棱锥及其画法

讲授
板书倾听2Fra bibliotek钟作业
习题集P26
1分钟
后记
1、让学生绘制棱柱的三视图。
2、让学生绘制棱锥及棱台的三视图。
3、体表面求点。
参考资料
1、王枕霞主编工程制图中国电力出版社
2、王枕霞主编工程制图习题集中国电力出版社
教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间分配
告知（教学
内容、目的）
1、本课任务就是绘制平面立体三视图及表面求点
讲授
板书
倾听
2分钟
引入（任务
项目）
任务1： 绘制棱柱三视图
任务2：绘制棱锥三视图
展示
启发
操作
多媒体
讨论
回答
10分钟
归纳（知识
和能力）
1、基本体的分类。
2、平面立体三视图画法。
3、体表面求点的方法
先由学生总结，教师再归纳
板书
讨论
回答
5分钟
操练（掌握初步或基本能力）
1、绘制正六棱柱的三视图
2、绘制三棱锥的三视图
教师示范
重点讲解
本次课标题：绘制棱柱、棱锥及棱台的三视图
5
授课班级
上课时间
教学目标
能力（技能）目标
知识目标
1、能运用正投影法正确绘制基本体三视图
1、了解基本体的分类
2、能准确绘制基本体表面点的三面投影
2、掌握基本体三视图的绘制方法
3、掌握基本体表面点的作图方法
能力训练任务及案例
本课学习工程制图中的平面立体，了解基本体的分类、基本体三视图的绘制方法，表面点的投影规律及作图方法等知识。
板书

§9.7棱锥一、素质教育目标(一)知识教学点1．棱锥的概念及性质．2．正棱锥的概念及性质．3．正棱锥直观图的画法．4．正棱锥的侧面积．(二)能力训练点1．在理解并掌握棱锥概念及性质的过程中，努力提高学生观察、抽象和概括能力．2．通过正棱锥直观图画法的教学，进一步提高学生作图、识图能力，为发展学生的空间能力奠定良好的基础．3．正棱锥的性质2揭示了如何把空间问题转化为平面几何问题的奥秘，通过教学可培养学生分析立体图形的能力．(三)德育渗透点1．棱锥的形象是非常的美，教学过程要注意挖掘图形的美育潜能，给学生以美感教育．2．正棱锥的性质2是转化正棱锥计算问题为平面计算问题的桥梁，通过它使空间问题和平面问题这对矛盾得以统一，教学过程要注意帮助学生树立统一的辩证唯物主义观点．3．正棱锥侧面积公式的获得，是将空间图形展成平面图形的结果，教学过程要注意培养学生运用运动变化的观点来分析问题的思维方式．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面问题．2．教学难点：正棱锥的直观图的画法．3．教学疑点：一般棱锥侧面积的计算，要逐个侧面算出再求和．三、课时安排本课题建议安排2课时：四、教与学过程设计第一课时棱锥的概念和性质(一)引入师：埃及与我们国家一样堪称世界文明古国．其最具有象征意义的是金字塔，它是古埃及人民智慧的结晶，它的形状给我们以棱锥的形象．今天我们学习棱锥，不仅要感受它的形象美，还要探究它的内在美．(激发学生的学习热情．)(二)棱锥的概念及基本元素(把画有图2-9、图2-10、图2-11的小黑板挂出)师：请同学们注意观察图2-9到图2-11，它们的各个面有什么特点？生1：有一个面是多边形，其余各面都是三角形．生2：(补充)三角形的面有一个公共点．师：棱锥的特点是：有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形．下面请一位同学来说说什么是棱锥．生：有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(注意纠正学生的表达．)师：下面请同学们打开课本P．59阅读课文，注意棱锥有哪些元素？然后，就图2-9．请同学们说出具体的线段、面点的名称，也可以说出棱锥的元素，让学生在图形中找到具体的线段、面或点．师：棱锥的表示法有两种：其一是用顶点的字母和底面顶点的字母来表示，如图2-9可表示为：棱锥S-ABCD；也可用顶点的字母和底面一条对角线两端点的字母表示，如棱锥S-AC．不管哪种表示法都要冠以“棱锥”．棱锥根据其底面多边形的边数，分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等．如图2-9是四棱锥，图2-10是五棱锥．(三)正棱锥的概念及性质师；如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．要注意只有两条件：第一底面是多边形，第二顶点在底面上的射影是底面的中心同时满足时，棱锥才叫正棱锥．一个棱锥若是正棱锥，则它一定具备以上两条特点．下面请同学们思考以下问题．问题1：如果图2-9是正四棱锥，那么它的侧棱长有什么关系？侧面三角形有何特点？(引导学生利用射影定理来分析．)生：因为AO=BO＝CO=DO，所以SA=SB=SC＝SD，侧面三角形是全等的等腰三角形．师：在正棱锥中我们把侧面等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高．(注意不是正棱锥没有斜高)，即六棱锥的高、斜高、底面边心距、底面半径、侧棱这五条线段中哪些线段的组合可构成直角三角形？生：高、斜高、边心距；高、侧棱、半径．由教师板书正棱锥的两条性质．问题2：正棱锥各侧面与底面所成的角有什么关系？