河北省高二年级上学期12月联考金太阳数学答案

2021-2021学年高二数学上学期12月月考试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕x ，y 的观测数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅得到的点图，由这些点图可以判断变量x ，y 具有线性相关关系的图〔 〕A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B【解析】【分析】 通过观察散点图可以得出，②③没有明显的线性相关关系；①④是明显的线性相关．【详解】由题图知，②③的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；①中y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关；④中y 随x 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，y 与x 正相关．应选：B ．【点睛】此题考察了通过散点图判断两个变量之间的线性相关，是根底题目．2.命题“x R ∀∈，2240x x -+<〞的否认为〔 〕A. x R ∀∈，2240x x -+≥B. 0x R ∃∈，200240x x -+≥C. x R ∀∉，200240x x -+≥D. 0x R ∃∉，200240x x -+≥【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否认是特称命题的知识，判断出正确选项.【详解】原命题是全称命题，其否认是特称命题，注意到要否认结论，条件不用否认，由此确定B 选项正确.应选B.【点睛】本小题主要考察全称命题与特称命题，考察全称命题的否认是特称命题，属于根底题.3.顶点在原点，焦点是()0,3的抛物线的方程是〔 〕A. 212y x =B. 212x y =C. 2112y x =D. 2112x y = 【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由抛物线的焦点分析可得抛物线开口向上且2p =3，解可得p 的值，据此分析可得答案．【详解】根据题意，要求抛物线的顶点在原点，焦点是〔0，3〕， 那么抛物线开口向上且2p =3，解可得p ＝6， 那么要求抛物线的方程为x 2＝12y ；应选：B ．【点睛】此题考察抛物线的几何性质以及HY 方程，属于根底题．4.为了理解某次数学竞赛中1 000名学生的成绩,从中抽取一个容量为100的样本,那么每名学生成绩入样的时机是( ) A. 110 B. 120 C. 150 D. 1100【答案】A【解析】【详解】因为随机抽样是等可能抽样，每名学生成绩被抽到的时机相等,都是1001100010=.应选A.5.如下图，执行该程序框图,为使输出的函数值在区间11[,]42内那么输入的实数x 的取值范围是〔 〕A. (,2]-∞-B. [2,1]--C. [1,2]-D.[2,)+∞【答案】B【解析】【分析】该程序的作用是计算分段函数f〔x〕＝[]()()2,2,22,,22,x xx⎧∈-⎪⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，即可得到答案．【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f〔x〕＝[]()()2,2,22,,22,x xx⎧∈-⎪⎨∈-∞-⋃+∞⎪⎩的函数值．又∵输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，∴11242x≤≤ ,即 x∈[﹣2，﹣1]应选B．【点睛】此题考察了条件构造的程序框图，由流程图判断出程序的功能是解答此题的关键，属于根底题.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，那么恰好选中2名女生的概率为〔〕A.110B.15C.310D.25【答案】C【解析】【分析】先设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生〞，由题意确定事件A包含的根本领件个数，以及总的根本领件个数，进而可求出结果.【详解】依题意，设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生〞，那么事件A包含的根本领件个数为233C=种，而根本领件的总数为2510C=，所以3 ()10P A=，应选C ．【点睛】此题考察求古典概型的概率，熟记概率的计算公式即可，属于根底题． 1:260l ax y ++=与直线()2:150l x a y +-+=垂直，那么实数a 的值是〔 〕 A. 23 B. 1 C. 12 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据直线的垂直关系求解.【详解】由1l 与2l 垂直得：·12(1)=0a a +-，解得23a = ， 应选A. 【点睛】此题考察直线的一般式方程与直线的垂直关系,属于根底题.8.矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为根据可以估计椭圆的面积为( )A.B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率，由概率列方程即可估计椭圆的面积 【详解】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率为：300962040.68300300p -===， 又=0.6846S S p S ==⨯椭圆椭圆长方形，解得：=320.6416.32S 椭圆⨯≈应选C【点睛】此题主要考察了概率模拟及其应用，属于根底题．210x y+-=与230x y++=间的间隔为〔〕【答案】D【解析】【分析】运用两平行直线的间隔公式即可得到结论．【详解】根据两平行线间的间隔公式得：d5===．应选：D．【点睛】此题考察两平行直线的间隔公式的运用，考察运算才能，属于根底题．1O：2220x y x+-=与圆2O：2220x y y+-=的位置关系是〔〕A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】B【解析】【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合圆与圆的位置关系进展判断即可．【详解】两圆的HY方程为〔x﹣1〕2+y2＝1，和x2+〔y﹣1〕2＝1，对应圆心坐标为O1〔1，0〕，半径为1，和圆心坐标O2〔0，1〕，半径为1，那么圆心间隔 |O1O2|=0＜|O1O2|＜2，即两圆相交，应选：B．【点睛】此题主要考察圆与圆的位置关系的判断，求出圆的HY方程，利用圆心距和半径之间的关系是解决此题的关键，比拟根底．A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，假设该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，那么此球的体积为〔 〕A. 32πB. 24πC. 6πD. 6π【答案】C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如以下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，那么2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=，2226x y z ++=6R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 应选C.【点睛】此题考察三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考察空间想象才能与计算才能，属于中等题.0x -=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，假设2FC CA =，那么该椭圆的离心率是〔〕1 C.2 1-【答案】A【解析】【分析】由直线0x -+=过椭圆的左焦点F ，得到左焦点为(F ，且223a b -=，再由2FC CA =，求得322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得262a =，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线0x +=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得x =所以c =(F ，且223a b -= ①直线交y 轴于(0,1)C ，所以，1,2OF OC FC ==，因为2FC CA =，所以3FA =，所以32A ⎫⎪⎪⎝⎭， 又由点A 在椭圆上，得22394a b += ②由①②，可得2242490a a -+=，解得262a =，所以)222241c e a ===-=，所以椭圆的离心率为1e =.应选A.【点睛】此题考察了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或者范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕221420C x y x y +-+=：与圆222240C x y y +--=：．求两圆公一共弦所在直线的方程_____．【答案】x ﹣y ﹣1＝0【解析】【分析】根据相交圆的公一共弦所在直线的方程求法：将两个圆的方程化为HY 形式或者者一般形式，然后两个圆的方程相减得到的方程即为两圆公一共弦所在直线的方程.【详解】因为圆221420C x y x y +-+=：与圆222240C x y y +--=：；由()()222242240x y x y x y y +-+-+--=，可得4440x y -++=，即x ﹣y ﹣1＝0，所以两圆公一共弦所在直线的方程为：x ﹣y ﹣1＝0．故答案为：10x y --=.【点睛】此题考察相交圆的公一共弦所在直线的方程的求解，难度较易.14.如图，矩形''''O A B C 是程度放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中''6O A =，''2C D =，那么原图形面积是______．【答案】242【解析】【分析】把矩形O 'A 'B 'C '的直观图复原为面图形，再根据斜二测画法得出对应边长与高，求出原图形的面积．【详解】把矩形O 'A 'B 'C '的直观图复原为面图形，如下图；由O 'A '＝6，C 'D '＝2，得出O ′D ′＝22， 所以OA ＝6，OD ＝42，所以原图形OABC 的面积是：S 平行四边形＝6×42=242．故答案为：242．【点睛】此题考察了斜二测画法与应用问题，也考察了平面图形面积计算问题，是根底题．15.如下图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且22EF =，那么以下结论中正确的选项是________．①//EF 平面ABCD ；②AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等；③平面ACF ⊥平面BEF ；④三棱锥E ABF -的体积为定值.【答案】①③④【解析】【分析】证明11//B D BD ，得//EF 平面ABCD ①正确；AEF ∆与高不同②错误；证明AC ⊥面11BB D D ，③正确； BEF ∆的面积为定值，AO 为三棱锥A BEF -底面BEF 上的高为定值，④正确【详解】①在正方体1111ABCD A B C D -中，11//B D BD ，且BD ⊂平面ABCD ，11B D ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，故①正确；②点A 到EF 的间隔 大于1BB ，∴AEF ∆的面积与BEF ∆的面积不相等，故②错； ③在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1BB AC ⊥，∴AC ⊥面11BB D D ，又面11BB D D 与面BEF 是同一面，AC ⊂面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BEF ，故③正确； ④BEF ∆中，12EF =，EF 边上的高11BB =，∴BEF ∆的面积为定值，∵AC ⊥面11BDD B ，∴AO ⊥面11BDD B ，∴AO 为三棱锥A BEF -底面BEF 上的高，∴三棱锥A BEF -的体积是一个定值，故④正确；答案为：①③④．【点睛】此题考察空间几何体中线面平行，面面平行，面面垂直，以及三角形面积，三棱锥体积的求法，准确推理是关键，是中档题C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点〔不在坐标轴上〕，Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，假设22QF OQ =，那么椭圆离心率的范围是___________．【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由结合三角形内角平分线定理可得|PF 1|＝2|PF 2|，再由椭圆定义可得|PF 2|23a =，得到a ﹣c 23a a c +＜＜，从而得到e 13c a =＞，再与椭圆离心率的范围取交集得答案． 【详解】∵22QF OQ =，∴223QF c =，143QF c =，∵PQ 是12F PF ∠的角平分线， ∴1243223c PF PF c ==，那么122PF PF =，由12232PF PF PF a +==，得223a PF =， 由23a a c a c -<<+，可得13c e a =>，由01e <<，∴椭圆离心率的范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察椭圆的简单性质，训练了角平分线定理的应用及椭圆定义的应用，是中档题．三、解答题〔一共6小题，一共70分〕P ：关于x 的方程()230x m x m +-+=的一个根大于1，另一个根小于1．命题q ：()1,1x ∃∈-，使20x x m --=成立，命题s ：方程2214x y m m +=-的图象是焦点在x 轴上的椭圆.〔1〕假设命题s 为真，务实数m 的取值范围；〔2〕假设p q ∨为真，q ⌝为真，务实数m 的取值范围．【答案】(1) ()0,2 (2) 1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】【分析】〔1〕结合椭圆的HY 方程，求出命题为真命题的等价条件即可．〔2〕假设p ∨q 为真，￢q 为真时，那么p 真假q ，求出对应的范围即可．【详解】〔1〕命题s 为真时，即命题s ：方程2214x y m m +=-的图象是焦点在x 轴上的椭圆为真；∴40m m ->>，∴02m <<；故命题s 为真时，实数m 的取值范围为：()0,2； 〔2〕当命题p 为真时，()()23f x x m x m =+-+满足()10f <，即220m -<， 所以1m <．命题q 为真时，方程2m x x =-在()1,1-有解，当()1,1x ∈-时，21,24x x ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，那么1,24m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，由于p q ∨为真，q ⌝为真； 所以q 为假，p 为真；那么得1124m m m <⎧⎪⎨<-≥⎪⎩或；∴14m <-； 故p q ∨为真，q ⌝为真时，实数m 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题主要考察复合命题真假关系的判断，求出命题p ，q ，s 为真命题的等价条件是解决此题的关键．属于根底题．18.某需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)假设从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁适宜?请说明理由.(2)假设数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，假设答对，那么可参加复赛，否那么被淘汰. 方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，假设至少答对其中2道，那么可参加复赛，否那么被润汰.学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕选方案二【解析】【分析】〔1〕可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得85以上(含85分)的概率的大小决定选手；〔2〕计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比拟两个概率的大小即得解.【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为18085719287835x ++++==； 乙的平均成绩为29076759282835x ++++==， 甲的成绩方差()25211150.85i i s x x ==-=∑； 乙的成绩方差为()25221148.85i i s x x ==-=∑； 由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比拟适宜，应选乙适宜.解法二、派甲参赛比拟适宜，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =，乙获得85分以上(含85分)的概率225P = 因为12P P >故派甲参赛比拟适宜，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F .方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 一共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，一共3种. 所以学生乙可参加复赛的概率135P =. 方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,a E F ，(),,b c E ，(),,b c F ，(),,b E F ，(),,c E F ，一共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,b c E ，(),,b c F 一共7种， 所以学生乙可参加复赛的概率2710P = 因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.【点睛】此题主要考察平均数和方差的计算，考察古典概型的概率的计算和决策，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，2,60PA ABC =∠=，E 是BC 中点，假设H 为PD 上的点，2AH =.〔1〕求证：EH 平面PAB ；〔2〕求三棱锥P ABH -的体积.【答案】〔1〕见解析； 〔2〕33. 【解析】【分析】〔1〕根据平行四边形的性质，证得//EH BM ，利用线面平行的断定定理，即可证得//EH 平面PAB .〔2〕由〔1〕得到,E H 到平面PAB 的间隔 相等，根据P ABH H PAB E PAB P ABE V V V V ----===，即可求解.【详解】〔1〕由题意，可得2,2PA AD AH ===H 为PD 的中点， 取PA 的中点M ，连接,HM MB ，那么12HM AD =且//HM AD ，12BD AD =且//BD AD ，所以//HM BD 且HM BD =，所以四边形DHMB 为平行四边形，所以//EH BM ，又由EH ⊄平面,PAB BM ⊂平面PAB ，所以//EH 平面PAB .〔2〕由〔1〕可知//EH 平面PAB ，那么,E H 到平面PAB 的间隔 相等， 所以111332P ABH H PAB E PAB P ABE ABE ABC V V V V S PA S PA ----∆∆====⋅=⨯⋅ 21133223243=⨯⨯⨯⨯=【点睛】此题主要考察了线面平行的断定与证明，以及几何体的体积的计算，对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①假设所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或者台体，那么可直接利用公式进展求解．②假设所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，那么常用转换法、分割法、补形法等方法进展求解．()1,1A ，()1,3B -.〔1〕求以AB 为直径的圆C 的方程；〔2〕假设直线10x my -+=被圆C 6，求m 值．【答案】(1) ()2222x y +-=. (2)1m =或者17． 【解析】【分析】〔1〕根据题意，有A 、B 的坐标可得线段AB 的中点即C 的坐标，求出AB 的长即可得圆C的半径，由圆的HY 方程即可得答案；〔2〕根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C 到直线x ﹣my +1＝0的间隔 d 2262()22r =-=，结合点到直线的间隔 公式可得221221m m =+-+，解可得m 的值，即可得答案．【详解】〔1〕根据题意，点()1,1A ，()1,3B -，那么线段AB 的中点为()0,2，即C 的坐标为()0,2；圆C 是以线段AB 为直径的圆，那么其半径()()22111113222r AB ==++-=，圆C 的方程为()2222x y +-=.〔2〕根据题意，假设直线10x my -+=被圆C 截得的弦长为6， 那么点C 到直线10x my -+=的间隔 226222d r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 又由2112m m d -+=+，那么有221221m m =+-+，变形可得：27810m m -+=，解可得1m =或者17． 【点睛】此题考察直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的HY 方程，属于根底题．21.如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 一共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°．〔Ⅰ〕假设平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面BCF ⊥平面ADF ；〔Ⅱ〕问在线段EC 上是否存在一点G ，使得BG∥平面CDF ，假设存在，求出此时三棱锥G-ABE 与三棱锥G-ADF 的体积之比．【答案】〔Ⅰ〕见证明；〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据ABCD 为矩形，结合面面垂直性质定理可得BC ⊥平面AEBF ，即BC AF ⊥，结合AF BF ⊥，即可得AF ⊥平面BCF ，最后根据面面垂直断定定理可得结果；〔Ⅱ〕首先易得BC 平面ADF ，再证BE 平面ADF ，进而面面平行，延长EB 到点H ，使得 BH AF =，可得HFDC 是平行四边形，过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，此G 即为所求，通过2444433333G ABE C ABE C ABF D ABF B ADF G ADF V V V V V V ------=====可得结果. 【详解】〔Ⅰ〕∵ABCD 为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面AEBF=AB ，∴BC⊥平面AEBF ，又∵AF ⊂平面AEBF ，∴BC⊥AF .∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC 、BF ⊂平面BCF ，BC∩BF=B，∴AF⊥平面BCF又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面BCF.〔2〕∵BC∥AD，AD ⊂平面ADF ，∴BC∥平面ADF.∵ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°，∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF ⊂平面ADF ，∴BE∥平面ADF ，∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.延长EB 到点H ，使得BH =AF ，又BC //AD ，连CH 、HF ，易证ABHF 是平行四边形， ∴HF //AB //CD ，∴HFDC 是平行四边形，∴CH∥DF.过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，即BG∥CH∥DF，〔DF ⊂平面CDF 〕∴BG∥平面CDF ，即此点G 为所求的G 点.又22AF BH ==，∴EG=23EC ，又2ABE ABF S S ∆∆=， 2444433333G ABE C ABE C ABF D ABF B ADF G ADF V V V V V V ------=====， 故43G ABE G ADF V V --=.. 【点睛】此题主要考察了面面垂直的断定，强调“线线垂直〞“线面垂直〞“面面垂直〞之间可以互相转化，通过线线平行得到线面平行，等体积法求三棱锥的体积，考察了空间想象才能，属于中档题.C ：()222210x y a b a b+=>>，长半轴长与短半轴长的差为2，离心率为12． 〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕假设在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且2211PM QM +为定值，求点M 的坐标．【答案】(1) 22143x y +=(2) ,07M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】〔1〕由题意可得：a ﹣b 2=-12c a =，a 2＝b 2+c 2．联立解得：a ，c ，b ．可得椭圆C 的HY 方程．〔2〕设M 〔t ，0〕，P 〔x 1，y 1〕，Q 〔x 2，y 2〕．分类讨论：①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ＝my +t ．与椭圆方程联立化为：〔3m 2+4〕y 2+6mty +3t 2﹣12＝0．△＞0．可得|PM |22211()x t y =-+=〔1+m 2〕21y ，同理可得：|PQ |2＝〔1+m 2〕22y ．把根与系数的关系代入()2222212111111y y m PM QM ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，化简整理可得．②当直线l 的斜率为0时，设P 〔2，0〕，Q 〔﹣2，0〕．|PM |＝|t +2|，|QM |＝|2﹣t |．代入同理可得结论．【详解】〔1〕由题意可得：2a b -=12c a =，222a b c =+． 联立解得：2a =，1c =，b =C 的HY 方程为：22143x y +=. 〔2〕设(),0M t ，()11,P x y ，()22,Q x y ．①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x my t =+．联立223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，化为：()2223463120m y mty t +++-=．()2248340m t ∆=-+>． ∴122634mt y y m +=-+，212231234t y y m -=+． ()()222211121x t y m y PM -+=+=，同理可得：()22221PQ m y =+． ∴()2222221111111y M QM y m P ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭()()()212122212211y y y y m y y +-=+ ()()()222222222223123634341131234t m t m m m t m --++=⋅+⎛⎫- ⎪+⎝⎭()()()()2222222312164314t m t m t =⎡⎤++-⎣⎦+-. ∵2211PM QM+为定值，∴必然有22312164t t +=-，解得7t =±． 此时221179PM QM +=为定值，,07M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． ②当直线l 的斜率为0时，设()2,0P ，()2,0Q -．2PM t =+，2QM t =-． 此时()()()2222222111128224t t PM Q t t M +=+=-++-，把247t =代入可得：221179PM QM +=为定值．综上①②可得：221179PM QM +=为定值，,07M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考察了推理才能与计算才能，属于难题．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

