2017年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题含答案

【关键字】试题山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，为虚数单位，则（）A．B．C．D．2.已知集合，，则（）A．B．C．D．3.直线与曲线围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．4.已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C. 关于点对称D．关于直线对称5.下列说法错误的是（）A．对于命题，则B．“”是“”的充分不必要条件C.若命题为假命题，则都是假命题D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是（）A．B． C. D．7.点与圆上任一点连线段的中点的轨迹方程是（）A．B．C. D．8.等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（）A．29 B．31 C. 33 D．369.已知双曲线：的左、右焦点分别为，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，，且，则双曲线的离心率为（）A．B． C. D．10.已知函数满足，且当时，，若当时，函数与轴有交点，则实数的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知实数满足，则的最小值为．12.若经过抛物线焦点的直线与圆相切，则直线的斜率为．13.已知，则．14.函数，则．15.在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长．17. 如图，在三棱柱中，底面，，为线段的中点．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．18. 已知正项数列满足，且．（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点，，，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角大小为，求线段的长．20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB =-恒成立，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数2()2ln f x m x x =-，()2ln xg x e m x =-，()m R ∈，ln 20.693=． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在最大值M ，()g x 存在最小值N ，且M N ≥，求证：2e m >．试卷答案一、选择题1-5: DCCDC 6-10: AABBD二、填空题11. 13- 12. 5±13. 79 14. 12-15．3三、解答题16.（1）2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=2cos sin()sin C A B C +=∵A B C π++=，,,(0,)a b c π∈，∴sin()sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-221722a b ab =+-2()37a b ab +-= 1333sin 242S ab C ab ===，∴6ab = ∴2()187a b +-=，5a b += ∴ABC ∆周长为57a b c ++=+.17.（1）连接1B C 交1BC 于点M ，连接DM ， 在1ACB ∆中，D 为AC 中点，M 为1BC 中点， 所以1//DM AB ，又因为1AB ⊄平面1BC D ，DM ⊂平面1BC D所以1//AB 平面1BC D（2）因为1CC ⊥底面ABC ，所以1CC 为三棱锥1C DBC -的高， 所以11113D C CB C BCD BCD V V S CC --∆==⨯11822343323=⨯⨯⨯=18.（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n n a a +=+，∴1112n na a +-= 又111a =，∴数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列∴121n n a =-，∴*1()21n a n N n =∈- （2）由（1）知，111(1)(1)()(21)(21)42121nn n n b n n n n =-=⨯-⨯+-+-+∴123n n T b b b b =++++111111111[()()()(1)()]41335572121n n n =-+++-+++-+-+ 11[1(1)]421n n =-+-+ 19.（1）∵//AD BC ，12BC AD =，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//CD BQ 又∵90ADC ∠=，∴90AQB ∠=，即QB AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD = ∴PQ ⊥平面ABCD如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，平面BQC 的法向量为(0,0,1)n = 又3PQ =(3,3)PM PC λλ==-，[0,1]λ∈(,)()QM QP PM λλ=+=+-=-又(0,QB =，设平面MBQ 的法向量为(,,)m x y z =)0x y z λ=-+=⎪⎩取(3,0,)1m λλ=- ∵二面角M BQ C --为30，∴33cos30||24||||m n m n λ==⇒=∴3(4QM =-，∴线段QM 20.（1）由题意，1c=∵点(1,2-在椭圆C 上，∴根据椭圆的定义可得：22a ==a ⇒=2221b ac =-= ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）假设x轴上存在点(,0)Qm ，使得716QA QB =-恒成立. ①当直线l 的斜率为0时，(A B ，则7,0)(2,0)16m m --=-∴22516m =，∴54m =± ②当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -，则7(1(1,2216m m ---=- 215(1)164m m -=⇒=或34由①②可得：54m =下面证明54m =时，716QA QB =-恒成立.当直线l 的斜率为0时，结论成立；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y 直线方程代入椭圆方程，整理可得：22(2)210t y ty ++-=∴12222t y y t +=+，12212y y t =+， ∴112212125511(,)(,)()()4444QA QB x y x y ty ty y y =--=--+2121211(1)()416t y y t y y =+-++22222172(2)1616t t t --+=+=-+综上可知，x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB =-恒成立. 21.（1）由题意知，0x >，2'22()m x f x x-=，0m ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞递减，0m >时，令'()0f x >0x m ⇒<<，令'()0f x <x m ⇒>，∴()f x 在(0,)m 递增，在(,)m +∞递减.（2）证明：'2()x xe mg x x-=，0m ≤时，'()0g x >恒成立，()g x 在(0,)+∞递增，无最小值，由（1）知，此时()f x 无最大值，故0m >. 令()2xu x xe m =-，则'()0xxu x e xe =+>， ∵(0)20u m =-<，2(2)2(1)0mu m m e=->，故存在唯一0(0,2)x m ∈，使得0()0u x =，即002x x e m =，列表如下：由（1）得：ln M f m m m ==-，000()2ln x N g x e m x ==-，由题意M N ≥，即00ln 2ln x n m m e m x -≥-，将002x x e m =代入上式有：0000000000ln 2ln 2222x x x x x x e x e x e x e e x -≥- 化简得：200003ln (ln 21)10222x x x x +-+-≥（*） 构造函数23()ln (ln 21)1222x x h x x x =+-+-，'31()(ln 1)(ln 21)22h x x x =++-+， 显然'()h x 单调递增，且'1(1)(4ln 2)02h =->，'19()5ln 2088h =-<， 则存在唯一(0,1)t ∈，使得'()0h t =.且(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增. 又1(1)ln 2102h =--<，故()0h x ≥只会在(,)t +∞有解， 而(2)3ln 22(ln 21)2ln 20h =+-+=>故（*）的解是01x >，则0022x x e em =>.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

