苏教版高中数学必修一集合第一课时配套练习

集合 练习一、选择题 Z#xx#k1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家 ZxxkC 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ）A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}3、以下六个关系式：①{}00∈，②{}0⊇∅，③Q ∉3.0, ④N ∈0, ⑤{}{}a b b a ,,⊆，⑥{}2|20,x x x Z -=∈是空集，其中错误的个数是 （ ）A 4B 3C 2D 14、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( )A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集5、若{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 6、满足{}{}5,3,13,1=⋃A 的所有集合A 的个数 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 （ ）A }{2a a ≥B }{1a a ≤C }{1a a ≥D }{2a a ≤8、设集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则（ ）A ．3,2a b ==B ．2,3a b ==C ．3,2a b =-=-D ．2,3a b =-=-9、如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） ZXXK]A 、 ()S N MB 、 ()S N M ZxxkC 、 ()S C N M uD 、 ()S C N M uZxxk10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有（ ）A ．a b P +∈B ．a b Q +∈ 学+科+网Z+X+X+K]C ．a b R +∈D ．a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个二、填空题11、已知{}30|<≤∈=x N x A 的真子集的个数是 。

1.2子集、全集、补集第1课时子集、真子集课时训练3子集、真子集1.已知集合{2x,x2-x}有且只有4个子集,则实数x的取值范围是().A.{x|x≠0,x∈R}B.{x|x≠3,x∈R}C.{x|x∈R}D.{x|x≠0,且x≠3,x∈R}★答案★:D解析:由题知2x≠x2-x,解得x≠0,且x≠3.2.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的真子集的个数是().A.5B.6C.7D.8★答案★:C解析:由题可知集合中的元素有5,3,1三个元素,所以其真子集的个数为23-1=7.3.设x,y∈R,A={(x,y)|y-3=x-2},B={(1,2),(4,5)},则A与B的关系是().A.A∈BB.B∈AC.A⫋BD.B⫋A★答案★:D解析:∵y-3=x-2,∴y=x+1.∴集合A中的元素是一次函数y=x+1图象上点的集合;而集合B中的元素(1,2),(4,5)均满足一次函数y=x+1,故B⫋A.4.已知集合A={x|x2=2},B={x|ax=1}.若B⊆A,则a=().(导学号51790137)A.0B.±C.0或±D.不存在★答案★:C解析:当a=0时,B=⌀符合题意;当a≠0时,则=-.∴a=或-.5.设A={x|2<x≤5},B={x|x>a},若A⫋B,则a的取值范围是.★答案★:{a|a≤2}解析:如图所示.若A⫋B,则a≤2.6.设P={x|3<x<5},Q={x|m-1≤x≤m+2},若P⊆Q,则实数m的取值范围是.★答案★:{m|3≤m≤4}解析:∵P⊆Q,∴解得3≤m≤4.7.设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且A⊇B,求a的取值集合.B⊆A,∴a2-a+1=3或a2-a+1=a.∴a=2或a=-1或a=1(舍去).∴a=-1或a=2.∴a的取值集合为{-1,2}.8.已知集合A={x|x2-5x-6=0},集合B={x|2mx-1=0},若B⊆A,求实数m组成的集合.(导学号51790138)A={x|x2-5x-6=0}={-1,6},又B⊆A,∴B=⌀或B={-1}或B={6}.当B=⌀时,m=0;当B={-1}时,m=-;当B={6}时,m=.∴实数m组成的集合为.9.(2016贵州凯里一中高一期中)集合A={x|ax2-2x+2=0},集合B={y|y2-3y+2=0},如果A⊆B,求实数a的取值集合.(导学号51790139)B得B={1,2}.由A⊆B,知若a=0,则A={x|-2x+2=0}={1}⊆B.若a≠0,当Δ=4-8a<0,即a>时,A=⌀⊆B;当Δ=4-8a=0,即a=时,A={2}⊆B;当Δ=4-8a>0,即a<,且a≠0时,必有A={1,2},所以1,2均为关于x的方程ax2-2x+2=0的实根,即a-2+2=0,4a-4+2=0,这是不可能的.所以实数a的取值集合为.。

第2课时 集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法将集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．两个集合相等如果两个集合所含的元素____________，那么称这两个集合相等．3．描述法将集合的所有元素都具有的______(满足的______)表示出来，写成{x |p (x )}的形式．4．集合的分类(1)有限集：含有________元素的集合称为有限集．(2)无限集：含有________元素的集合称为无限集．(3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记作____．一、填空题1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为___________________________________．2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示________．(填序号)①方程y ＝2x －1；②点(x ，y )；③平面直角坐标系中的所有点组成的集合；④函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合．3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法为______________． 4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为________．5．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有________．(填序号)①－1∈A ；②0∈A ；③3∈A ；④2∈A .6．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集不可表示为________．①{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1}；②{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2}； ③{1,2}；④{(1,2)}．7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝______________________________. 8．下列各组集合中，满足P ＝Q 的为________．(填序号)①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}；②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }．9．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是________．(填序号)①M ＝{π}，N ＝{3.141 59}；②M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}；③M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }，N ＝{1}；④M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}．二、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．①{x|x＝1}；②{y|(y－1)2＝0}；③{x＝1}；④{1}．13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是____________________________________________________．1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.完全相同 3.性质条件4．(1)有限个(2)无限个(3)∅作业设计1．{1,2,3,4}解析{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．2．④解析 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合．3．{(2,3)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．4．{1}解析 方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．5．②6．③解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合．7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集．9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }；③{x |x >8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．12．③解析 由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合．13．x0∈N解析M＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋24，k∈Z}，∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N.。

第2课时集合的表示A级必备知识基础练1.用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为( )A.{x|2<x<5,x∈N}B.{2,3,4,5}C.{2<x<5}D.{3,4}2.(武汉洪山校级月考)集合{x∈Z|(3x-1)(x-4)=0}可化简为( )A.{13} B.{4}C.{13,4} D.{-13,-4}3.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( )A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合4.集合3,52,73,94,…用描述法可表示为( )A.x x=2n+12n,n∈N*B.x x=2n+3n,n∈N*C.x x=2n-1n,n∈N*D.x x=2n+1n,n∈N*5.(上海金山校级月考)集合{x|1≤x≤3,x∈N}用列举法可以表示为.6.已知集合A={x|x2+2x+a=0},若1∈A,则A= .7.用适当的方法表示下列集合:(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合.B级关键能力提升练8.(菏泽期中)如果集合A={x|ax2+4x+1=0}中只有一个元素,则a的值是( )A.0B.4C.0或4D.不能确定9.(山东临沂高一期中)已知b 是正数,且集合{x|x 2-ax+16=0}={b},则a-b=( ) A.0B.2C.4D.810.已知集合A={a 2,0,-1},B={a,b,0},若A=B,则(ab)2 021的值为( ) A.0 B.-1C.1D.±111.(多选题)下列选项表示的集合P 与Q 相等的是( ) A.P={x|x 2+1=0,x ∈R},Q=⌀ B.P={2,5},Q={5,2} C.P={(2,5)},Q={(5,2)} D.P={x|∈Z},Q={x|∈Z}12.(多选题)下列选项能正确表示方程组{2x +y =0,x -y +3=0的解集的是( )A.(-1,2)B.{(x,y)|x=-1,y=2}C.{-1,2}D.{(-1,2)}13.(多选题)已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},下列关系正确的是( )A.(1,2)∈BB.A=BC.0∉AD.(0,0)∉B14.已知集合A={x,y},B={2x,2x2},且A=B,则集合A= .15.用列举法表示集合A={(x,y)|x+y=5,x∈N*,y∈N*}是A= ;用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是.16.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求实数c的值.C级学科素养创新练17.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的所有取值组成的集合;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的所有取值组成的集合.第2课时集合的表示1.D 大于2且小于5的自然数为3和4,所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}.2.B 解方程得x1=13,x2=4,因为x∈Z,所以x=4,故集合为{4},故选B. 3.D 集合{(x,y)|y=2x-1}的代表元素是(x,y),x,y满足的关系式为y=2x-1,因此集合表示的是满足关系式y=2x-1的点组成的集合,故选D.4.D 由3,52,73,94,即31,52,73,94从中发现规律,x=2n+1n,n∈N*,故可用描述法表示为x x=2n+1n,n∈N*.5.{1,2,3} 由于1≤x≤3,x∈N,∴x可取1,2,3.则集合{x|1≤x≤3,x∈N}用列举法可以表示为{1,2,3}.6.{-3,1} 把x=1代入方程x2+2x+a=0,可得a=-3,解方程x2+2x-3=0可得A={-3,1}.7.解(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3, 所以方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}.(2)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1000}.(3)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}.8.C 当a=0时,集合A={x|ax 2+4x+1=0}={-14},只有一个元素,满足题意;当a≠0时,由集合A={x|ax 2+4x+1=0}中只有一个元素,可得Δ=42-4a=0,解得a=4.则a 的值是0或4.故选C.9.C 由题意可知方程x 2-ax+16=0有两个相等的正实数根,故Δ=a 2-64=0.又方程两根之和为正数,即a>0,所以a=8.因此方程变为x 2-8x+16=0,且根为4,故b=4.所以a-b=8-4=4.故选C.10.B 根据集合中元素的互异性可知a≠0,b≠0.因为A=B,所以a=-1或b=-1.当a=-1时,b=a 2=1,此时(ab)=(-1)=-1;当b=-1时,a 2=a,因为a≠0,所以a=1,此时(ab)=(-1)=-1.故选B.11.ABD 对于A,集合P 中方程x 2+1=0无实数根,故P=Q=⌀;对于B,集合P 中有两个元素2,5,集合Q 中有两个元素2,5,故P=Q;对于C,集合P 中有一个元素是点(2,5),集合Q 中有一个元素是点(5,2),元素不同,P≠Q;对于D,集合P={x|∈Z}表示所有奇数构成的集合,集合Q={x|∈Z}也表示所有奇数构成的集合,P=Q.