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压缩感知技术概况与学习心得一、数学知识学习压缩感知课程需要一些数学基础，比如范数理论和凸优化问题。
在矩阵论课上，老师将压缩感知作为范数理论的例子进行讲解。
Ax=b，A是系统模型，b是观测值，当A是满秩方阵时，x有唯一解。
当A为胖矩阵，即b的维数小于x时，方程有无穷多组解，在实际应用中我们希望的是唯一解，所以加个0范数的约束条件以得到唯一解，在一定条件下0范数问题又等价于1范数问题，将原问题转化为一个优化问题。
通过查资料了解到什么是凸优化问题。
若对于以下优化问题：若目标函数f(x)是凸函数且可行集R是凸集，则称这样的问题为凸优化问题这个也可以换一种更一般的表达方式：对于以下优化问题如果目标函数f(x)和共l个约束函数gi(x)都是凸函数，则称这样的问题为凸优化问题。
凸函数的定义：对于(x)是定义在某凸集（非空的，空集也被规定为凸集）上的函数，对于凸集中的任意两点x1和x2，若f[μx1+(1-μ)x2]<=μf(x1)+(1-μ)f(x2)则称函数f(x)为凸函数。
直观几何表示：也就是说两点对应的函数值f(x1)和f(x2)的之间的连（μf(x1)+(1-μ)f(x2)）大于等于相应的（即同一个μ值）两点之间连线（μx1+(1-μ)x2）所对应的函数值f[μx1+(1-μ)x2]。
这其实应叫下凸。
如果把上面不等式中的等号去掉，即f[μx1+(1-μ)x2]<μf(x1)+(1-μ)f(x2) ，其中0<μ<1则称f(x)为严格凸函数。
二、问题描述从物理世界获得的模拟信号无法直接应用在数字世界的计算机上，采样是将模拟量转换为数字量的必须步骤，奈奎斯特采样定理是指导采样过程的阶段性理论，之所以说它有阶段性，是因为已经出现了更适合信息技术发展的新理论—压缩感知。
如果信号的带宽很高，例如雷达系统相关的射频信号，根据传统采样定理，采样频率必须高于信号最高频率的二倍，而实际中没有采样率足够高的线路系统与之匹配，导致采集的信号带宽远低于实际信号的带宽。
从奈奎斯特采样到压缩感知拓展教学方法
盛志超;方勇;徐强荣;余鸿文;黄知雨
【期刊名称】《电气电子教学学报》
【年(卷),期】2024(46)1
【摘要】从“信号与系统”到“数字信号处理”,采样定理都是重要的教学内容。
但是在工程应用中,产生大量数据造成存储空间的极大浪费,而压缩感知突破奈奎斯特采样定理的限制,能够实现远低于奈奎斯特频率的采样。
为适应新工科背景下的教学改革,让学生接触前沿研究成果,压缩感知被引入作为传统奈奎斯特采样定理教学的补充和拓展,取得良好的教学效果。
【总页数】6页(P164-169)
【作者】盛志超;方勇;徐强荣;余鸿文;黄知雨
【作者单位】上海大学通信与信息工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】G642
【相关文献】
1.基于采样值随机压缩矩阵核空间的亚奈奎斯特采样重构算法
2.亚奈奎斯特采样雷达的运动目标回波信号的快速重构
3.高速中高精度奈奎斯特采样ADC结构综述
4.基于非正交波形的超奈奎斯特采样
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浅谈压缩感知根据传统的奈奎斯特采样定律，采样速率必须大于原始信号最高频率的两倍才能保证完全重建原始信号，但是最近十几年信号的带宽和最高频率都有了比较大的变化，这样一来就要求采样速率和处理速度要更高，如此一般，对于高分辨率的信号数据的采样、传输、存储就是一个比较大的问题。
这个问题先放着，我们看另一个问题，我们都知道信息论可以指导我们对数据进行压缩，压缩的前提是数据的信息之中存在着冗余，所谓信息的冗余，在信息论当中指的就是可以确定，或者可以根据其他信息推测出的数据，如果能将这种数据全部去除，只保留无法根据其他信息确定的信息，那么就实现了数据的压缩。
于是有人就在考虑，高速采样之后进行数据压缩，太浪费系统资源了，不如我们先处理一下这个原始的高速宽带信号，在保证信息熵无损或可以接受的范围的情况下，建立一个新的信号，之后对新的信号进行低速采样，同时还能重建原始信号。
后来这种想法经过发展，就成为了目前的压缩感知，或者更通俗的说法，就是压缩采样。
那现在我们来看一下，实现压缩感知需要的步骤和要求是什么。
前提，信号要有稀疏性。
首先，需要将原始信号进行一定的变换，得到新的信号，暂且称之为预变换。
新的信号速率不能太高，通俗的说，这是一个稀疏信号，并且这个稀疏信号携带的信息量，不能比原始信号低多少。
之后是对稀疏信号的采样，并将稀疏信号还原为原始信号，暂且称之为后处理。