河北省2021版高二上学期数学12月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·海珠期末) 已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A . a+b≥2B . a2+b2＞2abC . + ≥2D . | + |≥22. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 复数 ( 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则t=5时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A . 37B . 38C . 39D . 404. （2分） (2017高三上·汕头开学考) 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为8，则m的值是（）A . ±6B . ±8C . 6D . 85. （2分） (2019高一下·大庆月考) 已知数列的前项和为，且，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·启东期末) 已知向量，且，则x＝（）A . -2B .C .D . 27. （2分） (2016高二上·台州期中) 设m，n是平面α内的两条不同直线，l1 ， l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）A . m∥β且l∥αB . m∥l1且n∥l2C . m∥β且n∥βD . m∥β且n∥l28. （2分） (2020高三上·湖北期末) 抛物线的焦点坐标为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 若直线：被圆截得的弦最短，则直线的方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高一上·广西月考) 如图所示，当时，函数与的图象是（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高三上·景德镇期末) 已知是抛物线的焦点，若直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为，设圆与轴交于点，，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·张家口月考) 若函数的定义域为，则实数取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·吴江模拟) 复数，(其中i为虚数单位)的实部为________．14. （1分） (2019高一上·峨山期中) 若函数 , ________.15. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“ 型直线”.给出下列直线：（1）；（2）；（3）；（4）其中所有是“M型直线”的序号为________.16. （1分）已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*则Sn的最大值为________三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．18. （15分）已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i、﹣2+6i，且O是坐标原点，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z．19. （10分） (2020高二下·柳州模拟) 在中（图1），，，为线段上的点，且 .以为折线，把翻折，得到如图2所示的图形，为的中点，且，连接 .（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.20. （10分） (2019高三上·攀枝花月考) 数列中，，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21. （15分） (2016高二下·茂名期末) 已知函数f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）﹣mx，若g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）是否存在k使得函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．22. （10分） (2020高二上·茂名期末) 已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点 .直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：第21 页共21 页。

2024-2025学年湖南省“金太阳联考”高二12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x−3x≤0}，B ={y|y =cos 2x}，则A ∩B =A. [−1,3] B. (0,3] C. (0,1] D. [0,1]2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标是(1,2)，则(1+i)z =A. 3+iB. 3−iC. −1+3iD. −1−3i3.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=20，2a 6+a 5=a 4，则S 4=A. 50B. 754C. 752D. 604.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为A. 1B. 2C.2 D.2−15.在△ABC 中，点O 在线段BC 上，且OC =3OB ，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB =mAM ，AC =nAN ，则3m +n =A. 1B. 2C. 3D. 46.在各项均不为零的数列{a n }中，a 1=1，a 2=14，2a n a n +2=a n a n +1+a n +1a n +2，若a m =137，则m =A. 13B. 16C. 19D. 227.已知函数f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)，若f(x)在区间[−π6,π3]上单调递增，则ω的取值范围是A. (0,12]B. (0,5]C.[12,2] D. [5,132]8.已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，准线为l ，过点F 且倾斜角为30°的直线m 与抛物线C 的一个交点为M(M 位于y 轴的右侧)，过点M 作MN ⊥l ，垂足为N ，连接NF ，交抛物线C 于点Q(Q 在线段NF 上)，则|FQ||NQ|=A. 13B. 12C. 23D. 34二、多选题：本题共3小题，共18分。

