等差、等比数列知识点总结

1 一、任意数列的通项na与前n项和nS的关系：)2()1(11nSSnSannn

二、等差数列

1、等差数列及等差中项定义

daann1、211nnnaaa。

2、等差数列的通项公式：dnaan)1(1、dknaakn)(

当0d时，na是关于n的一次式；当0d时，na是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：2)(1nnaanS dnnnaSn2)1(1

4、等差数列}{na中，若qpnm，则qpnmaaaa

5、等差数列}{na的公差为d，则任意连续m项的和构成的数列mS、mmSS2、mmSS23、……仍为等差数列。

6、BAaAdBnAnSn122，，

7、在等差数列}{na中,有关nS的最值问题

利用nS（0d时，nS是关于n的二次函数）进行配方（注意n应取正整数）

三、等比数列

1、等比数列及等比中项定义：

qaann1、112nnnaaa

2、等比数列的通项公式： 11nnqaa knknqaa

3、等比数列的前n项和公式：当1q时，1naSn

当1q时，qqaSnn1)1(1 qqaaSnn11

4、等比数列}{na中，若qpnm，则qpnmaaaa

5、等比数列}{na的公比为q，且0nS,则任意连续m项的和构成的数列mS、mmSS2、mmSS23、……仍为等比数列

6、0BABAqSnn，则

四、求数列}{na的最大的方法：

1-1nnnnaaaa

五、求数列}{na的最小项的方法：

1-1nnnnaaaa

例：已知数列}{na的通项公式为：32922nnan，求数列}{na的最大项。

例：已知数列}{na的通项公式为：nnnna10)1(9，求数列}{na的最大项。

2 数列求和方法总结

1、公式法

（1）等差数列

（2）等比数列

2、分组求和法

类型：数列{an}的通项公式形如an=bn±cn，而{bn}是等差数列，{cn}是等比数列。

例4：计算 的值

练习：求数列的前n项和Sn：

3、裂项相消法

常见裂项技巧：

(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，，，…，，…；，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．()nnnnn11)1)1(1111qqqaaqqaqnaSnnn4)]1([...321)4(23333nnn6)12)(1(...321)3(2222nnnndnnnanaaSnn2)1(2111111+3+5++(2-1)2482nn;111)1(1)1(nnnn;111)2(nnnn);121121(21)12)(12(1)3(nnnn);121121(211)12)(12(11)12)(12()2()4(2nnnnnnn

3 例5、化简

练习

4、倒序相加法

例5、

例6、1、已知2()22xxfx，

设123()()()()nnSffffnnnn，求nS

5、错位相减法

常应用于形如{an·bn}的数列求和,其中{an}为等差数列, {bn} 为等比数列.

例7、

练习：

练习：数列}{na的前n项和为nS，11a，121nnSa（1n）

（1）求数列}{na的通项公式na

（2）等差数列}{nb的各项为正数，且52b，又11ba，22ba，33ba成等比数列，求nb

（3）求数列}{nnba的前n项和nT .11341231121nn.)12()12(1751531311的值求nnSn...332211nnnaaaaaa特点：。89sin88sin3sin2sin1sin222221221-328252nnnS）（12)21(1-3)21(82152nnnS）（;321132112111)2(n12413410474)3(nn）（

4 数列通项公式方法总结

1、公式法

等差数列的通项公式：

dnaan)1(1

dmnaamn)(

等比数列的通项公式：

11nnqaa

mnmnqaa

2、累加法

例1、

例2、

例3、

3、累乘法

例4、

练习：

))((1Nnnfaann类型：nnnaanaa求，,11211nnnaanaa求，,12311nnnnaaaa求，,1311))((1Nnnfaann类型：nnnnaaaa求，,32111111,,nnnnaaaan求nnaS求、利用411 ,=1,2nnnSnaSSn431,nnnSa例：求))(1(31*NnaSnn练习：.}{,,3,2,1,S311Sn}{)4(432n11n的通项公式的值及数列求，，且项和为的前、数列nnnaaaanaaa

5 5、取倒数

例6、已知数列{an}中，a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.

6、取对数

例7、

7、构造法

主要用于形如an+1=c an+d的已知递推关系式求通项公式。

例8、a1=3,an+1=2an+3,求an

1nnnpaapqa类型：nnnnaaaaa求，、例,1225111pnnaAa类型：nnnaaaa求,2,1311111111,23 (2)691,nnnnnnaaaaaaaa练习：(1)，求，求111,32nnnnaaaaa练习：，求1122,1,nnnnaaaa求11123,1,nnnnaaaa求111,,42(),1(1)2,;(2),.2nnnnnnnnnnnnasnsanNabaabacc(5)、数列中是它的前和并且满足设求证是等比数列设求证数列是等差数列11(6)3,2(2)..nnnnnnnaaansassna、已知数列的首项通项与前项和之间满足求数列的通项公式

6 8、特征根法 形如(其中p,q为常数)型

设pq，为实数，，是方程20xpxq的两个实根，数列{}nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（34n，，…）．

（1）证明：p，q；

（2）求数列{}nx的通项公式；

（3）若1p，14q，求{}nx的前n项和nS．

111296,1,2,nnnnaaaaaa例、求11121044,1,2,nnnnaaaaaa例、求121211,()nnnnnxxaAxBxxaABnx方法总结：若方程有两个根，则 若方程只有一个根，则+111228,1,2,nnnnaaaaaa练习、求111269,1,2,nnnnaaaaaa练习、求

7 1.若 ，求

11231{}1,23...(1)(2),__[1_.]__nnnnaaaaaanana例已知数列满足则123123...(1)(2)nnaaaanan1123223...(2)(3)nnaaaanan11(1)(3)nnnaanan1(3)nnanna1 , 1

123, 22nnann【例2】已知数列}{na、}{nb满足11a，32a，)(2*1Nnbbnn，nnnaab1。（1）求数列}{nb的通项公式；（2）求数列na的通项公式；（3）数列}{nc满足)1(log2nnac)(*Nn，求13352121111nnnScccccc。【解】（1）)(2*1Nnbbnn，又121312baa。所以数列}{nb是首项1b2，公比2q的等比数列。故112nnnbbq。（2）*12()nnnaanN112211()()...()nnnnnaaaaaaaa122121122221nnnn。（3）nacnnnn2log)112(log)1(log222，212111111()(21)(21)22121nnccnnnn13352121111nnnScccccc111111(1)23352121nn11(1)22121nnn。