【最新整理，下载后即可编辑】河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.2. ，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设,则,选A.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于（）A. B. 41 C. D.【答案】A【解析】因为，所以，选A.4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.5. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A学|科|网...【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.8. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.9. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为（）A. B. C. 57 D. 33【答案】A【解析】由题意得,所以展开式中项的系数为,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为，因为，所以解得，即，所以，满足，，选B.11. 已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】因为所以；因为，所以学|科|网...的最大值与最小值之和为，选C.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以，因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为，所以在上单调递增，且，在上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为，所以，选C. 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.5 9 9.5 10 10.5销售量12 11 9 7 6由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以学|科|网...点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数. 15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取,则16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，.（1）求边的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，所以．学|科|网...18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三点共线，，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，所以易知，所以．因为平面，所以，因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则．所以，设平面的法向理为，所以，令，则．可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）学|科|网...【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第次划拳小华平”为；事件“第次划拳小华输”为，所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：2 3 4 5所以的数学期望为：．20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据：）（1）讨论函数的单调性；（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式.试题解析：解：（1）因为的定义域为实数，所以．①当时，是常数函数，没有单调性．②当时，由，得；由，得．所以函数在上单调递减，在上单调递增．③当时，由得，；由，得，学|科|网...所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，所以，即．令，则有，即．设方程的根为，则，所以是方程的根．由（1）知在单调递增，在上单调递减．且当时，，当时，，如图，依据题意，不妨取，所以，因为，易知，要证，即证．所以，又函数在上单调递增，所以，所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数），学|科|网...代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以．【最新整理，下载后即可编辑】。

黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学下学期第三次模拟考试试题理（扫描版）高三第三次模拟考试数学（理）答案1、B2、B3、D4、C5、B6、C7、D8、B9、D 10、C 11、B 12、A13、3 14、23- 15、21- 16、33±=k 或3±=k 17、（1）()12212--⋅=-=n n a q , （2）1221212--⋅-+=⋅=n n n n n T n b ）(, 18、（1）略；（2）510 19、（1）210420C C（2）()1510664422===A A A P ξ，()15816644121412===A A C C C P ξ，()A A P A ξ===2444666215，()34=ξE 20、（1）13422=+y x （2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x kx y 得()04163422=+++kx x k ，由0>∆知412>k 3443416221221+=+-=+k x x k k x x , ()()0421212122121>++++=+=⋅x x k x x k y y x x OB OA ，解得342<k 所以21332-<<-k 或33221<<k （3）1434221=+y x C ：，设),(00y x H ，直线3400=+y y x x MN ：，003434y n x m ==,， 所以2211334m n += 21、（1）()[]()22221211++-+='++=x mx x m mx e x f x mx e x f x x )(,)( 当m <0时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m 120,单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,m 12单调递减；当12m >时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-m 120,单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,m 12单调递增；当102≤≤m 时，)(x f 在()∞+，0单调递增 （2）()()22221121++-='+=mx mx mx e x f mx e x f x x )(,)( 因为)(x f 有两个极值点，所以10442>∴>-m m m ,.设21x x ,为方程0122=+-mx mx 两根，则()(),,,,x x x x x m +==>∴∈121211200112 又()12111+=mx e x f x ，()12222+=mx e x f x ，注意到()1121mx e x f x =，()2222mx e x f x =， ()()()m e e x e x x e x e m x f x f x x x x 121212*********>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ 又()()()x x x x x e x e x e x e f x f x mx x -+-++==1211221111212222设()()(),,(,)x x g x x e xe x -⎡⎤=-+∈⎣⎦21201122，()()()x x g x e e x -'=+-2112，故()g x 在(,)01单调递减，在(,)12单调递增，所以，()()g x g e <=1，因此，()()f x f x e m <+<12. 22、（1）2C 的直角坐标方程为1322=-+)(y x ；（2）PQ 最小值为1；PQ 最大值为5 23、（1）(][)∞+-∞-，，75 ；（2）02a <<。

江西师大附中高三年级理科数学第三次模拟试卷第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案涂在答题卡上）1．集合{(,)|}A x y y a ==，集合{(,)|1,0,1|}x B x y y b b b ==+>≠，若集合A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(],1-∞C ．(1,)+∞D ．R2. 已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成三棱锥C －ABD 的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）A ．14 B ．12 C ．16D ．184. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2580a a +=，则下列式子中数值不能确定的是（ ）A ．53a aB ．53S SC ．1n na a + D ．1n nS S +5．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ） A ．0BCD．6．已知A 、B 、C 是圆22:1O x y +=和三点，OA OB OC += ，AB OA ⋅= （ ） A ．32 B． C ．32- D ．127．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率（ ） A ．521B ．27C ．13D ．8218．已知分段函数21,0(),0x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)f x dx ⎰-等于（ ）A ．713e- B ．2e - C ．13e +D ．12e- 9．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1210．函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[]0,1m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立, 则229a b ab+ 的最大值与最小值之和为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．494第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 其中15题是选做题, 请把答案填在答题卡的相应横线上. 11．已知n 为正偶数，且21()2nx x-的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是_________（用数字作答）.12．