故选ABD.12.BD 由{2x +y =0,x -y +3=0,解得{x =-1,y =2,所以方程组的解集为{(x,y)|x=-1,y=2}或{(-1,2)}.故选BD.13.ACD 由已知集合A={y|y≥1},集合B 是由抛物线y=x 2+1上的点组成的集合,故A 正确,B 错误,C 正确,D 正确.故选ACD.14.12,1 由题意,集合A={x,y},B={2x,2x 2},且A=B,则x=2x 或x=2x 2.若x=2x,可得x=0,此时集合B 不满足集合中元素的互异性,舍去;若x=2x 2,可得x=12或x=0(舍去),当x=12时,可得2x=1,2x 2=12,即A=B=12,1.15.{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} {x|x=4k+1,k ∈Z}由题意A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所有被4除余1的整数组成的集合为{x|x=4k+1,k ∈Z}. 16.解分两种情况进行讨论.①若a+b=ac,a+2b=ac 2,消去b,得a+ac 2-2ac=0.当a=0时,集合B 中的三个元素均为0,与集合中元素的互异性矛盾,故a≠0,所以c 2-2c+1=0,即c=1,但当c=1时,B 中的三个元素相同,不符合题意. ②若a+b=ac 2,a+2b=ac,消去b,得2ac 2-ac-a=0. 由①知a≠0,所以2c 2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0, 解得c=-12或c=1(舍去),当c=-12时,经验证,符合题意.综上所述,c=-12.17.解(1)当a=0时,-3x+2=0,此时x=23,所以A 不是空集,不符合题意;当a≠0时,若A 是空集,则Δ=9-8a<0,所以a>98.综上可知,a 的所有取值组成的集合为a a>98.(2)当a=0时,-3x+2=0,此时x=23,满足条件,此时A 中仅有一个元素23;当a≠0时,Δ=9-8a=0,所以a=98,此时方程为98x 2-3x+2=0,即(3x-4)2=0,解得x=43,此时A 中仅有一个元素43.综上可知,当a=0时,A 中只有一个元素为23;当a=98时,A 中只有一个元素为43.(3)A 中至多有一个元素,即方程ax 2-3x+2=0只有一个实数根或无实数根. 则a=0或Δ=9-8a<0,解得a=0或a>98.故a 的所有取值组成的集合为a a=0,或a>98.。

§1.2子集、全集、补集课时目标 1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．1．子集如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A⊆A.2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．4．补集设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．5．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为一、填空题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是________．2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝________.4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M＝________.5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝________，∁U B ＝______，∁B A＝________.9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．二、解答题10．设全集U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．(1)求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)；(2)求(∁U A)∪(∁U B)，(∁U A)∩(∁U B)；(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求∁U B.能力提升12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．13．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.2．∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．3．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.§1.2子集、全集、补集知识梳理1．任意一个子集A⊆B B⊇A子集 2.真子集A B B A3．空集空集 4.补集∁S A 5.全集作业设计1．P Q解析∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴P Q.2．7解析M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．3．{3,9}解析在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.4．{x|x<－2或x>2}解析∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．5．②解析由N＝{－1,0}，知N M.6．S P＝M解析运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁U A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．9．∁U B∁U A解析画Venn图，观察可知∁U B∁U A.10．解 (1)∵U ＝{x ∈N *|x <8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，A ∩B ＝{5}，∴∁U (A ∪B )＝{6}，∁U (A ∩B )＝{1,2,3,4,67}．(2)∵∁U A ＝{2,4,6}，∁U B ＝{1,3,6,7}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,3,4,6,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{6}． (3)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )(如左下图)；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )(如右下图)．11．解 因为B ⊆A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}． ②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1； 当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}． 12．解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．13．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}．∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.。

（新课标）最新苏教版高中数学必修一§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N,b ∈N ，则a+b 的最小值是2（4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 . 2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy ”组成的集合与由“0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a ∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2} （4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？§1.2 子集·全集·补集（1）课后训练【感受理解】1． 设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 2．下列各式中，正确的个数是 ①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}⊆{1，2，3}；⑤{a ，b}⊆{a ，b}．3．设{|12}A x x =<< ，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 .4．若集合A ={1，3，x}，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 . 5．设集合M ={(x,y)|x+y<0，xy>0}和N ={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x|x=a 2-4a+5，a ∈R}，B ={y|y=4b 2+4b+3，b ∈R} 则集合A 与集合B 的关系是________．【思考应用】7.设x ，y ∈R ，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8.已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 .9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a .10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个.11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a}，C={x 2+(a+1)x-3，1}. 求（1）当A={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，BA ，求x a ,的值； （3）使B= C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.(变式)已知集合{}{}|25,|121,A x x B x m x m =-<<=+<<-满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.⊂ ≠§1.2 子集·全集·补集（2）课后训练【感受理解】1．设集合{}{},,3|,,4|22R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==则A ，B 间的关系为 . 2若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则U C P = . 3已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A = 4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U .5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A .【思考应用】6．设全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 .7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U .8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 .9．设U=R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U .10.（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围.（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值.【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．（1）求U B ð，U C ð．（2）若}{A x x D ∈=，说明D B A ,,的关系.§1.3 交集·并集（1）课后训练【感受理解】1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B =I .2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么A B =I .3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 .(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=I I I I4．已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|-7<x<a}，C={x|b<x<2}，且A ∩B=C ，则 a ，b 的值分别为 .【思考应用】5．设全集U={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”.（若A ＝B ，规定(A,B)＝(B, A)；若A ≠B ，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”）.那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。