可以看出，压缩感知虽然降低了采样速率，但实际上因为预变换和后处理，增加了实现的计算复杂度，这体现了一个世界的基本道理：凡事都是有代价的，有多大的优势，就要付出多大的努力。
我们继续回到信息论，如果以信息熵和符号的角度去衡量数据压缩的过程，实际上就是信息熵在符号上的再分配，并且这种分配方式的方向是朝着符号平均信息量变大，并且接近某一平均值的过程。
这过程在压缩感知上的表现，就是对信号在损失信息熵可接受的程度上进行某个变换域处理，并且变换之后的信号是稀疏的。
那么压缩感知第一步需要做的，就是找到这样一个稀疏域，而找到稀疏域过程中最为关键的一点是找到或者构建适合某类信号的正交基底来表示原始信号，对于多种不同类型的原始信号来说，就是找出一本能够根据信号类型选择合适正交基底的字典。
一、实验目的1. 熟悉信号采样过程，了解采样定理的基本原理。
2. 通过实验观察采样时信号频谱的混叠现象。
3. 加深对采样前后信号频谱变化的理解，验证采样定理的正确性。
4. 掌握采样频率的选择对信号恢复的影响。
二、实验原理采样定理（Nyquist-Shannon采样定理）指出，一个频率为f的连续时间信号，如果以至少2f的频率进行采样，则采样后的信号可以无失真地恢复原信号。
本实验主要验证这一定理。
三、实验设备1. 信号发生器2. 示波器3. 采样器4. 低通滤波器5. 采样定理验证软件四、实验步骤1. 信号生成：使用信号发生器产生一个频率为f的连续时间信号。
2. 采样：将信号通过采样器进行采样，采样频率分别为f、2f、3f。
3. 频谱分析：使用示波器观察采样信号的时域波形，并使用频谱分析软件观察采样信号的频谱。
4. 信号恢复：对采样信号进行低通滤波，滤波器的截止频率为f/2，观察恢复后的信号。
5. 结果对比：对比不同采样频率下信号恢复的结果，分析采样频率对信号恢复的影响。
五、实验结果与分析1. 采样频率为f时：采样信号的频谱出现混叠现象，无法恢复原信号。
2. 采样频率为2f时：采样信号的频谱没有混叠现象，恢复后的信号与原信号基本一致。
3. 采样频率为3f时：采样信号的频谱没有混叠现象，恢复后的信号与原信号基本一致。
实验结果表明，当采样频率为2f时，采样信号可以无失真地恢复原信号，验证了采样定理的正确性。
同时，实验也表明，采样频率越高，信号恢复的效果越好。
六、实验结论1. 采样定理是信号处理中重要的基本原理，它为信号的数字化提供了理论依据。
2. 采样频率的选择对信号恢复的影响很大，采样频率越高，信号恢复的效果越好。
3. 在实际应用中，应根据信号的频率特性和系统要求选择合适的采样频率。
七、实验心得体会通过本次实验，我对采样定理有了更深入的理解，认识到采样频率选择的重要性。
同时，实验也让我体会到实验在验证理论、提高动手能力方面的作用。
压缩感知的英文名字是compressed sensing（也可以称为compressive sensing 简称CS）。
CS 属于数学领域的内容，谈到CS的工程应用领域主要为：1)Magnetic Resonance Image2)Synthetic Aperture Radar3)Wideband spectral Sensing香农/那奎斯特采样定理告诉我们，对一个带限信号采样时，要想使得我们采样得到的信号具有和原始带限信号的信息完全一样，也就是可以利用我们的采样得到信号去重建我们的信号时，对采样速率的限制要求是必须至少达到原始带限信号的频带的2倍。
在大多数应用中，例如在数字图像和视频摄等应用中，那奎斯特率会很大，从而我们会有非常多的样本，为了将我们得到的大量的样本存储，传输，我们通常会对这些采样得到的数据进行压缩。
另外，在其他诸如成像系统如医学图像扫描仪，雷达等，高速AD转换器等的领域中，如果将我们的信号采样率提高到超过现在最先进的水平，其花费是巨大的。
在本讲中我们将会学到一种全新的采样工具去避免上述的问题中的高采样率问题。
该工具是2006年由Donoho和Cand´es, Romberg, and Tao首次提出的compressed sensing。
现在我们利用这一很年轻的采样工具去代替传统的采样重建的那奎斯特问题。
为了实现对某些类型（压缩感知的使用的前提是我们的信号是稀疏的（sparse））的信号能实现低于那奎斯特率的采样获得我们的信号（并可以运用这个信号去重建我们的原始的信号），压缩感知工具利用更一般的线性度量方案（more general linear measurement scheme ），并融合最优化的技术（an optimization ）。
我们要采样的的信号，能够进行压缩感知技术的前提就是该信号是稀疏的，也就是利用信号的可压缩性（compressibility），从而实现减少我们的采样的样本数目，且可以重建我们的原始信号。
