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第三章 数学教育的基本理论汇总

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第3章数学学习的基本理论

第3章数学学习的基本理论

第四章数学学习的基本理论[学习目标]1、理解布鲁纳、奥苏伯尔等学习理论。

2、理解数学学习的基本过程。

3、掌握数学学习理论的有关概念和数学学习的心理规律。

4、理解迁移的概念和产生迁移的本质。

5、掌握概念学习、命题学习、技能学习和问题解决学习的内容和方式。

数学教育的对象是学生，他们是数学教育活动的主体。

学生获得数学知识、掌握数学技能、发展数学能力，以及养成良好的数学素养，都是在不断的数学学习过程中逐步完成的。

现代数学教育理论的最大突破点就在于它认识到：在讨论“教的规律”之前，首先必须了解“学的规律”，即研究学生是“如何学习数学”的问题。

揭示数学学习的内在规律，有利于教师采取积极有效的教学方法，提高数学教学的质量。

第一节有关学习理论对数学学习的启示对于学习的过程，有两种基本的见解：一种是以桑代克、斯金纳为代表的刺激——反应联结的学说，这种学说认为学习的过程是盲目的、渐进的、尝试错误直至最后取得成功的过程。

学习的实质就是形成刺激与反应之间的联结；另一种是以布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学说，这种学说认为学习的过程是原有认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用，形成新的认知结构的过程。

其实质是，有内在逻辑意义的学习材料与学生原有的认知结构关联起来，新旧知识相互作用，从而新材料在学习者头脑中获得了新的意义。

本节主要介绍布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学习理论，并在此理论的基础上研究数学学习的过程，通过对学生数学学习过程中的心理分析，揭示数学学习过程的基本规律。

一、认知——发现理论和数学学习布鲁纳是西方认知心理学的主要代表人物之一，他的认知—发现理论起源于完形说。

他继承了完形说的观点，否认刺激与反应之间的直接联系，认为学习是通过认知，获得意义和意象，从而形成认知结构的过程。

布鲁纳认为学习包含三种几乎同时发生的过程：(1)新知的获得；(2)知识的改造；(3)检查知识是否恰当和充足。

他主要关心的是人们借以主动选择知识，记住知识和改造知识的手段，认为这就是学习的实质。

数学教育的基本理论

数学教育的基本理论
垂直数学化——数学本身 水平数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理， 以及为解决实际问题而构造的数学模型；垂直数学 化，形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及 不同层次的公理体系和形式体系。
现实数学教育的数学化有两种形式：
一是实际问题转化为数学问题的数学化，即
发现实际问题中的数学成分，并对这些成分 作符号化处理； 二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴 之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化 处理。
主要工作：
1967年当选为国际数学教育委员会主席；
单独举行国际数学教育大会（ICME－1， 1969．法国．里昂）；
提倡数学教育的科学研究； 创办ICME的理论刊物——《Educational
Studies in Mathematics（数学教育研究）》
主要数学教育论著：
《作为教育任务的数学》；
1930年获柏林大学数学博士学位；
1946年起任荷兰Utrecht 大学教授； 1951年起为荷兰皇家科学院院士； 1971-1976年任数学教育研究所所长； 1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。
弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父”
“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶 Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” ——加亨(Kahane)教授
G . Polya (1887-1985)
1940年移居美国； 1942年起任美国斯坦福大学教授；
他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论，几Leabharlann 等若干分支领域都做出了开创性的贡献，
一些术语和定理都以他的名字命名。
由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界

第三章中学数学教学理论

第三章中学数学教学理论

第三章 数学教学理论第一节 数学教学原则数学教学原则是根据数学教学目标，为反映数学教学规律而制定的指导数学教学工作的基本要求。

作为一种教学活动，毫无疑问，数学教学过程必须遵循教学论对数学教学工作提出的一系列的基本要求；但作为一种特殊的学科教学，必然有其自身的特点及规律性，也需遵循自身的一些特殊要求。

我们从数学学科的特点、中学生身心发展实际出发，结合我国当前数学新课程理念和数学新课程改革的教学实践，探讨数学教学必须遵循的一些特殊的基本要求，即数学教学原则。

一、具体与抽象相结合原则1．对数学抽象性含义的理解抽象性是数学的基本特点。

所谓数学的抽象性，是指数学为了在比较纯粹的状态下研究客观世界的空间形式和数量关系，不得不把客观对象的所有其他特征抛开不管，而只抽象出它的空间形式和数量关系进行研究。