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(2)(2)f x f x -=+，且(1,0)x ∈-时，1()25x f x =+则2(log 20)f =____________.13．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则球的表面积为___________.14．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点(4,4)M 是抛物线上一点，则经过点F ，M 且与l 相切的圆共有_________个.15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）（1）在极坐标系中，过点（作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程为_________. （2）已知方程|21||21|1x x a --+=+有实数解，则a 的取值范围为_________.三、解答题（本大题共计6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（★请在答题卡的指定区域内作答，否则该题计为零分．）16．（本小题满分12分）已知(s i n c o s ) (s i n m a x x n x b x == ，，，，其中a bx R ∈，，.若()f x m n =⋅满足()26f π=，且()f x 的导函数()f x '的图象关于直线12x π=对称.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程2()log 0f x k +=在区间[0 ]2π，上总有实数解，求实数k 的取值范围.17. （本小题满分12分）小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种．．症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为111,236、、现对三只小白鼠注射这种药物．（Ⅰ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率； （Ⅱ）用ξ表示三只小白鼠共表现症状的种数．．，求ξ的分布列及数学期望． 18．（本小题满分12分）己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求点C 到平面1A AB 的距离； （Ⅲ）求二面角1A A B C --余弦值的大小．19．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21(21)(21)41n n n S n S n +--+=-)(*N n ∈. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；11)2+> . 20．（本小题满分13分）已知函数2()2ln f x ax x x =-+．（Ⅰ）若()f x 无极值点，但其导函数()f x '有零点，求a 的值；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求a 的取值范围，并证明()f x 的极小值小于32-．21．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当||PA PB - 时，求实数t 的取值范围．高三数学（理科）三模参考答案11．2- 12．1- 13．20π 14．215．（1）cos 2ρθ= （2）[)31--，16．解：(Ⅰ)2()sin sin cos f x m n a x b x x =⋅=+ =(1cos2)sin 222a bx x -+由()26f π=得，8a = ①∵()sin 2cos 2f x a x b x '=+，又∵()f x '的图象关于直线12x π=对称，∴(0)()6f f π''=，∴12b b =+，即b = ②由①、②得，2a b ==，(Ⅱ)由(Ⅰ)得()1cos22f x x x =-+2sin(2)16x π=-+∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，52666x πππ-≤-≤，∴12sin(2)26x π-≤-≤，[]()03f x ∈，. 又∵2()log 0f x k +=有解，即2()log f x k =-有解，∴23log 0k -≤≤，解得118k ≤≤，即1[ 1]8k ∈，.17．解：（Ⅰ）用(12,3)i A i =，表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，用(12,3)i B i =，表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝，用(12,3)i C i =，表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝.三只小白鼠反应互不相同的概率为33123()P A P A B C = 111162366=⨯⨯⨯=（Ⅱ）ξ可能的取值为321，，. 3331112223331111(1)()2366P P A B C A B C A B C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1(3)6P ξ==， 112(2)1(1)(3)1663P P P ξξξ==-=-==--=．所以，ξ的分布列是所以，1232632E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解法一（1）90BCA ∠=︒得BC AC ⊥，因为1A D ⊥底ABC ，所以1A DBC ⊥，1A D AC D = ，所以BC ⊥面1A AC ，所以1BC AC ⊥因为11BA AC ⊥，1BA BC B = ，所以1AC ⊥底1A BC （2）由（1）得11AC AC ⊥，所以11A ACC 是菱形， 所以112AC AA AC ===，1AB A B == 由11C AA B A ABC V V --=，得h = （3）设11AC AC O = ，作1OE A B ⊥于E ，连AE ，由（1）所以1A B AE ⊥，所以AEO ∠为二面角平面角， 在1Rt A BC ∆中OE AO AE ===，所以cos α= 解法二（1） 如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ， （2） ()10,3,AC t = ，()12,1,BA t =-- ，()2,0,0CB =， 由10AC CB ⋅= ，知1AC CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ；（2）由1AC ⋅ 2130BA t =-+=，得t设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以 10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则)n = 所以点C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==（3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z = ，(10,CA =- ，()2,0,0CB =，所以1020m CA y m CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()m = ， 故cos ,m nm n m n⋅<>==⋅，根据法向量的方向可知二面角1A A B C --的余弦值大小19．(Ⅰ)由21(21)(21)41n n n S n S n +--+=-，得112121n n S Sn n +-=+-， ∴21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列， ∴11(1)11211n S Sn S n n =+-⨯=+--，1(21)(1)n S n S n =-+- ① 又∵{}n a 等差数列，∴1322a a a +=，即13221()2()a S S S S +-=-.由①得[][]111115(2)3(1)23(1)a a a a a ++-+=+-，A 1B 1C 1ABCDE O解得11a =，代入①得22n S n n =-.当2n ≥时，()221221(1)n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎣⎦43n =-，上式对1n =也适用，∴43n a n =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)==>12=，+>11211)2=，故原不等式成立. 20．解（I ）21221()22ax x f x ax x x-+'=-+=()f x '有零点而()f x 无极值点，表明该零点左右()f x '同号，故0a ≠，且22210ax x -+=的0.∆=由此可得1.2a =（Ⅱ）由题意，22210ax x -+=有两不同的正根，故0,0a ∆>>.解得：102a <<设22210ax x -+=的两根为12,x x ，不妨设12x x <，因为在区间12(0,),(,)x x +∞均有 ()0f x '>，而在区间12(,)x x 上，()0f x '<，故2x 是()f x 的极小值点.∴2222210ax x -+=∴222212x a x -=由102a <<知212x >且21x ≠∴22222222222221()2ln 2ln 2x f x ax x x x x x x -=-+=⋅-+ 221ln 2x x =--（212x >且21x ≠）构造函数1()ln 2Q x x x =--（12x >且1x ≠）11()1xQ x x x-'=-=∴3()(1)2Q x Q <=-∴()f x 的极小值2()f x <32-.21．解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==， 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =．又因为1b ==，所以22a =，21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x ． （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <.2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+ .∵OP t OB OA =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++， ∴22216(12)k t k =+∵＜，∴123x -<，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++ ， ∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >.∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++，∴23t -<<-或23t <<， ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --.。

