参数方程

第二节 参数方程

一、基础知识

1．曲线的参数方程

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．

2．参数方程和普通方程的互化

(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．

(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程 x＝ft，y＝gt.

3．直线、圆、椭圆的参数方程

(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．

直线参数方程的标准形式的应用

过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α.若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则

①|M1M2|＝|t1－t2|.

②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝t1＋t22，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝t1＋t22.

③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.

④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.

(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为 x＝x0＋rcos θ，y＝y0＋rsin θ(θ为参数)．

(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为 x＝acos φ，y＝bsin φ (φ为参数)．

考点一 参数方程与普通方程的互化

[典例] 已知直线l的参数方程为 x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为

 x＝4cos θ，y＝4sin θ(θ为参数)．

(1)求直线l和圆C的普通方程； (2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

[解] (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4， 解得－25≤a≤25.即实数a的取值范围为[－25，25 ]．

[解题技法] 将参数方程化为普通方程的方法

将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．

[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．

[题组训练]

1．将下列参数方程化为普通方程．

(1) x＝12et＋e－t，y＝12et－e－t(t为参数)．

(2) x＝2tan2θ，y＝2tan θ(θ为参数)．

解：(1)由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，

所以(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.

(2)因为曲线的参数方程为 x＝2tan2θ，y＝2tan θ(θ为参数)， ①②

由y＝2tan θ，得tan θ＝y2，代入①得y2＝2x.

2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

解：圆的半径为12，

记圆心为C)0,21(，连接CP，则∠PCx＝2θ，

故xP＝12＋12cos 2θ＝cos2θ，

yP＝12sin 2θ＝sin θcos θ.

所以圆的参数方程为 x＝cos2θ，y＝sin θcos θ(θ为参数)．

考点二 参数方程的应用 [典例] (2019·广州高中综合测试)已知过点P(m,0)的直线l的参数方程是 x＝m＋32t，y＝12t(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l和曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝2，求实数m的值．

[解] (1)消去参数t，可得直线l的普通方程为x＝3y＋m，即x－3y－m＝0.因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos

θ.

可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即x2－2x＋y2＝0.

(2)把 x＝m＋32t，y＝12t代入x2－2x＋y2＝0，得t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0.

由Δ>0，得－1

因为|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝2，所以m2－2m＝±2，解得m＝1±3.

因为－1

[解题技法]

1．应用直线参数方程的注意点

在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．

2．圆和圆锥曲线参数方程的应用

有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．

[题组训练]

1．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝3cos α，y＝sin α(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin)4(＝2.

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．

解：(1)曲线C1的普通方程为x23＋y2＝1，

由ρsin)4(＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

(2)设点P的坐标为(3cos α，sin α)， 则点P到C2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝2sinα＋π3－22，

当sin)3(＝－1，即α＋π3＝－π2＋2kπ(k∈Z)，α＝－5π6＋2kπ(k∈Z)时，所求距离最大，最大值为22，

此时点P的坐标为)21,23(.

2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x＝2cos θ，y＝4sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为 x＝1＋tcos α，y＝2＋tsin α(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

解：(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.

当cos α≠0时，直线l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，

当cos α＝0时，直线l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，

所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－42cos α＋sin α1＋3cos2α，

故2cos α＋sin α＝0，

于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.

考点三 极坐标、参数方程的综合应用

[典例] (2018·河北保定一中摸底)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 x＝－5＋2cos t，y＝3＋2sin t(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为22ρcos)4(＝－1.

(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．

[解] (1)由 x＝－5＋2cos t，y＝3＋2sin t消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2. 由22ρcos)4(＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，

则点A，B的极坐标分别为(2，π＋2kπ)(k∈Z)，)22,2(k(k∈Z)．

设点P的坐标为(－5＋2cos α，3＋2sin α)，

则点P到直线l的距离d＝|－5＋2cos α－3－2sin α＋2|2＝－6＋2cosα＋π42，

当cos)4(＝1，即α＋π4＝2kπ(k∈Z)，α＝－π4＋2kπ(k∈Z)时，点P到直线l的距离取得最小值，所以dmin＝42＝22，又|AB|＝22，

所以△PAB面积的最小值S＝12×dmin×|AB|＝12×22×22＝4.

[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略

(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解．

(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．

(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．

[题组训练]

1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线C1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C2：ρ＝34sinπ6－θ，θ∈[0,2π]．

(1)求曲线C1的一个参数方程；

(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．

解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，所以(x－2)2＋y2＝1.

令x－2＝cos α，y＝sin α，

所以C1的一个参数方程为 x＝2＋cos α，y＝sin

α(α为参数)．

(2)因为C2：4ρsinπ6cos θ－cosπ6sin θ＝3，

所以4)2321(yx＝3，即2x－23y－3＝0，

因为直线2x－23y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，

所以圆心到直线的距离为d＝|4－0－3|22＋－232＝14，

所以|AB|＝2 1－142＝2×154＝152.