奈奎斯特采样率和稀疏采样学习报告奈奎斯特采样率和稀疏采样学习报告 1.采样定理数字信号处理系统的基本组成(1)前置滤波器将输入信号xa(t)中高于某一频率(称折叠频率，等于抽样频率的一半)的分量加以滤除。
(2)A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒(抽样周期)取出一次x(t)的幅度，采样后的信a 号称为离散信号。
在进行A/D信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax 的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5,10倍;采样定理又称奈奎斯特定理。
1.1 在时域频带为F的连续信号 f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1?Δt)，f(t1?2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt?1/2F，便可根据各采样值完全恢复原始信号。
1.2 在频域当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fmax时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fo的采样值来确定,即采样点的重复频率fs ?2fmax。
2.奈奎斯特采样频率2.1 概述奈奎斯特采样定理:要使连续信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍(即奈奎斯特频率)。
奈奎斯特频率(Nyquist frequency)是离散信号系统采样频率的一半，因哈里?奈奎斯特(Harry Nyquist)或奈奎斯特,香农采样定理得名。
采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于被采样信号的最高频率或带宽，就可以真实的还原被测信号。
反之，会因为频谱混叠而不能真实还原被测信号。
采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。
从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。
但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。
数字信号处理第一次大作业奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告专业：信息对抗技术学生姓名：石星宇02123010指导教师：吕雁目录奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告 (1)一、奈奎斯特采样定理 (1)1、奈奎斯特采样定理说明 (1)2、信号的采样与恢复 (1)3、相关代码 (3)4、关于奈奎斯特采样定理的一些问题 (5)二、信号稀疏采样 (5)1、为什么要提出信号的稀疏采样 (5)2、压缩感知概述 (6)3、压缩感知基本概念 (6)4、压缩感知仿真 (7)5、压缩感知仿真程序 (8)三、总结 (9)四、参考资料 (10)奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告一、奈奎斯特采样定理1、奈奎斯特采样定理说明采样过程所应遵循的规律，称为取样（采样）定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频率之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率s f 大于等于信号中最高频率c f 的2倍时，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，可由采样得到的数字信号恢复原来的模拟信号。
一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。
采样定理又称奈奎斯特采样定理。
将c s f f 2=称为奈奎斯特频率。
2、信号的采样与恢复结合实例，说明奈奎斯特采样定理与内插恢复的应用。
假设有模拟信号()t f t f t x a 212cos 2cos ππ+=，其中Hz f Hz f 50,2021==。