卜人入州八九几市潮王学校宁都县宁师二零二零—二零二壹高二数学上学期12月月考试题理〔含解析〕一：选择题0x ∃<，使2310x x -+≥〞的否认是〔〕A.0x ∃<，使2310x x -+<B.0x ∃≥，使2310x x -+<C.0x ∀<，使2310x x -+<D.0x ∀≥，使2310x x -+<【答案】C 【解析】 【分析】 .0x ∃<，使2310x x -+≥〞的否认是“∀x 0<，x 2﹣3x +1<0〞,应选C.2.小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 321421292925274632802478598663 531297396021406318235113507965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为〔〕 【答案】C 【解析】 【分析】由小张20组随机数中三次射击恰有两次命中十环的一共有8组，结合古典概型概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，小张三次射击恰有两次命中十环的421292274632802478663 406，一共有8组，所以小张三次射击恰有两次命中十环的概率为80.4020P ==. 应选：C.【点睛】此题主要考察了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题. 3.算法统宗是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.假设所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒〞问题.执行该程序框图，假设输入的a 的值是0，那么输出的m 的值是〔〕 A.-21 B.-45C.-93D.-189【答案】C 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，逐次计算循环的结果，根据判断条件，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，可得0,3,1a m i ==-=， 第1次循环：9m =-，满足条件，2i =； 第2次循环：21m =-，满足条件，3i =； 第3次循环：45m =-，满足条件，4i =；第4次循环：93m =-，不满足条件，输出结果93m =-. 应选：C.【点睛】此题主要考察了循环构造的程序框图的计算与结果输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次准确计算，结合判断条件得出输出的结果是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.4.如下列图为底面积为2的某棱锥的三视图，那么该棱锥的外表积为〔〕A.2+B.C.4+D.2+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的几何体的三视图可得，该几何体底面是一个边长为2的等腰直角三角形，且SA ⊥平面ABCD 的三棱锥，且2SA =，又由DB AB ⊥，由三垂线定理可得CB SB ⊥，同理CD SD ⊥，进而根据三角形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体底面是一个边长为2的等腰直角三角形，且SA ⊥平面ABCD 的三棱锥，且2SA =，又由DB AB ⊥，由三垂线定理可得CB SB ⊥，同理CD SD ⊥， 所以,SCD SBC ∆∆均为直角三角形，由2,BC CD SB SD ====122SBC SCD S S ∆∆==⨯⨯=又由BD SO ===，所以12SBD S ∆=⨯=因为底面是腰长为2的等腰直角三角形，所以底面面积12222BCD S ∆=⨯⨯=，所以该四棱锥的外表积为22S ==. 应选：A.【点睛】在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，其中复原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进展综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.,m n 与两个不同的平面.αβ，以下结论中正确的选项是〔〕A.,,m n m αβαβ⊥=⊥，那么n β⊥B.m ,n //αβ⊥，且//αβ，那么m n ⊥C.//,m n n α⊆，那么//m αD.//,//m n αβ且//αβ，那么//m n 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，以及平面与平面之间的位置关系，即可断定，得到答案.【详解】对于A 中，由,,m n m αβαβ⊥=⊥，只有再满足n ⊂α时，可得n β⊥，所以A 项不正确；对于B 中，由,//m βαα⊥，可得m β⊥，又由//n β，所以可得m n ⊥，所以B 是正确的；对于C 中，由//,m n n α⊆，那么//m α或者m 在α内，所以不正确；对于D 中，由//,//m n αβ且//αβ，那么,m n 相交、平行或者异面，所以不正确. 应选：B.【点睛】此题主要考察了空间中线面位置关系的断定及应用，其中解答中熟记线面位置关系的断定定理和性质定理是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题.ABCD 中，120BAD ︒∠=，那么DB 在DA 方向上的投影为〔〕A.12B.1C.2D.3【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及平面向量的投影的定义和计算公式，即可求解. 【详解】由题意，因为边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=， 可得向量DB 和DA 的夹角为30BAD θ︒=∠=，所以DB 在DA 方向上的投影为cos 3DB θ==. 应选：D【点睛】此题主要考察了平面向量的几何意义，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的投影的概念和计算方法是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，AB AC ==，那么三棱锥P ABC -的外接球的外表积为〔〕A.32πB.48πC.64πD.72π【答案】C 【解析】【分析】先求出ABC △的外接圆的半径，然后取ABC △的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.【详解】在ABC △中，AB AC ==，23BAC π∠=，可得6ACB π∠=， 那么ABC △的外接圆的半径π2sin 2sin6AB r ACB ===ABC △的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 那么222OA OG AG =+，即外接球半径4R ==，那么三棱锥P ABC -的外接球的外表积为24π4π1664πR =⨯=. 应选C.【点睛】此题考察了三棱锥的外接球外表积的求法，考察了学生的空间想象才能，属于中档题.R 上的函数()f x ，假设()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，那么(2019)f =〔〕A.1-B.1C.0D.22015【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 是奇函数，且()1f x +是偶函数，推得()(4)f x f x =+，得出函数()f x 是以4为周期的周期函数，即可求解.【详解】由题意，定义在R 上的函数()f x ，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 又由()1f x +是偶函数，那么函数()f x 关于1x =对称，即()(2)f x f x =-，所以()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =-+， 那么()2(4)f x f x +=-+，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，且当01x ≤≤时，2()f x x =，又由(2019)(50541)(1)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-. 应选：A.【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性与函数的周期性的应用，其中解答中合理利用函数的奇偶性和对称性，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于中档试题.9.如图，三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，那么异面直线1AB 和BM 所成的角为() A.2π B. C. D.3π 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2〔如图〕．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a ==+=，，222313()2a A M a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=，． 应选A ．【点睛】此题主要考察了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．{}n a 满足9872a a a =+，假设存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a =，那么14m n+的最小值为〔〕 A.95B.73C.32D.3【答案】C 【解析】 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由9872a a a =+，求得2q，再由2116m n a a a =，求得6m n +=，结合根本不等式，即可求解.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由9872a a a =+，可得77722q q a a a =+，即220q q --=，解得2q 或者1q =-〔舍去〕，因为2116m n a a a =，所以112111()()16m n a q a q a --=，可得216m n q+-=，即2216m n +-=，解得6m n +=，所以1411414113()()(5)(5966662n n m n m n m m n n +=⋅+=⨯++≥⨯+=⨯=+， 当且仅当4n mm n =，即4,2n m ==时等成立， 所以14m n +的最小值为32.应选：C.【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式的应用，以及利用“1〞的代换和根本不等式求解最值问题，着重考察了推理与计算才能，同时注意等号成立的条件，属于根底题.()sin(2),||2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，那么函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为〔〕A. B.2C.12D.12-【答案】D 【解析】 【分析】结合三角函数的图象变换，求得函数()sin(2)6f x x π=+，再利用三角函数的性质，即可求解.【详解】由函数()sin(2),||2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，得到()sin(2)3f x x πϕ=++，所得的图象关于y 轴对称，那么,32k k Z ππϕπ+=+∈，当0k =时，6π=ϕ，所以()sin(2)6f x x π=+， 由,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 获得最小值，此时最小值为71()sin()262f ππ==-. 故答案为：D.【点睛】此题主要考察了利用三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中纯熟应用三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的性质是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.20()2,0x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩假设函数()()g x f x a =-有2个零点，那么实数α的取值范围是〔〕A.a =0B.01a <<C.1a >D.1a >或者a =0【答案】D 【解析】 【分析】把函数()()g x f x a =-有2个零点，转化为函数()y f x =与y a =的图象有两个交点，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数20()2,0x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下列图，当0x <时，()22f x x x =+，可得当1x =-时，()11f -=，要使得函数()()g x f x a =-有2个零点，即函数()y f x =与y a =的图象有两个交点， 结合图象，可得1a >或者0a =. 应选：D.【点睛】此题主要考察了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数()g x 有2个零点，转化为两个函数()y f x =与y a =的图象有两个交点，结合图象求解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与运算才能，属于中档试题. 二．填空题 a b >，那么11a b>；②“假设0a b +=，那么,a b a b ≥那么22ac bc ≥1ab =，那么,a b __________.【答案】②④ 【解析】 【分析】 .【详解】由题意，对于①中，11b a a b ab--=，由a b >时，b a ab -的符号不能确定，所以不正确；0a b +=，那么,a b ,a b 互为相反数，那么0a b +=a b ≥，那么22ac bc ≥22ac bc ≥，那么a b ≥〞，当2c =01ab =，那么,a b .故答案为：②④..600y y y ⎧-≤+-≤≥⎪⎩恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，那么圆C 的方程为__________【答案】22((1)4x y +-= 【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，求得(0,0),A O B ，设出圆的方程，列出方程组，求得为,,D E F 的值，即可得到圆的方程，得到答案.【详解】作出不等式组0600y y y ⎧-≤+-≤≥⎪⎩表示的平面区域，如下列图，由060y y -=+-=，解得A，其中(0,0),O B ， 设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点(0,0),O B A，代入圆的方程，可得01203120F F E F =⎧⎪++=⎨+++=，解得2,0D E F =-=-=，即圆的方程2220x y y +--=， 即圆的HY方程为22((1)4x y +-=.故答案为：22((1)4x y +-=.【点睛】此题主要考察了线性规划的应用，以及圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程的解法，准确运算是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与运算才能，属于根底题.15.住在同一城的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4：20-5：00间在某个咖啡馆相见商谈事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,假设等不到那么可以离去,那么这两人能相见的概率为__________． 【答案】716【解析】 【分析】设甲乙两人第x 分钟和第y 分钟到达，得到:{(,)|040,040}x y x y Ω≤≤≤≤，再得到甲乙两人约好当其中一人先到后最多等对方10分钟，即10x y -≤，利用面积比的几何概型，即可求解.【详解】因为乙两位合伙人,约定在当天下午4：20-5：00间在某个咖啡馆相见商谈事宜， 设甲乙两人各在第x 分钟和第y 分钟到达，那么样本空间为:{(,)|040,040}x y x y Ω≤≤≤≤，作出图象，如下列图， 那么正方形的面积为40401600S =⨯=，又由甲乙两人约好当其中一人先到后最多等对方10分钟，即10x y -≤， 可得阴影局部的面积为114040*********S =⨯-⨯⨯⨯=， 所以由几何概型的概率计算公式，可得概率为17007160016S P S ===. 故答案为：716. 【点睛】此题主要考察了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的根本领件对应的“几何度量()N A 〞，再求出总的根本领件对应的“几何度量N 〞，然后根据()N A PN求解，着重考察了分析问题和解答问题的才能. 1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点〔点M 与1A C 、不重合〕，那么以下结论正确的选项是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ；③1A DM ∆的面积可能等于6； ④假设12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，那么存在点M ，使得12S S【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方体的构造特征，利用线面位置关系的断定定理和性质定理，以及三角形的面积公式和投影的定义，即可求解，得到答案.【详解】①如下列图，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确； ②如下列图，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OCAC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，那么N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A MNO ，且11A D B C ，111A M A D A =，1NO B C C =，所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如下列图，作11A M AC ⊥，在11AA C中根据等面积得：13A M ==，根据对称性可知：1A M DM ==，又AD =1A DM 是等腰三角形，那么1126A DMS==，故正确； ④如下列图，设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122A D M aS S ∆===，12211222B CM a S S ∆-===，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故答案为①②③④【点睛】此题主要考察了正方体的构造特征，以及线面位置关系的断定与证明，其中解答中纯熟应用正方体的构造特征，熟记线面位置关系的断定定理和性质定理是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于中档试题. 三．解答题:p 实数x 满足302x x -≤-:q 实数x 满足2243<0x ax a -+，其中0a >．〔I 〕假设1a =且p q ∧为真，务实数x 的取值范围； 〔II 〕假设p 是q 的充分不必要条件，务实数a 的取值范围. 【答案】〔I 〕2 3.x << 〔II 〕1 2.a <≤ 【解析】 【分析】〔I 〕根据p q ∧的真假判断条件：一假即假，求得实数x 的取值范围； 〔II 〕根据得p 的范围是q 的范围的一局部，可求得a 的取值范围. 【详解】〔I 〕假设1a =:p 23,x <≤:q 13,x << 要使p q ∧为真，那么23,13x x <≤⎧⎨<<⎩故实数x 的取值范围：2 3.x <<得解. 〔II :p 23,x <≤:q 3,a x a <<要使p 是q 的充分不必要条件，那么2,33a a ≤⎧⎨<⎩解得1 2.a <≤ 故实数a 的取值范围是1 2.a <≤的真假判断和充分必要条件，属于根底题.{}n a ，11a =，n N +∀∈，121n n a a +=+.〔1〕求证：{1}n a +是等比数列；〔2〕设2nn n b a =〔n N +∀∈〕，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】〔1〕见解析〔2〕1142233n n ++-+【解析】 【分析】〔1〕根据等比数列的定义进展证明．〔2〕根据〔1〕以及2nn n b a =，在利用分组求和的方法即可求处数列的和．【详解】〔1〕依题意，n N +∀∈，()112221n n n a a a ++=+=+ 所以，{}1n a +是首项为2、公比为2的等比数列.〔2〕由〔1〕得：12n n a +=，21nn a =-，数列{}n b 的前n 项和为11114422422412133n n n n ++++---=-+--.【点睛】此题主要考察等比数列的定义的应用以及利用分组求和的方法求数列的前n 项和．考察学生的运算才能．19.越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出间隔高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表周数其中1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，11452ni ii x y==∑，2191ni i x ==∑，ˆˆa y bx=- 〔1〕作出散点图；〔2〕根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回方程ˆˆy bxa =+〔准确到0.01〕 〔3〕根据经历观测值为正常值的0.85～1.06为正常，假设1.06～2为轻度焦虑，2～0为中度焦虑，0及以上为重度焦虑．假设为中度焦虑及以上，那么要进展心理疏导．假设一个学生在距高考第二周时观测值为103，那么该学生是否需要进展心理疏导？ 【答案】(1)见解析;(2)8.83107.4y x =-+;(3)见解析 【解析】 【分析】(1)根据表格中的数据描点作图可得;(2)先计算出x 和y ,再代入公式求得ˆb,和ˆa ,然后代入回归直线方程可得; (3)用观测值比正常值后,结合题目中数据作比较可得. 【详解】(1)散点图如下: (2)因为654321 3.56x +++++==,55637280909976.56y +++++==214526 3.576.5ˆ916 3.5b -⨯⨯=-⨯≈8.83-,ˆˆ76.5(8.83) 3.5a y bx =-=--⨯107.4=, 所以所求回归方程为:8.83107.4y x =-+. (3)因为1031.14 1.1290≈>,为中度焦虑,所以该学生需要进展心理疏导. 【点睛】此题考察了散点图和回归直线方程,属中档题.20.将两块三角板按图甲方式拼好，其中90B D ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AC =，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影O 恰好在AB 上，如图乙．〔1〕求证：BC AD⊥；〔2〕求证：O为线段AB中点；〔3〕求二面角D AC B--的大小的正弦值．【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析〔3〕6 3【解析】【详解】试题分析：〔2〕由AD在平面ABC上的射影与BC垂直，即可证明；〔2〕通过计算，求得AD=BD，再由等腰三角形高线即中线的性质证得；〔3〕利用射影定理作出二面角D-AC-B的平面角，再由正弦定义求得．试题解析：(1)证明：由D在平面ABC上的射影O恰好在AB上,∴DO⊥平面ABC，∴AO是AD在平面ABC上的射影．又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD．(2)解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC又∵BD⊂平面ADB，∴AD⊥BD，在RT⊿ABD中，由AC=2，得，AD=1，∴BD=1,∴BD=AD,∴O是AB的中点.(3)解：过D作DE⊥AC于E，连结OE，∵DO⊥平面ABC，∴O E是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC∴∠DEO 是二面角D －AC －B 的平面角，且32AD DC DE AC ⋅==即二面角D －AC －B 的正弦值为．21.某城HY 门为了对该城一共享单车加强监管，随机选取了100人就该城一共享单车的推行情况进展问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值〔百分制〕按照)50,60⎡⎣，)60,70⎡⎣，⋯，[]90,100分成5组，制成如下列图频率分直方图．〔1〕求图中x 的值；〔2〕求这组数据的平均数和中位数；〔3〕满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3:2，假设在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进展座谈，求2人均为男生的概率．【答案】〔1〕0.02〔2〕平均数77，中位数5407〔3〕()3P A 10= 【解析】 【分析】〔1〕由频率分布直方图的性质得出x 的值； 〔2〕根据平均数和中位数的定义得出；〔3〕由题意，满意度评分值为[50,60)的人的频率为，故人数为5，根据男女比例得出男女人数，根据列举的值随机抽取2人一共10个根本领件，根据古典概型得出. 【详解】〔1〕由0.0050.010.0350.030)101x ++++⨯=，解得0.02x =． 〔2〕这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 中位数设为m ，那么()0.050.2700.0350.5m ++-⨯=，解得5407m = 〔3〕满意度评分值在[)50,60内有1000.005105⨯⨯=人，其中男生3人，女生2人．记为12312,,,,A A A B B记“满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进展座谈，恰有1名女生〞为事件A 通过列举知总根本领件个数为10个，A 包含的根本领件个数为3个， 利用古典概型概率公式可知()3P A 10=. 【点睛】该题考察的是有关频率分布直方图的问题，涉及到的知识点有直方图的性质，应用直方图求中位数和平均数，古典概型概率公式，属于简单题目.(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+，记函数()f x m n =⋅．〔1〕求不等式1()4f x >的解集； 〔2〕在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设3()24A f =且sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，1b =，求ABC ∆的面积S 的值．【答案】〔1〕2,,3k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭〔2〕4【解析】 【分析】〔1〕由题可得11()sin(2)262f x m n x π=⋅=-+，所以不等式1()4f x >可化为：1sin(2)62x π->-，进而得出答案．〔2〕〕由〔1〕知：3()24Af =，解得3A π=，由正、余弦定理及1b =得：222222cos a c b b c a bc A +==⎧⎨+-=⎩，从而得出1a c ==，再求出ABC ∆的面积S 的值． 【详解】〔1〕由(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+得：1cos2()1111322cos22sin(2)242262x x x x x x ππ++=+=--+=-+． ∴不等式1()4f x >可化为：1sin(2)62x π->-，∴7222666k x k πππππ-<-<+，k Z ∈． 即：2,3k x k k Z πππ<<+∈，∴不等式的解集为：2,,3k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭〔2〕由〔1〕知：113()sin()22624Af A π=-+=，∴1sin()62A π-=， 又∵02A π<<，∴663A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=因为sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，所以2sin sin sin B A C =+再由正、余弦定理及1b =得：222222cos a c b b c a bc A +==⎧⎨+-=⎩， ∴21()()a c c a c a c +=⎧⎨++-=⎩，∴1a c == 所以ABC ∆是正三角形，故S =【点睛】此题以向量为背景考察三角函数的根本公式以及解三角不等式，考察正、余弦定理和三角形的面积计算，属于一般题．。