哈尔滨市三中2017高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题考试说明：本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题,共60 分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合M =「x | y =ln 2 - x ?, N =「x | x2-3x - 4 乞0?，则M N =A. [-1,2）B. [-1,2]C. [-4,1]D. [-1,4].22. 口—）的虚部为1 +iA. iB. -1C. -iD. 13. 已知向量a,b满足a b = 1, a| = 2, b| = 3,则a — b =A. 13B. 6C. THD. 5x —04. 已知x, y满足：x • y - 2，若目标函数ax y取最大值时的最优解有无数多个,x「y 二0则实数a 的值是A. 0B. -1C. _1D. 12 2 2 25•椭圆C :— -1与双曲线E:笃-爲=1(a,b ■ 0)有相同的焦点，且两曲线的离4 3a 2b 2心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为7•《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？ ”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为 a ，则输出的结果为A . 81B . 74 C. 121D . 169（第 7题图）1 A.-2C」D .,3 26. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A .32 350 B .3C.64 380 D .3（第6题8.已知函数f (x) =2f(2-x)-x 2・5x-5,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为条光线从点(1,-1)射出，经y 轴反射后与圆(x-2)2 • y 2=1相交，则入射光线所10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙不能和甲相邻的概率为 12 4 1 A.B.C.D. ■151515511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为D .12. 定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数记为 f "(x )，满足f (x )+f (2-x )=(x —1 ),3且当x 二1时，恒有f x 2 : x •若f m -f 1-m _ - 3m ，则实数m 的取值范围是 A. -：：,1〕B. 一丄,1C. 1, ：：D. 一：：,丄I 3」I 2」第口卷(非选择题,共90分)二、填空题(共 4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.)13. 知(2x +1)4 =a ° +色(x +1 j+a ? (x +1 $ +a3(x +1 )3 +a 4 (x +1 )4,贝H a 1 a 2 ag •环的值是 ___________________-3,0B . 0,3C . i 3,0D . 10,--4-4.4 .4在直线的斜率的取值范围为A B. y - -2x 3C. y - -3x 49.14. 函数y =-、；；3sin2 x _cos2x 的图象可由函数 y =2sin （2 x •-）的图象至少向右平6移 ____________ 个单位长度得到. 15. 下列共有四个命题：（D 命题"x ^ R, X 02 1 3x 0”的否定是"-X • R,x 2 1 ■： 3x ”；2 2（2） 在回归分析中，相关指数 R 为0.96的模型比R 为0.84的模型拟合效果好； （3） a,b ・R, p ：a :::b,q :1 ：：丄：：：0,则p 是q 的充分不必要条件；b a （4） 已知幕函数f （x ）二（m 2 - 3m 3）x m 为偶函数，则f （-2） = 4 . 其中正确的序号为（写出所有正确命题的序号）16. 已知 ABC 的三个内角A, B,C 的对应边分别为a,b,c ,且S ABC3a 2.贝V 使得a 122 2sin B sin C =msin BsinC 成立的实数 m 的取值范围是 _______________________ .三、解答题（本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列：aj 的前n 项和为S n ，满足S n=S nj 2a n A1, n_2,n ・N ，且a^ 3.（i ）求数列〈a n 1的通项公式;18. （本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教 师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于 15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足 120分的占1，统计成绩13后，得到如下的2 2列联表：分数大于等于120分分数不足120分合计 周做题时间不少于 15小时419周做题时间不足 15小时a n 1 2（n ）求证:(I)请完成上面的2 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；(H) (i)按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X，求X的分布列(概率用组合数算式表示) ;(ii)若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差•2附：K2n(a d-bc)(a+b)(c + d )(a+c)(b + d )19. (本小题满分12分)如图所示的几何体是由棱台ABC - A和棱锥D - AAC Q拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且• BAD =60 , BB1±平面ABCD ,(I)求证：平面AB1C丄平面BBQ ；(n)求二面角A - BD -C1的余弦值.A1C20. （本小题满分12分）已知抛物线G ： y 2 =2px （ p . 0），过焦点F 的动直线丨与抛物线交于 A B 两点，线段AB 的中点为M •（I ）当直线l 的倾斜角为］时，|AB| = 16 .求抛物线G 的方程；4（n ）对于（I ）问中的抛物线G ,是否存在x 轴上一定点N ,使得| AB | -2 | MN |为定值，若存在求出点 N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21. （本小题满分12分）是函数f x 的导数，且「X 的最小值小于等于0.(I)求a 的值；2 3(n)设函数 g(x)二 f(x) -一x -41 n x 6x ，且 g(xj g(x 2) =0 , 3求证：％ • x 2 - 2 •6 .请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分 22. （本小题满分10分）x = 1 、5 cos:一已知曲线C 的参数方程为（〉为参数），以直角坐标系原点 O 为极点,』=2 +T 5sin ax 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知函数f x = 2X 3—3X 2log a3 2x , （ a 0且a "）为定义域上的增函数,(I)求曲线C的极坐标方程；Jt JT(n)设li：, 12:，若h、匚与曲线C相交于异于原点的两点A B ,6 3求AOB的面积.23. (本小题满分10分)4 设函数f (x) = x+a+1 + x-一，(a A O). a(I)证明：f(x) _5 ;(n)若f (1) ：：： 6成立，求实数a的取值范围参考答案1.A2.B3.；4.D5.D6.D7.C 8.A9.C 10.C 11.B 12.D13.0n 14.-615.(2)(4)16. 12,4 117. (本小题满分 12分)(I)由题意a n=2內二 1 n _2, n N.a n1 =2 a n 」1............................. 詔•分•又印1 = 4.a n • 1 =4 2n 1 ............................................. 5•分• -a n= 2n 1 —1 ............................................... 6•分…(n) a n= 2n 1, — 是首项为丄，公比为-的等比数列,IA 十+1J 4 211因此」丄.a^1 a 2+1丄a n12n：：11 •分…•.12 分(I)2245(15 16 -10 4)2■ K7.287 6.63525汉20勺9汇26-能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”………:.••…：.4分(n) (i )由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人 (5)：2分1<— ....218.(本小题满分12分)4 1 3 2 2P x =0 卡,P X J , p x=2 ,C20 C20 C20P X=3 二響,p X=4 二-C20 C20(ii)设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y，.......................................... :..•分…由题意可知Y] B 20,0.6 , ............................................. ：：10・分…故E Y =12,D Y = 4.8 ......................................... ：.12 •分…佃.(本小题满分12分)(I)：BB1丄平面ABCD ••• BB1丄AC在菱形ABCD中，BD丄AC又BD " BB^i = B •- AC _ 平面BB1D .......................................... ••• AC 平面AB1C •平面AB1C丄平面BB1D(H)连接BD、AC交于点O ,以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴,BA14 0，则n =(40, 3)BD n = 0设平面DCF的法向量m二(x, y, z)BD m = 0，则m 二(4,0八3) B。