第一章集合1集合的概念 .................................................................................................................. - 1 -2集合的表示 .................................................................................................................. - 5 -3子集、真子集............................................................................................................... - 8 -4补集、全集 ................................................................................................................ - 14 -5交集、并集 ................................................................................................................ - 18 -1集合的概念基础练习1.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )A.3.14B.-5C.D.【解析】选D.由题意知a应为无理数,故a可以为.2.下列说法中正确的个数是( )(1)大于3小于5的自然数构成一个集合.(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合.(3)方程(x-1)2(x+2)=0的解组成的集合有3个元素.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.(1)正确,(1)中的元素是确定的,只有一个,可以构成一个集合.(2)不正确,“一些点”标准不明确,不能构成一个集合.(3)不正确,方程的解只有1和-2,集合中有2个元素.3.若由a2,2 019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( )A.0B.2 019C.1D.0或2 019【解析】选C.若集合M中有两个元素,则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.4.已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b____A, ab____A.(填“∈”或“∉”)【解析】因为a∈A,b∈B,所以a是偶数,b是奇数,所以a+b是奇数,ab是偶数,故a+b∉A,ab∈A.答案:∉∈5.已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.【解题指南】由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.【解析】因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,解得a=-1或a=-.当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,集合A不满足元素的互异性,所以舍去a=-1.当a=-时,经检验,符合题意.故a=-.【补偿训练】设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值. 【解析】因为a∈A且3a∈A,所以解得a<2.又a∈N,所以a=0或1.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列三个命题:①集合N中最小的数是1;②-a∉N,则a∈N;③a∈N,b∈N,则a+b 的最小值是2.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选A.根据自然数的特点,显然①③不正确.②中若a=,则-a∉N且a∉N,显然②不正确.2.已知集合A中元素x满足-≤x≤,且x∈N*,则必有( )A.-1∈AB.0∈AC.∈AD.1∈A【解析】选D.因为x∈N*,且-≤x≤,所以x=1,2.所以1∈A.3.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为( )A.-8B.-16C.8D.16【解析】选C.因为集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,由题意得,集合A☉B中所有元素是2,-4,-1,它们的积为:2×(-4)×(-1)=8.4.(多选题)下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是( )A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合D.P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x=0的解构成的集合【解析】选AD.由于A,D中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.二、填空题(每小题5分,共10分)5.不等式x-a≥0的解集为A,若3∉A,则实数a的取值范围是________.【解析】因为3∉A,所以3是不等式x-a<0的解,所以3-a<0,解得a>3.答案:a>36.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含________个元素.【解析】当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,当x=0时,x=|x|==-=-x=0,此时集合共有1个元素,当x<0时,=|x|=-=-x,此时集合共有2个元素,综上,此集合最多有2个元素.答案:2三、解答题7.(10分)设集合S中的元素x=m+n,m,n∈Z.(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?(2)对S中的任意两个元素x1,x2,则x1+x2,x1·x2是否属于S?【解析】(1)a是集合S中的元素, 因为a=a+0×∈S.(2)不妨设x1=m+n,x2=p+q,m,n,p,q∈Z.则x1+x2=(m+n)+(p+q)=(m+p)+(n+q),因为m,n,p,q∈Z. 所以n+q∈Z,m+p∈Z.所以x1+x2∈S,x1·x2=(m+n)·(p+q)=(mp+2nq)+(mq+np),m,n,p,q∈Z.故mp+2nq∈Z,mq+np∈Z.所以x1·x2∈S.综上,x1+x2,x1·x2都属于S.【补偿训练】定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A,且∈A(b≠0)”,则集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,R是否分别为“闭集”?若是,请说明理由;若不是,请举反例说明.【解析】①数集N,Z不是“闭集”,例如,3∈N,2∈N,而=1.5∉N;3∈Z,-2∈Z,而=-1.5∉Z,故N,Z不是闭集.②数集Q,R是“闭集”.由于两个有理数a与b的和,差,积,商,即a±b,ab,(b≠0)仍是有理数,所以Q是闭集,同理R也是闭集.2集合的表示基础练习1.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}【解析】选D.A是列举法;C是描述法;对于B要注意集合的代表元素是y,但实质上表示的都是0,故与A,C相同;而D表示该集合含有一个元素,即方程“x=0”.2.(2020·镇江高一检测)下列集合表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}C.M={4,5},N={5,4}D.M={1,2},N={(1,2)}【解析】选C.对于A,两个集合中的元素不同;对于B,一个集合中元素是点,一个集合中元素是实数,故不同;对于C,列举法表示集合时,与元素顺序无关,故是相同的集合;对于D,两个集合中,一个元素是数,一个元素是点,故不同.3.(2020·哈尔滨高一检测)设集合B={x|x2-4x+m=0},若1∈B,则B= ( )A. B.C. D.【解析】选A.因为集合B={x|x2-4x+m=0},1∈B,所以1-4+m=0,解得m=3.所以B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.4.(2020·承德高一检测)若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示集合B 为________.【解析】由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的,故B={4,9,16}.答案:{4,9,16}【补偿训练】用列举法表示集合{(x,y)|(x+1)2+|y-1|=0,x,y∈R}为________.【解析】因为(x+1)2≥0,|y-1|≥0,所以(x+1)2=0且|y-1|=0,故有x=-1且y=1,因此答案为{(-1,1)}.答案:{(-1,1)}5.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合.(2)24的正因数组成的集合.(3)自然数的平方组成的集合.(4)由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.【解析】(1)用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)用描述法表示为{x|x=n2,n∈N}.(4)用列举法表示为{0,1,2,10,12,20,21,102,120,210,201}.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的一个是( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,t<5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,s<6}【解析】选 D.集合中的元素除以4余1,故元素可以用4k+1(0≤k≤4,k∈Z)或4k-3(1≤k≤5,k∈Z)来表示.2.(2020·济宁高一检测)设集合A={x|x2-x-2=0},B={x||x|=y+2,y∈A},则集合B 是( )A.{-4,4}B.{-4,-1,1,4}C.{0,1}D.{-1,1}【解析】选B.解集合A中方程x2-x-2=0,得到x=2或x=-1,因为y∈A,即y=2或y=-1,得|x|=y+2=4或|x|=y+2=1,故x=±4或x=±1,所以集合B={-4,-1,1,4}.3.(2020·鹤壁高一检测)定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中的所有元素之和为 ( ) A.21 B.18 C.14 D.9【解析】选C.因为A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},A={1,2,3},B={1,2},所以A*B={2,3,4,5},所以A*B中的所有元素之和为:2+3+4+5=14.【补偿训练】若A={1,2,3},B={3,5},用列举法表示A⊗B={2a-b|a∈A,b∈B}= ________.【解析】因为A={1,2,3},B={3,5},又A⊗B={2a-b|a∈A,b∈B},所以A⊗B={-3,-1,1,3}.答案:{-3,-1,1,3}4.(多选题)下列各组中的M,P表示同一集合的是( )A.M={3,-1},P={(3,-1)}B.M={(3,1)},P={(1,3)}C.M={y|y=-1},P={t|t=-1}D.集合M={m|m+1≥5},P={y|y=x2+2x+5,x∈R}【解析】选CD.在A中,M={3,-1}是数集,P={(3,-1)}是点集,二者不是同一集合;在B中,M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点的集合,二者不是同一集合;在C中,M={y|y=-1}={y|y≥-1},P={t|t=-1}={t|t≥-1},二者表示同一集合;在D中,M={m|m≥4,m∈R},即M中元素为大于或等于4的所有实数, P={y|y=(x+1)2+4},y=(x+1)2+4≥4,所以P中元素也为大于或等于4的所有实数,故M,P表示同一集合.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·无锡高一检测)已知集合{a,b,c}={0,1,2}且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c=________.【解析】若只有①正确,则c=0,a=1,b=2与②不正确矛盾;若只有②正确,则b=2,a=2,c=0与a≠b矛盾;若只有③正确,则a=2,c=1,b=0符合题意.所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.答案:201【补偿训练】已知集合A={x|x2+px+q=0}={2},则p=________,q=________.【解析】由得答案:-4 46.(2020·济南高一检测)设a,b,c为非零实数,m=+++,则m的所有值组成的集合为________.【解题指南】根据a,b,c三个数中负数的个数分类讨论.【解析】当a,b,c均为负数时,,,,均为-1,故m=-4;当a,b,c只有一个为正数时,,,,中必有两个为1,两个为-1,故m=0;当a,b,c有两个为正数时,,,,中必有两个为1,两个为-1,故m=0; 当a,b,c均为正数时,,,,均为1,故m=4,所以由m=+++的所有值组成的集合的元素有0,-4,4,则所求集合为{-4,0,4}.答案:{-4,0,4}三、解答题7.(10分)设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},若5∈A,且5∉B,求实数a的值.【解析】因为5∈A,且5∉B,所以解得故a=-4.3子集、真子集基础练习1.以下四个关系:∅∈{0},0∈∅,{∅}⊆{0},∅{0},其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.集合与集合间的关系是⊆,因此∅∈{0}错误;{ ∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合,所以{∅}⊆{0}错误;空集不含有任何元素,因此0∈∅错误; ∅{0}正确.因此正确的只有1个.2.(2020·宿迁高一检测)已知集合A={x|x=x2},B={1,m,2},若A⊆B,则实数m的值为( )A.2B.0C.0或2D.1【解析】选B.由题意,集合A={x|x=x2}={0,1},因为A⊆B,所以m=0.【补偿训练】已知集合A={1+x2,x},B={1,2,3},且A⊆B,则实数x的值是( )A.-1B.1C.3D.4【解析】选B.集合A={1+x2,x},B={1,2,3},且A⊆B,则集合B包含集合A的所有元素,x=1时,代入A检验,A={2,1},符合题意,x=2时,代入A检验,A={5,2},不符合题意,x=3时,代入A检验,A={10,3}不符合题意,综上,实数x的值是1.3.(2020·南通高一检测)满足{1}⊆A⫋{1,2,3}的集合A的个数为( )A.2B.3C.8D.4【解析】选B.满足条件的集合A有3个,即A={1,2}或{1,3}或{1}.4.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的是( )①S∈U;②F⊆T;③S⊆T;④S⊆F;⑤S∈F;⑥F⊆U.A.①③B.②③C.③④D.③⑥【解析】选D.元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错;子集的区域要被全部包含,故②④错.5.(2020·邢台高一检测)已知集合A=,B={b,b a,-1},若A=B,则a+b=________.【解析】若=-1,即a=-1时,b=2,经验证符合题意;若-=-1,即a=b,则无解.所以a+b=1.答案:16.判断下列每组中集合之间的关系:(1)A={x|-3≤x<5},B={x|-1<x<2}.(2)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*}.(3)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x是正方形}.(4)A={x|-1≤x<3,x∈Z},B={x|x=,y∈A}.【解析】(1)将两个集合在数轴上表示出来,如图所示,显然有B A.(2)当n∈N*时,由x=2n-1知x=1,3,5,7,9,….由x=2n+1知x=3,5,7,9,….故A={1,3,5,7,9,…},B={3,5,7,9,…},因此B A.(3)由图形的特点可画出Venn图,如图所示,从而可得D B A C.(4)依题意可得:A={-1,0,1,2},B={0,1,2},所以B A.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020·赣州高一检测)已知集合M={x|-<x<,x∈Z},则下列集合是集合M的子集的为( )A.P={-3,0,1}B.Q={-1,0,1,2}C.R={y|-π<y<-1,y∈Z}D.S={x||x|≤,x∈N}【解析】选D.因为集合M={x|-<x<,x∈Z}={-2,-1,0,1},所以在A中:P={-3,0,1}不是集合M的子集,故A错误;在B中:Q={-1,0,1,2}不是集合M的子集,故B错误;在C中:R={y|-π<y<-1,y∈Z}={-3,-2}不是集合M的子集,故C错误;在D中:S={x||x|≤,x∈N}={0,1}是集合M的子集,故D正确. 2.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为( )A.A BB.A BC.A=BD.A⊆B【解析】选B.B=={(x,y)|y=x,且x≠0},所以B A.3.(2020·泰州高一检测)已知集合A={x|x<a},B={x|0<x<2}.若B⊆A,则实数a的取值范围为( )A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解析】选A.因为集合A={x|x<a},B={x|0<x<2}.因为B⊆A,所以a≥2.4.(2020·南昌高一检测)已知集合A=,B=,且A是B的真子集.若实数y在集合中,则不同的集合共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个【解析】选A.