河北省张家口市第一中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)n n a n =--C ．(1)(21)n n a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--2．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D3．在数列{}n a ，18a =，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．22(1)n a n =+B ．4(1)n a n =+C ．28n a n =D ．4(1)n a n n =+4．已知数列{}n a 满足131a =，12n n a a n+-=，则n an 的最小值为（ ）A ．616B ．515C ．535D ．2125．若过原点的直线l 与圆22430x x y -++=有两个交点，则l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．50,,66πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭6．已知双曲线221mx ny +=与抛物线28x y =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为 A ．2213y x -=B ．2213x y -=C ．2215y x -=D ．2215x y -=7．已知A ，B 是过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足2AF FB =，OAB S =△，则p =（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,n S 为其前n 项和,且满足()2*21nn a S n N -=∈.若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的*n N ∈恒成立,则实数λ的取值范围是 A ．[]0,15 B ．77,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．7715,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是( )A ．2qB ．数列{2}n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{lg }n a 是公差为2的等差数列 10．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 10x a y -+=的倾斜角的取值范围为30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦B ．“5c =”是“点()2,1到直线340x y c ++=距离为3”的充要条件C ．直线:3(0)l x y R λλλ+-=∈恒过定点()3,0D ．直线25y x =-+与直线210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切 11．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且33a =，5218S S +=，21211n n n b a a -+=⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（ ） A ．1n a n =- B ．(1)2n n n S += C ．112121n b n n =--+ D ．101021T =12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为()1,0B ．若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点FD ．若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2三、填空题13．记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 14．焦点在x 轴上的椭圆22194x y k+=+的离心率为23，则实数k 的值为___________.15．已知递增数列{}n a 满足()2112,N n n n a a a n n -+=⋅≥∈，且34128a a ⋅=，1666a a +=，则2122210log log log a a a ++⋅⋅⋅+=___________. 四、双空题16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 五、解答题17．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于,A B 两点.（I ）用p 表示||AB ；（Ⅱ）若3,OA OB ⋅=-求这个抛物线的方程18．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b .(1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）19．点)M在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且点M 到椭圆两焦点的距离之和为(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线()1y k x =+与椭圆C 相交于,A B 两点，若7,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：PA PB →→⋅为定值20．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）令3(1)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T21．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设bn ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3an ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .22．在平面直角坐标系xOy 中，有三条曲线：Ⅱ221(04)4x y m m+=<<；Ⅱ221(0)4x y n n-=>；Ⅱ22(0)y px p =>.请从中选择合适的一条作为曲线C ，使得曲线C 满足：点F (1，0)为曲线C 的焦点，直线y =x -1被曲线C 截得的弦长为8. （1）请求出曲线C 的方程；（2）设A ，B 为曲线C 上两个异于原点的不同动点，且OA 与OB 的斜率之和为1，过点F 作直线AB 的垂线，垂足为H ，问是否存在定点M ，使得线段MH 的长度为定值?若存在，请求出点M 的坐标和线段MH 的长度；若不存在，请说明理由.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据数列每项的绝对值组成等差数列进行求解即可. 【详解】Ⅱ数列{an }各项值为1-，3，5-，7，9-，，Ⅱ各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，Ⅱ|an |＝2n ﹣1 又Ⅱ数列的奇数项为负，偶数项为正，Ⅱan ＝（﹣1）n （2n ﹣1）. 故选：C 2．D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线斜率公式可知12b a =，即可求出结果.【详解】由双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的斜率为12，可知12b a =，故选：D. 3．A 【解析】 【分析】由已知可得==的等差数列，从而先利用等差数列n a 【详解】，=所以==(1)n n -+，所以22(1)n a n =+.故选：A. 【点睛】此题考查等差数列的判定和基本量的计算，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】应用累加法求得(1)31n a n n =-+，结合基本不等式及数列的性质有5n =或6n =时na n有的最小值，进而比较它们的大小即可确定答案. 【详解】由题设，12n n a a n +-=，Ⅱ21321()()...()2(12...1)(1)n n a a a a a a n n n --+-++-=⋅+++-=-， Ⅱ1(1)n a a n n -=-，又131a =，则(1)31n a n n =-+，Ⅱ31111n a n n n =+-≥=，当且仅当(5,6)n =时等号成立，而*N n ∈， Ⅱ当5n =时，31515155n a n =+-=；当6n =时，31616166n a n =+-=. Ⅱna n 的最小值为616. 故选：A. 5．C 【解析】先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】由22430x x y -++=得()2221x y -+=，所以圆()2221x y -+=的圆心为()2,0，半径为1r =，因此为使过原点的直线l 与圆22430x x y -++=有两个交点，直线l 的斜率必然存在， 不妨设直线l 的方程为：y kx =，即0kx y 201k r k 2211k ，整理得213k <，解得k <<记l 的倾斜角为θ，则33tan 33θ， 又[)0,θπ∈，所以50,,66ππθπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：C. 6．A 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，可得114n m-=，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式列关于,m n 的方程，解方程组即可得到结果. 【详解】抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2F , 可得双曲线221mx ny +=的焦点为()0,2F , 化221mx ny +=为22111y x n m-=- ,得2211,a b n m ==-, ∴双曲线的一条渐近线方程为y x ==， 由点F 到双曲线渐近线的距离等于1，1= ,即=，Ⅱ 又 222+=a b c ，即114n m -=，Ⅱ联立ⅡⅡ解得1,13n m ==-，∴双曲线的方程为2213y x -=，故选A .【点睛】本题主要考查抛物线、双曲线的方程及简单性质,是中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 7．A 【解析】 【分析】由2AF FB =，得到2AC BD =，得出点E 为AC 的中点，求得BE =，结合题设条件和26OABOAFOBFSSSp AB =+=⋅，列出方程，即可求解. 【详解】不妨设直线AB 的斜率0k >，过,A B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为,C D ， 过B 作BE AC ⊥于点E ，因为2AF FB =，可得2AF FB =，即2AC BD =，所以点E 为AC 的中点，即13AE AB =，所以BE =，又由126OAB OAF OBFSSSBE OF p AB =+=⋅=⋅，因为OAB S =△p AB =⋅，解得2p =. 故选：A.8．C【解析】 【详解】由题意知221(21)n n n S n a a -=-=，则21n a n =-，当n 为偶数时,由11(1)8(1)n n n n a nλ++-+⋅-≤，得821n n n λ-+≤，即(8)(21)n n n λ-+≤，因为(8)(21)821515n n n n n-+=--≥-，所以15λ≤-；当n 为奇数时,原不等式等价于(8)(21)n n nλ++-≤，因为(8)(21)8772173n n n n n -+=++≥，故773λ-≤，即773λ≥-，综上,实数λ 的取值范围是77[,15]3--，故选C. 点睛：本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，把数列的知识和不等式的恒成立相结合，有效地考查了对知识的综合应用能力. 9．ABC 【解析】 【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31(1)18a q +=，21()12a q q +=，公比q 为整数．解得1a ，q ．可得n a ，n S ，进而判断出结论． 【详解】解：1418a a +=，2312a a +=，31(1)18a q +=，21()12a q q +=，公比q 为整数． 解得12a q ==．2nn a ∴=，12(21)2221n n n S +-==--．122n n S +∴+=，∴数列{2}n S +是公比为2的等比数列．9822510S =-=．lg lg 2n a n ．数列{lg }n a 是公差为lg 2的等差数列．综上可得：只有ABC 正确． 故选：ABC ． 10．ACD 【解析】 【分析】利用斜截式方程求解直线的倾斜角的范围判断A ；利用点到直线的距离判断B ；直线系恒过的点的判断C ；直线的平行与圆的位置关系判断D . 【详解】解：直线sin 10x y α-+=的倾斜角θ，可得tan sin [1θα=∈-，1]，所以θ的取值范围为[0，3][44ππ，)π，所以A 正确； “点(2,1)到直线340x y c ++=距离为33=．解得5c =，25c =-，所以“5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确；直线():30()l x y R λλ-+=∈恒过定点(3,0)，所以C 正确； 直线25y x =-+即250x y +-=与直线210x y ++=25y x =-+与圆225x y +=相切，所以D 正确； 故选：ACD ． 11．BD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可判断AB 选项，由裂项求和法可判断CD 选项. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则由题意得3152123, 71118,a a d S S a d =+=⎧⎨+=+=⎩解得11,1,a d =⎧⎨=⎩n a n ∴=，(1)2n n n S +=，ⅡA 错误，B 正确； 212111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n -+⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，C 错误；Ⅱ数列{}n b 的前10项和为121011111111111011233557192122121b b b ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确. 故选：BD. 12．BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确. 【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误； 设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确； 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-，所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =， 所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB =， 所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+，因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立， 所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确， 综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 13．1213. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 14．1 【解析】 【分析】根据给定条件确定椭圆长短半轴长，再利用椭圆离心率计算公式列式计算得解. 【详解】因椭圆22194x y k+=+的焦点在x 轴上，其长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，离心率为e ，于是得229,4a b k ==+，23e =，因此有：2222225499c a b k e a a --====，解得1k =， 所以实数k 的值为1. 故答案为：1 15．55 【解析】 【分析】根据题设知{}n a 为等比数列且1q >，再由已知条件求出等比数列基本量并写出等比数列通项公式，最后由对数的运算性质求目标式的值. 【详解】由题设，显然0n a >，则11n n n na aa a +-=，故{}n a 为等比数列且1q >， Ⅱ25341128a a a q ⋅==，5161(1)66a a a q +=+=，解得：122a q =⎧⎨=⎩或16412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍）， Ⅱ2n n a =，则2122210log log log 12...1055a a a ++⋅⋅⋅+=+++=. 故答案为：55. 16．【解析】 【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=a ，即可求得离心率． 【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以k =由21212,24PF k F F c F F ===，所以2PF =，21121=sin PF PF PF F ⨯∠于是122PF a PF +==a =c e a ===17．（I ）4p;（Ⅱ）24y x = 【解析】 【详解】试题分析：（1）将直线方程与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的定义得出AB ；（2）利用根与系数的关系用p 表示出1212x x y y ， ，根据3OA OB ⋅=-列方程解出p ，从而得出抛物线方程．试题解析：（I ）抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,过点F 且倾斜角为4π的直线方程为2p y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由 22,,2y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22304p x px -+=， 212123,,4p x x p x x ∴+==124AB x x p p ∴=++=（Ⅱ）由（I ）知，212123,,4p x x p x x ∴+== 121222p p y y x x ⎛⎫⎛⎫∴=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()222221212324424p p p p p x x x x p =-++=-+=-，22212123344p p OA OB x x y y p ∴⋅=+=-=-=-，解得24, 2.p p =∴=∴这个抛物线的方程为24y x =18．(1)()2015%nn a =+，6 1.5n b n =+(2)2327420 1.0542044n n S n n =⨯---，今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨 【解析】 【分析】（1）由题意，分析得到数列{}n a 是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列，由此求解即可；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式列式求解即可. (1)由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b ，Ⅱ{}n a 是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；{}n b 是以6 1.57.5+=为首项，1.5为公差的等差数列，Ⅱ()2015%nn a =+，6 1.5n b n =+.(2)设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S ， Ⅱ()()11n n n S a b a b =-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()220 1.0520 1.0520 1.057.596 1.5n n =⨯+⨯++⨯-++++()()()20 1.051 1.057.56 1.51 1.052n n n +⨯-=-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---， 当5n =时，63.5n S ≈.Ⅱ今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.19．（1）221553x y +=（2）49【解析】 【详解】试题分析：（1）利用椭圆的定义和点在椭圆上进行求解；（2）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积定义进行求解. 试题解析：（1）222112a b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得22553a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即椭圆的方程为221553x y += （2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立()2211553y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得()2222136350k x k x k +++-=．2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 112212127777,,3333PA PB x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2221212749139k x x k x x k ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭2222316549319k k k k ---=+++ 49=20．（1）见解析（2）1(33)26n n T n +∴=-⋅+【解析】 【分析】（1）将式子合理变形，即可化成1121n n a a ++=+，从而证明{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出{}n a 的通项公式.（2）由数列{}n b 的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n 项和n T . 【详解】（Ⅱ）证明：由题意可得： 112(1)n n a a ++=+，则1121n n a a ++=+，又112a += 故{}1a +是以首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，故21n n a =-（2）由（1）知32nn b n =⋅12313262923(1)232n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 234123262923(1)232n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅12313(222232n n n T n +∴-=⨯++++⋅）-1(33)26n n T n +∴=-⋅+【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得*1,0)(2,n n a qq n n N a -≠=≥∈即可，其中q 为常数；（2）等比中项法：证得211n n n a a a +-=即可.21．（1）13n n a =；（2）21nn -+. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可； （2）由an ＝13n化简bn ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3an ，可得到bn 的通项公式，求出1n b 的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{an }的公比为q , 由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19.由条件可知q ＞0,故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13.故数列{an }的通项公式为an ＝13n. （2）bn ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3an ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()12n n +. 故()1211211b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭.121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 22．（1）24y x =；（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）利用焦点以及弦长排除ⅡⅡ，从而可得12p=，进而求出抛物线. （2）OA 、OB 的斜率存在且不为0，AB 不可能是斜率为0的直线，设AB 方程：x my t =+，与抛物线联立，设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用韦达定理求出4t m =-，再将AB 、FH 方程联立，求出交点H ，AB 过点()0,4，观察两个定点()1,0F ，()0,4M '，由MHFH '⊥，根据直角三角形的性质即可证出. 【详解】（1）对于Ⅱ，21c =>>，故排除Ⅱ； 假设Ⅱ为曲线C ，则有41m =+，解得3m =，将直线1y x =-代入22143x y+=，整理可得27880x x --=， 解得x =，此时弦长为24877≠，故排除Ⅱ； 所以曲线C 为Ⅱ， 则12p=，解得2p =， 所以曲线C 的方程为24y x =.（2）易知OA 、OB 的斜率存在且不为0，AB 不可能是斜率为0的直线，设AB 方程：x my t =+，代入24y x =，可得2440y my t --=，0∆>，设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则124y y m +=，124y y t ，且()1212221212124444144y y y y m y y y y y y t+-+=+===，解得4t m =-， 联立AB 、FH 方程，即()1x my t y m x =+⎧⎨=--⎩，解得()()2241411m m x m m m y m ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()22441,11m m m m H m m -+⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭， 已知AB 过点()0,4，不妨猜测M 可能为()0,4， 则MH ==MH 为定值，观察两个定点()1,0F ，()0,4M '，由于MH FH '⊥，故H 在以M F '为直径的圆上，MF'∴的中心为圆心，圆心到H 的距离恒为12M F '=M F '中点M 为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，MH =， 所以定点M 1,22⎛⎫⎪⎝⎭，线段MH 的长度为定值，且MH =. 【点睛】关键点点睛：根据焦点以及弦长确定曲线C ，解题的关键是求出直线AB 过点()0,4，围绕()0,4以及焦点()1,0F ，进行求解，考查了考生的计算求解能力.。