河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.2. ，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设,则,选A.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于（）A. B. 41 C. D.【答案】A【解析】因为，所以，选A.4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D.5. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A学|科|网...【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）：，而，所以直线过C取最大值，过B 点取最小值，的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.8. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.9. 的展开式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为（）A. B. C. 57 D. 33【答案】A【解析】由题意得,所以展开式中项的系数为,选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为，因为，所以解得，即，所以，满足，，选B.11. 已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】因为所以；因为，所以学|科|网...的最大值与最小值之和为，选C.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以，因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为，所以在上单调递增，且，在上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为，所以，选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以学|科|网...点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取,则16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为，所以，因此三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知关于边的对称图形为，延长边交于点，且，.（1）求边的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；（2）先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：（1）因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，所以．学|科|网...18. 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三点共线，，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，所以易知，所以．因为平面，所以，因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）如图，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则．所以，设平面的法向理为，所以，令，则．可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．19. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）学|科|网...【解析】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第次划拳小华平”为；事件“第次划拳小华输”为，所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：所以的数学期望为：．20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数，其中为自然对数的底数．（参考数据：）（1）讨论函数的单调性；（2）若时，函数有三个零点，分别记为，证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；（2）先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的图像，根据图像确定根的取值范围，进而可证不等式.试题解析：解：（1）因为的定义域为实数，所以．①当时，是常数函数，没有单调性．②当时，由，得；由，得．所以函数在上单调递减，在上单调递增．③当时，由得，；由，得，学|科|网...所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）因为，所以，即．令，则有，即．设方程的根为，则，所以是方程的根．由（1）知在单调递增，在上单调递减．且当时，，当时，，如图，依据题意，不妨取，所以，因为，易知，要证，即证．所以，又函数在上单调递增，所以，所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）,（2）【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．（2）设直线的参数方程为（为参数），学|科|网...代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以．。

（2）()312545339910540100,1,2,3,0,(1)48428421C C C X P X P X C C =========． ()()2134543399305412,384148421C C C P X P X C C ========． 其分布列为X 0123P542 1021 514 121∴510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （12分） 19．（1）因为,,DA AE DA AB AB AE A ⊥⊥=I ，故DA ABFE ⊥平面．故CB ABFE ⊥平面，以B 为原点，BABF BC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向． 建立如图所示的空间直角坐标系，则0,2,0F （），2,0,1D （），11,12G （，），2,1,0E （），0,0,1C（） 所以1=1,0,2EG ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知ABCD 平面的一个法向量()0,1,0n =r ． 所以()11,0,0,1,002EG n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u r r g g ．所以EG n ⊥u u u r r ． 又EG ABCD ⊄平面，所以EG ABCD P 平面． （6分） （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于215．理由如下：直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于215，即直线BN 与FCD 平面所成角的正弦值等于25，因为()()2,2,1,2,0,0FD CD =-=u u u r ．设FCD 平面的法向量为()1=0,1,2n r．由110n FD n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r g ，得111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，取11y =得FCD 平面的一个法向量()10,1,2n =u u r ．假设线段FD 上存在一点N ，使得直线BN 与FCD 平面所成角的正弦值等于25． 所以sin cos ,BN n α=u u u r r()()()122221222559845222BN n BN n λλλλλ====-+⋅+-+u u u r u u r g u u u r u u r g ．所以29810λλ--=，解得11=9λλ=-或（舍去）．因此，线段DF 上存在一点N ，当点N 与点D 重合时，直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于。

