正方体的截面形状一：问题背景在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？二：研究方法先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。
三：猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。
其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。
例如，正方体的六个对角面都是矩形。
3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。
（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1.正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
2.正方体最大面积的截面四边形:通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。
根据四边形的面积公式：面积=长*宽联系正方体图形：得到：当由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形的长最大，又因为在各个情况下的宽不变。
则由猜想得到：“最大面积的截面四边形：由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形。
”3.最大面积的截面形状：正方体的截面可以分为：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、五边形、六边形、正六边形。
其中三角形还分为锐角三角型、等边、等腰三角形。
梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。
首先比较三角形与五边形和六边形，所得这三种截面的情况有一共同特点：不能完整在该截面所在平面在正方体内所截的范围的最大值，有部分空间空出。
因此可以得到：最大面积一定是四边形。
所以最大面积的截面形状：即最大截面四边形（猜想）。
初步推断为如图所示的矩形：4.截面五边形、六边形性质通过课本及资料查询知：截面五边形：有两组边互相平行.截面六边形：三组对边平行的六边形.正方体的截面图四：结论如下：1、可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形2、不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形与正方体的截面形状的习题训练一、单选题1．在正方体111-ABCD A B CD 中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，111,B B C D 的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形2．已知正方体1111ABCD A B C D -，平面π和线段1AA ，1BB ，1CC ，1DD 分别交于点E ，F ，G ，H ，则截面EFGH 的形状不可能是（ ） A ．梯形B ．正方形C ．长方形D ．菱形3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（ ）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形4．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为（ ）A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：25．如图为加油站常用圆柱体储油罐，储油罐的长度d 、截面半径r 为常量，油面高度h 、油面宽度ω、储油量ν为变量，则以下表述错误的是（ ）A ．储油量ν是油面宽度ω的函数B ．储油量ν是油面高度h 的函数C ．油面高度h 是储油量ν的函数D ．油面宽度ω是油面高度h 的函数6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D 1、E 的截面过（ ）A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．CD 中点 D ．BB 1中点第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题7．已知正方体1111ABCD A B C D -的长为2，直线1AC ⊥平面α，下列有关平面α截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______． ①截面形状一定是等边三角形： ②截面形状可能为五边形；③截面面积的最大值为3323④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．8．取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示．则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面； ④表面积为3a 2；⑤体积为356a ．以上结论正确的是________________．（填上所有正确的序号）9．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B ，P ，Q 的截面形状是______.10．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___．三、解答题11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若M ，N 分別是111,CC A D 的中点，作出过M ，N ，B 三点的截面.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11A D 和1CC 的中点.（1）画出由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线EF 和AC 所成角的大小.13．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是11C D 与AB 的中点.（1）求11A B 与截面1A ECF 所成角的大小； （2）求点B 到截面1A ECF 的距离.14．用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类：（1）如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？ （2）如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？ （3）能否截出正五边形？为什么？ （4）是否存在正六边形的截面？为什么？（5）有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？参考答案1．D 【分析】,,E F H 分别为111,,AD DD B C 中点，M ，N ，Q 确定平面α，证明六边形的每条边均在α内，得到答案. 【详解】如图所示：,,E F H 分别为111,,AD DD B C 中点，M ，N ，Q 确定平面α， NH MQ ∥且N α∈，故NH α⊂，,Q H αα∈∈，故QH α⊂，同理可得FQ α⊂，EF α⊂，EM α⊂，故截面为六边形. 故选：D.2．A 【分析】根据面面平行的性质定理，可以得出//EH FG ，//EF HG ，由此可推断四边形EFGH 一定为平行四边形，从而可得出答案. 【详解】因为面11//ADD A 面11BCC B ，面π⋂面11ADD A EH =，面π⋂面11BCC B FG =， 所以//EH FG ，同理可得//EF HG ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以截面EFGH 的形状不可能是梯形.若面//π面ABCD ，此时四边形EFGH 是正方形，也是菱形；当E H ，是所在棱的中点，F G ，分别与 ,B C 重合时，四边形EFGH 是长方形.故选：A. 3．D 【分析】分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，先证明、、、H P M F 四点共面，再证明N ∈平面HPMF ，P ∈平面HPMF 可得答案. 【详解】如图，分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，且M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，所以11//A C FM 、//HP AC ，且11//AC AC ，所以//HP FM ， 即、、、H PM F 四点共面， 因为11//=，F BP F BP A A ，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1//A B FP ， 又因为1//A B NH ，得//NH FP ，且FP ⊂平面HPMF ，H ∈平面HPMF ， 所以NH ⊂平面HPMF ，得N ∈平面HPMF ，因为11//=，M H MC B C BH ，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1//C B MH ， 又因为1//C B EP ，得//MH EP ，又MH ⊂平面HPMF ，P ∈平面HPMF ，所以PE ⊂平面HPMF ，得E ∈平面HPMF ，所以、、、、、H P E M F N 六点共面， 平面六边形HPEMFN 即为经过M 、N 、P 与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面， 故选：D.4．A 【分析】由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求C A DD '''-及剩余部分的体积，进而求其比例即可. 【详解】由图知：13C A DD A DD V C D S'''''-''=⋅⋅，ABCD A B C D A D DA V C D S ''''''-''=⋅，而2A D DA A DD S S''''=，∴剩余部分的体积为53ABCD A B C D C A DD A DD V V C D S'''''''''--''-=⋅，∴棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为1：5. 故选：A 5．A 【分析】题目考察函数的定义，一个变量有且只有一个应变量与其对应 【详解】由题意知储油量ν与油面高度h 存在着依赖关系，也与油面宽度ω存在着依赖关系，对于油面高度h 的每一个取值，都有唯一的储油量ν和它对应，反之对于储油量ν的每一个取值，都有唯一的油面高度h 和它对应，故BC 正确；但是，由于圆的对称性，每一个油面宽度ω的值，却对应着两个储油量ν，故A 错误；对于每一个确定的h ，都有唯一的ω与之对应，所以ω是h 的函数，故D 正确. 故选：A6．B 【分析】根据截面特点结合正方形结构性质求解. 【详解】取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，如图，则1EF AD ∥， 所以F 在截面上, 故选：B 7．④ 【分析】在正方体中作出满足题意的截面，即可作出判断. 【详解】如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形， ∴①②明显错误；截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分． 故④正确. 故答案为：④8．①②⑤ 【分析】根据题意结合图形可知，原来的六个面还在，只是变成了六个小正方形，再添加了八个三角形面，计算或者数数可得到顶点、棱和面的个数，再利用割补法求出多面体的表面积和体积即可. 【详解】由图可知，原来的六个面还在，只是变成了六个小正方形，再添加了八个三角形面，总计有6+8=14个面，则③错误；每个正方形有4条边，每个三角形3条边，而每条边对应两个面，所以共有()14638242⨯+⨯=条棱，则②正确；每个顶点对应4条棱，每条棱对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半，即12个，则①正确；，所以小正方形的总面积为221632a a ⨯=，三角形的总面积为22118sin 6022a ⨯⨯⨯︒=，即多面体的表面积为(23a ，则④错误；多面体的体积为原正方体的体积减去8个三棱锥的体积，8个三棱锥的体积为3311183226a a ⎡⎤⎛⎫⨯⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，于是多面体的体积为3331566a a a -=，则⑤正确.故答案为：①②⑤ 9．菱形 【分析】取1DD 中点R ，证明四边形1PBQD 是截面，确定其形状后可得． 【详解】连接11,PD QD ，取1DD 中点R ，连接,RP RC ，则在正方体中PR ////AD BC ，PR AD BC ==，所以PRCB 是平行四边形，PB 与RC 平行且相等，同样由1D R 与CQ 平行且相等得1RCQD 是平行四边形，RC 与1D Q 平行且相等， 从而PB 与1D Q 平行且相等，所以1PBQD 是平行四边形，这就是过点B ，P ，Q 的截面，又225 2BQ BC CQ BC BP=+==，因此四边形1PBQD是菱形．