因此，数学是以客观世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，具有十分抽象的形式。

一般来说；数学的抽象性至少表现在以下几个方面。

(1)数学的内容是高度抽象的，是抽象的、纯粹的形式结构和数量关系例如，在某点上的导数就是一个形式化的抽象概念：设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 变化到1x ，即自变量有一个增量01x x x -=∆时，函数值y 相应地有一个增量)()(01x f x f y -=∆，若差商x y ∆∆的极限0101)()(lim 01x x x f x f x x --→存在，则称这个极限为函数)(x f 在0x 点的导数。

这样一个抽象的概念却具有很普遍的意义，例如，它在物理学中，可以表示运动着的物体在某一时刻的瞬时速度；在经济学中，导数还可以表示边际经济量，如边际成本、边际效益、边际利润等。

(2)数学的方法也是高度抽象的这不仅表现在数学使用了大量抽象的数学符号，而且还表现在它的思维方法上。

数学思维以深入细致的观察为基础，以分析、综合、归纳、概括、类比等为手段，充分运用逻辑推理的方法去进行思维。

第三章_小学数学学习理论及其学习过程

第三章_小学数学学习理论及其学习过程
第三章
小学数学学习理论及其 学习过程
第一节 小学数学学习概述
1、数学学习的含义 数学学习是学生获取数学知识，形成数
学技能，发展各种数学能力的一种思维活动 过程，这种思维过程是由预定目标（课程 标准设定的课程目标）的变化过程。
2、小学生数学学习的特点 （1）小学生数学学习是一个逐步抽象的过程。
复习 关于概念学习的几点注意
A、让学生充分感知，建立清晰的表象； B、让儿童多种感观参与活动； C、注意让学生用自己的语言表述概念的关键属性； D、在学生学习时，给以必要的提示和及时反馈。
（四）数学概念教学的一般要求：
1．使学生准确理解概念 理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要
概念的同化：学习新概念时，利用认知结构中已 有的概念与新概念建立联系，从而掌握新概念的 本质属性。这种学习概念的过程叫做概念的同化。
小学生获得概念的两种方式
概念形成的学习流程
提供的具体材料应包容性强，数量适中，避免非本质 属性的误导；适当混杂反面材料
“概念的同化”学习概念的一般教学流程：
直觉动作思维—直观形象思维—抽象逻辑思维
小学生的思维特点：小学生的思维从以具体形象思维为 主，正逐步向抽象逻辑思维为主过渡，但这种抽象逻辑 思维在很大程度上依然是直接与感性经验相联系的，具 有很大成分的具体形象性。
小学生的心理发展具有稳定性与普遍性，同时存在一定 的可变性。
小学生在数学学习过程中，经历从具体实物的操作、观 察开始，逐步归纳抽象的过程。老师会问： ——“你发 现它们有什么相同的地方？有什么不同？……”
（4）小学生的数学学习存在着思维发展的不平衡性。 学生个体（习惯、风格、认知发展的不平衡）——独立 思考和合作交流
第二节 数学学习理论及其 对数学教育的影响

第三章 国外学前儿童数学教育的理论与模式

第三章 国外学前儿童数学教育的理论与模式
1）守恒与守恒概念的发展 阶段一（4岁以下） 阶段二（4 — 5岁）：前守恒水平 阶段三（5 —6岁 ）：达到守恒水平
2）数概念与运算 儿童数概念的发生发展离不开对客体的动作操作， 口头数数是儿童最早学到的关于数的观念之一。
第三章 国外学前儿童数学教育的理论与模式
（二）关于儿童数概念的形成、发展研究 1.数学始于对于物体的动作 2.学前儿童数学能力依赖于自身的逻辑概念 3.学前儿童的数学认知是自己主动建构的
（三）建构主义教学教育的基本观点 1.提供实物操作 2.注重概念建构的过程 3.强调学习过程中的理解与顿悟
第三章 国外学前儿童数学教育的理论与模式
第 一 节
育早 的期 主学 要前 理儿 论童
数 学 教
三、凯米的数学教育思想和课程方案
康司坦斯·凯米是一位研究早期儿童教育 的教授，曾任教于美国的伯明翰大学，它是皮 亚杰理论的忠实追随者，在她的研究工作中， 始终致力于建构主义理论尤其是关于儿童物理 知识和逻辑数理知识获得的研究，并将建构主 义的理论演绎成为早期儿童教育的课程方案 （简称EEP），出版了《幼儿数学的教育》一 书，详细阐述了数的本质、数教育的目标、数 学教育的原则以及数学教育的情境和教师作用
ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 国外学前儿童数学教育的理论与模式
（四）关于数学教育的形式 1、日常生活情境 2、团体游戏 八种类型： 击目标游戏；赛跑游戏；追逐游戏；捉迷藏游戏；猜迷语游戏； 卡片游戏；涉及语言要求的游戏；棋子游戏。
第三章 国外学前儿童数学教育的理论与模式
四、 有关学前儿童数学教育的发展和研究动向
（一）重视数学学习中的操作和多感官体验 数学学习中操作活动的特征： 1.儿童经验材料的数学化； 2.数学材料的逻辑化； 3.数学知识的具体化。

