高中数学 第三章 指数函数和对数函数教案 北师大版必

1 第三章 指数函数和对数函数

§1正整数指数函数

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

(1)了解正整数指数函数模型的实际背景．

(2)了解正整数指数函数的概念．

(3)理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性．

2．过程与方法

让学生结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法．

3．情感、态度与价值观

通过本节的学习，进一步认识到数学的应用价值，用数学的眼光观察世界．

●重点难点

重点：正整数指数函数的概念及图像特征．

难点：正整数指数函数概念的理解．

通过实例，利用计算器画出两个正整数指数函数图像，加深对概念的理解，突破难点．

2

(教师用书独具)

●教学建议

1．对于问题1和问题2的学习，必须通过列表、描点、作图、计算器操作等步骤让学生体验数学研究的过程，体验数学实验、数学实践．

2．通过问题1的学习，还要让学生体会指数增长，初步感受“指数爆炸”的含义．

3．计算器的应用是新课标的一个特色，教材中出现“使用科学计算器可算得……”，学习中应适当地加以整合．

4．通过本节课的学习，让学生感受数学的应用以及对正整数指数函数背景的理解，归纳概括出正整数指数函数的定义．从具体问题中归纳出一种重要的数学模型，这种模型化的处理也是学生研究的一个特色．

●教学流程

创设情景，导入新课，通过生活实例激发学生的学习动机⇒启发诱导探求新知，让学生动手作简单的图像对深刻理解本节课的内容有着一定的促进作用，并完成例1及变式训练⇒巩固新知，反馈回授，引导学生在同一坐标系下画出指数函数的图像⇒归纳正整数指数函数的性质，完成例2及其变式训练

⇒进一步深化学习目标，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正

(见学生用书第35页)

课标解读 1.了解正整数指数函数模型的实际背景．

2．了解正整数指数函数的概念．(重点)

3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点)

4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)

3

正整数指数函数的概念

【问题导思】

某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．

1．你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数吗？

【提示】

分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8

细胞个数 2 4 8 16 32 64 128 256

2．你能用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系吗？

【提示】

3．请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式．

1．正整数指数函数

一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.

2．正整数指数函数的图像特点

前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．

3．指数型函数

把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数.

4 (见学生用书第35页)

正整数指数函数的定义

下列函数中一定是正整数指数函数的是( )

A．y＝(－4)x(x∈N＋) B．y＝(13)x(x∈N＋)

C．y＝2×3x(x∈N＋) D．y＝x3(x∈N＋)

【思路探究】 熟练掌握定义中的三个特征是解决本题的关键．

【自主解答】 y＝(－4)x的底数－4<0，不是正整数指数函数；y＝2×3x中3x的系数等于2，不是正整数指数函数；y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由正整数指数函数的定义知，只有y＝(13)x是正整数指数函数．

【答案】 B

1．正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．

2．要注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xa的区别．

若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为________．

【解析】 若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数a>0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.

【答案】 2

正整数指数函数的图像与性质

(1)画出函数y＝(13)x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；

(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．

【思路探究】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．

【自主解答】 (1)函数y＝(13)x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y＝(13)x(x∈N＋)是单调递减的； 5 (2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．

(1) (2)

1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．

2．当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．

(1)函数y＝(23)x，x∈N＋的图像是( )

A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线

C．一系列上升的点 D．一系列下降的点

(2)函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是( )

A．R B．N＋

C．[0，＋∞) D．不存在

【解析】 (1)因为正整数指数函数y＝(23)x，x∈N＋的底数23大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．

(2)虽然正整数指数函数y＝7x，x∈N＋在定义域N＋上单调递增，但是N＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．

【答案】 (1)D (2)D

正整数指数函数的应用

某种储蓄按复利计算利息，已知本金为a元，每期利率为r.

(1)写出本利和y(单位：元)关于存期x的函数关系式；

(2)如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．

【思路探究】 列出本利和随存期逐期变化的情况，总结变化过程便可得到函数关系式，再根据函数关系式求解第(2)小题．

【自主解答】 (1)已知本金为a元，每期利率为r，则 6 1期后的本利和为a＋a×r＝a(1＋r)元，

2期后的本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2元，

3期后的本利和为a(1＋r)3元，

……

x期后的本利和为a(1＋r)x元，

所以本利和y关于存期x的函数关系式为

y＝a(1＋r)x，x∈N＋.

(2)已知a＝1 000，r＝2.25%，x＝5，

所以y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55≈1 117.68(元)．

所以5期后的本利和约为1 117.68元．

1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．

2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．

已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量．(可以用计算器)

【解】 由题意知，镭原来质量为20克，如果把100年看成一个基数，那么每经过100年镭的质量变化如下：

100年后镭的质量为20×95.76%克；

200年后镭的质量为20×(95.76%)2克；

300年后镭的质量为20×(95.76%)3克；

……

x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．

∴y与x之间的函数关系式为

y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．

∴经过1 000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10＝12.967 95(克)． 7

(见学生用书第36页)

忽略实际问题中函数的定义域致误

一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%.

(1)试写出年产量y(万台)随年数x(年)变化的关系式，并写出其定义域；

(2)画出其函数图像．

【错解】 (1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是[0，＋∞)．

(2)

【错因分析】 本题错误的原因是没有注意自变量x的实际意义，错误地将定义域写成[0，＋∞)．

【防范措施】 解决此类问题首先应认真阅读题意，弄清自变量x的实际意义，再根据实际意义确定函数的定义域．

【正解】 (1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是{x|x≤10，x∈N＋}．

(2)

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1．一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫正整数指数函数，其中x是自变量，定义域为正整数集，图像是一些孤立的点，当a>1时，函数是递增的，当0

2．形如y＝N(1＋P)x的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，增长率为P，则对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.

3．正整数指数函数y＝ax(x∈N＋)从形式上与幂函数形式上的对比：

x a(α) 形式

指数函数y＝ax 指数 底数 幂

幂函数y＝xα 底数 指数 幂

(见学生用书第37页)

1．函数y＝5x，x∈N＋的值域是( )

A．R B．N＋

C．N D．{5,52,53,54，…}