该信号波形及频谱如下图所示：对信号()t f t f t x a 212cos 2cos ππ+=以采样频率为Hz f f s 10022==进行采样，得到如下所示的离散时间信号，即序列()s s nT f nT f nT x 212cos 2cos ππ+=，其中s s f T /1=。
该序列的频谱如下：由此可见，采样过程对原始信号的频谱有一定的影响。
但是随着采样频率的逐渐增加，会使得采样信号的频谱与原始信号的频谱逐渐接近。
一、实验目的1. 了解音乐信号的采样原理和过程。
2. 掌握采样定理及其在实际应用中的重要性。
3. 学习使用MATLAB进行音乐信号的采样和重建实验。
4. 分析采样频率、采样精度等因素对音乐信号质量的影响。
二、实验原理1. 采样定理：根据奈奎斯特采样定理，为了使采样后的信号不失真，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
2. 音乐信号的采样：将连续的音乐信号通过采样器转换成离散的数字信号，采样频率、采样精度、量化位数等参数对采样结果有重要影响。
3. 音乐信号的重建：通过逆采样和滤波器恢复原始的音乐信号。
三、实验步骤1. 准备实验所需的MATLAB软件、音乐信号和采样器。
2. 设置采样参数：采样频率（Fs）、采样精度（Bit）、量化位数（n）等。
3. 对音乐信号进行采样，得到采样后的数字信号。
4. 使用MATLAB内置的逆采样和滤波器对采样后的数字信号进行重建。
5. 分析重建后的音乐信号，与原始音乐信号进行对比。
四、实验结果与分析1. 采样参数对音乐信号质量的影响（1）采样频率：采样频率越高，重建后的音乐信号质量越好，但数据量越大。
（2）采样精度：采样精度越高，重建后的音乐信号失真越小，但数据量越大。
（3）量化位数：量化位数越高，重建后的音乐信号失真越小，但数据量越大。
2. 重建后的音乐信号与原始音乐信号的对比通过实验可以发现，当采样参数设置合理时，重建后的音乐信号与原始音乐信号在波形和频谱上具有较高的一致性。
但在某些情况下，如采样频率较低、采样精度较低等，重建后的音乐信号会出现失真现象。
五、实验结论1. 音乐信号的采样和重建实验表明，采样定理在音乐信号处理中具有重要意义。
2. 采样参数对音乐信号质量有显著影响，合理设置采样参数可以提高重建后的音乐信号质量。
3. 使用MATLAB进行音乐信号的采样和重建实验，可以方便快捷地完成实验任务，为音乐信号处理提供理论依据。
六、实验心得通过本次实验，我对音乐信号的采样原理和过程有了更深入的了解，掌握了采样定理在实际应用中的重要性。
浅谈压缩感知（十二）：压缩感知与奈奎斯特采样定理奈奎斯特采样定理：定理：为了不失真地恢复模拟信号，离散信号系统的采样频率不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。
在时域上，频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1+Δt),f(t1+2Δt)…来表示，只要这些采样点的时间间隔Δt <= 1/2F，便可根据各采样值完全恢复原始信号。
在频域上，当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fmax时，f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fmax的采样值来确定，即采样点的重复频率为fs >= 2fmax。
采样定理指出，只要离散系统的奈奎斯特频率高于采样信号的最高频率或带宽，就可以避免混叠现象。
从理论上说，即使奈奎斯特频率恰好大于信号带宽，也足以通过信号的采样重建原信号。
但是，重建信号的过程需要以一个低通滤波器或者带通滤波器将在奈奎斯特频率之上的高频分量全部滤除，同时还要保证原信号中频率在奈奎斯特频率以下的分量不发生畸变，而这是不可能实现的。
在实际应用中，为了保证抗混叠滤波器的性能，接近奈奎斯特频率的分量在采样和信号重建的过程中可能会发生畸变。
因此信号带宽通常会略小于奈奎斯特频率，具体的情况要看所使用的滤波器的性能。
需要注意的是，奈奎斯特频率必须严格大于信号包含的最高频率。
如果信号中包含的最高频率恰好为奈奎斯特频率，那么在这个频率分量上的采样会因为相位模糊而有无穷多种该频率的正弦波对应于离散采样，因此不足以重建为原来的连续时间信号。
压缩感知：压缩感知：作为一个新的采样理论，通过利用信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美重建信号。
提出背景：众所周知，在奈奎斯特采样定理为基础的传统数字信号处理框架下，若要从采样得到的离散信号中无失真地恢复模拟信号，采样速率必须至少是信号带宽的两倍。
