刚体的转动 - 习题

2 2
（6） 在半径为R1、质量为 m 的静止水 平圆盘上，站一质量为 m 的人。圆盘可无摩 擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人 开始沿着与圆盘同心，半径为R2（＜R1）的 圆周匀速地走动时，设 ω 他相对于圆盘的速度为 v，问圆盘将以多大的 角速度旋转？ R1 R2
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物理学
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方法二、角动量定理

t2
t1
M dt L2 L1
因为力矩和角动量方向在同一直线 上， t
Mdt 0 J0
0
M kR
t 4 0
4

kR dt J
1 2 kR q mR 0 2 (dt dq )
4
0
（5） 在自由旋转的水平圆盘边上，站一 质量为 m的人。圆盘的半径为R，转动惯量为 J ，角速度为ω。如果这人由盘边走到盘心， 求角速度的变化及此系统动能的变化。
ω
R1 R2
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（7）在一半径为 R、质量为m的水平圆 盘的边上，站着一个质量为 m′的人。这圆 盘可绕通过中心的竖直轴转动，转轴与轴承 之间的摩擦阻力可忽略不计。当人沿盘的边 缘走一周回到盘上原 ω 有位置时，这圆盘将 转过多大的角度？ m ´ R m
1 2 ω 解： J = mR 2 m´ R m 盘对地的角速度ω v 人对盘的角速度ω ´ = r R vr 人对地的角速度ω ″ =ω ´+ω = R +ω 2 ´ 由角动量守恒得：m R ω ″+ J ω =0 2 v 2 1 ´ m R ( r +ω )+ mR ω = 0 R 2 m´R vr m ´vr ω= = 1 1 2 2 ( m´+ m )R m´ R + mR 2 2
5.6×10-2×1.26×102 Ja F = = R 0.15
A = M θ = F R θ= 47×0.15×5π=111J
= 47N
源自文库 物理学
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(3) ω = a t
= 1.26×102×10 =1.26×103 1/s
v = Rω = 0.15×1.26×103 = 1.89×102 m/s
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ω
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(1)
解：系统角动量守恒 2 (m R + J ω ) =J ω´
2
ω
m R +J ω ´= ω J 2 m R ω =ω ´ ω = Δ ω J 2 2 1 (m R + J ) 2 1 2 (2) E ´= Jω ´ = J ω 2 k 2 2 J 1 (m R + J ) 2 ω = 2 J 1 m 2 2 ´ E = ( R +2 J ) m R ΔE k= E k k 2J
解：由角动量守恒 2 1 ´ ´ J J ω 0 = ω = (J + mr ) ω 0 2 J 1m 2 1 m= 2 r ω 0 = Jω 0 r 2 2 m J t= = 2 r dm d t dm d t 5×10-5 5s = ( = 2 -3 0.1 ) ×1×10
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Δ t 时间内，人相对盘转过的角度为： 由题意在 v R 2 π q ´=ω ´ Δt = r ∴ Δt = Δ t =2 π R vr Δ t 时间内，盘相对地转过的角度为： 在 m ´vr Δt q =ωΔ t = ( m´+ m 2 )R m ´vr m´ R 2 4 π π = = ( 2 m´+ m ) ( m´+ m 2 )R vr
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第 四 章
刚体的转动习题
授课教师：张
Email: zwphys@qq.com
伟
西南科技大学理学院
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刚体定轴转动的几类问题
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1、 一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有 绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地加 速 ，经 0.50 s 转速达10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱 体，求： （1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； （2）拉力及拉力所作的功； （3）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘上一 点的速度和加速度。
2
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O 解：由角动量守恒得 m1 m 2 v1l = Iω m 2 v2l l v1 1 2 m 2 l m I =3 1 v2 A m 2 v1l + m 2 v2 l 3m 2 ( v1 + v2 ) ω= = I m 1l 棒上dx段与桌面间的摩擦力为： m 1 dx df = g l dx段所产生摩擦力力矩为： m 1 dx dM = x d f = x g l
an = Rω 2 = 0.15×(1.26×103)2 = 2.38×105 m/s2 a t = R a = 0.15×1.26×102
=18.9m/s2
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一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端 绕在一轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮 轴面，其半径为R，整个装置架在光滑的固定轴承 之上，当物体从静止释放后，在时间t内下降了一 段距离s，试求整个轮轴的转动惯量(用m、R、t和 s表示)。
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（12）质量为m1,长度为 l 的均匀细棒，静止平 放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可 绕端点O转动。另有一水平运动的质量为m2的 小滑块，它与棒的A端相碰撞，碰撞前后的速 度分别为 v 及 v 。 1 2 O m
求：棒从碰撞 开始到停止转动所 用的时间。 v
m 1
1
l
2 v
A
J
光
o
m
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（1）角动量守恒
2 0 m l J m l


