等比数列的性质总结
1. 定义
等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。常数称为等比数列的公比。等比数列通常用$a$表示首项，$q$表示公比。
2. 性质
2.1 前项与后项的比
在等比数列中，任意一项与其后一项的比等于公比$q$。即对于数列中的第$n$项和第$n+1$项，有以下关系：
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$
2.2 通项公式
等比数列的通项公式可以通过求解递推关系推导得到。假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则第$n$项为：
$$a_n = a \cdot q^{n-1}$$
2.3 任意项与首项的比
在等比数列中，任意项与首项的比等于公比的$n-1$次方。即对于数列中的第$n$项和第1项，有以下关系：
$$\frac{a_n}{a} = q^{n-1}$$
2.4 前$n$项和公式
等比数列前$n$项和可通过求解部分和公式得到。假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则前$n$项和为：
$$S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$$
2.5 无穷项和
当公比$|q| < 1$时，等比数列的无穷项和存在并为有限数。无穷项和的计算公式为：
$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - q}$$
3. 应用及例题
等比数列的性质在数学问题的解答中具有广泛应用。需要求解等比数列中的未知项、前$n$项和及判断等。
例题1： 在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？
在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？
解答： 根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到： 根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：
第33课 等比数列的概念和性质
一、课前预习
1．知识及考试要求
等比数列（C）
2．知识回顾：
（1）________________________________________________________________叫等比数列．
______________________叫公比．用数学符号表示为____________________________．
（2）如果________________________，那么G叫做a与b的等比中项．
（3）等比数列的通项公式是an＝____________________．
（4）等比数列的前n项和的公式是Sn＝_____________________＝_____________________．
（5）在等比数列{an}中，m，n，p，q∈N*，则“m＋n＝p＋q”是“aman＝apaq”的________条件．
3．基础题回顾:
(1)在等比数列{an}中，
①若a2＝18，a4＝8，则a1，q的值分别是_______________．
②若a3＝32，S3＝92，则an＝__________________________．
③若a1＝－4，q＝－12，an＝－164，则n＝______，Sn＝__________．
(2)数列{an}是等比数列，m，n，p成等差数列，若am＝4，an＝6，则ap的值是 ．
(3)已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1b2＝_______．
(4)数列{an}是等比数列，已知a1＋a2＋a3＝－3，a1a2a3＝8，则an＝_______________．
(5)在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，则n的值为 ，公比q＝ ．
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列前n项和公式 学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
知识点一 等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、公比与末项
求和公式 Sn＝ a11－qn1－qq≠1，na1q＝1 Sn＝ a1－anq1－qq≠1，na1q＝1
知识点二 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，S偶S奇＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝a1＋a2n＋1q1－－q＝a1＋a2n＋21＋q(q≠－1)．
1．等比数列前n项和Sn不可能为0.( × )
2．若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.( √ )
3．若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝1－an1－a.( × )
4．若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．( √ ) 2 / 14
一、等比数列前n项和公式的基本运算
例1 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
解 (1)由题意知 a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，
解得 a1＝5，q＝5或 a1＝180，q＝－56.
《等比数列》 讲义
一、等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，32，就是一个等比数列，其公比 q ＝ 2。
等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
二、等比数列的性质
1、 等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G
叫做 a 与 b 的等比中项。根据等比数列的定义，有 G² ＝ ab ，所以 G
＝ ±√（ab) 。
2、 通项公式的推广
an ＝ am×q^（n m) （m，n 为正整数）
3、 若 m ＋ n ＝ p ＋ q （m，n，p，q 为正整数），则 am×an ＝
ap×aq 。 例如，在等比数列中，若 a3×a7 ＝ 16 ，a4 ＋ a6 ＝ 10 ，因为 3 ＋
7 ＝ 4 ＋ 6 ，所以 a3×a7 ＝ a4×a6 ＝ 16 ，联立 a4 ＋ a6 ＝ 10 ，可解出
a4 ＝ 2 ，a6 ＝ 8 或 a4 ＝ 8 ，a6 ＝ 2 ，从而求出公比 q 。
4、 等比数列的前 n 项和公式
当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当 q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／ （1 q) 。
三、等比数列的判定方法
1、 定义法
若 an ／ an 1 ＝ q （n ≥ 2，q 为常数且 q ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
2、 等比中项法
若 an² ＝ an 1 × an ＋ 1 （n ≥ 2，an 1 ，an ，an ＋ 1 ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
3、 通项公式法
若 an ＝ c×q^n （c，q 为非零常数），则数列{an}为等比数列。
四、等比数列的应用
1、 经济领域
