数学模型--数学模型与数学建模.ppt

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Requirements(1)
模型报告书写
符合规范 文字，图表清晰 数据说明
2019-9-2
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Requirement(3)
独立完成 相互帮助 团队合作 绝不允许抄袭！
2019-9-2
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Q&A
2019-9-2
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2019-9-2
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Proof11
数学建模的一般步骤
了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要 的数据资料。
在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资 料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精
实息体(数 信据炼在)、所简作化假假，设设提 的出基若础建干上模符，合利客用观适求实当解际的的数假学验设工证。具去刻应划用各 变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即建立 数学模型。
L
2019-9-2
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例4 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可 以延伸多大距离。
设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 (n－1) 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。
由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：
n
1/2-Zn= (n－1) Zn
Zn (n＋1)
是足够长的 方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
2019-9-2
问：选择哪种卡比较省钱？
2019-9-2
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例2.打水问题
每天晚上5:00 至 5:30 之间开水房的拥 塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏 这种时候还有一些人喜欢一个人占好几 个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个 人来讲，最好的办法当然是在不违反排 队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。 事实上大家也基本上是这样做的。在高 峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语 言的谴责也会遭到目光的谴责。
2019-9-2
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例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟 结果后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个看起来有
些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合 理的方案。
2019-9-2
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例3.银行问题
去中国工商银行存取钱对每个人来说都 决不是一次愉快的经历。我平均每次去 取钱都至少要花上半个小时的时间，这 促使我考虑是否有办法在现有窗口的情 况下提高整个系统的效率。
2019-9-2
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假设现在有 2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每 打一壶要 1分钟，这是一种很常见的情况。
方法 A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙 头，为将10个人打满，总共的等待时间是： 2*(2+4+6+8+10)=60 分钟
方法 B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有 两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。 这种方法下总的等待时间是：
数学建模（Mathematical Modeling）
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
2019-9-2
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数学模型早就知
我们从小就接触过数学模型：
应用题
“甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行 需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航 速，水速若干？”
很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。
2019-9-2
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例7
将一张四条腿的方桌放在不平的地面上， 不允许将桌子移到别处，但允许其绕中 心旋转，是否总能设法使其四条腿同时 落地？
2019-9-2
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假设
地面为连续曲面 方桌的四条腿长度相同 相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿
解决实际问题 数学模型
2019-9-2
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数学模型与数学建模
数学模型（Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观 现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象 的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
此人 到C站等车的时间是随机的，
则他先遇 上B方向来的车的概率为 否AB则发一9出0处%车的。次车显辆然将是会一越样积多越的多，。
2019-9-2
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例6 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对
司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过
长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也
是交管部门设早想已一定下好黄的灯，的目作的用是是使什交么通，流不量难最看大，
可另建模型出研，究黄，灯从起而的L是1警=v告*t1的。作刹用车，距意离思L是2
既可用曲线马拟上合要方转法红得灯出了，，也假可如利你用能牛停顿住第，二请定
2019-9-2
故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的
总距离为 n 1 ，
故砖块向右可k 叠1 至2nk
有点n出人意料时。,
任1意远
， 这1一结果多少
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n1 2n
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例5 某由人于住距在离某不公同，交设线附A到近C行，驶该3公1分交线路 为在A、钟B，两B到地C间要运行驶行，30每分钟隔，1考0分察一钟A、B两 地点各等发车个 如 时出，时 ， 开一他间 可 始班 发长以，车 现度从在， 了其为A后方此 一1的向0人 个分来常 令9钟的分的在 他车钟区离 感驶内间家到到，离最奇达例C的站近怪的的现C 象：在乘绝客大见多到数先情来的况车下均，为先B到开站往的A的总，是由 B去A的仅车有，最难后道1由分钟B到去达A的的乘车客次才多见些到吗？请 你帮助由他A来找的一车下先原到因。由此可见，如果
数学模型
Mathematical Modeling
任课老师：
2019-9-2
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第一章 建立数学模型
开设本课程的目的：
引起注意、激发兴趣、介绍方法、 培养能力
2019-9-2
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数学？
数学有没有用？
数学不是没有用，而是不够用 现有的数学工具不能解决所有实际问题
怎么用？
点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距
离为a ，∠BAC=α ，∠ABC=β ，利用正弦定理得
出 d = asinα /sin (α +β ) 。需要指出的是，当
黑匣子位于较远处而 α 又较小时，α +β 可能非
常接近π （∠ACB接近于0），而sin（α +β ）又
恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会
物体
“从平静湖面的小船上仍一块石头至水中，湖面 是上涨还是下降？”
数学竞赛
…
2019-9-2
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数学模型无所不在
日常生活
投资
决策
各行各业
经济
金融
专业研究领域
物理
计算机研究
2019-9-2
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例1. 手机电话卡的选择
已知：全球通电话卡每分钟0.4元，每月 25元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用 月租金
不同任务量的串行服务队列
2019-9-2
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例4.万有引力定律的发现
开普勒三大定律
行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个 焦点上。
行星在单位时间内扫过的面积不变。
行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次 方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）。
牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律， 利用微积分方法推导出万有引力定律。
（请自己据此给出严格证明）
2019-9-2
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•例3 交通马路灯的宽在度 绿D是灯容易转测得换的，成问红题的灯关键时在 ，于L有
一个过渡的和状确L2定，态。其为中—确L定1—是L司亮，机还在一应发当段现将黄时灯L划亮间分及为判的两断段应黄：当L灯1 。 请分析黄刹灯车的应反应当时间亮内多驶过久的路。程 ，L2为刹车制动


d

a
2

d
/ d a
I2 I1
1
2019-9-2
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方法二
在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 C 做到，主要缺点是结果对照度测
A
α β
a
B
量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很
大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A