然而，随着当前信息需求量的日益增加，信号带宽越来越宽，在信息获取中对采样速率和处理速度等提出越来越高的要求。
压缩感知研究的新方法【摘要】经典的香农采样定理认为，为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于奈奎斯特频率（即模拟信号频谱中的最高频率）的两倍。
但是其中除了利用到信号是有限带宽的假设外，没利用任何的其它先验信息，采集到的数据存在很大程度的冗余。
Donoho等人提出的压缩感知方法（Compressed Sensing 或Compressive Sampling，CS）充分运用了大部分信号在预知的一组基上可以稀疏表示这一先验信息，利用随机投影实现了在远低于奈奎斯特频率的采样频率下对压缩数据的直接采集。
该方法不仅为降低采样频率提供了一种新思路，也为其它科学领域的研究提供了新的契机。
该文综述性地阐述了压缩感知方法的基本原理，给出了其中的一些约束问题和估计方法，并介绍压缩感知理论的相关问题——矩阵填充，最后讨论了其未来可能的应用前景。
【关键词】压缩感知；贪婪算法；线性规划；随机投影1.引言当前大部分数据采集系统都是基于传统的香农采样定理来设计，按照这种方式采集的数据能够充分表示原始信号，但是它们存在较大的冗余。
因此，这些方法往往导致采集数据的泛滥和传感器的浪费。
研究如何根据信号的一些特征来实现低于乃奎斯特采样频率的采集，以减少所需采集的数据量具有重要的意义。
在过去的30年里，从噪声中提取正弦信号的方法吸引了许多科学家的关注，但是利用信号的可压缩性进行数据采样却是一个新兴的课题。
其起源于对具有有限信息率信号（finite-rate-of-innovation signal，即单位时间内具有有限自由度的信号）进行采集的研究，利用固定的结构性基函数（structured fixed deterministic sampling kernels）以两倍于新息率而不是两倍于奈奎斯特采样频率对连续信号进行采集。
Donoho等人提出的压缩感知方法是一种可以广泛应用于可压缩信号的采集方法。
该方法所需要的传感器数目大大减少，采集到的数据也具有更小的冗余度。
数字信号处理第一次大作业奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告专业：信息对抗技术学生姓名：石星宇02123010指导教师：吕雁目录奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告 (1)一、奈奎斯特采样定理 (1)1、奈奎斯特采样定理说明 (1)2、信号的采样与恢复 (1)3、相关代码 (3)4、关于奈奎斯特采样定理的一些问题 (5)二、信号稀疏采样 (5)1、为什么要提出信号的稀疏采样 (5)2、压缩感知概述 (6)3、压缩感知基本概念 (6)4、压缩感知仿真 (7)5、压缩感知仿真程序 (8)三、总结 (9)四、参考资料 (10)奈奎斯特采样定理与信号稀疏采样学习报告一、奈奎斯特采样定理1、奈奎斯特采样定理说明采样过程所应遵循的规律，称为取样（采样）定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频率之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率s f 大于等于信号中最高频率c f 的2倍时，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，可由采样得到的数字信号恢复原来的模拟信号。
一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。
采样定理又称奈奎斯特采样定理。
将c s f f 2=称为奈奎斯特频率。
2、信号的采样与恢复结合实例，说明奈奎斯特采样定理与内插恢复的应用。
假设有模拟信号()t f t f t x a 212cos 2cos ππ+=，其中Hz f Hz f 50,2021==。
该信号波形及频谱如下图所示：对信号()t f t f t x a 212cos 2cos ππ+=以采样频率为Hz f f s 10022==进行采样，得到如下所示的离散时间信号，即序列()s s nT f nT f nT x 212cos 2cos ππ+=，其中s s f T /1=。
该序列的频谱如下：由此可见，采样过程对原始信号的频谱有一定的影响。
但是随着采样频率的逐渐增加，会使得采样信号的频谱与原始信号的频谱逐渐接近。
现在利用内插公式对采样得到的离散时间信号进行恢复。
