m x x =+在[1,4]上单调递减，在[4,10]上单调递增，又当x=1,4,10时函数值分别为17,8，585,所以函数的值域为[]8，17，则选A.【思路点拨】对于方程有解求参数范围问题，可通过分离参数转化为求函数的值域问题进行解答.【题文】9．点12F F ，为椭圆()222210b x y a ba +>>=的左右焦点，若椭圆上存在点A 使12AF F 为正三角形，那么椭圆的离心率为（） A ．22B ．12C ．14D ．31-【知识点】椭圆的几何性质H5【答案】【解析】B解析：由椭圆的对称性可知，若若椭圆上存在点A 使12AF F 为正三角形，则点A 必在短轴端点，此时1sin 302c a =︒=，所以选B. 【思路点拨】抓住椭圆的对称性，可得到点A 的位置，再利用短轴端点到焦点的距离等于a 直接求离心率即可.【题文】10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2xb x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（） A ．122x x +=B ．1219x x <<C ．()()340661x x <--<D ．34925x x <<【知识点】函数与方程B9【答案】【解析】D解析：不妨令b=0,函数f(x)图象与函数2x y -=的图象如图，则方程()()2xb x R f -∈=的根即为两个函数图象交点的横坐标，由图象可知123401,12,35,56x x x x <<<<<<<<，2x 可能大于2，所以A 错误,又()122112122lg ,2lg ,22lg 0x x x x x x x x ----=-=-=<，所以1201x x <<，所以B 错误；()()()()334434342lg 6,2lg 6,22lg 660x x x x x x x x ----=-=---=-->⎡⎤⎣⎦，所以()()34661x x -->，则C 错误，综上可知选D..【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生，再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.第II 卷（非选择题，共100分）【题文】二、填空题（每题5分，共25分） 【题文】11．已知i 是虚数单位，则复数31ii+-的共轭复数是_________. 【知识点】复数的运算L4 【答案】【解析】1－2i解析：因为()()3131212i i i i i +++==+-.所以其共轭复数是1-i. 【思路点拨】先对复数进行计算，再求共轭复数即可. 【题文】12．若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 【知识点】三角函数求值C7 【答案】【解析】7210-解析：因为4c os 5α=-，且α为第三象限角，所以3s i n 5α=-，则22324272s i n s i nc o s 422101010πααα⎛⎫+=+=--=-⎪⎝⎭.【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可. 【题文】13．若0+2=1m n m n >，，且，则11m n+的最小值为________. 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】322+解析：因为0+2=1m n m n >，，且，所以()1111223322n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭. 【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值. 【题文】14．直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A B ，两点（其中a b ，是实数），且AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点()P a b ，与点()00Q ，之间距离的最大值为。