各侧棱与底面所成的角有什么关系？生：相等，因为所有由高、斜高、边心距组成的三角形都全等；所有由高、侧棱、半径组成的三角形都全等．问题3：如果一个棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，那么它是否是正棱锥？师：请同学们注意观察这个图形，显然它不是正三棱锥．问题4：如果一个棱锥的底面既有外接圆，又有内切圆，且侧棱长都相等，那么它是否是正棱锥？师：请同学们观察图形，其中∠ABC＝90°，O是AC的中点，且SO⊥面ABC，请一位同学用这个图形说明问题．生：因为OC=OA＝OB，且SO⊥面ABC，所以SA＝SB=SC，又Rt△ABC既有内切圆又有外接圆，问题的条件都符合，但棱锥S-ABC不是正棱锥．(通过以上教学，使学生掌握用特例来判断命题的真伪的方法，从而培养学生探究问题的能力．)(四)棱锥的一个重要性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．师：要证两个多边形相似应该去证什么？生：对应角相等，对应边成比例．师：两个相似多边形的面积比等于什么？生：相似比的平方即边的比的平方．师：请同学们阅读课本P．61中定理的证明．(待同学们阅读完后)师：这个定理的证明，是通过两平行平面的性质定理和等角定理来证明多边形相似，然后利用相似多边形的性质，把面积比较化为边的比的平方，再通过平行把边的比的平方传递给高的比的平方，这种转移比例的手段是我们常用的，大家要好好体会．例1 如图2-14，已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM＝l，求经过SO 的中点平行于底面的截面△A'B'C'的面积．师：因为截面A'B'C'过高SO的中点，所以S△A'B'C'：S△ABC＝1：是求底面三角形的边长，如何根据已知条件求出AB？生：在Rt△SOM中，SM＝l，SO＝h，所以OM可求，又在Rt＝AOM中∠MAO＝3O°，故AM可求，即AB可求．师：从刚才同学的回答中，我们得到启示，联系性质2中两个直角三角的直角三角形AOM是非常关键的，解题中大家要加以应用．请同学们阅读课本P．62的解题过程．(五)练习P．62练习1．(六)总结1．这节课我们学习了一般棱锥和正棱锥的概念，特别是正棱锥的概念大家一定要注意，两个条件缺一不可．2．正棱锥的性质对一般棱锥不适用，性质2只阐明两个直角三角形其实应该是三个．3．一般棱锥平行于底的截面的性质，是截面问题的重要解题依据．大家一定要注意的是截得的棱锥的高与原棱锥高的比的平方，不要记错为高被截成两段的比的平方．五、作业课本P．65中习题八1-6．六、板书设计图2-9～图2-11画在小黑板上棱锥的概念及性质1．棱锥的概念棱锥的定义：棱锥的表示法：棱锥的分类：2正棱锥的概念及性质性质1(略)性质2(略)3．一般棱锥的性质定理(略)例1(略)第二课时正棱锥的直观图画法及侧面积一、教与学过程设计(一)复习提问师：正棱锥有两个突出的特点，请一位同学说说．生：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心．师：今天我们首先来学习正棱锥直观图的画法．(二)正五棱锥直观图的画法平放量的直观图．中心．)待同学们画好后．师：在同学们画的图形中，过O'作一条轴O'z'使∠z'O'x'＝90°，∠z'O'y'＝45°，并在其上的O'S'＝2.3(cm)，并连结S'与点A'、B'、C'、D'、E'，则棱锥S'-A'B'C'D'E，便是高为11.5(cm)．底面边长为5(cm)的正五棱锥(为什么高是11.5cm？)．生：因为2.3(cm)×5＝11.5(cm)师：我们总结正棱锥直观图的画法，请一位同学来说．生：先画底面的直观图，再画O'z'轴，使∠z'O'x'＝90°，∠z'O'y'＝45°，然后在O'z'上截取高，最后连结截点和底面上的顶点即是．(三)正棱锥的侧面积利用模型让学生观看，把正棱锥沿侧棱将侧面展成平面的演示．师：如果这个正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为h'，问这个展开图的面积是多少？正棱椎的侧面积又是多少？(教师把定理板书出来．)定理：如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h'，那么它的侧(然后请同学们阅读课本P．64例3及解题过程，教师抄写补充例题．)补例1 棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高截成1∶2，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积比等于[ ]A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3师：我们可以从一个侧面来考虑被截成两部分面积的比，如图2-15设为一个侧面三角形，则有A'B'∥AB且A'B'：AB＝1∶3．由于△SA'B'～△SAB，所以S△A'B'∶S△SAB＝1∶9，所以S△SA'B'∶S四边形A'B'BA＝1∶8．根据等比性质得，两部分面积的比为1∶8，故应选B答案．补例2 正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积．