数学教育概论总结[共五篇]

数学教育概论总结[共五篇]

数学教育概论总结[共五篇]第一篇：数学教育概论总结数学教育概论总结数学教育概论（1）一、数学教学中合理地运用数学活动应当具备以下几个特点：1、数学活动应该是现实的、有趣的、富有挑战性的、与学生的生活经验相联系的；2、数学活动应该有助于培养学生实验、观察、猜想、思维的能力3、数学活动应该关注真实的活动；二、数学现实：学生的生活经验和已有的数学知识构成学生的数学现实，它是新知识的生长点。

三、数学教学设计：是为数学教学活动制定蓝图的过程。

完成设计教师需要考虑的方面：1、明确教学目标；2、形成设计意图；3、制定教学过程。

四、教师进行教学设计的目的：是为了达到教学活动的预期目的，减少教学过程中的盲目性和随意性，其最终目的是为了能够使学生更高效地学习，开发学生的学习潜能，塑造学生的健全人格，以促进学生的全面发展。

五、数学教学目标：是设计者希望通过数学教学活动达到的理想状态，是数学教学活动的结果，也是数学教学设计的起点。

1、远期目标：是某一课程内容学习结束里所要达到的目标，也可以是某一学习阶段结束后所要达到的目标。

2、近期目标：是某一课程内容学习过程中，或者某一学习环节结束时所要达到的目标。

3、过程性目标：知识与技能；过程与方法；情感与态度。

六、教学的重点：在学习中那些贯穿全民、带动全面、应用广泛、对学生认知结构起核心作用、在进一步学习中起基础作用和纽带作用的内容。

教学的难点：学生接受起来比较困难的知识点，往往是由于学生的认知能力、接受水平与新老知识之间的矛盾造成的，也可能是学习新知识时，所用到的旧知识不牢固造成的。

教学的关键：对掌握某一部分知识或解决葳个问题能起决定作用的知识内容，掌握了这部分内容。

七、几种教学过程：（一）、数学问题的教学设计：数学问题在数学教学设计中的作用不仅仅是创设出一个数学问题情境，使学生进入“愤”和“悱”的状况，更重要的是为学生的思维活动提供一个好的切入口，为学生的学习活动找到一个好的载体，从而给学生更多的思考、动手和交流的机会。

数学教育的基本理论共64页

数学教育的基本理论
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特

数学教育的基本理论——波利亚


1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科 学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的 院士。 曾著有《怎样解题》、《数学的发
现》、《数学与猜想》等，它们被译成多 种文字，广为流传 。
找出一个既有趣又好下手的新 问题并不那么容易，这需要经 验、鉴别能力和好运气，但是， 当我们成功的解决了一个好问 题之后，我们应当去寻找更多 的好问题。好问题通某些蘑菇 有些相像，他们总是成堆地生 长，找到一个以后，你应当在 周围找找，很可能在附近就有 好几个。
（1）主动学习
“学东西的最好方式是发现它”，“亲自 发现能够在你脑海里留下一条小路；今后 一旦需要，你便可以再次利用它”。因而， 教师应该“尽量让学生在现有条件下亲自 发现尽可能多的东西”。思想应在学生头 脑中产生，教师则只起助产士的作用。
（2）最佳动机
为了使学习富有成效，学生应该对学习倍 感兴趣，并且在学习活动中寻求欢乐。最 佳的刺激应该是对所学的知识的兴趣。另 外，还可以在做题之前，让学生猜测学习 的结果，因为在科学家的工作中，猜测几 乎是证明的先导。
学习动机是多元的
内在的动机才能产生持久的学习动力，外 部的动机，只会见效一时，却不能恒久维 持。
动机，有时又可以称之为理由 过度理由效应
（3）循序渐进
学习过程是从行动和感知开始的，进而发
展到词语和概念，以养成合理的思维习惯
而结束。
思维习惯
词语和概念
行动和感知
学习的第一个阶段是探索，它联系着行动 和感知，并且是在自觉和启发的水平上发 展的。
山重水复疑无路，柳暗花明又一村。众里寻他千，蓦然回首，那人却在灯火阑珊 处。
波利亚的生平
波利亚（George Polya，1887-1985） 美籍匈牙利数学家。生于布达

