参数方程

参数方程

几种常见曲线的参数方程

1．直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是00cossinxxtyyt (t为参数)．

2．圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是cossinxarybr其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为 x＝rcosα，y＝rsinα.

3．椭圆:中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：

(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是cossinxayb其中φ是参数．

(2)椭圆x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)的参数方程是cossinxbya其中φ是参数．

例1：直线 x＝1＋12t，y＝－33＋32t(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，求A、B的中点坐标。

解：把直线代入圆得：2231331622tt，∴t2－8t＋12＝0.∴t1＋t2＝8.∴t1＋t22＝4.

∴中点坐标为 x＝1＋12×4＝3，y＝－33＋32×4＝－3，∴中点坐标为(3，－3)．

例2：求直线 x＝1－12t，y＝32t，(t为参数)被曲线 x＝cosθ，y＝3sinθ，(θ为参数)所截得的弦长．

解：直线方程可化为3x＋y－3＝0，曲线方程可化为x2＋y23＝1.由 y＝－3x＋3，x2＋y23＝1，得x2－x＝0，

∴x＝0或x＝1.可得交点为A(0，3)，B(1,0)．∴|AB|＝1＋3＝2.

例3：已知抛物线C的参数方程为 x＝8t2y＝8t，(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与

圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，求r的值．

解：将抛物线C的参数方程化为普通方程得y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，又该直线与圆相切，所以圆心(4,0)到该直线的距离等于圆的半径，即r＝22＝2.

1.在直线的参数方程 x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)中t的几何意义是表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的模且在直线上任意两点P1、P2的距离为|P1P2|＝|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2.

2．参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视． 例4：已知两曲线参数方程分别为 x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θ＜π)和 x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为______．

解：由 x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θ＜π)得x25＋y2＝1(y≥0)，由 x＝54t2，y＝t(t∈R)得x＝54y2，∴5y4＋16y2－16＝0，

解得y2＝45或y2＝－4(舍去)，则x＝54y2＝1，又y≥0，得交点坐标为251,5。

本例中条件“θ∈[0，π)，和 x＝54t2y＝t”若变为“θ∈R， x＝－1＋ty＝2t”(t为参数)试判断两曲线的位置关系．

解：由条件知，x25＋y2＝1及y＝2(x＋1)，因为直线经过定点(－1,0)，而(－1,0)在椭圆的内部故直线与椭圆相交，即两曲线必相交．

例5：求直线 x＝1＋2t，y＝1－2t(t为参数)被圆 x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)截得的弦长．

解：把直线方程 x＝1＋2t，y＝1－2t化为普通方程为x＋y＝2.将圆 x＝3cosα，y＝3sinα化为普通方程为x2＋y2＝9.

圆心O到直线的距离d＝22＝2，∴弦长L＝2R2－d2＝29－2＝27.

消去参数的方法一般有三种

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；

(2)利用三角恒等式消去参数；

(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体消去参数．

将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.

例6：若直线l1： x＝1－2t，y＝2＋kt(t为参数)与直线l2： x＝s，y＝1－2s(s为参数)垂直，则k＝________.

解：直线l1的方程为y＝－k2x＋4＋k2，斜率为－k2；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.∵l1与l2垂直，∴(－k2)×(－2)＝－1⇒k＝－1.

例7：已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6，求直线l的参数方程．

解：直线l的参数方程为 x＝1＋tcosπ6y＝1＋tsinπ6故 x＝1＋32ty＝1＋12t(t为参数)．

例8：已知直线l的参数方程为 x＝3＋12t，y＝7＋32t(t为参数)，曲线C的参数方程为 x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长． 解：因为曲线C的普通方程为x2＋y2＝16，把 x＝3＋12ty＝7＋32t代入方程x2＋y2＝16，得t2＋83t＋36＝0，

则t1＋t2＝－83，t1t2＝36，所以线段AB的长为|AB|＝|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝43.

