吉林大学空间解析几何和高等代数考研复习精编—高等代数资料文档

吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识梳理吉林省考研数学复习资料：线性代数重点知识梳理一、向量空间在线性代数中，向量空间是研究线性变换、矩阵、线性方程组等重要概念的基础。

了解向量空间的性质对于数学复习至关重要。

向量空间的定义如下：定义 1：设V是一组向量的集合，并且满足以下条件：1. 每个向量的加法封闭性：对于任意的u、v∈V，u+v∈V；2. 向量与标量的乘法封闭性：对于任意的u∈V和a∈R（实数域），au∈V；3. 存在零向量0：对于任意的u∈V，u+0=u；4. 对于每个向量u∈V，存在与之对应的负向量-v∈V，使得u+(-v)=0。

基于向量空间的定义，我们可以推导出一系列的性质和重要结论。

二、线性方程组与矩阵线性方程组和矩阵是线性代数的重要概念和工具。

线性方程组可以表示为矩阵的形式，研究线性方程组的解的性质可以通过矩阵的运算和特征来进行分析。

1. 线性方程组的表示线性方程组可以表示为以下形式：Ax=b，其中A为一个m×n的矩阵，x为n维列向量，b为m维列向量。

矩阵A的行数m表示方程组的数量，列数n表示未知数的数量。

2. 线性方程组的解的存在性和唯一性对于线性方程组，我们关注它的解的存在性和唯一性。

这可以通过矩阵的秩和行列式等性质进行判断。

- 若方程组无解，则矩阵A的秩r(A) 与增广矩阵[A b]（将b增加在A矩阵的右侧）的秩r([A b]) 不相等。

- 若方程组有解，则可以通过高斯消元法或矩阵的逆来求解。

3. 矩阵的运算与性质矩阵的加法、乘法等运算是线性代数中的基本操作。

- 矩阵的加法：设A和B为同维数的矩阵，定义A和B的加法为A+B=C，其中C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。

- 矩阵的乘法：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，定义A和B的乘法为C=AB，其中C是一个m×p的矩阵，C的每个元素等于A的对应行与B的对应列的乘积之和。

吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识点总结线性代数是数学中的一个分支，广泛应用于科学和工程领域。