广陵区中学2021-2021学年高二数学上学期12月月考试题〔含解析〕一、单项选择题：{}n a 中，36a =-，754a a =+，那么1a =〔 〕A. 10-B. 2-C. 2D. 10【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得2d =，进而可得1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 那么7524a a d -==可得2d =. 所以3126410d a a =-=--=-. 应选A.【点睛】此题主要考察了等差数列的根本量运算，属于根底题.22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上的一个必要不充分条件是〔 〕 A. 23m <<B. 522m <<C.532m << D.1134m << 【答案】A 【解析】 【分析】先求出“方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上〞对应的m 的取值范围，再根据必要不充分条件与集合之间的包含关系即可求解．【详解】方程22123x y m m +=--表示焦点在x 轴上，所以230m m ->->，解得532m <<， 所以23m <<是532m <<的必要不充分条件． 应选：A ．【点睛】此题主要考察必要不充分条件的判断，解题关键是将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，属于根底题．4816322,,,,,3579⋅⋅⋅的一个通项公式n a =〔 〕 A. 21n n -B. 2n nC. 221nn -D.221nn + 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式。

【详解】将2写成21，因为数列各项分子为2,4,8,16,32,…，是以2为首项和公比的等比数列，分母为1,3,5,7,9, …，是以1为首项,以2为公差的等差数列,所以此数列的一个通项公式为221nn a n =-. 应选：C ．【点睛】此题主要考察观察法求数列的通项公式，以及等差、等比数列通项公式的应用，考察学生分析解决问题的才能，属于根底题．4.△ABC 为等腰直角三角形，假设双曲线E 以A ，B 为焦点，并经过点C ，该双曲线的离心率是〔 〕A. 21-B.22C. 2D. 21+【答案】D 【解析】 【分析】设2AB c =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系，可求出该双曲线的实轴长为2222a CA CB c c =-=-，从而求出离心率．【详解】设2AB c =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．依题意可知，22CA c =，由双曲线的定义可知， 双曲线的实轴长为2222a CA CB c c =-=-， 所以该双曲线的离心率是21222c e a ===-． 应选：D ．【点睛】此题主要考察双曲线的简单性质应用，建立适当的坐标系，得到实轴长和焦距是解题关键，考察学生数学建模的才能，属于中档题．5.?兴趣数学·屠夫列传?中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问一共屠几何？〞其意思为：“有一个姓戴的人擅长屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，一共屠了30天，问一一共屠了多少两肉？〞 〔 〕 A. 3052⨯B. 2952⨯C. 3021-D.()30521⨯-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ， 所以15a =，2q，因此303030130(1)5(12)5(21)112-⨯-===⨯---a q S q . 应选D【点睛】此题主要考察等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于根底题型. 6.如下图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N 〔 〕创作；朱本晓 2022年元月元日A. 12a b c -++B. a b c -++C. 12a b c --+ D.12a b c -+【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示，用1AA ，AB ，AD 表示出1A N 即可． 【详解】解：N 是BC 的中点，11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.应选A.【点睛】此题考察了空间向量的线性表示与应用问题，是根底题目．7.等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，假设a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，那么2163n n S a ++的最小值为〔 〕A. 4B. 3C. 2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，可得：a 32=a 1a 13，即〔1+2d 〕2=1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2163n n S a ++利用别离常数法化简后，利用根本不等式求出式子的最小值．【详解】解：∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1， ∴a 32=a 1a 13，∴〔1+2d 〕2=1+12d ，d ≠0，解得d =2．∴a n =1+2〔n -1〕=2n -1．S n =n +()12n n -×2=n 2． ∴2163n n S a ++=221622n n ++=()2(1)2191n n n +-+++=n +1+91n +-， 当且仅当n +1=91n +时取等号，此时n =2，且2163n nS a ++取到最小值4，应选A ．【点睛】此题考察了等差数列的通项公式、前n 项和公式，等比中项的性质，根本不等式求最值，解题的关键是利用别离常数法化简式子，凑出积为定值．8.F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为〔 〕A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，确定APF ∆周长最小时，P 的坐标，即可求出APF ∆周长最小时，该三角形的面积．【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+，APF ∴∆的周长为1122PA PF AF PA a PF AF PA PF AF a ++=+++=+++，由于2a AF +是定值，要使APF ∆的周长最小，那么1PA PF +最小，即P 、A 、1F 一共线，()0,66A ，()13,0F -，∴直线1AF 的方程为1366x y+=-， 即326yx =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或者86y =-〔舍〕，所以P 点的纵坐标为26，111166662612622APF AFF PFF S S S ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=.应选C.【点睛】此题考察双曲线的定义，考察三角形面积的计算，确定点P 的坐标是关键． 二、多项选择题9.以下说法正确的选项是〔 〕A. “2019x =〞是“x =2021〞的充分条件B. “x =-1〞的充分不必要条件是“2230x x --=〞C. “m 是实数〞的充分必要条件是“m 是有理数〞D. 假设0b a <<，那么11a b< 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，可以判断选项,,A B C 的真假，根据不等式性质可以判断选项D 的真假．【详解】对于选项A ，20192019x x =⇔=±，所以“2019x =〞是“x =2021〞的必要条件；对于选项B ，2230x x --=，解得1x =-或者3x =，所以“x =-1〞的必要不充分条件是“2230x x --=〞；对于选项C ，“m 是实数〞的充分不必要条件是“m 是有理数〞； 对于选项D ，0b a <<，所以0b a ->->，即11b a <--，所以11a b<． 应选：D ．【点睛】此题主要考察充分、必要条件的定义应用，属于根底题．{}n a 中，满足11,2a q ==，那么〔 〕A. 数列{}2n a 是等比数列B. 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C. 数列{}2log n a 是等差数列 D. 数列{}n a 中，102030,,S S S 仍成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求出等比数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}2n a ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2log n a 的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前n 项和公式，可求出102030,,S S S ，即可判断选项D 的真假．【详解】等比数列{}n a 中，11,2a q ==，所以12n na ，21n n S =-．于是124n n a -= ，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 1n a n =-，故数列{}2n a 是等比数列，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，数列{}2log n a 是等差数列．因为10203010203021,21,21,S S S =-=-=-20301020S S S S ≠ ，所以102030,,S S S 不成等比数列． 应选：AC ．【点睛】此题主要考察等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于根底题．1,,9a 成等比数列，那么圆锥曲线2212x y a +=的离心率为〔 〕【答案】BC 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出a ，再判断曲线类型，进而求出离心率【详解】由三个数1,,9a 成等比数列，得29a =，即3a =±；当3a =，圆锥曲线为22132x y +=，曲线为椭圆，那么e =；当3a =-时，曲线为22123y x -=，曲线为双曲线，e ==，应选BC【点睛】此题考察等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解a 的取值，属于中档题F 是抛物线()220y px p =>的焦点，AB ,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ,A 两点在x 轴上方.那么以下结论中一定成立的是〔 〕A. 234⋅=-OC OD p B. 四边形ACBD 面积最小值为216p C.1112AB CD p+= D. 假设24AF BF p ⋅=，那么直线CD的斜率为【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的极坐标方程求出,,,AF BF AB CD ，然后即可计算求解，判断出各选项的真假．【详解】设AB 的倾斜角为θ，那么有222222|AB |,|CD |sin cos sin 2pp pπθθθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1112AB CD p +=，C 正确； ||,||1cos 1cos p p AF BF θθ==-+，假设24AF BF p ⋅=，那么1sin 2θ=，tan 3θ=， 直线CD的斜率为，D 正确；22222212882sin cos sin 2ABCDp B D p S p A C θθθ===，所以B 不正确； 设()()1122,,,C x y D x y ，由抛物线过焦点弦的性质可知，221212,4p x x y y p ==-，2121234OC OD x x y y p ⋅=+=-，所以A 正确．应选：ACD ．【点睛】此题主要考察直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考察学生的数学运算才能，属于较难题． 三、填空题3131(,,1)(,,0)222a b =-=-,假设空间単位向量c 满足:0c a c b ⋅=⋅=，那么c =________.【答案】132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者13,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设出c 对应的坐标形式，根据0c a c b ⋅=⋅=以及1c =列出对应的方程组，求解出c 的坐标表示.【详解】设(),,c x y z =， 因为0c a c b ⋅=⋅=且1c =，所以2223102231021x y z x y x y z ⎧-++=⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪⎪⎩，解得：12320x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩或者12320x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以13,22c ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭或者1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考察空间向量的数量积计算的简单应用，难度较易.空间向量()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，那么121212a b x x y y z z ⋅=++.p ：[]1,1m ∃∈-，2532a a m --<+，且p 是假命题，那么实数a 的取值范围是______．【答案】(][),16,-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】命题p 是假命题,那么利用其否认为真命题,再参变别离进展求解即可． 【详解】∵命题p ：[]1,1m ∃∈-,2532a a m --<+是假命题,那么 ∴[]1,1m ∀∈-,2532a a m --≥+恒成立, ∴2533a a --≥,2560a a --≥ ∴1a ≤-或者6a ≥,故答案为(][),16,-∞-⋃+∞．【点睛】此题考察特称命题的否认与恒成立问题,属于根底题型．{}n a 的通项公式是23()n a n n *=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *+=∈N 且11b a =，那么数列{}n b 的通项公式为________．【答案】223n n b +=-【解析】 【分析】根据可得123n n b n b a b +==+,然后两边同时加上3,变形为132(3)n n b b ++=+,再利用等比数列通项公式可得答案.【详解】因为23n a n =+,所以123n n b n b a b +==+, 所以132(3)n n b b ++=+, 又11335380b a +=+=+=≠,所以数列{3}n b +是首项为8,公比为2的等比数列,所以1382n n b -+=⨯22n +=, 所以223n n b +=-. 故答案为: 223n n b +=-【点睛】此题考察了等比数列的定义以及通项公式,属于根底题.22(0)x py p =>上一点)(1)A m m >到抛物线准线的间隔 为134，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点E ，点F 为内切圆上任意一点，那么•OE OF 的取值范围为__________．【答案】[3 【解析】因为点)A m 在抛物线上，所以3322pm m p =⇒=，点A 到准线的间隔 为313224p p +=，解得12p =或者6p ．当6p 时，114m =<，故6p 舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴3)(3)A B ，，所以OAB 是正三角形，边长为圆方程为22(2)1x y +-=，如下图，∴32E ⎫⎪⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+〔θ为参数〕，那么33π·cos 3sin 3226OE OF θθθ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴·[33OE OF ∈-+．【点睛】此题主要考察抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用条件得到抛物线的方程，进而可得到OAB ∆为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点E 的坐标，可利用内切圆的方程设出点F 含参数的坐标，进而得到π·336OE OF θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键. 四、解答题17.〔1〕x >2，求132x x +-的最小值； 〔2〕0,0a b >>，且122a b+=，求+a b 的最小值. 【答案】〔1〕236；〔2〕322+. 【解析】 【分析】 〔1〕因为()11332622x x x x +=-++--，由根本不等式即可求出最小值； 〔2〕因为122a b +=，所以1112a b +=，于是+a b ＝()1111222b aa b a b a b ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭， 由根本不等式即可求出最小值．【详解】〔1〕()11332623622x x x x +=-+++--，当且仅当32x -=时取等号，所以132x x +-的最小值为6． 〔2〕因为122a b +=，所以1112a b+=， 于是+a b ＝()1113122222b a a b a b a b⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，当且仅当12,22a b ==时取等号，所以+a b 【点睛】此题主要考察根本不等式的应用，使用注意“一正二定三相等〞，以及“和定积最大，积定和最小〞，属于根底题．{}n a 的前n 项和n S 满足(){}1*22,n n n S n N b +=-∈是等差数列，且3412,a b b =-64.b a =〔1〕求{}n a 和{}n b 的通项公式； 〔2〕求数列(){}21nn b -的前2n 项和2.n T【答案】〔1〕2nn a =,32n b n =-〔2〕22183n T n n =-【解析】 【分析】〔1〕根据数列{}n a 的前n 项和()1*22n n S n N +=-∈，可以判断出数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，因此可求出2nn a =，再设出等差数列{}n b 的公差为d ，列出关于等差数列{}n b 首项1b 和公差d 的两个方程，解出1b 和d ，即可求出{}n b 的通项公式； 〔2〕根据数列(){}21nn b -的特点，采用并项求和法，即可求出前2n 项和2n T ．【详解】〔1〕因为122n n S +=-，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=，当1n =时，也符合上式．所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =．设等差数列{}n b 的公差为d ，由3412a b b =-，64b a =，所以183d b =-，1165d b =+，即3d =，11b =，故32n b n =-． 〔2〕22222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋅⋅⋅+-+12342123()3()3()n n b b b b b b -=++++⋅⋅⋅++又因为32n b n =-，所以2n T 12342121223()3()3()3()n n n b b b b b b b b b -=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，所以[]21222()3313(2)21832n n n b b T n n n n +=⨯=+⨯-=-．【点睛】此题主要考察等差、等比数列通项公式的求法以及并项求和法求数列的和，意在考察学生的数学运算才能，属于中档题．1111ABCD A B C D -中，边长为2，利用综合法完成以下问题：〔1〕求点1A 到平面1ACB 的间隔 ； 〔2〕求二面角11A B C A --的余弦值. 