因为A是B的真子集,y在集合{0,1,2,3,4}中,由集合元素的互异性知y=0或y=3,当y=3时,B={1,2,3,4},x可能的取值为:2,3,4;当y=0时,B={0,1,2,4},x可能的取值为:0,2,4;由互异性可知集合{x,y}共有2+2=4个.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,则(a,b)可能是( ) A.(-1,1) B.(-1,0)C.(0,-1)D.(1,1)【解析】选ACD.当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合;当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合;当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-1,1},符合;当a=b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合.6.已知集合M={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有( )A.3∈MB.{-3}∈MC.∅⊆MD.{3,-3}⊆M【解析】选ACD.根据题意,集合M={x|x2-9=0}={-3,3},依次分析4个选项: 对于A,3∈M,3是集合M的元素,正确;对于B,{-3}是集合,有{-3}⊆M,故B选项错误;对于C,∅⊆M,空集是任何集合的子集,正确;对于D,{3,-3}⊆M,任何集合都是其本身的子集,正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知集合A={x|ax2-5x+6=0},若2∈A,则集合A的子集的个数为________.【解析】依题意得:4a-10+6=0,解得a=1.则x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3,所以A={2,3},所以集合A的子集个数为4.答案:4【补偿训练】集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集,则a的取值为________. 【解析】由集合有两个子集可知,该集合是单元素集合,当a=1时,满足题意.当a≠1时,由Δ=9+8(a-1)=0可得a=-.答案:1或-8.图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系,请作适当的选择填入下面的空格:A为________;B为________;C为________;D为________.【解析】由Venn图可得A B,C D B,A与D之间无包含关系,A与C之间无包含关系.由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系,可得A为小说,B为文学作品,C为叙事散文,D为散文.答案:小说文学作品叙事散文散文四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知集合M⊆{1,2,3,4,5},且当a∈M时,有6-a∈M,试求M所有可能的结果. 【解析】若M只含1个元素,则M={3};若M只含2个元素,则M={1,5},{2,4};若M只含3个元素,则M={1,3,5},{2,3,4};若M只含4个元素,则M={1,2,4,5};若M含5个元素,则M={1,2,3,4,5}.所以M可能的结果为:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.10.已知集合A={x|x2-9x+14=0},集合B={x|ax+2=0},若B A,求实数a的取值集合.【解析】A={x|x2-9x+14=0}={2,7},因为B A,所以若a=0,即B= 时,满足条件.若a≠0,则B=,若B A,则-=2或7,解得a=-1或-.则实数a的取值的集合为.创新练习1.(2020·南昌高一检测)若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M={-1,0, ,,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 ( )A.15B.16C.32D.256【解析】选A.因为若x∈A,则∈A,所以0∉A,当-1∈A时,=-1∈A,当1∈A时,=1∈A,当2∈A时,∉A,当3∈A时,∈A,当4∈A时,∈A,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合中有-1,1,和3成对出现,和4成对出现,所以从上述4个元素(元素对)中选取,组成的非空集合共有15个. 2.已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足A⊆B的实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=0时,A= ,满足A⊆B.(2)当a>0时,A=.又因为B={x|-1<x<1},A⊆B,所以所以a≥2.(3)当a<0时,A=.因为A⊆B,所以所以a≤-2.综上所述,a的取值范围为{a|a≥2或a≤-2或a=0}.【误区警示】解答本题,研究集合中元素满足的性质时,容易忽视分a=0,a>0,a<0三种情况讨论.4补集、全集基础练习A= ( )1.已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-2<x≤4},则UA. {x|-2≤x<4}B. {x| x<-2或x>4}C. {x|-3≤x≤-2}D. {x|-3≤x≤-2或x>4}【解析】选D.将全集U,集合A表示在数轴上,如图所示.所以UA={x|-3≤x≤-2或x>4}.2.设全集U和集合A,B,P,满足A=U B,B=UP,则A与P的关系是( )A.A=PB.A⊆PC.P⊆AD.A≠P【解析】选A.由A=U B,得UA=B.又因为B=U P,所以UP=UA,即A=P.3.已知A={0,2,4,6},U A={-1,-3,1,3},UB={-1,0,2},集合B=__________.【解析】因为A={0,2,4,6},UA={-1,-3,1,3}, 所以U={-3,-1,0,1,2,3,4,6}.而UB={-1,0,2},所以B=U (UB)={-3,1,3,4,6}.答案:{-3,1,3,4,6}4.已知全集U={-1,0,1},集合A={0,|x|},则UA=________.【解析】根据题意知,|x|=1,所以A={0,1},U={-1,0,1},所以UA={-1}.答案:{-1}5.(1)已知U={n|n是小于10的正整数},A={n|n是3的倍数,n∈U},求UA.(2)已知U={x|x是三角形},A={x|x是等腰三角形},B={x|x是等边三角形},求UB和AB;(3)已知全集U=R,A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7},求U A,UB.【解析】(1)因为U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={3,6,9},所以UA={1,2,4,5,7,8}.(2)UB={x|x是三边不都相等的三角形};AB={x|x是有且仅有两边相等的三角形}. (3)因为A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7},所以借助于数轴知U A={x|x<3,或x≥10},UB={x|x≤2,或x>7}.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020·南通高一检测)若全集U=且UA=,则集合A的真子集共有( ) A.7个 B.5个C. 3个D. 8个【解析】选A.由题意知,集合A有三个元素,所以A的真子集个数为7个.【补偿训练】设全集U={x||x|<4,且x∈Z},S={-2,1,3},若UP⊆S,则这样的集合P共有( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个【解析】选D.U={-3,-2,-1,0,1,2,3},因为U (UP)=P,所以存在一个UP,即有一个相应的P(如当U P={-2,1,3}时,P={-3,-1,0,2},当UP={-2,1}时,P={-3,-1,0,2,3}等),由于S的子集共有8个,所以P也有8个.2.已知集合I,M,N的关系如图所示,则I,M,N的关系为( )A.(I M)⊇(IN) B.M⊆(IN)C.(I M)⊆(IN) D.M⊇(IN)【解析】选C.由题图知M⊇N,所以(I M)⊆(IN).3.(多选题)已知集合A={x|x<-1或x>5},C={x|x>a},若RA⊆C,则a的值可以是( ) A.-2 B.- C. -1 D.0【解析】选AB.R A={x|-1≤x≤5},要使RA⊆C,则a<-1.故a的值可以是-2和-.4.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0},若UM={-1,1},则实数p和q的值分别为( )A.0,-1B.-1,0C.-5,6D.5,-6【解析】选 C.因为UM={-1,1},所以M={2,3},即2,3是x2+px+q=0的根,所以-p=2+3,q=2×3.所以p=-5,q=6.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知集合U={x∈N|x≤10},A={小于10的正奇数},B={小于11的质数},则U A=________,UB=________.【解析】U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 因为A={小于10的正奇数}={1,3,5,7,9}, 所以UA={0,2,4,6,8,10}.因为B={小于11的质数}={2,3,5,7},所以UB={0,1,4,6,8,9,10}.答案:{0,2,4,6,8,10} {0,1,4,6,8,9,10} 【补偿训练】设U={x|-5≤x<-2,或2<x ≤5,x ∈Z},A={x|x 2-2x-15=0},B={-3,3,4},则UA=________,U B=________.【解析】方法一:在集合U 中,因为x ∈Z,则x 的值为-5,-4,-3,3,4,5, 所以U={-5,-4,-3,3,4,5}. 又A={x|x 2-2x-15=0}={-3,5}, 所以U A={-5,-4,3,4},U B={-5,-4,5}. 方法二:可用Venn 图表示则U A={-5,-4,3,4},U B={-5,-4,5}. 答案:{-5,-4,3,4} {-5,-4,5}6.已知全集U={x|-1≤x ≤1},A={x|0<x<a},若U A ≠U,则实数a 的取值范围是 ________.【解析】由全集定义知A ⊆U,从而a ≤1. 又U A ≠U,所以A ≠∅,故a>0. 综上可知0<a ≤1. 答案:0<a ≤1 三、解答题7.(10分)已知全集U={2,3,a 2-2a-3},A={b,2},U A={5},(1)求实数a,b 的值; (2)写出集合A 的所有子集.【解析】(1)因为全集U={2,3,a 2-2a-3},A={b,2},U A={5}, 所以a 2-2a-3=5,b=3,所以a=4或-2,b=3;(2)由(1)知A={3,2},故集合A 的所有子集为∅,{2},{3},{2,3}. 【补偿训练】已知集合A={x|x 2-4x+3=0},B={x|ax-6=0}且R A ⊆R B,求实数a 的取值集合. 【解析】因为A={x|x 2-4x+3=0}, 所以A={1,3}.又R A ⊆R B,所以B ⊆A,所以有B=∅,B={1},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,所以a=2; 当B={1}时,有a-6=0,所以a=6; 当B=∅时,有a=0,所以实数a 的取值集合为{0,2,6}.5交集、并集基础练习1.(2020·宿迁高一检测)设集合A={x|-1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于( )A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.【解析】选B.由题意,集合A={x|-1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},又由集合B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.【补偿训练】设集合A={a,b},B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于( )A.{1,2,5}B.{1,2}C.{1,5}D.{2,5}【解析】选A.因为A∩B={2},所以2∈A,且2∈B,所以a+1=2, 所以a=1,所以b=2. 所以A={1,2},B={2,5},所以A∪B={1,2,5}.2.(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B= ( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【解析】选A.因为集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},所以A∩B={-1,0,1}.3.设全集U是实数集R,M={x|x<-2或x>2},N={x|1≤x≤3},如图,则阴影部分所表示的集合为( )A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x<3}C.{x|x≤2或x>3}D.{x|-2≤x≤2}(M 【解析】选A.由题意,知M∪N={x|x<-2或x≥1},所以阴影部分所表示的集合为U∪N)={x|-2≤x<1}.4.(2020·徐州高一检测)已知集合A={-2,0,1,3},B={x|-<x<},则A∩B的子集个数为________.【解析】因为A={-2,0,1,3},B={x|-<x<},所以A∩B={-2,0,1},所以A∩B的子集个数为23=8个.答案:8【补偿训练】已知集合A={1,2,3},集合B={-1,1,3} ,集合S=A∩B,则集合S的真子集有________个.【解析】由题意可得 S=A∩B={1,3} ,所以集合 S 的真子集的个数为 3 个.答案:35.已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}.若A∩B={x|3<x<4},则a的值为________.【解析】由A={x|2<x<4},A∩B={x|3<x<4},如图可知a=3,此时B={x|3<x<9},即a=3为所求.答案:36.(2020·镇江高一检测)设U=R,A=,B=或,求(1)A∩B;(2)∩.【解析】由题意得B=或.(1)A∩B=.A=或,(2)因为UB=,U所以∩=.提升训练一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知集合M={x|x<0},N={x|x≤0},则( )A.M∩N=∅B.M∪N=RC.M ND.N M【解析】选C.集合M={x|x<0},N={x|x≤0},集合N包含M中所有的元素,且集合N 比集合M多一个元素0,由集合真子集的定义可知:集合M是集合N的子集,且是真子集,所以M={x|x<0}N={x|x≤0}.2.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3}, B={y|y≥1},则A*B等于( )A.{x|1≤x<3}B.{x|1≤x≤3}C.{x|0≤x<1或x>3}D.{x|0≤x≤1或x≥3}【解析】选C.由题意知,A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},则A*B={x|0≤x<1或x>3}.3.(2020·无锡高一检测)已知全集U=N,设集合A={x|x=,k∈,集合B等于 ( )B={x|x>6,x∈N},则A∩NA.{1,4}B.{1,6}C.{1,4,6}D.{4,6}【解析】选C.因为A={x|x=,k∈N}={1,,,,,…},B={x|x>6,x∈N},B={x|x≤6,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6},所以NB={1,4,6}.所以A∩N4.(2020·盐城高一检测)设集合M=,N=,若M∩N=∅,则实数a的取值范围是( )A.a≤2B. a≤-1C. a<-1D. a>2【解析】选B.