在吉林省考研数学考试中，线性代数是一个重要的考点。

下面将对线性代数的一些重点知识点进行总结，以帮助考生复习备考。

1. 向量和矩阵向量是线性代数中最基本的概念之一。

向量可以表示为一组有序的数，常用字母表示，如a,b,c。

向量有多种运算，包括加法、减法和数乘等。

矩阵是由数按一定规则排列成的矩形阵列。

矩阵也有加法、减法和数乘等运算，矩阵之间还有乘法运算。

常见的矩阵包括单位矩阵、对角矩阵和方阵等。

2. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要内容。

线性方程组可以表示为多个线性方程组成的方程组。

线性方程组有三种基本操作：互换两个方程的次序、用非零常数乘以一个方程、用一个方程的倍数加到另一个方程上。

解线性方程组的方法主要有高斯消元法和矩阵求逆法。

高斯消元法通过对增广矩阵进行一系列行变换，将方程组转化为简化的阶梯形方程组。

矩阵求逆法通过求解增广矩阵的逆矩阵来得到方程组的解。

3. 向量空间和子空间向量空间是数域上的一组向量的集合，满足加法和数乘的封闭性、加法和数乘的结合律、存在零向量和负向量、数乘的分配律等性质。

子空间是向量空间的一个子集，本身也是向量空间。

子空间必须满足加法和数乘的封闭性，以及包含零向量等要求。

4. 线性相关与线性无关一组向量中，如果存在一个向量可以由其他向量线性表示，则称这组向量线性相关；如果不存在这样的情况，则称这组向量线性无关。

线性相关的向量组会存在一些冗余信息，可以通过高斯消元法等方法进行简化。

线性无关的向量组具有更好的性质和应用。

5. 矩阵的特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵的重要性质。

矩阵A的特征值是使得A 减去特征值倍单位矩阵后的矩阵A'奇异的所有特征向量。

矩阵的特征值和特征向量可以用于分析矩阵的性质和应用于线性系统的解与稳定性等问题。

6. 线性变换和矩阵的相似性线性变换是一种保持向量空间运算的映射关系。

考研数学高等代数重点整理高等代数是考研数学中的一门重要学科，它涉及到矩阵、向量、行列式等内容。

在考研中，高等代数的重要性不言而喻。

为了帮助考生更好地掌握高等代数的重点知识，本文将对高等代数的相关知识进行整理和总结。

一、矩阵矩阵是高等代数中的基础概念之一。

矩阵可以表示为一个矩形数组，其中每个元素都是一个数。

在考研中，我们需要了解矩阵的基本运算，包括加法、减法和乘法。

此外，还需要掌握矩阵的转置、逆矩阵以及特殊矩阵（如对角矩阵、零矩阵等）的性质。

二、向量向量是高等代数中的另一个重要概念。

向量可以表示为一个有方向和大小的量。

在考研中，我们需要了解向量的基本运算，包括加法、减法、数量乘法以及点积和叉积。

此外，还需要了解向量的模、方向角以及向量与矩阵的乘法等相关知识。

三、行列式行列式是高等代数中的重点内容之一。

行列式可以看作是一个数学对象，它可以用来描述一个矩阵的性质。

在考研中，我们需要了解行列式的定义和性质，包括行列式的计算方法、展开定理以及特殊矩阵的行列式。

此外，还需要掌握行列式的变换和性质，比如行列式的性质、克莱姆法则等。

四、特征值与特征向量特征值与特征向量是高等代数中的重要概念。

特征值与特征向量可以用来描述一个矩阵的性质。

在考研中，我们需要了解特征值与特征向量的定义和性质，包括特征方程的求解方法、实对称矩阵的对角化以及相似矩阵的性质等。

五、线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题之一。

在考研中，我们需要学会解线性方程组的方法，包括高斯消元法、克莱姆法则以及矩阵表示法等。

此外，还需要掌握线性方程组的解的性质，比如解的存在唯一性、解的个数等。

六、二次型二次型是高等代数中的重要概念之一。

二次型可以看作是一个二次齐次多项式，它与矩阵有密切的联系。

在考研中，我们需要了解二次型的定义和性质，包括矩阵的标准型、规范型以及二次型的正定性和负定性等。

以上是考研数学高等代数的重点整理。

通过对这些内容的学习和掌握，相信考生能够在考试中取得好成绩。

吉林省考研数学复习资料线性代数重点概念详解一、线性代数基本概念线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其线性变换以及矩阵和行列式等代数结构。

在数学的应用领域中，线性代数也被广泛运用于解决实际问题。

1. 向量及其运算向量是线性代数的基本元素，它具有大小和方向两个特征。

向量之间可以进行加法和数乘运算。

2. 行列式的定义与性质行列式是一个矩形数组，由元素构成。

它具有许多重要的性质，如行列式的性质与元素的交换顺序无关、行列式的性质与行列式相似性质等。

3. 矩阵及其运算矩阵是数的矩形排列，它是线性代数研究的重要工具。

矩阵之间可以进行加法、数乘和乘法运算。

4. 线性方程组与矩阵的关系线性方程组是线性代数的一个重要研究对象，它可以用矩阵的形式表示。

通过矩阵的运算，可以解决线性方程组的求解问题。

二、线性代数常用定理与方法在线性代数的学习中，掌握一些常用的定理和方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。

1. 基本定理线性代数中的基本定理有行列式的性质、向量的线性相关与线性无关性质等。

2. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。

通过求解特征值和特征向量，可以得到矩阵的一些重要性质。

3. 线性变换线性变换是线性代数的核心内容之一，它是指由一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量空间的线性运算。