数学教育基本理论2 (1)

第三章 数学教育的基本理论（二）
三、建构主义的数学教育理论 四、我国“双基”数学教学 五、布鲁姆的教育理论
（三）建构主义的数学教育
1．什么是建构主义
建构主义(constructivism)也译作结构主义，是认知 心理学派中的一个分支。 主要代表人物有：皮亚杰、科恩伯格、斯滕伯格、 卡茨、维果斯基。
1）课程设计
中国数学教学大纲历来标明各种知识点，现
在则更明确地标明其水平，比如把教学目标分
为了解、理解、掌握、灵活运用四个层次。
2）考试命题
试卷必须要覆盖应有的知识点，试题内容应符合 教学大纲对各知识点的要求水平。
3）教模式
人人讲目标，课课定目标，校长查目标，连 学生也要知道目标，甚至背出目标。课堂教学 步骤设置为展标、导标、讲标、测标、达标等 等。
在国际数学教育测试中，中国成绩斐然
我国中学生自1989年起，一直在国际数学奥林匹克竞 赛中名列前茅。取得总分第一的年份是1989年、1990年、 1992年、1993年、1995年、1997年、2000年。 1989年，国际数学教育进展评价测试（IAEP）在21个 国家和地区举行，中国以80分的成绩名列第一。 中国留学生以数学基础扎实在欧美等国家著称。 中国的数学教育在国际数学教育留下深刻印象的就是： 中国学生数学基础扎实，数学基本技能熟练且过硬。
布卢姆将评定与教学工作联系起来，把
评定分为三类：
一是配置性评定；
二是形成性评定；
三是总结性评定.
这个分类已被许多心理学家认可和采纳。
（3）掌握性学习理论
“提供足够的时间与适当的帮助，95%
的学生（5%的优等生加90%的中间生）
能够学习一门学科，并达到高水平的掌
握。” “让每个学生都成为优等生”。