因为M=,N=,若M ∩N=∅,用数轴表示如图,由图可知实数a 的取值范围是a ≤-1. 【补偿训练】 已知集合A=,B=,且A ∩B=∅,求实数a 的取值范围.【解析】当a-1≥2a+1,即a ≤-2时,A=∅, 满足A ∩B=∅;当a-1<2a+1,即a>-2时,A ≠∅, 若A ∩B=∅,则需2a+1≤0或a-1≥1, 解得-2<a ≤-或a ≥2,综上所述,a ∈∪.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知集合M,N,P 为全集U 的子集,且满足M ⊆P ⊆N,则下列结论正确的是( ) A.U N ⊆U PB.N P ⊆N MC.(U P)∩M=∅D.(U M)∩N=∅【解析】选ABC.因为集合M,N,P 为全集U 的子集,且满足M ⊆P ⊆N, 所以作出Venn 图,如图所示.由Venn 图,得U N ⊆U P,故A 正确;N P ⊆N M, 故B 正确;(U P)∩M=∅,故C 正确; (U M)∩N ≠∅,故D 错误. 6.U 为全集时,下列说法正确的是 ( )A.若A ∩B=∅,则(U A)∪(U B)=UB.若A ∩B=∅,则A=∅或B=∅C.若A∪B=U,则(U A)∩(UB)= ∅D.若A∪B=∅,则A=B=∅【解析】选ACD.A对,因为(U A)∪(UB)=U(A∩B),而A∩B=∅,所以(U A)∪(UB)=U(A∩B)=U.B错,A∩B=∅,集合A,B不一定要为空集,只需两个集合无公共元素即可.C对,因为(U A)∩(UB)=U(A∪B),而A∪B=U,所以(UA)∩(UB)=U(A∪B)=∅.D对,A∪B=∅,即集合A,B均无元素.综上ACD对.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020·无锡高一检测)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=______.【解析】因为A∩B={1},所以x=1为方程x2-4x+m=0的解,则1-4+m=0,解得m=3, 所以x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以集合B=.答案:【补偿训练】(2020·南充高一检测)设集合A={-4,t2},集合B={t-5,9,1-t},若9∈A∩B,则实数t=______.【解析】因为A={-4,t2},B={t-5,9,1-t},且9∈A∩B,所以t2=9,解得:t=3或-3,当t=3时,根据集合元素的互异性可知不合题意,舍去;则实数t=-3.答案:-38.如图所示,图中的阴影部分可用集合U,A,B,C表示为________.【解析】图中的阴影部分的元素既属于A,又属于B,但不属于C,故可用集合U,A,B,C表示为(A∩B)∩(UC).答案:(A∩B)∩(UC)【补偿训练】如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(I A ∩B)∩CB.(I B ∪A)∩CC.(A ∩B)∩(I C)D.(A ∩I B)∩C【解析】选D.由图可知阴影部分中的元素属于A,不属于B,属于C,则阴影部分表示的集合是(A ∩I B)∩C.四、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知集合U={x ∈Z|-2<x<10},A={0,1,3,4,,B={-1,1,4,6,.求A ∩B,U (A ∪B),A ∩(U B),B ∪(U A).【解析】集合U={x ∈Z|-2<x<10}={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,,A={0,1,3,4,,B={-1,1,4,6,;所以A ∩B={1,4,,A ∪B={-1,0,1,3,4,6,,所以U (A ∪B)={2,5,7,,又U B={0,2,3,5,7,,U A={-1,2,5,6,7,,所以A ∩(U B)={0,,B ∪(U A)={-1,1,2,4,5,6,7,8,.10.(2020·连云港高一检测)集合A={x|-2<x<4},集合B={x|m-1<x<2m+1}. (1)当m=2时,求A ∪B;(2)若A ∩B=B,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)当m=2时,集合 B={x|m-1<x<2m+1}={x|1<x<5}, 又A={x|-2<x<4}, 所以A ∪B={x|-2<x<5}.(2)由A ∩B=B,则B ⊆A,当B= 时, 有m-1≥2m+1,解得m ≤-2,满足题意;当B≠∅时,应满足解得-1≤m≤;综上所述,m的取值范围是m∈(-∞,-2]∪.创新练习1.(2020·泰安高一检测)用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,已知全集U=A∪B,D=(U A)∪(UB),card(U)=m,card(D)=n,若A∩B非空,则card(A∩B)=( )A.mnB.m+nC.n-mD.m-n【解析】选D.由题意画出Venn图空白部分表示集合D,整体表示全集U,阴影部分表示A∩B, 则card(A∩B)=card(U)-card(D)=m-n.2.设全集U={x|x≤5,且x∈N+},其子集A={x|x2-5x+q=0},B={x|x2+px+12=0},且(UA)∪B={1,3,4,5},求实数p,q的值. 【解析】由已知得U={1,2,3,4,5}.(1)若A=∅,则(U A)∪B=U,不合题意;(2)若A={x0},则x∈U,且2x=5,不合题意;(3)设A={x1,x2},则x1,x2∈U,且x1+x2=5,所以A={1,4}或{2,3}.若A={1,4},则UA={2,3,5},与(U A)∪B={1,3,4,5}矛盾,舍去;若A={2,3},则UA={1,4,5},由(UA)∪B={1,3,4,5}知3∈B,同时可知B中还有一个不等于3的元素x,由3x=12得x=4,即B={3,4}.综上可知A={2,3},B={3,4},所以q=2×3=6,p=-(3+4)=-7.。

第3课子集、全集、补集分层训练1．设M满足{1，2，3}⊆M⊆{1，2，3，4，5，6}，则集合M的个数为（）A．8 B．7C．6 D．52．下列各式中，正确的个数是（）①∅={0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0={0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1，2，3}；⑦{1，2}⊆{1，2，3}；⑧{a，b}⊆{a，b}．A．1 B．2C．3 D．43．若U={x|x是三角形}，P={x|x是直角三角形}则UC P=（）A．{x|x是直角三角形}B．{x|x是锐角三角形}C．{x|x是钝角三角形}D．{x|x是钝角三角形或锐角三角形} 4．设A={x|1<x<2} ，B={x|x<a}，若A是B 的真子集，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤25．若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数为（）A．1 B．2C．3 D．46．设集合M={(x,y)|x+y<0，xy>0}和P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为____________________________．7．集合A={x|x=a2-4a+5，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+3，b∈R}则集合A与集合B 的关系是___________________．8．设x，y∈R，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32yx--=1}，则集合A与B的关系是____________________________．9．已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1}求（1）A={2，3，4}的x值；（2）使2∈B，B A，求a,x的值；（3）使B= C的a，x的值．10．设全集U={2，4，3-x}，M={2，x2-x+2}，UC M={1}，求x．拓展延伸11．已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若M P，求实数a的取值范围．12．选择题：（1）设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P⊕Q={(a,b)|a∈P，b∈Q}，则P⊕Q的真子集个数（）A．23-1 B．27-1C．212D．212-1（2）集合M={x|x∈Z且121Nx∈+}，则M的非空真子集的个数是（）A．30个B．32个C．62个D．64个本节学习疑点：⊂≠⊂≠。

让学生学会学习第6课 交集、并集分层训练：1、下列命题正确的是( ) A.Cu(CuP)={P} B.若M={1，Φ，{2}}，则{2}≠⊂MC. C R Q=QD.若N={1，2，3}，S={x|x ⊆N},则N ⊇S2、集合A={1,2,3,4}，B ≠⊂A ，且1∈A ∩B ，4∉A ∩B ，则满足上述条件的集合B 的个数是( ) A.1 B.2 C.4 D.83、已知M ={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=－x 2+1，x ∈R}则M ∩N 是( )A.{0，1 }B.{(0，1)}C.{1}D.以上都不对 4、集合A={(x,y)|x+y=0}，B={(x,y)|x －y=2}，则A ∩B=________. 5、设A={x|2x 2－px+q=0}，B={x|6x 2+(p+2)x+5+q=0}，若A ∩B={21}，则A ∪B 等于( ) A.{ 21,31,－4} B.{21，－4}C.{21,31}D.{ 21}6、若A={1,3,x}，B=(x 2，1)，且A ∪B={1，3，x}，则x 的不同取值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7、若{3,4,m 2－3m －1}∩{2m, －3}={－3}，则m=________.8、某班级50人，开设英语和日语两门外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班32%到40%之间，设M 是两门都学的人数的最大值，m 是两门都学的人数的最小值，则M －m=__________,9、某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座。

求听讲座的人数。

拓展延伸：10、若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时(A 1，A 2)与(A 2,A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合A={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是多少本节学习疑点：。

（苏教版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总第1章集合1.1 集合的含义及其表示A级基础巩固1．下列关系正确的是()①0∈N；②2∈Q；③12∉R；④－2∉Z.A．③④B．①③C．②④D．①解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N；②不正确，因为2是无理数，所以2∉Q；③不正确，因为12是实数，所以12∈R；④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z.答案：D2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．答案：D3．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是()A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、第四象限内的点集解析：集合M 为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集．答案：D4．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .答案：B5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1，1)}D ．(1，1)解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A 、B ，而D 不是集合的形式，排除D.答案：C6．下列集合中为空集的是( )A ．{x ∈N|x 2≤0}B ．{x ∈R|x 2－1＝0}C ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}D ．{0}答案：C7．设集合A ＝{2，1－a ，a 2－a ＋2}，若4∈A ，则a 的值是( )A ．－3或－1或2B ．－3或－1C ．－3或2D ．－1或2解析：当1－a ＝4时，a ＝－3，A ＝{2，4，14}．当a 2－a ＋2＝4时，得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{2，2，4}，不满足互异性；当a＝2时，A＝{2，4，－1}．所以a＝－3或a＝2.答案：C8．下列各组集合中，表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{(3，2)}，N＝{3，2}解析：A中集合M，N表示的都是点集，由于横、纵坐标不同，所以表示不同的集合；B中根据集合元素的互异性知表示同一集合；C中集合M表示直线x＋y＝1上的点，而集合N表示直线x＋y＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D中的集合M表示点集，N表示数集，所以是不同集合．答案：B9．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x ＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有()A．a＋b∈PB．a＋b∈QC．a＋b∈MD．a＋b不属于P，Q，M中任意一个解析：因为a∈P，b∈Q，所以a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z.所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2∈Z.所以a＋b∈Q.答案：B10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．解析：方程x2－2x－3＝0的两根分别是－1和3.由题意可知，a＋b＝2.答案：211．已知集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围是________________．解析：由集合元素的互异性，可知a2≠1，所以a≠±1.答案：a∈R且a≠±112．点(2，11)与集合{(x，y)|y＝x＋9}之间的关系为__________________．解析：因为11＝2＋9，所以(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}．答案：(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}13．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A，且a∈B，则a为________．解析：集合A，B都表示直线上点的集合，a∈A表示a是直线y ＝2x＋1上的点，a∈B表示a是直线y＝x＋3上的点，所以a是直线y＝2x＋1与y＝x＋3的交点，即a为(2，5)．答案：(2，5)14．下列命题中正确的是________(填序号)．①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．解析：对于①，0表示元素与{0}不同；对于③，不满足集合中元素的互异性，故不正确；对于④，无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的．答案：②B 级 能力提升15．