【答案】〔123〔2〕63【解析】 【分析】〔1〕根据等积法可知，1111A ACB C A AB V V --=，因此求出11C A AB V -和1ACB S ，即可求出点1A 到平面1ACB 的间隔 ；〔2〕分别取11,B C A C 的中点,E F ，连接,,AE AF EF ，由题意可知AEF ∠即为二面角11A B C A --的平面角，在AEF 中，根据余弦定理即可求出．【详解】〔1〕因为1ACB 为边长为22的等边三角形，所以112222sin 2323ACB Sπ=⨯⨯⨯=， 而11114222323C A AB V -=⨯⨯⨯⨯=，设点1A 到平面1ACB 的间隔 为d ，由1111A ACB C A AB V V --=可得，142333d ⨯⨯=，解得233d =． 〔2〕分别取11,B C A C 的中点,E F ，连接,,AE AF EF ．因为1ACB 为边长为22的等边三角形，所以1AE B C ⊥，22sin63AE π=⨯= ，又11A B C 为直角三角形，而EF 为11A B C 的中位线，所以111//,,1EF A B EF B C EF ⊥=，故AEF ∠即为二面角11A B C A --的平面角． 在AEF 中，1132AF AC ==，所以1636cos 326AEF +-∠== ． 故二面角11A B C A --的余弦值为63．【点睛】此题主要考察利用综合法求点到面的间隔 以及二面角的余弦值，意在考察学生的直观想象才能和数学运算才能，属于中档题．20.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AB =2，BC =1，2PC PD ==，E 为PB 中点.利用空间向量方法完成以下问题：〔1〕求二面角E -AC -D 的余弦值；〔2〕在棱PD 上是否存在点M ，使得AM BD ⊥？假设存在，求PMPD的值；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕66-〔2〕在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥，且12PM PD = 【解析】 【分析】〔1〕取CD 的中点O ，建立空间坐标系，分别求出平面ACE 和ACD 的法向量，再由二面角的向量公式即可求出；〔2〕假设存在点M ，设出点M 的坐标，由,,P M D 三点一共线得PM PD λ=，[0,1]λ∈， 可用λ表示出点M ，再利用0AM BD ⋅=，求出λ，满足[0,1]λ∈即可，即得PMPD的值． 【详解】〔1〕取CD 的中点O ，连结PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形,所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点,所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ,PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -,那么111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A CB P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-所以20,2,0,131.00222x y x y AC m z y x y z AE m -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩令1y =，那么2,1x z ==-，所以()2,11m =-，.平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =，那么cos ,6m OP m OP m OP⋅<>==-⋅||.如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为6-. 〔2〕在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PMM x y z PD=∈λλ,那么(),01,0PM PD D λ=-，.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ,所以(0,,1)M --λλ.(1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--λλ.因为AM BD ⊥,所以0AM BD ⋅=.所以121=0--λ（），解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥，且12PM PD =. 【点睛】此题主要考察利用空间向量求二面角，以及点的存在性问题，解题关键是通过题意建立恰当的空间坐标系，准确求出各点坐标，意在考察学生的直观想象才能和数学运算才能，属于中档题．{}n a 的前n 项和n S 满足22 2.n n n S a a =+-〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设()21n n nn b na -=〔n ∈N *〕，求数列{}n b 的前n 项和n T ;〔3〕是否存在实数λ使得2n n T S λ+>对n N +∈恒成立，假设存在，务实数λ的取值范围，假设不存在说明理由．【答案】〔1〕()*1n a n n N =+∈〔2〕1221n n T n +=-+〔3〕存在，49λ＜【解析】 【分析】〔1〕根据n S 与n a 的关系1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，即可求出{}n a 的通项公式；〔2〕由()()211n n n b n n -=+ ，可采用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T ；〔3〕假设存在实数λ，使得()13212n n n n λ+++＞对一切正整数恒成立， 即()()2213n n n n λ+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13n min n n n λ+++＜即可，利用作差法得出()()()2213n f n n n n +=++其单调性，即可求解．【详解】〔1〕当n =1时，a 1=2或者-1〔舍去〕．当n ≥2时，()()()221112222n n n nn n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦， 整理可得：〔a n +a n -1〕〔a n -a n -1-1〕=0，可得a n -a n -1=1，∴{a n }是以a 1=2为首项，d =1为公差的等差数列．∴()()*2111n a n n n N=+-⨯=+∈．〔2〕由〔1〕得a n =n +1，∴()()1212211n n nn n b n n n n +-==-++． ∴232112222222223211n n n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．〔3〕假设存在实数λ，使得()13212n n n n λ+++＞对一切正整数恒成立， 即()()2213n n n n λ+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13n min n n n λ+++＜即可， 令()()()2213n f n n n n +=++，那么()()()()()()()1228112+34n n f n f n n n n n n +-+-=+++当()()()()3,+1;12,+1n f n f n n f n f n ≥>≤≤<故f 〔1〕=1，f 〔2〕=815，f 〔3〕=49，()16435f =＞f 〔5〕＞f 〔6〕＞…当n =3时有最小值()439f =，所以49λ＜．【点睛】此题主要考察利用n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题．()2222:10x y C a b a b+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM ,AN 并延长交直线x =4于()()3344,,,E x y F x y 两点，假设12341111y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，假如是，恳求出定点坐标，假如不是，请说明理由.【答案】〔1〕22143x y +=〔2〕直线MN 恒过定点()1,0,详见解析【解析】 【分析】〔1〕依题意由椭圆的简单性质可求出,a b ，即得椭圆C 的方程；〔2〕设直线AM 的方程为：12x t y =-，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求得点M 的坐标，同理可求出点N 的坐标，根据,M N 的坐标可求出直线MN 的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标． 【详解】〔1〕由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=.∴椭圆方程为22143x y +=. 〔2〕设直线AM 的方程为：12x t y =-，那么()122211234120143x t y t y t y x y =-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩ ∴0y =或者1211234t y t =+，∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++，同理222226834t x t -=+，22221234t y t =+ 当34x =时，由3132x t y =-有316y t =.∴164,E t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理264,F t ⎛⎫⎪⎝⎭，又12341111y y y y +=+ ∴221212123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126t t t t t t t t +++⇒= 当120t t +≠时，124t t =-∴直线MN 的方程为()121112y y y y x x x x --=--122221121222212112212121212343468686834343434t t t t t t y x t t t t t t -⎛⎫++-⇒-=- ⎪--++⎝⎭-++211221121126843434t t y x t t t t ⎛⎫-⇒-=- ⎪+++⎝⎭211221212116812443434t t y x t t t t t t -⇒=-⋅+++++()()()()212121211243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0.. 综上:直线MN 恒过定点()1,0.【点睛】此题主要考察利用椭圆的简单性质求椭圆的HY 方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考察学生的逻辑推理才能和数学运算才能，属于难题．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2021年高二上学期12月月考数学试题含答案题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（共60分）B.C.D.10.（5分）已知点（m，n）在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是（）．A. B.C. D.11.（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.直角三角形12.（5过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )A. B. C.D.(理科做)设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）．A. B. C.（2，5） D.评卷人得分二、填空题（共20分）13.（5分）命题“x0R，x0≤1或”的否定为____________________________．14.（5分）已知命题p：x2－x≥6，q：x Z，“p且q”与“非q”同时为假命题，则x的取值为________．15.（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．16.（5分）已知椭圆+ =1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|=____________.评卷人得分三、解答题（共70分）17.（10分）已知p、q都是r的必要条件，s 是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？18.（12分）在直角坐标系中,求点(2x+3-x2,)在第四象限的充要条件.19.（12分）椭圆过(3,0)点,离心率e=,求椭圆的标准方程.20.（12分）椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.21.（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程.22. (文科做)（12分）椭圆（a，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，，．求椭圆C的方程．(理科做)已知直线y=ａx+1与双曲线３x2-y2=1交于A、B两点,(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线对称?若存在,请求出a 的值;若不存在,请说明理由.高二数学参考答案一、选择题1.答案：B解析：原命题为真,逆否命题为真,逆命题,否命题为假.“a=b,c=d”的否定为“a≠b或c≠d”.2.答案：B解析：若“tanα=1”，则α=kπ+，α不一定等于;而若“α=”,则tanα=1，∴“tanα=1”是“α＝”的必要而不充分条件，选B.3.答案：B解析：若x2+(y-2)2=0x=0且y-2=0x(y-2)=0,但当x(y-2)=0时x2+(y-2)2=0,如x=0,y=3.4.答案：D解析：因为p:2∈(A∪B),所以p:2(A∪B)，即2A且2B.所以2∈SA且2∈B.故2∈(A)∩(B).5.答案：C解析：原函数与反函数的图象关于y=x对称的否定是存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称.6.答案：C解析：由x2+xy=x,得x(x+y-1)=0.∴x=0或x+y-1=0，它们表示两条直线.7.答案：A解析：设P点的坐标为(x,y),则,整理,得8x2+8y2+2x-4y-5=0.8.答案：B解析：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆,∴∴.9.答案：C解析：由题设,知椭圆的方程为(a＞b＞0),则故所求的椭圆方程为10.答案：A解析：方程可化为，故椭圆焦点在y轴上，又，，所以，故.11.答案：D解析：由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8.由题可得|PF1|-|PF2|=2，则|PF1|=5，|PF2|=3.又|F1F2|=2c=4，∴△PF1F2为直角三角形.12.答案：B解析：由P，再由∠F1PF2＝60°，有＝2a，从而可得e＝，故选B．答案：B解析：.∵a＞1，∴，∴，∴，故选B．二、填空题13.答案：x R，x＞1且x2≤414.答案：－1，0，1，2解析：∵“非q”为假命题，则q为真命题；又“p且q”为假命题，则p为假命题，∴x2－x＜6，即x2－x－6＜0且．解得－2＜x＜3且，∴x＝－1，0，1，2．15.答案：．解析：由条件知4b＝2a＋2C．∴2b＝a＋c，4b2＝a2＋c2＋2ac，4（a2－c2）＝a2＋c2＋2ac，即5c2＋2ac－3a2＝0，解得．16.答案：48解析：两焦点的坐标分别为F1（-5，0）、F2（5，0），由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100.而|PF1|+|PF2|=14，∴（|PF1|+|PF2|）2=196，100+2|PF1|·|P F2|=196，|PF1|·|PF2|=48.三、解答题17.答案：解：（1）由图知：∵q s.s rq.∴s是q的充要条件.(2)∵pq,q s r,∴p是q的充要条件.（3）∵q s rp,∴p是q的必要不充分条件.解析：将已知r、p、q、s的关系作一个“”图（如图）.18.答案：解：该点在第四象限或2＜x＜3.所以该点在第四象限的充要条件是或2＜x＜3.解析：第四象限点的横、纵坐标都小于零.19.答案：解:当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=3,,∴c=.从而b2=a2-c2=9-6=3,∴椭圆的方程为当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3,,∴.∴a2=27.∴椭圆的方程为.∴所求椭圆的方程为20.答案：解法一:设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.而,=k OC=,代入上式可得b=a.再由|AB|=|x2-x1|=2,其中x1、x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的两根, 故()2-4·=4,将b=a代入得a=,∴b=.∴所求椭圆的方程是x2+y2=3.解法二:由得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则∵|AB|=2,∴.①设C(x,y),则x==,y=1-x=,∵OC的斜率为,∴=.代入①,得a=,b=.∴椭圆方程为.解析：点评:解法一利用了设点代入、作差,借助斜率的解题方法,称作“差点法”,解法二是圆锥曲线弦长的基本求法,是利用两点间的距离公式求得.21.答案：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是(a＞b＞0)，再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.解：设椭圆方程为(a＞b＞0).由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形.于是|OB2|=|OF|，即b=c.又|FA|=,即a-c=，且a2=b2+c2.将以上三式联立，得方程组解得所求椭圆方程是.解析：点评：要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a、b、c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长等.这将有利于提高解题能力.22. 答案：(文科)解：因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距，从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为．(理科)答案：解:(1)由消去y,得(3-a2)x2-2ax-2=0.①依题意即且. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则∵以AB为直径的圆过原点,∴OA⊥OB.∴x1x2+y1y2=0.但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④,,.∴.解得a=±1且满足②.(2)假设存在实数a,使A、B关于对称,则直线y=ax+1与垂直,∴a,即a=-2.直线l的方程为y=-2x+1.将a=-2代入③得x1+x2=４.∴AB中点横坐标为2,纵坐标为y=-2×2+1=-3.但AB中点(2,-3)不在直线上,即不存在实数a,使A、B关于直线对称.33281 8201 舁36406 8E36 踶22734 58CE 壎 24351 5F1F 弟 27030 6996 榖37299 91B3 醳1 25775 64AF 撯21756 54FC 哼g23904 5D60 嵠+。

第 1 页 共 14 页 2022-2023学年河北省邯郸市永年区第二中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题 1．抛物线2yax的准线方程是2y，则a的值为（ ）

A．18 B．18 C．8 D．8 【答案】B 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到其准线方程，从而得到方程，解得即可. 【详解】解：抛物线2yax的标准方程是21xya，则其准线方程为124ya

所以18a． 故选：B． 2．已知数列na满足11a，11nnnaaa，则6a的值为（ ） A．16 B．14 C．3 D．6 【答案】A 【解析】由题中条件，根据递推公式，逐步计算，即可得出结果.