定义内插函数为()TtT t t ππsin=Φ则()()()()()()()[]()TnT t T nT t nT x nT t nT x t nT x t x n n a //sin --=-Φ=Φ*=∑∑∞-∞=∞-∞=ππ根据上式，便可由采样得到的序列()nT x 完整的恢复出原始信号()t x a 。
下面给出利用MATLAB 计算的结果：从上图可以看出，利用内插公式，完整地将原始信号恢复了出来。
3、相关代码 close all clear allclcdf=0.5;%频率分辨率tp=1/df;%保证df所需的信号持续时间t=linspace(0,tp,1024);%连续时间变量f1=20;f2=50;%信号频率fc=max(f1,f2);%信号最高频率fs=2*fc;%采样率ts=1/fs;%采样间隔N=2^ceil(log2(fs/df));n=1:N;xa=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);%模拟信号xn=cos(2*pi*f1*n*ts)+cos(2*pi*f2*n*ts);%模拟信号plot(t,xa,'r')hold onstem(n*ts,xn,'b')legend('模拟信号','采样信号')title('模拟信号和采样信号')xlabel('t'),ylabel('x(t)')axis([0 tp/2 min(xa)-0.2 max(xa)+0.2])figure(2)subplot(211)fftxa=fft(xa);fa=0.5*(-length(t)/2:length(t)/2-1*fs/length(t));plot(fa,fftshift(abs(fftxa)),'r')%模拟信号频谱title('模拟信号频谱')xlabel('f/Hz')subplot(212)fftxn=fft(xn);fn=0.5*(-length(n)/2:length(n)/2-1*fs/length(n));plot(fn,fftshift(abs(fftxn)))%采样信号频谱title('采样信号频谱')xlabel('f/Hz')xaa=zeros(1,length(t));for tt=1:length(t)%计算采样内插值xaa(tt)=0;for n=1:Nxaa(tt)=xn(n)*(sin(pi*(t(tt)-n*ts)/ts)/(pi*(t(tt)-n*ts)/ts))+xaa(tt);endendfigure(3)plot(t,xaa,'b')title('采样内插恢复信号')xlabel('t/s'),ylabel('x(t)')axis([0 tp/2 min(xaa)-0.2 max(xaa)+0.2])4、关于奈奎斯特采样定理的一些问题假设模拟信号为()Hz f t f t x a 202cos 11==，π，用奈奎斯特频率对其采样，发现采样点处的取值均为零（如下图），因此用这些采样点是无法恢复原始信号的。
这也就是为什么实际中采用的采样频率要大于奈奎斯特频率的原因。
此外，实际中我们处理的信号不可能是简单的正弦信号，因此遇到采样点均为零的情况几乎不可能，上述只是一个特例。
二、信号稀疏采样1、为什么要提出信号的稀疏采样 首先考虑奈奎斯特采样定理的几点缺陷：（1）采样率不得低于信号最高频率的两倍，这使得硬件系统面临很大的采样速率压力；（2）在压缩编码过程中，为了降低存储、处理和传输的成本，大量变换计算得到的小系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。
综合上述两点，人们便提出这样的问题：能否利用其它变换域描述信号，建立新的信号描述和处理理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于奈奎斯特频率的频率去采样信号，同时可以完全恢复信号？答案是肯定的，这就是由 E. J. Candes 、J. Romberg 、T. Tao 和D. L. Donoho 等科学家在2004 年提出的压缩感知理论（Compressed sensing ）。
2、压缩感知概述压缩感知（Compressed sensing ），也被称为压缩采样(Compressive sampling)，稀疏采样(Sparse sampling)。
它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。
压缩感知理论的核心思想主要包括两点。
第一是信号的稀疏结构。
另外一点是不相关特性。
稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。