新疆乌鲁木齐市2017届高三下学期第三次诊断性测验（三模） 数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2320A x x x =-+<，{}13B x x =<<，则（ ） A ．A B = B ．A B ⊇ C ．A B ⊆ D ．A B ⋂=∅ 2.若复数1m ii+-为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数m 等于（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．13.等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104.“22log log a b >”是“1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”)编成易于上口的《孙子歌诀》:三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知.已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值.按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263 6.下列函数中，以2π为最小正周期的偶函数是（ ） A ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．22sin 2cos 2y x x =-C ．sin 2cos2y x x =+D ．sin 2cos2y x x =7.已知实数,x y 满足250,230,,x y x y y x --≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =--的最大值为（ ）A ．19-B ．7-C ．5-D ．4-8.已知,x y R ∈，22315x y xy ++=，则22x y xy +-的最小值是（ ） A ．35 B ．105 C ．140 D ．2109.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．82π+B ．83π+C ．102π+D ．103π+10.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若12AF F ∆的内切圆半价为)1a ，则其离心率为（ ）A ．2 C D ．11.球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各个面都相切，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截球O 所得截面的面积为（ ） A ．43π B ．π C ．23π D ．3π 12.已知对任意实数1k >，关于x 的不等式()2x xk x a e->在()0,+∞上恒成立，则a 的最大整数值为（ ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若单位向量,a b 满足22a b -=，则向量,a b 的夹角的余弦值为 ． 14. 学校拟安排六位老师至5 月1日至5月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值5月2日，李老师不能值5月3日的班，则满足此要求的概率为 ．15. 若P 是抛物线28y x =上的动点，点Q 在以点()2,0C 为圆心，半径长等于1的圆上运动．则PQ PC +的最小值为 ．16. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3,232f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2n n S a n =+，则()()56f a f a += ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C +++=. （Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若c ABC ∆周长的最大值.18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是正三角形，E 是棱1BB 的中点.（Ⅰ）求证平面1AEC ⊥平面11AA C C ；（Ⅱ）若1AA AB =，求二面角1C AE C --的平面角的余弦值.19. 对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y bx a =+，②dx y ce =拟合，得到回归方程分别为()10.248.81y x =-，()20.0221.70x ye =，作残差分析，如表：e e（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程.（结果保留到小数点后两位） 附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.20. 在平面直角坐标系xOy 中，,M N 是x 轴上的动点，且228OM ON +=，过点,M N 分P ，设点P 的轨迹为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）过点()1,1Q 的两条直线分别交曲线E 于点,A C 和,B D ，且//AB CD ，求证直线AB 的斜率为定值.21. 设函数()()()2212ln 212f x x x x a x a x a ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2a <-时，讨论()f x 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，2παπ≤<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ. （Ⅰ）讨论直线l 与圆C 的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l 的垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹与圆C 相交所得弦长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x a =-++.（Ⅰ）当1a =时，求()y f x =图象与直线3y =围成区域的面积； (Ⅱ)若()f x 的最小值为1，求a 的值.试卷答案一、选择题1-5:CDCAA 6-10:BCBDA 11、12：DB1.选C.【解析】∵集合{}()23201,2A x x x =-+<=,∴A B ⊆.故选C. 2.选D.【解析】∵()()()()()()1111112m i i m m im i i i i ++-+++==--+为纯虚数,∴1m =.故选D. 3.选C.【解析】∵1735a a a a +=+，又1352,10a a a =+=，所以78a =.故选C. 4.选A.【解析】∵2211log log 033aba b a b ⎛⎫⎛⎫>⇔>>⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.5.选A.【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构得n 的输出值为53，故选A.6.选B.【解析】∵22sin 2cos 2cos4y x x x =-=-，是偶函数，且2T π=，故选B.7.选C.【解析】可行域如图所示，当直线3z x y =--过点()2,1A -时，3z x y =--有最大值，最大值为5-.故选C.8.选B.【解析】∵,x y R ∈，22315x y xy ++=，∴22315x y xy +=-，3152xy xy -≥，∴105xy ≤.∴223152315210105x y xy xy +-=-≥-=.故选B.9.选D.【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，所以表面积2=112+124+1+21=10+3S πππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯表面积.故选D.10.选A.【解析】∵由122AF AF a -=，∴12Rt AF F ∆内切圆半径为)212122122AF F F AF c ac a a +--==-=c ⇒=，∴离心率e =，故选A.11.选D.【解析】设圆心到截面距离为d ，截面半径为r ，连结,,OA OC OM ，由O ACM M AOC V V --=，即13ACM AOC S d ∆∆⋅=,∴d =221d r +=，∴r =的面积为3π.故选D. 12.选B.【解析】令()()20x xf x x e=>，依题意，对任意1k >，当0x >时，()y f x =图象在直线()y k x a =-下方，∴()()21x x f x e -'=列表()y f x =得的大致图象则当0a =时，∵()02f '=，∴当12k <<时不成立； 当1a =-时，设()01y k x =+与()y f x =相切于点()()00,x f x . 则()()000200002111x x f x k x x x e -==⇔-=+，解得()00,1x =.∴01k =<<，故成立，∴当a Z ∈时,max 1a =-.故选B.二、填空题13.填34.【解析】∵22a b -=,∴()222a b-=，,a b 为单位向量，即22442a a b b -⋅+=，则44cos 12θ-+=，∴3cos 4θ=. 14.填715.【解析】 六位老师值班每天两人的排法有22264290C C C =种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在5月1号，有24=6C 种；第二种情况，王老师和李老师不在同一天值班，有114336C C =种，故共有42种.因此满足此要求的概率4279015P ==. 15.填3.【解析】由于点C 为抛物线的焦点，则PC 等于点P 到抛物线准线2x =-的距离d .又圆心C 到抛物线准线的距离为4，则3P Q P CP Q d +=+≥.当点P 为原点，Q 为()1,0时取等号.故 PQ PC +得最小值为3.16.填3.【解析】∵()()f x f x -=-，又∵()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()32f x f x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ∴()()()()3333222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=---=---=--= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦.∴()f x 是以3为周期的周期函数.∵数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，∴11a =-，∴5631,63a a =-=-. ∴()()()()()()()()56316320223f a f a f f f f f f +=-+-=+==--=.三、解答题17.（Ⅰ）由已知，得()()222222a b ca b b a c R R R+⋅++⋅=⋅，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴23C π=；（Ⅱ）∵csin sin a bA B==2sin ,2sin a A b B ==.