4. 线性代数的应用线性代数在数学的各个领域都有广泛的应用，如图像处理、机器学习、密码学等。

掌握线性代数的一些基本概念和定理，可以帮助我们在实际问题中运用线性代数的知识。

三、线性代数的拓展知识在学习线性代数的过程中，可以进一步拓展相关知识，从而深化对线性代数的理解。

1. 向量空间的正交性与正交变换正交性是向量空间中一个重要的性质，它可以用于解决一些特殊问题。

正交变换是一种保持向量内积关系不变的线性变换。

2. 广义逆矩阵与线性最小二乘法广义逆矩阵是矩阵的一种扩展，它可以解决矩阵不可逆的情况下的求逆问题。

吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积，则()2f x ⎡⎤⎣⎦在(),a b 也Riemann 可积；2、若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数1n n a ∞=∑也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列(){}1n-的上、下极限都存在； 5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值； 6、sin x 在整个实轴上是一致连续的；7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续，则(),f x y 在()0,0连续； 8、若函数()f x 在点0x 取极小值，则()00f x '=； 9、若()00f x '=，()00f x ''<，则()f x 在点0x 取极大值； 10、向量场()222222,,x y y z z x ---是无源场。

二、（共20分）填空题1、设()()sin u x y x y z =+++，则grad ()u =；2、设(),,F x y y z z x →=+++，则div ()F →=； 3、设(),,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=；4、设s 表示单位球面2221x y z ++=，则第一型曲面积分()2sx ds =⎰⎰；5、数列()2211n n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭的下极限为()；三、（共20分）计算下列极限1、1200611lim n n k k →∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑；2、01limx x→；3、111lim 200620071n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++⎝⎭L ； 4、120lim 1nn x dx x x→∞++⎰。

四、（共20分）判断下列级数的敛散性1、1200620072005nn nn ∞=-∑； 2、1n n u ∞=∑，其中()2120,,1,2,1n n n u n u n u n ->≤=+L 五、（10分）设函数()f x 在[]0,1两次连续可微，满足()()010f f ==且()10f x dx =⎰。

158第四章 向量代数与空间解析几何【数学1要求】2013年考试内容向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程2013年考试要求1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2. 掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积）,了解两个向量垂直、平行的条件.3. 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4. 掌握平面方程和直线方程及其求法。

5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6. 会求点到直线以及点到平面的距离。

7. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

8. 了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

了解空间曲线的参数方程和一般方程。

了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

一、三基及其延拓1. 向量代数研究的对象为自由向量,研究的空间限于实物空间，即不超过三维的空间。

①向量的一般表示, a b ，等●几何表示：以原点为起点的有向线段. ●坐标表示： 111222(,,), (,,)a x y z b x y z ==●投影表示： x y z a a i a j a k =++ ; x y z b b i b j b k =++ 坐标系:任何极大完备无关向量组{}121233,,,, : i i n i i is a a a a a αααα⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中可以构成坐标系，如果将该向量组施密特正交化和单位化,则构成正交直角坐标系,很显然， 如果{}123,,,n a a a a 中的每一向量是3维（=3s ，有三个159坐标分量）,则不可能由二维坐标系（=2n ，有二个独立分量）表示，这个思想应特别注意. ② 向量的方向角和方向余弦●a 与x 轴、y 轴和z 轴的正向且非负的夹角,,αβγ称为a 的方向角。