用数学模型对压缩感知的主要内容进行如下描述：（1）信号稀疏表示问题（稀疏变换）：对于信号N R s ∈，如何找到某个正交基ψ，使其在ψ上的表示是稀疏的（2）信号低速采样问题（非相关测量）：如何设计一个平稳的、与变换基ψ不相关的N M ⨯维的观测矩阵Φ，保证稀疏向量θ从N 维降到M 维时重要信息不遭到破坏（3）信号重构问题（重构算法）：如何设计快速重构算法从线性观测θθΘ=Φψ=y 中恢复信号。
3、压缩感知基本概念设信号R s ∈是一维实值离散信号，在正交基（稀疏基）ψ上可以稀疏表示，即()()()θψ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=N s s s s 21 其中[]}{()N i i N ，，2,1,|||21=ψψψψ=ψ是1⨯N 的向量，稀疏系数s s T i i i ψ=ψ=,θ。
当信号在稀疏基上只有K 个非零系数时，属于严格稀疏的情况。
多数情况下信号无法满足严格稀疏的要求，但仍具有可压缩性，即信号的变换系数经排序后以指数级衰减并趋近于零时，信号是可以近似稀疏表示的。
测量矩阵有观测波形和采样方式决定。
观测波形一般包括独立同分布的高斯随机波形、伯努利随机波形和正交函数系等；采样方式包括均匀采样、随机采样和jitter 采样。
将信号s 投影到一组测量矩阵[]TM φφφ 21=Φ上，则测量值,,Tm m s y φ=即：1111||||||||⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯Θ=ψΦ=Φ=N N M N N N N M N N M M s y θθ 也即θΘ=y重构算法是压缩感知的另一个关键因素。
目前的重构算法有贪婪算法（又称匹配追踪（Matching Pursuit ，MP ），正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit ，OMP ）、凸优化算法（最小1l 范数）和统计优化算法（Sparse Bayesian ）等。
4、压缩感知仿真与奈奎斯特采样定理仿真相同，仍然设模拟信号()t f t f t x a 212cos 2cos ππ+=，对其进行压缩感知采样并重建，并与原始信号对比如下：程序同时给出重构误差0.1032。
需要注意的是，每次运行程序所得的重构误差是不同的，是因为信号的重构过程中有随机因素在里面。
5、压缩感知仿真程序% 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)% 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构% 编程人--香港大学电子工程系沙威 Email: wsha@eee.hku.hk% 编程时间：2008年11月18日% 文档下载: http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/freecode.htm% 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert% Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching % Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12, % DECEMBER 2007.clc;clear%% 1. 时域测试信号生成K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出来)N=256; % 信号长度M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)f1=20; % 信号频率1f2=50; % 信号频率2fs=100; % 采样频率Ts=1/fs; % 采样间隔n=1:N; % 采样序列x=cos(2*pi*f1*n*Ts)+cos(2*pi*f2*n*Ts) % 完整信号,由2个信号叠加而来%% 2. 时域信号压缩传感Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵，Phi也就是文中说的D矩阵s=Phi*x.'; % 获得线性测量，s相当于文中的y矩阵%% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)%匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。
