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参数方程

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基础梳理

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数 x＝ft，y＝ft，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．常见曲线的参数方程的一般形式

(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．

(2)圆的参数方程 x＝rcos θ，y＝rsin θ(θ为参数)．

(3)圆锥曲线的参数方程

椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为 x＝acos θ，y＝bsin θ(θ为参数)．

双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为 x＝asec φ，y＝tan φ(φ为参数)．

抛物线y2＝2px的参数方程为 x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)．

双基自测

1．若直线 x＝1－2t，y＝2＋3t(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.

2．二次曲线 x＝5cos θ，y＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．

解析 题中二次曲线的普通方程为x225＋y29＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0)

3．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为 x＝5cos θ，y＝sin θ(0≤θ＜π)和 x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________．

解析 由 x＝5cos θ，y＝sin θ(0≤θ＜π)得，x25＋y2＝1(y≥0)由 x＝54t2，y＝t(t∈R)得，x＝54y2，∴5y4＋16y2－16＝0.

解得：y2＝45或y2＝－4(舍去)．

则x＝54y2＝1又θ≥0，得交点坐标为1，255.答案 1，255

考向一 参数方程与普通方程的互化

【例1】►把下列参数方程化为普通方程：

(1) x＝3＋cos θ，y＝2－sin θ； (2) x＝1＋12t，y＝5＋32t.

[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ；

(2)代入消元法消去t.

解 (1)由已知 cos θ＝x－3，sin θ＝2－y，由三角恒等式cos2 θ＋sin2θ＝1,

可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．

(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋32t中，

得y＝5＋32(2x－2)，即3x－y＋5－3＝0就是它的普通方程．

参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围． 【训练1】 (2010·陕西)参数方程 x＝cos α，y＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．

解析 由 x＝cos α，y＝1＋sin α，得  x＝cos α， ①y－1＝sin α， ②

①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.

答案 x2＋(y－1)2＝1

考向二 直线与圆的参数方程的应用

【例2】►已知圆C： x＝1＋cos θ，y＝sin θ(θ为参数)和直线l： x＝2＋tcos α，y＝3＋tsin α(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．

(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l距离的最小值；

(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

[审题视点] (1)求圆心到直线l的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.

解 (1)当α＝2π3时，直线l的直角坐标方程为3x＋y－33＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为3－1.

(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋3sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin2α＋π6≥34，即sinα＋π6≥32或sin

α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sinα＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2.

如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程． 【训练2】 已知直线l的参数方程为 x＝1＋t，y＝4－2t(参数t∈R)，圆C的参数方程为 x＝2cos θ＋2，y＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．

解 由 x＝1＋t，y＝4－2t消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，

由 x＝2cos θ＋2，y＝2sin θ消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，

所以所求弦长为2 22－2552＝855.

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参数方程化为普通方程

参数方程化为普通方程

参数方程化为普通方程

参数方程是将一些曲线的坐标表示为与参数相关的方程。普通方程是一种将坐标表示为一个或多个变量的代数方程。在一些情况下，将参数方程转化为普通方程可以更方便地描述和分析曲线。

为了将参数方程化为普通方程，我们需要找到参数方程中的参数之间的关系，并尝试消去参数，以便得到仅包含自变量和因变量的方程。

下面我将以一些简单的参数方程为例，来详细说明如何将其转化为普通方程。

例1：将参数方程x=3t，y=2t+1转化为普通方程。

解：为了将参数t消去，我们需要找到x和y之间的关系。根据已知，根据x=3t，我们可以得到t=x/3、将这个t代入y=2t+1中，我们得到y=2(x/3)+1=(2/3)x+1、所以普通方程为y=(2/3)x+1

例2：将参数方程x = cos t，y = sin t转化为普通方程。

解：根据已知，我们可以得到x^2 + y^2 = (cos t)^2 + (sin t)^2

= 1、所以普通方程为x^2 + y^2 = 1,这是单位圆的方程。

例3：将参数方程x = a cos t，y = b sin t转化为普通方程。

解：根据已知，我们可以得到(x/a)^2 + (y/b)^2 = (cos t)^2 +

(sin t)^2 = 1、所以普通方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1,这是一个椭圆的方程，其中a表示椭圆在x轴上的半轴长度，b表示椭圆在y轴上的半轴长度。

上面的例子仅仅是参数方程转化为普通方程的一些基本方法，实际上，参数方程的形式多种多样，转化为普通方程的方法也会有所不同。有时可能需要使用微积分的知识，通过导数和微分方程的求解来将参数方程转化为普通方程。

总结起来，将参数方程转化为普通方程的关键是找到参数之间的关系，并尝试消去参数，最终得到仅包含自变量和因变量的方程。对于更复杂的参数方程，可能需要更高级的数学工具来完成转化。