《高等代数与解析几何》概念复习第一章向量代数（向量（vector）），（向量的长度（模）），（零向量（zero vector）），（负向量），（向量的加法（addition）），（三角形法则），（平行四边形法则），（多边形法则），（减法），（向量的标量乘积（scalar multiplication））,（向量的线性运算），线性组合（linear combination），线性表示，线性相关（linearly dependent），线性无关（linearly independent），（原点（origin）），（位置向量（position vector）），（线性流形（linear manifold）），（线性子空间（linear subspace））；基（basis），仿射坐标（affine coordinates），仿射标架（affine frame），仿射坐标系（affine coordinate system），（坐标轴（coordinate axis）），（坐标平面），（卦限（octant）），（右手系），（左手系），（定比分点）；（线性方程组（system of linear equations）），（齐次线性方程组（system of homogeneous linear equations）），（行列式（determinant））；n维向量，向量的分量（component），向量的相等，和向量，零向量，负向量，标量乘积，n维向量空间（vector space），自然基，（行向量（row vector）），（列向量（column vector））；单位向量（unit vector），直角坐标系（rectangular coordinate system），直角坐标（rectangular coordinates），射影（projection），向量在某方向上的分量，（正交分解），（向量的夹角），内积（inner product），标量积（scalar product），（数量积），（方向的方向角），（方向的方向余弦）；外积（exterior product），向量积（cross product），（二重外积）；混合积（mixed product，scalar triple product）第二章行列式（映射（mapping）），（象（image）），（一个原象（preimage）），（定义域（domain）），（值域（range）），（变换（transformation）），（单射（injection）），（象集），（满射（surjection）），（一一映射，双射（bijection）），（原象），（映射的复合，映射的乘积），（恒同映射，恒同变换（identity mapping）），（逆映射（inverse mapping））；（置换（permutation）），（n阶对称群（symmetric group）），（对换（transposition）），（逆序对），（逆序数），（置换的符号（sign）），（偶置换（even permutation）），（奇置换（odd permutation））；行列式（determinant），矩阵（matrix），矩阵的元（entry），（方阵（square matrix）），（零矩阵（zero matrix）），（对角元），（上三角形矩阵（upper triangular matrix）），（下三角形矩阵（lower triangular matrix）），（对角矩阵（diagonal matrix）），（单位矩阵（identity matrix）），转置矩阵（transpose matrix），初等行变换（elementary row transformation），初等列变换（elementary column transformation）；（反称矩阵（skew-symmetric matrix））；子矩阵（submatrix），子式（minor），余子式（cofactor），代数余子式（algebraic cofactor），（范德蒙德行列式（Vandermonde determinant））；（未知量），（方程的系数（coefficient）），（常数项（constant）），（线性方程组的解（solution）），（系数矩阵），（增广矩阵（augmented matrix）），（零解）；子式的余子式，子式的代数余子式第三章线性方程组与线性子空间（阶梯形方程组），（方程组的初等变换），行阶梯矩阵（row echelon matrix），主元，简化行阶梯矩阵（reduced row echelon matrix），（高斯消元法（Gauss elimination）），（解向量），（同解），（自反性（reflexivity）），（对称性（symmetry）），（传递性（transitivity）），（等价关系（equivalence））；（主变量），（自由位置量），（一般解），（齐次线性方程组的秩（rank））；向量组线性相关，向量组线性无关，线性组合，线性表示，线性组合的系数，（向量组的延伸组）；线性子空间，由向量组张成的线性子空间；基，坐标，（自然基），线性子空间的维数（dimension），向量组的秩；（解空间），齐次线性方程组的基础解系（fundamental system of solutions）；（导出组），线性流形，（方向子空间），（线性流形的维数），（方程组的特解）；（方程组的零点），（方程组的图象），（平面的一般方程），（平面的三点式方程），（平面的截距式方程），（平面的参数方程），（参数），（方向向量）；（直线的方向向量），（直线的参数方程），（直线的标准方程），（直线的方向系数），（直线的两点式方程），（直线的一般方程）；（平面束（pencil of planes））第四章矩阵的秩与矩阵的运算线性表示，线性等价，极大线性无关组；（行空间，列空间），行秩（row rank），列秩（column rank），秩，满秩矩阵，行满秩矩阵，列满秩矩阵；线性映射（linear mapping），线性变换（linear transformation），线性函数（linear function）；（零映射），（负映射），（矩阵的和），（负矩阵），（线性映射的标量乘积），（矩阵的标量乘积），（矩阵的乘积），（零因子），（标量矩阵（scalar matrix）），（矩阵的多项式）；（退化的（degenerate）方阵），（非退化的（non-degenerate）方阵），（退化的线性变换），（非退化的线性变换），（逆矩阵（inverse matrix）），(可逆的（invertible），（伴随矩阵（adjoint matrix））；（分块矩阵（block matrix）），（分块对角矩阵（block diagonal matrix））；初等矩阵（elementary matrix），等价（equivalent）；（象空间），（核空间（kernel）），（线性映射的秩），（零化度（nullity））。

吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识点整理线性代数是数学中的一个重要分支，也是吉林省考研数学科目中的重点内容之一。

