河北省衡水中学2019届高三上学期四调考试数学(理)试题

河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题正确的个数为

①梯形一定是平面图形；

②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知}{na是公差为1的等差数列，nS为}{na的前n项和，若484SS，则4a（ ）

A．25 B．3 C．27 D．4

3．已知双曲线)(122Rmxmy与抛物线yx82有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A．xy3 B．xy3 C．xy31 D．xy33

4．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条

A．40 B．60 C．80 D．120 5．函数||22)(xxxf的图象大致是（ ）

6．若23)42tan()42tan(xx，则xtan（ ）

A．2 B．2 C．43 D．43

7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到BA,两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（ ）

A．72 B．56 C．57 D．63

8．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．3696 B．4872 C．9648 D．4824

9．已知函数xxxf2sincos)(，下列结论不正确的是（ ）

A．)(xfy的图象关于点)0,(中心对称

B．)(xfy既是奇函数，又是周期函数

C．)(xfy的图象关于直线2x对称

D．)(xfy的最大值为23 10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）

A．92000 B．274000 C．81 D．128

11．已知xy42的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交xy42于BA,，060AFB，则||AB（ ）

A．674 B．374 C．4 D．3

12．已知0),2(0,)(12xaaxexxxxfx是减函数，且bxxf)(有三个零点，则b的取值范围为（ ）

A．),1[)22ln,0(e B．)22ln,0( C．),1[e D．),1[}22ln{e

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知向量nm,夹角为060，且1||m，10|2|nm，则||n .

14．已知直三棱柱111CBAABC中，1,2,12010CCBCABABC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为 .

15．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 种.

16．三棱锥ABCP中，PA平面ABC，ABC为正三角形，外接球表面积为12，则三棱锥ABCP的体积ABCPV的最大值为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．数列}{na满足61a，nnnaaa961（*Nn）.

（1）求证：数列}31{na是等差数列；

（2）求数列}{lgna的前999项和.

18.在四棱锥ABCDP，CDAB//，2,900PDCDBCABC，BDPAAB,4，平面PBC平面PCD，NM,分别是PBAD,中点.

（1）证明：PD平面ABCD；

（2）求MN与平面PDA所成角的正弦值.

19．在ABC中，内角CBA,,所对的边分别为cba,,，已知AcCacacbcoscos2222.

（1）求角A的大小；

（2）若ABC的面积4325ABCS，且5a，求CBsinsin.

20.如图，直线AQ平面，直线AQ平行四边形ABCD，四棱锥ABCDP的顶点P在平面上，7AB，3AD，DBAD，2,//,AQAQOPOBDAC，NM,分别是AQ与CD的中点.

（1）求证：//MN平面QBC；

（2）求二面角QCBM的余弦值.

21．如图，椭圆1C：)0(12222babyax的左右焦点分别为21,FF，离心率为23，过抛物线2C：byx42焦点F的直线交抛物线于NM,两点，当47||MF时，M点在x轴上的射影为1F，连接),MONO并延长分别交1C于BA,两点，连接AB，OMN与OAB的面积分别记为OMNS，OABS，设OABOMNSS.

（1）求椭圆1C和抛物线2C的方程；

（2）求的取值范围.

22．已知函数32ln)(23xaxxf的图象的一条切线为x轴.

（1）求实数a的值；

（2）令|)(')(|)(xfxfxg，若存在不相等的两个实数21,xx满足)()(21xgxg，求证：121xx.

河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试

数学（理）试题答案解析

【题号】1

【答案】C

【解题思路】

①由于梯形是有一组对边平行的四边形，易知两平行线确定一平面，所以梯形可以确定一个平面，故①对；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，比如等腰三角形ABC，ACAB，直线ACAB,与直线BC所成的角相等，而直线ACAB,不平行，故②错；

③两两相交的三条直线，比如墙角处的三条交线可以确定三个平面，故③对；

④如果两个平面有三个公共点，比如两平面相交有一条公共直线，如果这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故④错.

综上，选C.

【知识点、能力点】

考查空间直线与平面的位置关系，线线、面面的位置关系，以及确定平面的条件，并考查了举一反三的能力.

【题号】2

【答案】C

【解题思路】

∵}{na是公差为1的等差数列，484SS，

∴)21344(42178811aa

解得211a，则2713214a，故选C. 【知识点、能力点】考查等差数列的通项公式及其前n项和公式以及推理能力与计算能力.

【题号】3

【答案】A

【解题思路】

∵抛物线yx82的焦点为)2,0(

∴双曲线的一个焦点为)2,0(，∴411m，∴31m

∴双曲线的渐近线方程为xy3

所以A选项是正确的.

【知识点、能力点】考查抛物线的标准方程及几何性质、双曲线的标准方程及几何性质；并考查了推理能力与计算能力.

【题号】4

【答案】B

【解题思路】

由题意，从A到C最短路径有35C10条，由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，最短路径有624C条，

∴它可以爬行的不同的最短路径有60610条，所以B选项是正确的.

【知识点、能力点】考查排列组合中的组合问题，并考查了分析解决问题的能力.

【题号】5

【答案】B

【解题思路】

通过将所给函数)(xf转化成两个函数之差，通过在一个坐标系下画出2x和||2x的图象，通过图象之间的上下距离也就是函数之差判断选项. 【知识点、能力点】函数与方程思想、图象的平移变换、观察与分析能力.

【题号】6

【答案】C

【解题思路】

将题干所给等式利用tan两角和差公式打开，然后求出2tanx的值，再利用tan的二倍角公式求出xtan.

【知识点、能力点】公式应用能力、运算能力、三角恒等变换公式.

【题号】7

【答案】A

【解题思路】

先将两个全科老师用排列的方式分给语文一个，数学一个，然后再进行分组，最后分给两个学校，运用的是先分组后分人的排列组合模型.

【知识点、能力点】分析问题能力、逻辑思维能力、排列组合知识与运算能力.

【题号】8

【答案】D

【解题思路】

将三视图分成左右两部分观察，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式进行求解.

【知识点、能力点】空间想象能力、公式运用、锥体体积公式.

【题号】9

【答案】D

【解题思路】

A：)(2sincos)2(2sin)2cos()2(xfxxxxxf，正确； B：)(2sincos)(2sin)cos()(xfxxxxxf，为奇函数，周期函数，正确；

C：)(2sincos)(2sin)cos()(xfxxxxxf，正确；

D：]1,1[,22sin2sin2cossin332tttxxxxy

]1,1[,62'2tty，23934|31maxtyy，错误.

【知识点、能力点】三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值.

【题号】10

【答案】B

【解题思路】

设小圆柱体底面半径为cos5，所以高为sin55，)2,0(

)1(125),1,0(,sin),sin55()cos5(232tttVttV，

31),1)(13(125'tttV时，274000maxV，选B.

【知识点、能力点】空间想象能力，利用导数判断函数最值

【题号】11

【答案】B

【解题思路】

设)2,(),2,(2211xxBxxA，012xx，

因为QBQAkk，即12121122xxxx，整理化简得121xx，

2122122)22()(||xxxxAB，1||1xAF，1||2xBF，

代入余弦定理022260cos||||2||||||BFAFBFAFAB整理化简得：

31021xx，又因为121xx，所以311x，32x，