参数方程

参数方程

用数学术语来说，参数方程式类似于函数：它们由指定集合中的多个数字组成，这些数字称为参数或自变量，它们确定因变量的结果。例如，在运动学中，参数通常是“时间”，而等式的结果是速度，位置等。

一般来说，在平面直角坐标系中，如果曲线上任何一点的坐标x和y是某个变量T的函数：

对于每个T的允许值，由方程组确定的点（x，y）都位于该曲线上，然后将该方程称为曲线的参数方程，与变量x和y相关联的变量t为称为参数，参数的缩写。相对而言，直接给出点坐标之间关系的方程式称为普通方程式。

曲线的极坐标参数方程= f（t），= g（t）。

圆的参数方程x = a + r cos y = b + r sin（∈[0,2））（a，b）是中心坐标，r是圆的半径，是参数，并且（ x，y）是通过点的坐标

椭圆x = a cos y = b sin（∈[0,2））的参数方程a是长轴，b是短轴，是长轴[2]

椭圆形

椭圆形

双曲线的参数方程为x =割线（割线）和y = b tan，其中y是实半轴长度，是虚半轴长度

抛物线x = 2pt ^ 2 y = 2pt P的参数方程表示从焦点到Directrix的距离作为参数

直线x = x'+ tcosa y = y'+ tsina，x'，y'和A的参数方程表示直线

经过（x'，y'），倾斜角为a，t为参数

或x'+ ut，y = y = x + n（t∈R）'，'在固定点（x'，'y）之后的yx线，u，v线性向量的方向d =（u，v ）

圆渐开线x = r（cos + phi正弦phi phi）y = r（正弦phi phi余弦phi）（phi∈[0，2 PI））r为基础圆phi的半径作为参数。

摆线参数方程x = r（-sin）y = r（1-cos）是圆的半径，是圆的半径通过的角度。当theta从0变为2 PI时，移动点将绘制摆线的一侧，称为圆弧。

高中数学参数方程知识点大全

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同学，下面就是超全的高中数学参数方程知识点啦！

一、参数方程的基本概念。

1. 啥是参数方程。

简单来说呢，一般的方程是直接表示两个变量（比如x和y）之间的关系。但参数方程就不一样啦，它是通过引入一个额外的变量，这个变量就叫参数（通常用t之类的字母表示），然后分别用这个参数来表示x和y。就好像x = f(t)，y = g(t)，这样x和y的值就随着参数t的变化而变化啦。

举个例子，对于直线y = 2x+1，它的参数方程可以写成x = t，y = 2t + 1（这里t就是参数）。

2. 参数的意义。

参数是有实际意义的哦。比如说在描述物体运动轨迹的时候，参数可能表示时间。如果一个点在平面上运动，x坐标和y坐标随着时间t的变化而变化，那这个t就是很有意义的参数，它能让我们知道这个点在每个时刻的位置。

二、常见曲线的参数方程。

1. 直线的参数方程。

对于过点(x_0,y_0)，倾斜角为α的直线。它的参数方程一般形式是<=ft{begin{array}{l}x=x_0+tcosα y = y_0+tsinαend{array}right.（这里t是参数）。

这个参数t的几何意义可重要啦。| t|表示直线上的动点(x,y)到定点(x_0,y_0)的距离。如果t>0，动点在定点的沿直线方向的一侧；如果t < 0，动点在定点的另一侧。

2. 圆的参数方程。 对于圆心在(a,b)，半径为r的圆，它的参数方程是<=ft{begin{array}{l}x=a +

rcosθ y=b + rsinθend{array}right.（这里θ是参数，θ∈[0,2π)）。

你可以把θ想象成是一个角度，当θ从0变到2π的时候，(x,y)这个点就绕着圆转了一圈，把圆上所有的点都遍历了一遍呢。

3. 椭圆的参数方程。

椭圆frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)的参数方程是<=ft{begin{array}{l}x=acosθ y = bsinθend{array}right.（这里θ是参数，θ∈[0,2π)）。

参数方程的概念

参数方程的概念

1

曲线的参数方程

1．参数方程的概念

(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝f(t)y＝g(t)①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

(2)参数的意义：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．

2．参数方程与普通方程的区别与联系

(1)区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有x，y两个变量；参数方程x＝f(t)y＝g(t)(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有三个变量t，x，y，其中x和y都是参数t的函数．

(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t的一个值，就可以求出唯一对应的x，y的值．

这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．

1．下列方程中可以看作参数方程的是( )

A．x－y－t＝0 B．x2＋y2－2ax－9＝0

C.x2＝t2y＝2t－1 D．x＝sin θy＝cos θ

解析：选D.对于A：虽然含有参数t，但它表示的是直线系方程，直接给出了x，y之间的关系，是普通方程；对于B：虽然含有参数a，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C：x2＝t2不能把x表示成参数t的函数，也不是参数方程，只有D选项满足参数方程的定义．

2．点M(2，y0)在曲线C：x＝2ty＝t2－1，(t为参数)上，则y0＝________．