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解：(1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R.集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条y ＝x 2＋1，表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；即满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点．因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|点(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．16．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1又可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 016＋b 2 017的值．解：由题知a ≠0，故b a＝0，所以b ＝0.所以a 2＝1， 所以a ＝±1.又a ≠1，故a ＝－1.所以a 2 016＋b 2 017＝(－1)2 016＋02 017＝1.17．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.又因为2∈A，所以11－2＝－1∈A.因为－1∈A，所以11－（－1）＝12∈A.因为12∈A，所以11－12＝2∈A.所以A中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．所以集合A不可能是单元素集合．第1章集合1.2 子集、全集、补集A级基础巩固1．下列集合中，不是集合{0，1}的真子集的是()A．∅B．{0} C．{1} D．{0，1}解析：任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集．答案：D2．(2014·浙江卷)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2} C．{5} D．{2，5}解析：因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x＜5}，故∁U A＝{2}．答案：B3．若集合A＝{a，b，c}，则满足B⊆A的集合B的个数是() A．1 B．2 C．7 D．8解析：把集合A的子集依次列出，可知共有8个．答案：D4．(2014·湖北卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，5，6}，所以∁U A＝{2，4，7}．答案：C5．已知M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N 之间关系的Venn图是()解析：M＝{－1，0，1}，N＝{0，－1}，所以N M.答案：C6．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4解析：由A B，结合数轴，得a≥4.答案：D7．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________________．解析：集合A和B的数轴表示如图所示．由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}8．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则实数a的值为________．解析：由A⊇B，得a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B 的包含关系是________．解析：因为∁U A＝{x|x＜0}，∁U B＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}，所以∁U A∁U B.答案：∁U A∁U B10．集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|a＋1≤x<4a＋1}，若B A，则实数a的取值范围是________．解析：分B＝∅和B≠∅两种情况．答案：{a|a≤1}11．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x|x2－x＋a＝0}，所以方程x2－x＋a＝0有实根．则Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14. 答案：a ≤1412．已知集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，B ⊆A ，求a 的值．解：因为B ⊆A ，A ≠∅，所以B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ， 所以－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上所述，a ＝0或a ＝12. B 级 能力提升13．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，所以C 中必须含有1，2，即求{3，4}的子集的个数，为22＝4.答案：D14．已知：A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，定义某种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中最大的元素是________，集合A *B 的所有子集的个数为________．解析：A *B ＝{2，3，4，5}，故最大元素为5，其子集个数为24＝16.答案：5 1615．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}．若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，则a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }，U ＝R ， 所以∁U B ＝{x |x ＜a }．要使A ⊆∁U B ，只需a ＞－2(如图所示)．答案：{a |a ＞－2}16．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：①若B ＝∅，则应有m ＋1>2m －1，即m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，⇒2≤m ≤3.综上即得m 的取值范围是{m |m ≤3}．17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B A ，求a 的值．解：A ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1，3}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B A .若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a . 由B A ，可知1a ＝－1或1a＝3， 即a ＝－1或a ＝13. 综上可知a 的值为0，－1，13. 18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．解：由题意得∁R A＝{x|x≥－1}．(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁R A.(2)若B≠∅，则由B⊆∁R A，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－12≤a＜3.综上可得a≥－12.第1章集合1.3 交集、并集A级基础巩固1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x －2＝0}，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{2}．答案：B2．设S＝{x||x|<3}，T＝{x|3x－5<1}，则S∩T＝()A．∅B．{x|－3<x<3}C．{x|－3<x<2} D．{x|2<x<3}答案：C3．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}, A∩∁U B＝{9}，则A＝()A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}答案：D4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B 为()A．{x＝1或y＝2} B．{1，2}C．{(1，2)} D．(1，2)（x，y）|4x＋y＝6，3x＋2y＝7＝{(1，2)}．解析：A∩B＝{}答案：C5．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2解析：因为A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，…}又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B＝{8，14}．故A∩B中有2个元素．答案：D6．(2014·辽宁卷)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}解析：易知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}．所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．答案：D7．已知集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1，2，3}．答案：{1，2，3}8．已知全集S＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|0≤x≤5}，则(∁S A)∩B ＝________．解析：∁S A＝{x|x>1}．答案：{x|1<x≤5}9．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，则a的取值范围为________．解析：如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.答案：{a|1＜a≤3}10．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解分别为M和S，且M∩S＝{3}，则pq＝________．解析：因为M∩S＝{3}，所以3既是方程x2－px＋15＝0的根，又是x2－5x＋q＝0的根，从而求出p＝8，q＝6.则pq＝4 3.答案：4 311．满足条件{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A的个数是________．解析：A可以是集合{5}，{1，5}，{3，5}或{1，3，5}．答案：412．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{}x |2x ＋a ＞0，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)因为C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， 所以－a 2＜2.所以a ＞－4. B 级 能力提升13．集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B 为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析：因为A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．答案：C14．图中的阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB )B ．B ∩(∁U A )C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )解析：阴影部分的元素属于集合B 而不属于集合A ，故阴影部分可表示为B ∩(∁U A )．答案：B15．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x＜k ＋1，k ＜2}，且B ∩(∁U A )≠∅，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得∁U A ＝{x |1＜x ＜3}，又B ∩∁U A ≠∅，故B ≠∅，结合图形可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜k ＋1，1＜k ＋1＜3，解得0＜k ＜2. 答案：0＜k ＜216．已知集合A ＝{1，3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A ？实数x 若存在，求出集合A 和B ；若不存在，说明理由．解：假设存在x ，使B ∪(∁U B )＝A .所以B A .(1)若x ＋2＝3，则x ＝1符合题意．(2)若x ＋2＝－x 3，则x ＝－1不符合题意．所以存在x ＝1，使B ∪(∁U B )＝A ，此时A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}．17．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .若B ＝∅时，2a ＞a ＋3，则a ＞3；若B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－1≤a ≤2. 综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2或a ＞3}．18．设集合A ＝{x |x ＋1≤0或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}．(1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≤－1. 所以a ＝2或a ≤－12. 所以实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤－12或a ＝2. (2)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①B ＝∅时，满足B ⊆A ，则2a >a ＋2⇒a >2.②B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≥4. 解之得a ≤－3或 a ＝2.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤－3或a ≥2}．章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}．规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来． 解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求． ②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求． 综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4.又因为因为A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B⊆A，利用数轴所以－p4≤－1.所以p≥4，故实数p的取值范围为{p|p≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P＝{(x，y)|x＋y＜4，x，y∈N*}，则集合P 的非空子集的个数是()A．2 B．3 C．7 D．8解析：当x＝1时，y＜3，又y∈N*，因此y＝1或y＝2；当x＝2时，y＜2，又y∈N*，因此y＝1；当x＝3时，y＜1，又y∈N*，因此这样的y不存在；当x≥4时，y＜0，也不满足y∈N*.