本文将对数学复习资料中线性代数的重点知识点进行整理，以帮助考生更好地复习准备考试。

一、向量空间向量空间是线性代数中的基本概念，也是本科线性代数课程的重点内容之一。

下面是向量空间的一些重要性质和定义：1. 向量空间的定义向量空间是一个满足若干性质的集合，其中包含了向量的加法和数乘运算。

一个向量空间必须满足以下四个条件：封闭性、交换律、结合律和存在零向量。

2. 线性无关性与生成子空间线性无关性是向量空间中一个重要的概念，它描述了向量之间的关系。

线性无关的向量可以生成一个子空间，该子空间称为生成子空间。

生成子空间是向量空间中另一个重要的概念，它由向量组中的所有线性组合构成。

3. 基与维数基是向量空间中一组线性无关的向量，该组向量能够生成该向量空间。

维数是向量空间中基的个数，它描述了向量空间的维度。

二、矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的另一个重要内容，其重点知识点如下：1. 矩阵的基本运算矩阵的加法和数乘运算是矩阵的基本运算，其运算规则与向量的加法和数乘运算类似。

2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要内容，其运算规则为矩阵乘法的定义。

3. 逆矩阵与转置矩阵逆矩阵和转置矩阵是矩阵运算中的重要概念。

逆矩阵是指与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵，而转置矩阵是指将原矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。

4. 行列式的性质与计算行列式是矩阵中的一个标量，它有许多重要的性质与计算方法，如拉普拉斯展开定理、余子式与代数余子式、Cramer法则等。

三、线性方程组线性方程组是线性代数中的另一个重要内容，它包含有关向量空间、矩阵和行列式的知识点。

下面是线性方程组的相关内容：1. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方程组是指等号右边全为零的线性方程组，非齐次线性方程组则相反。

对于齐次线性方程组，必定存在零解；而对于非齐次线性方程组，解的存在与唯一性则与矩阵的秩有关。

2020考研数学高数暑期复习资料：向量代数与空间解析几何
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2020考研数学高数暑期复习资料：向量代数与空间解析几何
1、理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件;掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面直线的相互关系解决有关问题。

4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5、了解空间曲线的参数方程和一般方程;了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

(807)高等代数、解析几何高等代数是数学的一个分支领域，它研究的是抽象代数结构的性质和关系。

解析几何是数学的另一个分支领域，它研究的是几何图形和代数方程之间的关系。

这两个学科在数学中占据着重要的地位，它们相互关联，互为支撑，为我们理解和应用数学提供了重要的工具和方法。

高等代数主要研究的是代数结构，包括群、环、域等。

群是一种代数结构，它具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

群论的研究可以帮助我们理解对称性、变换等概念，并在物理、化学、密码学等领域中有广泛的应用。

环是另一种代数结构，它包含了加法和乘法两种运算，并满足了一系列的性质。

环论的研究可以帮助我们理解整数、多项式等代数结构，并在代数几何、密码学等领域中有广泛的应用。

域是更加一般化的代数结构，它包含了加法、乘法和除法运算，并满足了一系列的性质。

域论的研究可以帮助我们理解有理数、实数、复数等数域，并在代数几何、密码学等领域中有广泛的应用。

解析几何是几何和代数的结合，它通过代数方程来研究几何图形。

解析几何的基本思想是将几何图形转化为代数方程，从而通过代数方法来研究几何问题。

解析几何的研究对象包括点、直线、圆、曲线等。

通过代数方程的分析，我们可以研究这些几何图形的性质和关系。

解析几何在数学和物理学中有广泛的应用，例如在曲线的切线和法线的研究中，解析几何提供了重要的工具和方法。

高等代数和解析几何是紧密相关的学科。

高等代数提供了解析几何所需的代数工具和方法，而解析几何则为高等代数提供了几何直观和几何应用。

通过高等代数的方法，我们可以研究几何图形的对称性、变换等性质，进而推导出一系列的代数结论。

通过解析几何的方法，我们可以将代数方程转化为几何图形，从而通过几何直观来理解代数的性质和结论。

高等代数和解析几何的结合，使我们能够更深入地理解和应用数学的各个方面。

高等代数和解析几何是数学中重要的学科，它们相互关联，互为支撑，为我们理解和应用数学提供了重要的工具和方法。