师：问题的关键在于求出斜高，所以在图中作出三个Rt△，在Rt小结：大家要善于应用正棱锥的性质2．补例3 底面为矩形的四棱锥P-ABCD，PA⊥底面，PA＝3cm，AB=4cm，BC＝3cm，求棱锥P-BCD的侧面积．师：由于棱锥P-BCD是斜棱锥，我们没有现成公式可用，所以只好分别计算S△PBC，S△PCD及S△PBD，因为PA⊥底面，且AB⊥BC．∴PB⊥BC，故△PBC是Rt△，同理△PDC也是Rt△，由于PB作AE⊥BD于E，并连结PE，则PE⊥BC(为什么？)即PE是△PBD的一条高，在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3∴BD＝5．又AB·AD小结：一般棱锥的侧面积采取逐个计算再求总和的方法．(四)练习课本P．64练习1、2．(五)总结1．正棱锥直观图作法2．正棱锥的侧面积公式3．一般棱锥侧面积的计算方法二、作业课本P．65中7-10．三、板书设计正棱锥直观图的画法1．正棱锥直观图的画法①画底面的直观图．②画O'z'轴使∠x'O'z'=90°③在0'z'上截取，O'S等于正棱锥的高．④连结S与底面直观图上各顶点．2．正棱锥的侧面积定理(略)补充例1、例2、例3．。

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5．正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边上的高相等． (2)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形． 6．直棱柱和正棱锥的直观图的画法 画直观图有四个步骤：①画轴(即建立三维空间直角坐标系)；②画底面；③画侧棱(正棱 锥画高)；④成图． 7．正多面体的概念 每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正 多面体，正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段．
解析：由于正棱锥的各侧棱长、斜高均相等，故对应的二面角、侧棱与底面所成的角也 相等，故①②正确．根据正棱锥的定义知④正确，对于③，其中的对角面有多种情况，如五 棱锥、六棱锥等，故③末页
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2．若正四棱锥的高为 6，侧棱长为 8，则棱锥的底面边长为( (A)2 7 (B)4 7 (C) 14 (D)2 14
2．棱锥的分类 棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形„„我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四 棱锥、五棱锥„„ 3．棱锥的性质 定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底 面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 4．正棱锥的概念 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫 做正棱锥．
本题以四棱锥为载体，考查立体几何中的线面关系及空间角的概念和计算．
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食盐
明矾
石膏
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C D
A
E 问：以上多面体哪个为凸多面体？
B
多面体分类：
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
（3）正多面体：
定义：每个面都是有相同边数正多边形，且以每个顶点 为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
例3 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱 锥直观图。(比例尺1:5)
y
D E N C E1 N1
1 D ·
y1
o
A M B
x
A1
· M1
o
· 1
B1
C1
x1
正棱锥的直观图的画法
S
z’
y’
D
E A O’ B C x’
画轴．画 加以整理，就得到所画的正五棱锥的直观图 x′轴、 y′SB 轴、 z′ 轴，记坐标原点为 O′ ，使 ， 画底面．按 x′ 轴、 y′、 轴画正五边形的直观图 ABCDE ..成图．连结 画高线．在 z′ SA 轴上取 、 O′S SC ＝ 、 11.5 SD、 ÷SE 5＝ ， 2.3(cm) ． ∠ x′O′y′＝45°，∠x′O′z′ ＝1(cm) 90° ，并使正五边形的中心 按比例尺取边长等于 5÷ 5＝ 对应于点O′．
直观图的画法 E’ z’ D’ C’
y’
F’ A’
E D
E1
O’
B’
D1
C1 x’ B1
F A B
C
F1 A1
直棱柱的直观图的画法
E’ F’ A’
z’