故答案为：菱形．10．平面A1C1D，平面A1C1B【分析】根据题意，结合图形，得出与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．【详解】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．∵AA1∥CC1，AA1=CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形；∴AC∥A1C1，又AC⊄平面A1C1D，A1C1⊂平面A1C1D，∴AC∥平面A1C1D；同理AC∥平面A1C1B．故答案为：平面A1C1D，平面A1C1B．11．图象见解析【详解】12．（1）作图见解析；（2）6π. 【分析】（1）取BC 的四等分点G (靠近C 的点)，D 1C 1的四等分点H (靠近C 1点)，则五边形AGFHE 即为由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面；（2）取AD 的中点N ，连接EN ，再取EN 的中点M ，连接MC 、NC 、AM ，则//EF MC ，故MCA ∠ (或其补角)即为异面直线EF 和AC 所成角，解三角形可求得答案. 【详解】解：（1）如图，取BC 的四等分点G (靠近C 的点)，D 1C 1的四等分点H (靠近C 1点)， 则五边形AGFHE 即为由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面，（2）取AD 的中点N ，连接EN ，再取EN 的中点M ，连接MC 、NC 、AM ，则//EF MC ，故MCA ∠ (或其补角)即为异面直线EF 和AC 所成角，设正方体的棱长为2，可得22112AM =+=22222AC =+=222222112+6EF DN DC MN =+++=，在AMC 中，有222+AC AM MC = ，所以AMC 是直角三角形，所以63cos 22MC MCA AC ∠==EF 和AC 所成角的大小为6π.13． （1）6arc （26 【分析】（1）采用建系法，求出平面1A ECF 的法向量n ，11A B ，设直线与平面1A ECF 所成角的大小为θ，利用11sin cos ,n A B θ=即可求解，我们也可以构造如图所示的线面角，再利用解直角三角形求出角的大小.（2）求出FB ，设FB 与与法向量n 所成夹角为α，利用cos d BF α=⋅即可求解；我们也可以利用等积法求出此距离. （1）法一：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()11,,0,,,0,0,,0,,0,,0,,,,,22a a F a B a a C a A a a E a B a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面1A ECF 的法向量为(),,n x y z =，1,,02a A E a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,2a A F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()110,,0A B a =，则1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，则2,1==y z ，()1,2,1n =，设直线与平面1A ECF 所成角的大小为θ，则11111126sin cos ,6n A B a n A B a n A B θ⋅====⋅，即6θ=. 法2：如图，连接EF ，取EF 的中点为G ，连接11,A G B G ， 则11115A E A FB E B F ====，而2EF a =，故1A EF 、1B EF 为等腰三角形，故1A G EF ⊥，1B G EF ⊥，而 又11A GB G G =，故EF ⊥平面11A B G ，而EF ⊂平面1A ECF ，故平面11A B G ⊥平面1A ECF . 过1B 作11B H AG ⊥，交1A G 于H ， 因为1B H ⊂平面11A B G ，平面11A B G 平面11A ECF AG =，故1B H ⊥平面1A ECF ， 故11B AG ∠为11A B 与截面1A ECF 所成角. 在11B A G △中，221153422a AG B G a a ==-=，而11A B a =， 故221131644sin 332a aB A G a -∠==，故116arcsin 3B A G ∠=. （2）法1：设FB 与法向量n 所成夹角为α，则点B 到截面1A ECF 的距离6cos 262a a d FB a α=⋅==⋅，故点B 到截面1A ECF 6.法2：如图连接1,A B FB ，设B 到平面1A EF 的距离为d ，由（1）可得1A EF 的面积为213622a =， 而113111132212B A EF F A EB V V a a a a --==⨯⨯⨯⨯=，所以23161312h a ⨯=， 故6h =. 14． （1）三类，见解析（2）五类，见解析（3）不能，见解析（4）存在，见解析（5）不能，见解析.【分析】（1）根据题意作出截面，并分类即可；（2）根据题意，作出截面，并分类即可；（3）假设可以截出，反证法说明即可；（4）过六条棱个中点的截面即为正六边形.（5）结合正方体最多只有6个平面说明即可.（1）解：如果截面是三角形，则可以是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形，不能出现直角三角形和钝角三角形，如图是截面情况.（2）解：若截面是四边形，可以是梯形，平行四边形，菱形，正方形，矩形等，其中梯形可以为等腰梯形，其中梯形：过相对两个平面上平行且不等长的线的截面所截得图形；平行四边形：过正方体的一条体对角线，且不过正方体的棱及棱的中点的截面所截得图形；菱形：过正方体的一条体对角线，和一对棱的中点的截面所截得图形；长方体：过正方体的两条相对的棱或一条棱得的截面所截得图形；正方形：平行于正方体的一个平面的截面所截得图形.具体见图：（3）解：不能截出正五边形，假设可以截出正五边形，则根据面面平行的性质得1//EF D H ，1//D E GH，而正五边形不存在对边平行的性质，矛盾，故截面是正五边形不存在.（4）解：存在正六边形的截面，如图，该截面为过各条棱的中点形成的六边形.（5）解：不能，因为正方体只有六个面，当界面与六个面都相交时，最多截出六边形，故不能截出超过边数超过6的多边形.。