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a －3≤5，即a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}．(2)当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R}＝R.综上可知，当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合∁A (A ∩B )＝________．解析：因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x <1或x >3}，所以A ∩B ＝{x |－4<x <1或3<x <4}．所以∁A (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}四、利用集合的运算求参数[例4] 设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R}，若M ∪N ＝M ，求实数t 的取值范围．分析：由M ∪N ＝M ，知N ⊆M .根据子集的意义，建立关于t 的不等式关系来求解．解：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅； 当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析：每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：因为Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P.答案：B2．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝()解析：由于A是数集，B是点集，故A∩B＝∅.答案：D3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是() A．0∈A B．1∉AC．－1∈A D．0∉A解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A.答案：A4．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝() A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}解析：因为A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B ＝{0，2}．答案：C5．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为()A．1 B．0C．0或1 D．以上答案都不对解析：当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k ＝1.故k＝0或k＝1.答案：C6．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()解析：空集是任何集合的子集，故④正确，②错误；③不正确，如∅只有一个子集，即它本身；结合空集的定义可知①不正确；故只有1个命题正确．答案：B7．(2015·山东卷)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}．则A ∩B ＝( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)解析：易知B ＝{x |1＜x ＜3}，又A ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2，3)．答案：C8．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅解析：⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，5≤a ＋2⇒3≤a ≤4. 答案：B9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |－1≤x ≤0}，则A ∪∁U B 等于( )A ．{x |x <－1或x >0}B ．{x |x <－1或x >1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |x <－2或x ≥0}解析：∁U B ＝{x |x <－1或x >0}，所以A ∪∁U B ＝{x |x <－1或x >0}．答案：A10．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅解析：由题意A ∪B ＝{1，2，3}，又B ＝{1，2}．所以∁U B ＝{3，4}，故A ∩∁U B ＝{3}．答案：A11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则(∁U A )∪B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：因为A ＝{x |x ≤1}，所以∁U A ＝{x |x ＞1}．所以(∁U A )∪B ＝{x |x ＞0}．答案：D12．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2，3)∈A ∩(∁U B )，则下列选项正确的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：由P (2，3)∈A ∩(∁U B )得P ∈A 且P ∉B ，故⎩⎪⎨⎪⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝M ∪N ＝{1，2，3，4，5}，M ∩∁U N ＝{2，4}，则N ＝________．答案：{1，3，5}14．已知集合A ＝{(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2－ay ＋b ＝0}，且(1，2)∈A ∩B ，则a ＋b ＝________．解析：因为(1，2)∈A ∩B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0⇒a ＝53，b ＝73. 故a ＋b ＝4.答案：415．设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合{x |x ∈A ，且x ∉A ∩B }＝________．解析：A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >3或x <1}，A ∩B ＝{x |3<x <4或－4<x <1}，所以{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}16．设集合M ＝{x |2x 2－5x －3＝0}，N ＝{x |mx ＝1}，若N ⊆M ，则实数m 的取值集合为________．解析：集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－12.若N ⊆M ，则N ＝{3}或⎝ ⎛⎭⎬⎫－12或∅.于是当N ＝{3}时，m ＝13；当N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12时，m ＝－2；当N ＝∅时，m ＝0.所以m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2.0，13 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要文字说明、计算或证明推理过程)17．(本小题满分10分)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .当B ＝∅时，即a ＝0时，显然满足条件．当B ≠∅时，则B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2a ，A ＝{1，2}， 所以2a ＝1或2a＝2，从而a ＝1或a ＝2. 故集合C ＝{0，1，2}．18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(∁R A )∩B ＝{x |x ＜1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(2)当a ＞1时，满足A ∩C ≠∅.因此a 的取值范围是{a |a ＞1}．19．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：集合A ＝{0，－4}，由于B ⊆A ，则：(1)当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.(2)当B ≠A 时：①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当B ＝{0}或B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件．综上可知a ＝1或a ≤－1.20．(本小题满分12分)已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}. 所以A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．(2)因为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3. 所以所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜3}.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 取何值时，A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立．解：因为B ＝{2，3}，C ＝{2，－4}，由A ∩B ≠∅且A ∩C ＝∅知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解， 所以a 2－3a －10＝0.解得a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时，A ＝{3，－5}，适合A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立；当a ＝5时，A ＝{2，3}，A ∩C ＝{2}≠∅，故舍去．所求a 的值为－2.22．(本小题满分12分)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}．(1)已知a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝3，所以集合P ＝{x |4≤x ≤7}．所以∁R P ＝{x |x ＜4或x ＞7}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x ＜4}．(2)因为P ∪Q ＝Q ，所以P ⊆Q .①当a ＋1＞2a ＋1，即a ＜0时，P ＝∅，所以P ⊆Q ；②当a ≥0时，因为P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≥－2，2a ＋1≤5.所以0≤a ≤2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．第2章 函数2.1 函数的概念2.1.1 函数的概念和图象A 级 基础巩固1．下列各图中，不可能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案：B2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，得0≤x ≤1. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，适合题意．答案：A4．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( )A ．[2a ，a ＋b ]B ．[0，b －a ]C ．[a ，b ]D ．[－a ，a ＋b ] 答案：C5．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：A 、C 、D 的定义域均不同． 答案：B6．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在区间(1，4]上的值域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(0，3] C ．[－1，3] D ．(－1，3)解析：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，再结合二次函数的图象(如右图所示)可知，－1≤y ≤3.答案：C7．已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．(－1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由于f (x )的定义域为(－3，0) 所以－3＜2x －1＜0，解得－1＜x ＜12.故y ＝f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.答案：B8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －120＋x 2－1x ＋2的定义域是__________________．解析：要使f (x )有意义，必有⎩⎨⎧x －12≠0，x ＋2＞0，解得x ＞－2且x ≠12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f (x ＋2)的定义域是________，值域是________．解析：因为f (x )的定义域为[0，1]，所以0≤x ＋2≤1.所以－2≤x ≤－1，即f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1，2]．答案：[－2，－1] [1，2]10．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：因为点(－1，4)在y ＝f (x )的图象上， 所以4＝－a ＋2.所以a ＝－2. 答案：－211．若f (x )＝ax 2－2，a 为正常数，且f [f (2)]＝－2，则a ＝________．解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2， 所以f ()f （2）＝a ·(2a －2)2－2＝－ 2. 所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正常数，所以2a －2＝0.所以a ＝22.答案：2212．已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， 所以f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0. 所以f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1. B 级 能力提升13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解析：因为f (x )的定义域为[0，2]，所以g (x )＝f （2x ）x －1需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x ＜1.所以g (x )的定义域为[0，1)． 答案：B14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：因为汽车先启动，再加速、匀速，最后减速，s 随t 的变化是先慢，再快、匀速，最后慢，故A 图比较适合题意．答案：A15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝______． 解析：因为f (x )＝x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1，所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.