（2）转动定律
d dq 转动定律： M r ( J ml ) dq dt
2
J
光
m
M r dq
0
q
0

2 ( J m l )d
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一根质量为 m、长度为 L的匀质细直棒，平 放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦 系数为，在 时，使该棒绕过其一端的竖直 轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为0， 则棒停止转动所需时间为 。
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方法一：应用转动定律 单位面积元所受的摩擦力 f k kr 为： 圆环上所有面元的力矩方向相同，即均 向里， 3
dM kr r 2rdr 2kr dr
dr

f
r
M 2 dM 2 2kr dr
3 0
R
kR
4
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1mv2 1( 1 m l 2) 2 m l g (1 cosq ) ω = c+ 2 2 12 2
将vc 代入得：
1 (l2 2 1 2 l 2 2 sin qω )+ (1 cosq ) ω m m l m = g 2 4 24 2
ω=
12 g (1 cosq )
(1 + 3 sin q ) l
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(1) 解：
ω = 2 πn = at 2π n 2×3.14×10 ω a = t = t = 0.5 = 1.26×102 rad/s2 1 1 2 a t = ×1.26×102×(0.5)2 = 5π θ= 2 2 N= θ 2.5 r = π 2 M = J a =FR
(2)
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解：研究系统，物体和轮轴，当物体下降s距离时， 物体和滑轮的运动方程为
根据
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• （3）：两均质皮带轮的半径分别为R1和R2，质
量分别为m1和m2，都可以视为匀质圆盘，两轮以 皮带相连，分别绕两平行的固定轴O1和O2转动， 如果在第一轮上作用一力矩M，在第二轮上作用 有负载力矩M’，设皮带与轮间无滑动，皮带质量 以及两轴处的磨擦均忽略不计，试求第一皮带轮 的角加速度。
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（8）如图所示，转台绕中心竖直轴以角 速度ω 作匀速转动。转台对该轴的转动惯量 J = 5×1O-5 kg.m。现有砂粒以 1 g/s 的速 度落到转台，并粘在台面形成一半径 r =0.1 m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度 变为ω0/2所花的时间。
ω0
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已知：dm 1×10 -3 kg/s ω 0 = dt 2 -5 kg.m J = 5×10
l
A
xc = 0 l y c = cosq 2 vcx = 0 dy c dq l vcy = sin q = 2 dt dt l vc = vcy = sin qω 2 由机械能守恒：
q
B
dq ω = dt
1mv2 1( 1 m l 2) 2 m l g (1 cosq ) ω = c+ 2 2 12 2
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*8、 一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为m，半径为R，绕 过盘心且垂直盘面的竖直轴转动，轴的摩擦忽略不计。 当它以初角速度ω0转动时，由于上下表面受到空气的 摩擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面 任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度 大小，比例常数为k，求它一共能转多少圈？
T 1’
M’ o
T2’2
2( R2 M R1M ) 1 2 (m1 m2 ) R1 R2
（4）长为 l 质量为 m 的均匀杆，在光滑 桌面上由竖直位置自然倒下，当夹角为θ时 （见图），求： （1）质心的速度； （2）杆的角速度。 A
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q
l B
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解：选质心坐标系
T1
R1
T1’ o T2’2
M’
R2
o
1
M T2
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解根据转动定律
R1
T1
M 1 o 2 2 m1 R1 1 M T1 R1 T2 R1 T 1 2 1 2 m2 R2 2 T2 R2 T1 R2 M 2 R11 R2 2
m 1 dx dM = x g l 摩擦力力矩为： m 1 1 l m 1 gl dx = M = 0 x g 2 l 由角动量原理： 1 2 t 0 M d t = M t = 0 3 m 1l ω 1 m l 2. 3m 2 ( v1 + v2 ) = 1 3 m 1l 所用的时间为： 2m 2 ( v1 + v2 ) t= m l
v 人对地的角速度ω ″ =ω ´+ω = R +ω 2 由角动量守恒得： 2 mR 2ω ″+ J ω =0 2 v 2 1 mR 2 ( +ω )+ mR 1ω = 0 R2 2 2R 2 v mR 2 v ω= = 2 2 1m 2 2 R1 + 2R2 mR 2 + R1 2
解： J 1 mR 2 =2 1 盘对地的角速度ω v 人对盘的角速度ω ´ = R2
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5、一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一 端的竖直固定光滑轴 O 转动，棒的质量为 m 1.5kg 长度为 l 1.0m 对轴的转动惯量为 J ml2 3 ，初始 时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另 一端，并留在棒中，子弹的质量 m 0.020kg 速率 400m s 1 问（1）棒开始和子弹一起转动时角速度 ？ （2）若棒转动时受到大小为 M r 4.0 N m 的恒 阻力矩作用，棒能转过的角度 q ？
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12 g (1 cosq ) l l vc = sin qω = sin q 2 2 2 (1 + 3 sin q ) l
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一根长为、质量为M的匀质棒自由悬挂于 通过其上端的光滑水平轴上。现有一质 量为m的子弹以水平速度v0射向棒的中心， 并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最 大偏转角恰为，则v0的大小为 [ ]
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d dq d J 由转动定律 M J J dt dq dq
1 2 J mR 2
M kR
q
4
0

0
dr

f
2kR dq md
2 0
r
m 0 q N 2 2 2 4 kR
m 0 q 2 2kR
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解此题的关键是求出摩擦阻力矩。为此首先要明确摩擦阻力矩 有什么特点？ 1. 因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所 以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力 大小一样，方向不同，但它们产生的力矩方向相同。 2. 转动过程中，由于角速度ω不断变化，所以同一点处摩擦力 的大小也要随时间变化，是一个变力矩的问题。 方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。