【详解】因为11a，11nnnaaa，所以121112aaa，23211211312aaa，

34

3

113

11413aaa



，45411411514aaa，56

5

115

11615aaa



.

故选：A. 3．已知双曲线2213xymm的一个焦点是0,2，则实数m的值是（ ） A．1 B．-1 C．105 D．105 【答案】B 【分析】先根据焦点坐标判断焦点所在轴,再由222abc计算即可. 【详解】由焦点坐标，知焦点在y轴上，所以0m， 可得双曲线的标准方程为2213yxmm， 第 2 页 共 14 页

由222abc可得34mm，可得1m

.

故选:B. 4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为 A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3

C．an＝1,123,2nnn D．an＝1,12+3,2nnn 【答案】C 【详解】试题分析：当1n时111aS，当2n时123nnnaSSn，因此数列通项公式1,1{23,2nnann

【解析】数列求通项公式

广陵区中学2021-2021学年高二数学上学期12月月考试题〔含解析〕一、单项选择题：{}n a 中，36a =-，754a a =+，那么1a =〔 〕A. 10-B. 2-C. 2D. 10【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得2d =，进而可得1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 那么7524a a d -==可得2d =. 所以3126410d a a =-=--=-. 应选A.【点睛】此题主要考察了等差数列的根本量运算，属于根底题.22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上的一个必要不充分条件是〔 〕 A. 23m <<B. 522m <<C.532m << D.1134m << 【答案】A 【解析】 【分析】先求出“方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上〞对应的m 的取值范围，再根据必要不充分条件与集合之间的包含关系即可求解．【详解】方程22123x y m m+=--表示焦点在x 轴上，所以230m m ->->，解得532m <<， 所以23m <<是532m <<的必要不充分条件． 应选：A ．【点睛】此题主要考察必要不充分条件的判断，解题关键是将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，属于根底题．4816322,,,,,3579⋅⋅⋅的一个通项公式n a =〔 〕 A. 21n n -B. 2n nC. 221nn -D. 221nn +【答案】C 【解析】 【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式。

【详解】将2写成21，因为数列各项分子为2,4,8,16,32,…，是以2为首项和公比的等比数列，分母为1,3,5,7,9, …，是以1为首项,以2为公差的等差数列,所以此数列的一个通项公式为221nn a n =-. 应选：C ．【点睛】此题主要考察观察法求数列的通项公式，以及等差、等比数列通项公式的应用，考察学生分析解决问题的才能，属于根底题．4.△ABC 为等腰直角三角形，假设双曲线E 以A ，B 为焦点，并经过点C ，该双曲线的离心率是〔 〕A. 21-B.22C. 2D. 21+【答案】D 【解析】 【分析】设2AB c =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系，可求出该双曲线的实轴长为2222a CA CB c c =-=-，从而求出离心率．【详解】设2AB c =，以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．依题意可知，22CA c =，由双曲线的定义可知， 双曲线的实轴长为2222a CA CB c c =-=-， 所以该双曲线的离心率是21222c e a ===-． 应选：D ．【点睛】此题主要考察双曲线的简单性质应用，建立适当的坐标系，得到实轴长和焦距是解题关键，考察学生数学建模的才能，属于中档题．5.?兴趣数学·屠夫列传?中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问一共屠几何？〞其意思为：“有一个姓戴的人擅长屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，一共屠了30天，问一一共屠了多少两肉？〞 〔 〕 A. 3052⨯B. 2952⨯C. 3021-D.()30521⨯-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ， 所以15a =，2q，因此303030130(1)5(12)5(21)112-⨯-===⨯---a q S q . 应选D【点睛】此题主要考察等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于根底题型. 6.如下图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =，AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N 〔 〕A. 12a b c -++B. a b c -++C. 12a b c --+D.12a b c -+【答案】A【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示，用1AA ，AB ，AD 表示出1A N 即可． 【详解】解：N 是BC 的中点，11111222A N A A AB BN a b BC a b AD a b c ∴=++=-++=-++=-++.应选A.【点睛】此题考察了空间向量的线性表示与应用问题，是根底题目．7.等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，假设a 1=1，S n 为数列{a n }的前n 项和，那么2163n n S a ++的最小值为〔 〕A. 4B. 3C. 2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，可得：a 32=a 1a 13，即〔1+2d 〕2=1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2163n n S a ++利用别离常数法化简后，利用根本不等式求出式子的最小值．【详解】解：∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1， ∴a 32=a 1a 13，∴〔1+2d 〕2=1+12d ，d ≠0， 解得d =2．∴a n =1+2〔n -1〕=2n -1．S n =n +()12n n -×2=n 2．∴2163n n S a ++=221622n n ++=()2(1)2191n n n +-+++=n +1+91n +-， 当且仅当n +1=91n +时取等号，此时n =2，且2163n n S a ++取到最小值4，应选A ．【点睛】此题考察了等差数列的通项公式、前n 项和公式，等比中项的性质，根本不等式求最值，解题的关键是利用别离常数法化简式子，凑出积为定值．8.F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为〔〕A.B.C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，确定APF ∆周长最小时，P 的坐标，即可求出APF ∆周长最小时，该三角形的面积．【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+，APF ∴∆的周长为1122PA PF AF PA a PF AF PA PF AF a ++=+++=+++，由于2a AF +是定值，要使APF ∆的周长最小，那么1PA PF +最小，即P 、A 、1F 一共线，(0,66A ，()13,0F -，∴直线1AF 的方程为13x +=-，即326yx =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或者86y =-〔舍〕，所以P 点的纵坐标为26，111166662612622APF AFF PFF S S S ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=.应选C.【点睛】此题考察双曲线的定义，考察三角形面积的计算，确定点P 的坐标是关键． 二、多项选择题9.以下说法正确的选项是〔 〕A. “2019x =〞是“x =2021〞的充分条件B. “x =-1〞的充分不必要条件是“2230x x --=〞C. “m 是实数〞的充分必要条件是“m 是有理数〞D. 假设0b a <<，那么11a b< 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，可以判断选项,,A B C 的真假，根据不等式性质可以判断选项D 的真假．【详解】对于选项A ，20192019x x =⇔=±，所以“2019x =〞是“x =2021〞的必要条件；对于选项B ，2230x x --=，解得1x =-或者3x =，所以“x =-1〞的必要不充分条件是“2230x x --=〞；对于选项C ，“m 是实数〞的充分不必要条件是“m 是有理数〞； 对于选项D ，0b a <<，所以0b a ->->，即11b a <--，所以11a b<． 应选：D ．【点睛】此题主要考察充分、必要条件的定义应用，属于根底题．{}n a 中，满足11,2a q ==，那么〔 〕A. 数列{}2n a 是等比数列B. 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C. 数列{}2log n a 是等差数列D. 数列{}n a 中，102030,,S S S 仍成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求出等比数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}2n a ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2log n a 的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前n 项和公式，可求出102030,,S S S ，即可判断选项D 的真假．【详解】等比数列{}n a 中，11,2a q ==，所以12n n a ，21n n S =-．于是124n n a -= ，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 1n a n =-，故数列{}2n a 是等比数列，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，数列{}2log n a 是等差数列．因为10203010203021,21,21,S S S =-=-=-20301020S S S S ≠ ，所以102030,,S S S 不成等比数列．【点睛】此题主要考察等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于根底题．1,,9a 成等比数列，那么圆锥曲线2212x y a +=的离心率为〔 〕C.2【答案】BC 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出a ，再判断曲线类型，进而求出离心率【详解】由三个数1,,9a 成等比数列，得29a =，即3a =±；当3a =，圆锥曲线为22132x y +=，曲线为椭圆，那么e ==；当3a =-时，曲线为22123y x -=，曲线为双曲线，e ==，那么离心率为：3或者2应选BC【点睛】此题考察等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解a 的取值，属于中档题F 是抛物线()220y px p =>的焦点，AB ,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k >0，C ,A 两点在x 轴上方.那么以下结论中一定成立的是〔 〕A. 234⋅=-OC OD p B. 四边形ACBD 面积最小值为216p C. 1112AB CD p+= D. 假设24AF BF p ⋅=，那么直线CD【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的极坐标方程求出,,,AF BF AB CD ，然后即可计算求解，判断出各选项的真假．【详解】设AB 的倾斜角为θ，那么有222222|AB |,|CD |sin cos sin 2pp pπθθθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1112AB CD p +=，C 正确； ||,||1cos 1cos p p AF BF θθ==-+，假设24AF BF p ⋅=，那么1sin 2θ=，3tan 3θ=，直线CD 的斜率为3-，D 正确；22222212882sin cos sin 2ABCDp B D p S p A C θθθ===，所以B 不正确； 设()()1122,,,C x y D x y ，由抛物线过焦点弦的性质可知，221212,4p x x y y p ==-，2121234OC OD x x y y p ⋅=+=-，所以A 正确． 应选：ACD ．【点睛】此题主要考察直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考察学生的数学运算才能，属于较难题． 三、填空题3131(,,1)(,,0)2222a b =-=-,假设空间単位向量c满足:0c a c b ⋅=⋅=，那么c =________.【答案】12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设出c 对应的坐标形式，根据0c a c b ⋅=⋅=以及1c =列出对应的方程组，求解出c 的坐标表示.【详解】设(),,c x y z =， 因为0c a cb ⋅=⋅=且1c =，所以22210210221x y z x y x y z ⎧++=⎪⎪⎪⎪-+=⎨⎪++=⎪⎪⎪⎩，解得：120x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩120x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以13,22c ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭或者1,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭.故答案为1,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或者1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察空间向量的数量积计算的简单应用，难度较易.空间向量()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，那么121212a b x x y y z z ⋅=++.p ：[]1,1m ∃∈-，2532a a m --<+，且p 是假命题，那么实数a 的取值范围是______．【答案】(][),16,-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】命题p 是假命题,那么利用其否认为真命题,再参变别离进展求解即可． 【详解】∵命题p ：[]1,1m ∃∈-,2532a a m --<+是假命题,那么 ∴[]1,1m ∀∈-,2532a a m --≥+恒成立, ∴2533a a --≥,2560a a --≥ ∴1a ≤-或者6a ≥,故答案为(][),16,-∞-⋃+∞．【点睛】此题考察特称命题的否认与恒成立问题,属于根底题型．{}n a 的通项公式是23()n a n n *=+∈N ，数列{}n b 满足1()n n b b a n *+=∈N 且11b a =，那么数列{}n b 的通项公式为________．【答案】223n n b +=-【解析】 【分析】根据可得123n n b n b a b +==+,然后两边同时加上3,变形为132(3)n n b b ++=+,再利用等比数列通项公式可得答案.【详解】因为23n a n =+,所以123n n b n b a b +==+, 所以132(3)n n b b ++=+, 又11335380b a +=+=+=≠,所以数列{3}n b +是首项为8,公比为2的等比数列,所以1382n n b -+=⨯22n +=,所以223n n b +=-. 故答案为: 223n n b +=-【点睛】此题考察了等比数列的定义以及通项公式,属于根底题. 22(0)x py p =>上一点(3,)(1)A m m >到抛物线准线的间隔 为134，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，OAB ∆的内切圆与OA 切于点E ，点F 为内切圆上任意一点，那么•OE OF 的取值范围为__________．【答案】[333+3]，- 【解析】因为点(3)A m ，在抛物线上，所以3322pm m p=⇒=，点A 到准线的间隔 为313224p p +=，解得12p =或者6p ．当6p 时，114m =<，故6p 舍去，所以抛物线方程为2x y =，∴(33)(33)A B ，，，-，所以OAB 是正三角形，边长为23，其内切圆方程为22(2)1x y +-=，如下图，∴3322E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．设点(cos 2sin )F ，θθ+〔θ为参数〕，那么33π·cos 3sin 33sin 226OE OF θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴·[3333]OE OF ∈-+，．【点睛】此题主要考察抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用条件得到抛物线的方程，进而可得到OAB ∆为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点E 的坐标，可利用内切圆的方程设出点F 含参数的坐标，进而得到π·36OE OF θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键. 四、解答题17.〔1〕x >2，求132x x +-的最小值； 〔2〕0,0a b >>，且122a b+=，求+a b 的最小值.【答案】〔1〕6；〔2【解析】 【分析】 〔1〕因为()11332622x x x x +=-++--，由根本不等式即可求出最小值； 〔2〕因为122a b +=，所以1112a b +=，于是+a b ＝()1111222b aa b a b a b⎛⎫++=+++⎪⎝⎭， 由根本不等式即可求出最小值．【详解】〔1〕()11332623622x x x x +=-+++--，当且仅当23x -=时取等号，所以132x x +-的最小值为6． 〔2〕因为122a b +=，所以1112a b+=， 于是+a b ＝()1113122222b aa b a b a b ⎛⎫++=++++⎪⎝⎭，当且仅当12,22a b ==时取等号，所以+a b 的最小值为32+． 【点睛】此题主要考察根本不等式的应用，使用注意“一正二定三相等〞，以及“和定积最大，积定和最小〞，属于根底题．{}n a 的前n 项和n S 满足(){}1*22,n n n S n N b +=-∈是等差数列，且3412,a b b =-64.b a = 〔1〕求{}n a 和{}n b 的通项公式； 〔2〕求数列(){}21nnb -的前2n 项和2.nT【答案】〔1〕2nn a =,32n b n =-〔2〕22183n T n n =-【解析】 【分析】〔1〕根据数列{}n a 的前n 项和()1*22n n S n N +=-∈，可以判断出数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，因此可求出2nn a =，再设出等差数列{}n b 的公差为d ，列出关于等差数列{}n b 首项1b 和公差d 的两个方程，解出1b 和d ，即可求出{}n b 的通项公式； 〔2〕根据数列(){}21nnb -的特点，采用并项求和法，即可求出前2n 项和2nT．【详解】〔1〕因为122n n S +=-，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=，当1n =时，也符合上式．所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =．设等差数列{}n b 的公差为d ，由3412a b b =-，64b a =，所以183d b =-，1165d b =+，即3d =，11b =，故32n b n =-． 〔2〕22222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋅⋅⋅+-+12342123()3()3()n n b b b b b b -=++++⋅⋅⋅++又因为32n b n =-，所以2n T 12342121223()3()3()3()n n n b b b b b b b b b -=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，所以[]21222()3313(2)21832n n n b b T n n n n +=⨯=+⨯-=-．【点睛】此题主要考察等差、等比数列通项公式的求法以及并项求和法求数列的和，意在考察学生的数学运算才能，属于中档题．1111ABCD A B C D -中，边长为2，利用综合法完成以下问题：〔1〕求点1A 到平面1ACB 的间隔 ； 〔2〕求二面角11A B C A --的余弦值. 【答案】〔123；〔26 【解析】 【分析】〔1〕根据等积法可知，1111A ACB C A AB V V --=，因此求出11C A AB V -和1ACB S ，即可求出点1A 到平面1ACB 的间隔 ；〔2〕分别取11,B C A C 的中点,E F ，连接,,AE AF EF ，由题意可知AEF ∠即为二面角11A B C A --的平面角，在AEF 中，根据余弦定理即可求出．【详解】〔1〕因为1ACB 为边长为22112222sin 2323ACB Sπ=⨯= 而11114222323C A AB V -=⨯⨯⨯⨯=，设点1A 到平面1ACB 的间隔 为d ，由1111A ACB C A AB V V --=可得，142333d ⨯⨯=，解得33d =．〔2〕分别取11,B C A C 的中点,E F ，连接,,AE AF EF ．因为1ACB 为边长为22的等边三角形，所以1AE B C ⊥，22sin63AE π=⨯= ，又11A B C 为直角三角形，而EF 为11A B C 的中位线，所以111//,,1EF A B EF B C EF ⊥=，故AEF ∠即为二面角11A B C A --的平面角． 在AEF 中，1132AF AC ==，所以1636cos 326AEF +-∠== ． 故二面角11A B C A --的余弦值为63．【点睛】此题主要考察利用综合法求点到面的间隔 以及二面角的余弦值，意在考察学生的直观想象才能和数学运算才能，属于中档题．20.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AB =2，BC =1，2PC PD ==，E 为PB 中点.利用空间向量方法完成以下问题：〔1〕求二面角E -AC -D 的余弦值；〔2〕在棱PD 上是否存在点M ，使得AM BD ⊥？假设存在，求PMPD的值；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕66-〔2〕在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥，且12PM PD = 【解析】 【分析】〔1〕取CD 的中点O ，建立空间坐标系，分别求出平面ACE 和ACD 的法向量，再由二面角的向量公式即可求出；〔2〕假设存在点M ，设出点M 的坐标，由,,P M D 三点一共线得PM PD λ=，[0,1]λ∈， 可用λ表示出点M ，再利用0AM BD ⋅=，求出λ，满足[0,1]λ∈即可，即得PMPD的值． 【详解】〔1〕取CD 的中点O ，连结PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形,所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点,所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥.又因为平面PCD ⊥平面ABCD ,PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -,那么111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A CB P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-所以20,2,0,131.00222x y x y AC m z y x y z AE m -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩令1y =，那么2,1x z ==-，所以()2,11m =-，.平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =，那么6cos ,6m OP m OP m OP⋅<>==-⋅||.如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为-. 〔2〕在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PMM x y z PD=∈λλ,那么(),01,0PM PD D λ=-，.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ,所以(0,,1)M --λλ.(1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--λλ.因为AM BD ⊥,所以0AM BD ⋅=.所以121=0--λ（），解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ,使AM BD ⊥，且12PM PD =. 【点睛】此题主要考察利用空间向量求二面角，以及点的存在性问题，解题关键是通过题意建立恰当的空间坐标系，准确求出各点坐标，意在考察学生的直观想象才能和数学运算才能，属于中档题．{}n a 的前n 项和n S 满足22 2.n n n S a a =+-〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设()21n n nn b na -=〔n ∈N *〕，求数列{}n b 的前n 项和n T ;〔3〕是否存在实数λ使得2n n T S λ+>对n N +∈恒成立，假设存在，务实数λ的取值范围，假设不存在说明理由．【答案】〔1〕()*1n a n n N =+∈〔2〕1221n n T n +=-+〔3〕存在，49λ＜【解析】 【分析】〔1〕根据n S 与n a 的关系1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，即可求出{}n a 的通项公式；〔2〕由()()211n n n b n n -=+ ，可采用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T ；〔3〕假设存在实数λ，使得()13212n n n n λ+++＞对一切正整数恒成立， 即()()2213n n n n λ+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13n min n n n λ+++＜即可，利用作差法得出()()()2213n f n n n n +=++其单调性，即可求解．【详解】〔1〕当n =1时，a 1=2或者-1〔舍去〕．当n ≥2时，()()()221112222n n n nn n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦， 整理可得：〔a n +a n -1〕〔a n -a n -1-1〕=0，可得a n -a n -1=1，∴{a n }是以a 1=2为首项，d =1为公差的等差数列．∴()()*2111n a n n n N=+-⨯=+∈．〔2〕由〔1〕得a n =n +1，∴()()1212211n n nn n b n n n n +-==-++． ∴232112222222223211n n n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 〔3〕假设存在实数λ，使得()13212n n n n λ+++＞对一切正整数恒成立， 即()()2213n n n n λ+++＜对一切正整数恒成立，只需满足()()22()13n min n n n λ+++＜即可， 令()()()2213n f n n n n +=++，那么()()()()()()()1228112+34n n f n f n n n n n n +-+-=+++当()()()()3,+1;12,+1n f n f n n f n f n ≥>≤≤<故f 〔1〕=1，f 〔2〕=815，f 〔3〕=49，()16435f =＞f 〔5〕＞f 〔6〕＞…当n =3时有最小值()439f =，所以49λ＜．【点睛】此题主要考察利用n S 与n a 的关系1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题．()2222:10x y C a b a b+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =. 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM ,AN 并延长交直线x =4于()()3344,,,E x y F x y 两点，假设12341111y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，假如是，恳求出定点坐标，假如不是，请说明理由.【答案】〔1〕22143x y +=〔2〕直线MN 恒过定点()1,0,详见解析【解析】 【分析】〔1〕依题意由椭圆的简单性质可求出,a b ，即得椭圆C 的方程；〔2〕设直线AM 的方程为：12x t y =-，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求得点M 的坐标，同理可求出点N 的坐标，根据,M N 的坐标可求出直线MN 的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标．【详解】〔1〕由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=.∴椭圆方程为22143x y +=. 〔2〕设直线AM 的方程为：12x t y =-，那么()122211234120143x t y t y t y x y =-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩ ∴0y =或者1211234t y t =+，∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++，同理222226834t x t -=+，22221234t y t =+当34x =时，由3132x t y =-有316y t =.∴164,E t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理264,F t ⎛⎫⎪⎝⎭，又12341111y y y y +=+ ∴221212123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126t t t t t t t t +++⇒= 当120t t +≠时，124t t =-∴直线MN 的方程为()121112y y y y x x x x --=--122221121222212112212121212343468686834343434t t t t t t y x t t t t t t -⎛⎫++-⇒-=- ⎪--++⎝⎭-++211221121126843434t t y x t t t t ⎛⎫-⇒-=- ⎪+++⎝⎭ 211221212116812443434t t y x t t t t t t -⇒=-⋅+++++()()()()212121211243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0.. 综上:直线MN 恒过定点()1,0.【点睛】此题主要考察利用椭圆的简单性质求椭圆的HY 方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考察学生的逻辑推理才能和数学运算才能，属于难题．。