根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论

(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；(2)定点M0是线段M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)设线段M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝t1＋t22(由此可求|M2M|及中点坐标).

例9：在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆 x＝5cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)的右焦点，且与直线 x＝4－2t，y＝3－t(t为参数)平行的直线的普通方程．

解：由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．

将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y＝12(x－4)，

即x－2y－4＝0.

例10：已知点P(x，y)在曲线x2a2＋y2b2＝1，且a2＋b2≤3，求x＋y的最小值.

解：设x＝acost，y＝bsint，(0≤t≤2π)，则x＋y＝acost＋bsint＝a2＋b2cos(t－α)，因此，当a2＋b2＝3，cos(t－α)＝－1时，x＋y取得最小值－3.

例11：已知圆的极坐标方程为ρ2＋4ρcos(θ＋π3)－5＝0. (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋3y的最大值和最小值．

解：(1)∵ρ2＋4ρcos(θ＋π3)－5＝0，∴ρ2＋2(ρcosθ－3ρsinθ)－5＝0.∴x2＋y2＋2x－23y－5＝0，

即(x＋1)2＋(y－3)2＝9.∴圆的参数方程为 x＝－1＋3cosαy＝3＋3sinα(α为参数)．（2）利用圆的参数方程可得：x＋3y＝33sinα＋3cosα＋2＝6sin(α＋π6)＋2，∴x＋3y的最大值为8，最小值为－4.

例12：求直线 x＝－2＋2t，y＝－2t被曲线 x＝1＋4cosθ，y＝－1＋4sinθ截得的弦长．

解：直线 x＝－2＋2t，y＝－2t的普通方程为x＋y＋2＝0，曲线 x＝1＋4cosθ，y＝－1＋4sinθ，即曲线是圆心为(1，－1)半径为4的圆．则圆心(1，－1)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|1－1＋2|12＋12＝2，设直线被曲线截得的弦长为t，

则t＝242－22＝214，∴直线被曲线截得的弦长为214.

例13：一条直线的参数方程是123215xtyt(t为参数)，另一条直线的方程是x－y－23＝0，求两直线的交点与点(1，－5)间的距离．

解：将方程组代入直线方程x－y－23＝0得1＋12t＋5－32t－23＝0，解得t＝43.所以交点为(1＋23，1)，与点(1，－5)间的距离为1＋23－12＋1＋52＝43.

例14：在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为 x＝sinα，y＝2cos2α－2(α为参数)，曲线D为极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝－322.

(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)判断曲线C与曲线D的交点个数，并说明理由． 解：(1)由已知得 x＝sinα，y＝－2sin2α，消去参数α，得曲线C的普通方程为x2＝－y2，x∈[－1,1]．

(2)由ρsin(θ－π4)＝－322得曲线D的直角坐标方程为x－y－3＝0，由 x－y－3＝0，x2＝－12y消去y，得2x2＋x－3＝0，解得x＝－32(舍去)或x＝1.当x＝1时，y＝－2.故曲线C与曲线D只有一个交点．

例15：已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，直线l的参数方程是35452xtyt(t为参数)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．

解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsinθ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y＝－43(x－2)．令y＝0，得x＝2，即M点的坐标为(2,0)．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r＝1，则|MC|＝5，∴|MN|≤|MC|＋r＝5＋1，即|MN|max＝5＋1.

例16：在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝4－2t，y＝t(t为参数)，椭圆C的方程为 x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数，θ∈R.)试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．

解：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0，设P(2cosθ，sinθ)，点P到直线l的距离为d＝|2cosθ＋2sinθ－4|5＝1422sin45，所以当sin(θ＋π4)＝1时，d有最小值．此时sin44 sincos44

2cossin442，cosθ＝cos44＝cos4cos π4＋sin4sinπ4＝22，所以点P的坐标为22,2从而椭圆C上到直线l的距离最小的点P的坐标为22,2.

例17：经过点M(10，0)作直线l，交曲线C： x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)于A，B两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求直线l的方程．