所以f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12＋1＋1＋1＝72.答案：7216．已知函数f (x )＝2x －1－7x .(1)求f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111； (2)求函数的定义域．解：(1)f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝217＝277， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝2111－1－711＝411－411＝0. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，解得⎩⎨⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17. 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤17.17．已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值．解：已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)， 因为1ax ＋1≥0，a ＜0，所以x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]． 因为函数在区间(－∞，1]上有意义， 所以(－∞，1]⊆(－∞，－a ]． 所以－a ≥1，即a ≤－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1]．18．试画出函数f (x )＝(x －2)2＋1的图象，并回答下列问题： (1)求函数f (x )在x ∈[1，4]上的值域； (2)若x 1＜x 2＜2，试比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 解：由描点法作出函数的图象如图所示．(1)由图象知，f (x )在x ＝2时有最小值为f (2)＝1， 又f (1)＝2，f (4)＝5.所以函数f (x )在[1，4]上的值域为[1，5]． (2)根据图象易知，当x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＞f (x 2)．第2章 函数 2.1 函数的概念 2.1.2 函数的表示方法A 级 基础巩固1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，所以f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100. 答案：A2．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3D ．5或－3解析：f (f (x ))＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3. 答案：B3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：由题意设f (x )＝a (x －1)2＋b (a ＞0)，由于点(0，0)在图象上，所以a ＋b ＝0，a ＝－b ，故符合条件的是D.答案：D4．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.答案：D5．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x 2x 2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15. 答案：C6．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.32解析：f (－2)＝(－2)2＝4. 所以f (f (－2))＝f (4)＝1－4＝－1. 答案：A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：38.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f (f (f (2))＝________．解析：由图象及已知条件知f (2)＝0，即f (f (f (2)))＝f (f (0))， 又f (0)＝4，所以f (f (0))＝f (4)＝2. 答案：29．若某汽车以52 km/h 的速度从A 地驶向260 km 远处的B 地，在B 地停留32h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地．则汽车离开A 地后行走的路程s 关于时间t 的函数解析式为________________．解析：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212. 答案：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212 10．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，1x ，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＞a 恒成立． 当a ＜0时，f (a )＝1a ＞a ，所以a ＜－1.综上a 的取值范围是a ≥0或a ＜－1. 答案：{a |a ≥0或a ＜－1}11．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，所以9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5. 比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.所以f (x )＝x 2－4x ＋8.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（－1≤x ≤1），1（x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0，1]．B 级 能力提升13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1.若f (f (0))＝4a ，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：易知f (0)＝2，所以f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，所以a ＝2. 答案：A14．任取x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是( )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可． 答案：D15．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧C x ，x <A ，C A ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( ) A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60， f (A )＝60A＝15⇒A ＝16. 答案：D16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f (f (2))的值；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23∉[0，2]，故无解． 当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.因此f (x 0)＝8时，x 0的值为4.17．某市出租车的计价标准是：4 km 以内10元，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2 元/km ，超过18 km 的部分1.8 元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？解：(1)设车费为y 元，出租车行驶里程为x km.由题意知，当0＜x ≤4时，y ＝10；当4＜x ≤18时，y ＝10＋1.2(x －4)＝1.2x ＋5.2；当x ＞18时，y ＝10＋1.2×14＋1.8(x －18)＝1.8x －5.6.所以，所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0＜x ≤4，1.2x ＋5.2，4＜x ≤18，1.8x －5.6，x ＞18.(2)当x ＝20时，y ＝1.8×20－5.6＝30.4.所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费．18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图①表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：t /天 5 15 20 30Q /件 35 25 20 10(1)根据提供的图象(图①)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式；(2)在所给平面直角坐标系(图②)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N.(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．所以日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N. 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N. 若0＜t ＜25(t ∈N)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N)，则当t ＝25时，y max ＝1 125.因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．第2章 函数2.2 函数的简单性质2.2.1 函数的单调性A 级 基础巩固1.函数f (x )的图象如图所示，则( )A ．函数f (x )在[－1，2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1，2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1，4]上是减函数D ．函数f (x )在[2，4]上是增函数解析：增函数具有“上升”趋势；减函数具有“下降”趋势，故A正确．答案：A2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则() A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a＋3)＞f(a－2) D．f(6)＞f(a)解析：因为a＋3＞a－2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a＋3)＞f(a－2)．答案：C3．y＝2x在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是()A．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析：因为函数y＝2x在[2，4]上是单调递减函数，所以y max＝22＝1，y min＝24＝12.答案：A4．函数y＝x2－6x的减区间是() A．(－∞.2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 解析：y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故函数的单调减区间是(－∞，3]．答案：D5．下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数； ④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，由f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0知f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，①正确；②③④均不正确．答案：B6．已知函数f (x )＝4x －3＋x ，则它的最小值是( )A ．0B ．1 C.34 D ．无最小值解析：因为函数f (x )＝4x －3＋x 的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，且是增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34. 答案：C7．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________________．解析：由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．答案：(－∞，1]和(1，＋∞)8．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (2x －1)＞f (1)的实数x 的取值范围是________．解析：因为f (x )在R 上是减函数，且f (2x －1)＞f (1)，所以2x －1＜1，即x ＜1.答案：(－∞，1)9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为直线x ＝1，所以当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1.又因为f (0)＝3，所以f (2)＝3.所以m ≤2.故1≤m ≤2.答案：[1，2]10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924， 所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：12011．讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2，2]上的单调性．解：因为函数图象的对称轴x ＝2a ＋1，所以当2a ＋1≤－2，即a ≤－32时，函数在[－2.2]上为增函数．当－2＜2a ＋1＜2，即－32＜a ＜12时， 函数在[－2，2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1，2]上是增函数．当2a ＋1≥2，即a ≥12时，函数在[－2，2]上是减函数． 12．已知f (x )＝x ＋12－x，x ∈[3，5]． (1)利用定义证明函数f (x )在[3，5]上是增函数；(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )在区间[3，5]上是增函数，证明如下：设x 1，x 2是区间[3，5]上的两个任意实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12－x 1－x 2＋12－x 2＝3（x 1－x 2）（2－x 1）（2－x 2）. 因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1－x 2＜0，2－x 1＜0，2－x 2＜0.所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间[3，5]上是增函数．(2)因为f (x )在区间[3，5]上是增函数，所以当x ＝3时，f (x )取得最小值为－4，当x ＝5时，f (x )取得最大值为－2.B 级 能力提升13．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40)B ．[40，64]C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)。