卜人入州八九几市潮王学校一中、一中2021年下学期高二年级联考数学〔文〕试题一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.设数列{a n}的前n项和S n=n3，那么a4的值是〔〕A.15B.37C.27D.64【答案】B【解析】【分析】利用，求得数列的通项公式，从而求得.【详解】当时，，故.应选B.【点睛】本小题主要考察数列的前项和公式求数列的通项公式.对于数列的前项和公式的表达式，求数列的通项公式的题目，往往有两个方向可以考虑，其中一个主要的方向是利用.另一个方向是假设题目给定的表达式中含有的话，可以考虑将转化为，先求得数列的表达式，再来求的表达式.的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，假设，那么〔〕A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义，由此可求得的值.【详解】根据椭圆的方程可知，根据椭圆的定义，由此可求，应选C.【点睛】本小题主要考察椭圆的定义，考察椭圆的HY方程.解答时要主要椭圆的焦点是在轴上.属于根底题.3.等差数列{a n}满足，那么其前10项之和为()A.－9B.－15C.15D.±15【答案】D【解析】由(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.应选D.4.利用HY性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.参照附表，得到的正确结论是〔〕A.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞B.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞C.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关〞D.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关〞【答案】B【解析】【分析】根据HY性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞.【详解】由于计算得，根据HY性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞.应选B.【点睛】本小题主要考察联表，考察HY性检验的知识，根据HY性检验的知识可直接得出结论，属于根底题.在区间上的最小值是〔〕A.-9B.-16C.-12D.9【答案】B【解析】【分析】利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值.【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B.【点睛】本小题主要考察利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于根底题.2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，假设线段AB中点的横坐标为3，那么|AB|等于〔〕A.10B.8C.6D.4【答案】B【解析】设A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕依题意，x1+x2=6，|AB|=6+2=8，选择B的前n项和为，那么这个数列的通项公式是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，两式相减即可得，可证明数列为等比数列，从而写出通项公式.【详解】由a n＝S n－S n－1＝(a n－3)－(a n－1－3)(n≥2)，得，又a1＝6，所以{a n}是以a1＝6，q＝3的等比数列，所以a n＝2·3n.【点睛】此题主要考察了根据递推关系求数列的通项公式，，属于中档题.，满足：，，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC内部，其中；直线过点C 取最小值，过点B取最大值，所以，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.9.，以下四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，反之不成立，因此是的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件成立，那么是的充分条件，是的必要条件在区间上单调递减，那么实数t的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵，由于在区间上单调递减，那么有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，应选C．考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性.与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用点差法，用中点和斜率列方程，解方程求得的值.【详解】设代入椭圆方程得，两式相减得，依题意可知，，即.应选B.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察直线和椭圆相交所得弦长的中点有关的问题的解决策略，即点差法.点差法用在与直线和圆锥曲线相交得到的弦的中点有关的问题，其根本步骤是：首先将点代入圆锥曲线的方程，作差后化为一边是中点，一边是斜率的形式，再代入条件求得所需要的结果.中，存在两项，使得且那么的最小值是〔〕A.B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用根本元的思想，将题目所给条件转化为的形式，化简得出的关系式，将这个关系式乘以，再利用换元法求得最小值.【详解】由于数列是等比数列，依题意有，解得.故.令，为正整数.由于在上递减，在上递增，而，故的最小值为.所以.所以选A.【点睛】本小题主要考察利用等比数列的通项公式，以及等比数列根本量的计算，还考察了最小值的求法.属于中档题.二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕(e为自然对数的底数〕的图像在点〔0,1〕处的切线方程是____________【答案】【解析】【分析】对函数求导得到导数f′(x)＝e x＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3，故得到切线方程为.【详解】∵函数f(x)＝e x＋2x，∴导数f′(x)＝e x＋2，∴f(x)的图像在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.故答案为：.【点睛】这个题目考察了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.中，前项和为，且点在直线上，那么=_________________________【答案】【解析】【分析】将点坐标代入之先后得到为等差数列，求出其前项和，利用裂项求和法求得数列前项和.【详解】将点坐标代入直线方程得，故数列是首项为，公差为的等差数列，故通项公式为，前项和.故.【点睛】本小题主要考察点和直线的位置关系，考察等差数列的定义以及等差数列的判断，考察等差数列的通项公式以及前项和公式，考察裂项求和法等知识，属于中档题.点在曲线上，那么点的坐标满足曲线方程.假设一个数列满足，为常数，那么这个数列是等差数列，为公差.对于任意正整数n恒成立，那么实数a的取值范围是_______________________【答案】【解析】【分析】将分成奇数和偶数两种情况分类讨论，利用数列的单调性，求得的取值范围.【详解】当为偶数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.当为奇数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.综上所述，.【点睛】本小题考察数列的单调性，考察分类讨论的数学思想方法，考察不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.16.椭圆C：的左右焦点分别为,焦距为2c.假设直线与椭圆C的一个交点M满足,那么该椭圆的离心率等于____________【答案】【解析】【分析】根据直线的方程可知直线的倾斜角为，且过椭圆的左焦点.根据可得三角形为直角三角形，根据三边的关系可求得离心率.【详解】由于直线方程为，故直线的倾斜角为，且过椭圆的左焦点.根据可得三角形为直角三角形，且.故三边的比值为.根据椭圆的定义，椭圆的离心率为.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察直线方程过定点，以及椭圆离心率的求法，属于中档题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕表示焦点在轴上的双曲线.的取值范围；〞为假，务实数的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕或者.【解析】为真时的的真假，从而得的范围．试题解析：由得，即，由得，即．为真，；一真一假，因此有或者，所以或者．，假设其导函数的x的取值范围为〔1，3〕.〔1〕判断f(x)的单调性〔2〕假设函数f(x)的极小值为－4，求f(x)的解析式与极大值【答案】〔1〕减区间，增区间；〔2〕，极大值为.【解析】【分析】〔1〕对函数求导，根据导函数大于零的解集为，可求得函数的减区间.〔2〕由〔1〕知函数的极值点，由此列方程组，解方程组求得的值，同时求得极大值.【详解】解：〔Ⅰ〕由题意知因此在单调递减,单调递增单调递减.〔2〕由〔1〕可得处获得极小值－4，在x=3处获得极大值。