数学教育的基本理论PPT教学课件


适用在工业用水量占总水量比例大，水质要求不高的地区。
（3）分压给水系统
« 因用户对水压要求不同而分成两个或两个以上系 统，分别供给各类用户。
« 符合用户水质要求的水，由同一泵站内的不同扬程 的水泵分别通过高压、低压输水管和管网送往不同用户。 « 采用此种系统，可减少高压管道和设备用量，节省 供水能量费用。但需要增加低压管道和设备，管理较为 复杂。 « 适用在地形高差较大或对水压要求较大的地区。
污水、工业废水和雨水的排水方式。 根据污水汇集后的处置方式不同，又可把合
流制分为下列三种情况：
（１）直排式合流制： 管道系统的布置就近坡
向水体，分若干排出口，混合 的污水未经处理直接排入水体， 我国许多老城市的旧城区大多 采用的是这种排水体制。
特点：对水体污染严重，系统简单。 这种直排式合流制系统目前不宜采用。
➢ 分流制排水系统的管线多，但卫生条件好，有利于环境保护，虽然初降 雨水对水体有污染，但它比较灵活，比较容易适应社会发展的需要，一 般又能符合城镇卫生的要求，所以在国内外得到推荐应用，而且也是城 镇排水系统体制发展的方向；
➢ 不完全分流制排水系区可考虑采用这种体制；半分流制卫生情况比较好，但管 渠数量多，建造费用高，一般仅在地面污染较严重的区域（如某些工厂 区等）采用。
（3）从投资方面看：
分流制比合流制高。合流制只敷设一条管渠，其管渠断面尺寸与分流制的雨水 管渠相差不大，管道总投资较分流制低20%～40%，但合流制的泵站和污水 厂却比分流制的造价要高。由于管道工程的投资占给排水工程总投资的 70%～80%，所以总的投资分流制比合流制高。
如果是初建的城镇和小区，初期投资受到限制时，可以考虑采用不完全分流 制，先建污水管道而后建雨水管道系统，以节省初期投资，有利于城镇发展， 且工期短，见效快，随着工程建设的发展，逐步建设雨水排水系统。
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抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看 成是数学化
数学化的两种形式： 一是实际问题转化为数学问题，即发现实际
问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理； 二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴
之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理
数学学习的“再创造”
学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做 数学”(doing mathematics)的过程。其核心是数学 过程再现。 (经验，理解，反思，主体，主动)
《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计 划”、“实现计划”和“回顾”四个阶段。
“弄清问题”是认识并对问题进行表征的过程， 应成为成功解决问题的一个必要前提；
“拟定计划”是关键环节和核心内容；
分析详细，他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系， 你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”
第三章 数学教育的基本理论
本章学习提要
一、弗赖登塔尔的数学教育理论——《作为教育 任务的数学》
二、波利亚的解题理论——《怎样解题》 三、建构主义的数学教育理论 四、我国“双基”数学教学
一、弗赖登塔尔的数学教育理论 ——《作为教育任务的数学》
(一) 弗赖登塔尔的生平
Hans Freudenthal（1905-1990年）,荷兰数 学家和数学教育家,生于德国。 1930年获柏林大学数学博士学位； 1946年起任荷兰Utrecht 大学教授； 1951年起为荷兰皇家科学院院士； 1971-1976年任数学教育研究所所长； 1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。
《怎样解题》
《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就 销售了100万册以上。
不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创 造出来。”也不是简单地“教师指导下的学生活动。” 而是通过教师精心设计，创造问题情景，通过学生自 己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行 组织的学习方式。
二、波利亚的解题理论
(一)波利亚的生平
乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）美籍 匈牙利数学家。波利亚是法国科学院、美国科学 院和匈牙利科学院的院士。
(11)数的概念；
(3)传统和教育；
(12)数的概念发展1；
(4)数学教育的用处和目的；
(13)数的概念的发展2；
(5)苏格拉底法；
(14)数的概念发展3；
(6)再创造；
(15)集合与函数；
(7)用数学化的方法组织一个域； (16)几何的情况；
(8)数学的严谨性；
(17)分析学；
(9)教学；
(18)概率与统计；
第二，数学教育的内容不能只考虑代数、几何、三角 之间的联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领 域的外部关系和联系
第三，不同专业所需的数学知识不尽相同，数学教育 应为不同的人提供不同层次的数学知识，即不同的人 应有不同需要的“现实的数学”．
什么是“数学化”
人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运 用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种 现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织 现实世界的过程就是数学化
主要数学教育论著： 《作为教育任务的数学》，1973年版 ； 《除草与播种— ——数学教育学的序言》，1978年版 ；《数学结构的教学法现 象》，1983年版 ； 《数学教育再探———在中国的三次讲 学》， 1978年版 。
《作为教育任务的数学》介绍
共9章:
(1)数学的传统；
(10)数学教师；
(2)今日数学；
1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、 维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲 学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联 邦理工学院任教。
1940年移居美国 1942年起任美国斯坦福大学教授 他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数
论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献， 一些术语和定理都以他的名字命名。由于他在数 学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产 生的影响，在他93岁高龄时，被ICME（国际数 学教育大会）聘为名誉主席。
数学教育中的现实——数学来源于现实，存在 于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不 同的“数学现实”
数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现 实，并在此基础上发展他们的数学现实
例题生活化，问题情境化
运用“现实的数学”进行教学需明确以下认识
第一，把最能反映现代生产，现代社会生活需要的最 基本最核心的数学知识和技能，应作为数学教育的内 容．
弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父
（二）弗赖登塔尔数学教育贡献
主要工作： 1967年当选为国际数学教育委员会主席 举行国际数学教育大会（ICME－1，1969．法国．里昂） 提倡数学教育的科学研究 创办ICME的理论刊物——《Educational Studies in
Mathematics（数学教育研究）》
主要著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与
猜想》先后被译成多种文字多次出版，风行世界。20
世纪80年代中期，三本著作的中译本问世，数学解题
理论成为数学教育研究的热点。
主要思想：倡导教会思考 学习原则：主动学习原则
培养创造精神
最佳动机原则
探索式教学
循序渐进原则
波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他 分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表明这张表的实际应用
(19)逻辑。
——手中的书厚了，心中的书才能 薄
（三）弗赖登塔尔数学教育的主要特征
——情景问题是教学的平台 ——数学化是数学教育的目标 ——学生通过自己努力得到的结论和创造是
教育内容的一部分 ——“互动”是主要的学习方式 ——学科交织是数学教育内容的呈现方式 “现实” 、“数学化”、“再创造”
何谓数学教育中的“现实”
“实现计划”较为容易，是思路打通之后具体 实施信息资源的逻辑配置；
“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其 作为解题的必要环节而固定下来。
他还把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和多个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的
思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。