设周长为l，则2sin 2sin 2sin 2sin 3l a b c A B A A π⎛⎫=++=+++-+ ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cos sin sin 33A A A A A ππ=++2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵03A π<<,∴2sin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴ABC ∆周长的最大值为2+.18. （Ⅰ）分别取1,AC AC 的中点,O F ，连结,,OB OF EF ，则//OF BE =，∴//OB EF . ∵111ABC A B C -是直三棱柱，ABC 是正三角形，O 是AC 的中点， ∴OB ⊥面11ACC A ，∴EF ⊥平面11ACC A ，∴平面1AEC ⊥平面11AA C C . （Ⅱ）建立如图O xyz -空间直角坐标系，设12AA AB ==，则()())0,1,0,0,1,0,30,1A C E -，()()()()110,1,2,0,2,0,0,2,2,3,1,1C AC AC AE ===,设平面AEC 的法向量为()1111,,n x y z =，平面1AEC 的法向量为()2222,,n x y z =，则有1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2120n ACn AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得(11,0,n =,()20,1,1n =-设二面角1C AE C --的平面角为θ，则12126cos n n n n θ⋅==∴二面角1C AE C --19.（Ⅰ）根据残差分析，把80x =代入()10.248.81yx =-得()110.39y=.1010.390.39-=-.所以表中空格内的值为0.39-.（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.190.41 2.62+=， 模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34 1.12 3.7+=. 2.62 3.7<，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①.（Ⅲ）残差大于1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.得回归方程为0.248.76y x =-.20.(Ⅰ)设(),P m n ，直线):PM y n x m -=-，令0y =，得,0M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭直线):PN y n x m -=-，令0y =，得,0N m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. ∴222222228281343n m n OM ON m m m ⎛⎫⎛⎫+=++=+=⇒+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴曲线E 的方程是22143x y +=；(Ⅱ)∵//AB CD ，设(),,0AQ QC BQ QD λλλ==>,()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ,则()()1,11,1A A C C x y x y λ--=--,即1,1A C A C x x y y λλλλ=+-=+-①，同理1,1B D B D x x y y λλλλ=+-=+-②将()(),,,A A B B A x y B x y ，代入椭圆方程得2222143143A A B B x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 化简得()()()()34A B A B A B A B x x x x y y y y +-=-+-③ 把①②代入③，得()()()()()()()()()3223422422C D C D C D C D C D C D x x x x x x y y y y y y λλλλλ+--+-=-+-+++-将()(),,,C C D D C x y D x y ，代入椭圆方程，同理得()()()()34C D C D C D C D x x x x y y y y +-=-+-代入上式得()()34C D C D x x y y -=--.即34C D C D y y x x -=--，∴直线AB 的斜率为定值34-21. (Ⅰ)()()()()21ln 0f x x x a x '=-+>.①当0a =时，()()21ln f x x x '=-，当01x <<时，()0f x '>， 当1x >时，()0f x '>.当1x =时，()0f x '=.∴()f x 在()0,+∞递增 ②当0a >时，令()0f x '=，得121,a x x e -==，此时1a e -<. 易知()f x 在()0,a e -递增，(),1a e -递减，()1,+∞递增③当0a <时，1a e ->.易知()f x 在()0,1递增，()1,a e -递减，()e ,a -+∞递增 (Ⅱ)当时，由(Ⅰ)知()f x 在()0,1上递增，()1,a e -上递减，()e ,a -+∞上递增，且()()13121022f a a a =-+-+=>，将a x e -=代入()f x ，得()()()()()()222112212222a f x f e x x a a x a x a x a -⎛⎫==--+-+-+=--++ ⎪⎝⎭∵2a <-，∴()0a f e -<.下面证明 当()0,1x ∈时存在0x ，使()00f x <.首先，由不等式ln 1x x <-，∴111ln 1x x x x -<-=，∴1ln x x x --<，∴1ln x x x ->.考虑到()2220x x x x -=-<，∴()()()()22221112ln 21222x f x x x x a x a x a x x a x x -⎛⎫⎛⎫=-+-+-+<-⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()21321122a x a a x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭.再令()2131022a x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，可解出一个根为1x =∵2a <-，∴3021a -<<1+，∴011<-<，就取()0010,1x x =-∈. 则有()00f x <.由零点存在定理及函数()f x 在()0,1上的单调性，可知()f x 在()0,1上有唯一的一个零点.由()()10,0a f f e -><，及()f x 的单调性，可知()f x 在()1,a e -上有唯一零点. 下面证明在()e ,ax -∈+∞上，存在1x ，使()10f x >，就取121a x e-+=，则1a x e ->，∴()()()221111*********a f x x x a a x a x a x a e a -⎛⎫⎛⎫=--++-+-+=+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由不等式1x e x >+，则()10a e a a a -+>-++>，即()10f x >. 根据零点存在定理及函数单调性知()f x 在()e ,a -+∞上有一个零点. 综上可知，()f x 当2a <-时，共有3个零点.22. (Ⅰ)直线l 式过定点()0,1A ，倾斜角在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内的一条直线，圆C 的方程为()2211x y -+=，∴当2πα=时，直线l 与圆C 有1个公共点；当2παπ<<时，直线l 与圆C 有2个公共点(Ⅱ)依题意，点P 在以OA 为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为sin 02πρθθ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭.联立=2cos sin 02ρθπρθθ⎧⎪⎨⎛⎫=≤< ⎪⎪⎝⎭⎩得ρ=. ∴点P 的轨迹与圆C.23. (Ⅰ)当1a =时，()()311211212132x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪⎛⎫=-++=--≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩. 其图象如图所示，易知，围成区域的面积为32. (Ⅱ)当12a ->，即12a <-时，()()131211231x a x f x x a x a x a x a ⎧⎛⎫--+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+-≥-⎪⎩.∴()min 11122f x f a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；又()min 1311122f x a a =⇒--=⇒=-当12a -≤，即12a ≥-时，()()311121312x a x a f x x a a x x a x ⎧⎪--+<-⎪⎪⎛⎫=-++-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩.∴()min 111112222f x f a a a ⎛⎫==+=+=⇒= ⎪⎝⎭.∴32a =-或12a =.。

唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）{}220A x x x =-<(){}log 1B x y x ==-A B = A. B. C. D.()0,+∞()1,2()2,+∞(),0-∞2.已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）i ()211z i i -=+z A. B. C. D. 1355i--1355i +1355i-+1355i -3.总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的4个个体的编号为（ ）A.05B.09C.11D.204.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）()2222:10,0x y C a b a b -=>>20x y +=CC.25555.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）4y =xA.或或1B.C.3-2-2-或1D.12-6.数列是首项，对于任意，有，则前5项和（ ）{}n a 11a =*,m n N ∈3n m n a a m +=+{}n a 5S =A.121 B.25C.31D.357.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.D.43838.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x x e f x x e +=-eAB C D9.若，则（ ）()92901291x a a x a x a x -=++++…1239a a a a ++++=…A.1B.513C.512D.51110.函数（）在内的值域为，则的取值范围是（ ）()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>[]0,π3⎡-⎢⎣ωA. B. C. D.35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦53,62⎡⎤⎢⎣⎦5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.抛物线的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点2:4C y x =F N M y MNF ∠MF 在抛物线上，则的面积为（ ）E C MNF △D.2323212.已知函数有两个极值点，()32f x x ax bx =++12,x x且，若，函数，则（ ）12x x <10223x x x +=()()()0g x f x f x =-()g x A.恰有一个零点 B.恰有两个零点C.恰有三个零点D.至多两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，则在方向上的投影为 ．()3,1=-a ()2,1=b a b 14.直线的三个顶点都在球的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表ABC △O 2AB AC ==O ABC -面积为 ．15.已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则实数.,x y 102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩2z x y =+5-a =16.数列的前项和为，若，则 ．{}n a n n S ()*2142n n n S a n N -+=-∈na=三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，所对应的边分别为，，，.ABC △A B C a b c cos a b b C -=（1）求证：；sin tan C B =（2）若，为锐角，求的取值范围.1a =C c 18.某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t[)0,15[)15,30[)30,45[)45,60[)60,75[)75,90男同学人数711151221女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.（i ）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii ）记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望.X X 19.如图，平行四边形中，，ABCD 24BC AB ==，，，分别为，的中点，60ABC ∠=︒PA AD ⊥E F BC PE 平面.AF ⊥PED（1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BF AFD 20.已知椭圆经过点.()2222:10x y a b a b Γ+=>>13,2E ⎫⎪⎭3（1）求椭圆的方程；Γ（2）直线与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点，，求的最大值.l 222:O x y b +=M ΓA B AB 21.已知函数，.()()2ln 1f x x ax =++0a >（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数在区间有唯一零点，证明：.()f x ()1,0-0x 2101e x e --<+<22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以P ()221:24C x y -+=O x 极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.O P 90︒Q Q 2C （1）求曲线，的极坐标方程；1C 2C （2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.()03πθρ=>1C 2C A B ()2,0M MAB △23.已知函数.()21f x x a x =++-（1）若，解不等式；1a =()5f x ≤（2）当时，，求满足的的取值范围.0a ≠()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()4g a ≤a唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：BACCD DBDAC BA 二．填空题：（13（14）（15）（16）544π3-12n n -三．解答题：（17）解：（Ⅰ）由根据正弦定理得，cos a b b C -=sin sin sin cos A B B C -=即，()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+，sin cos sin C B B =得．sin tan C B =（Ⅱ）由余弦定理得，()222222cos 4428c a b ab C b b b =+-=+-=+-由知，cos a b b C -=21cos 1cos a b C C==++由为锐角，得，所以.C 0cos 1C <<12b <<从而有.218c <<所以的取值范围是.c (1,22（18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有人，则，解得.x 81004000x=320x =所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人.（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率：.454813114C P C =-=（ⅱ）可取0，1，2，3.X ，，()45481014C P X C ===()133548317C C P X C ===，，()223548327C C P X C ===()3155481314C C P X C ===的分布列为：X X 0123P1143737114.()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（19）解：（1）连接，因为平面，平面，所以，AE AF ⊥PED ED ⊂PED AF ED ⊥PF EDCBA在平行四边形中，，，ABCD 24BC AB ==60ABC ∠=︒所以，，2AE =23ED =从而有，222AE ED AD +=所以，AE ED ⊥又因为，AF AE A = 所以平面，平面，ED ⊥PAE PA ⊂PAE 从而有，ED PA ⊥又因为，，PA AD ⊥AD ED D = 所以平面.PA ⊥ABCD （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，E则，，，()0,2,0A ()23,0,0D ()3,1,0B -因为平面，所以，AF ⊥PED AF PE ⊥又因为为中点，所以，F PE 2PA AE ==所以，，()0,2,2P ()0,1,1F ，，，()0,1,1AF =- ()3,2,0AD =- ()3,0,1BF =设平面的法向量为，AFD (),,n x y z =由，得，，0AF n ⋅= 0AD n ⋅= 0320y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令，得.1x =(3,3n =设直线与平面所成的角为，则：BF AFD θ，2321sin cos ,27BF n BF n BF n θ⋅=<>==⨯ 即直线与平面.BF AFD 21（20）解：（Ⅰ）由已知可得，解得，，223114a b+=223a b -=2a =1b =所以椭圆Γ的方程为．2214x y +=（Ⅱ）当直线垂直于轴时，由直线与圆：相切，l x l O 221x y +=可知直线的方程为，易求l 1x =±3AB =当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，l x l y kx m =+由直线与圆，即l 22:1O x y +=211m k =+，221m k =+将代入，整理得，y kx m =+2214x y +=()222148440k x kmx m +++-=设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 122814kmx x k -+=+21224414m x x k -=+()222121214AB x k x x x x =-=++-2222144114k m k k +-==++又因为，221m k =+所以，()2222231431214k k kk AB k +++=≤=+，即231k k =+2k =综上所述，的最大值为2.AB （21）解：（Ⅰ），，()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++1x >-令，，()2221g x ax ax =++()24842a a a a ∆=-=-若，即，则，0∆<02a <<()0g x >当时，，单调递增，()1,x ∈-+∞()'0f x >()f x 若，即，则，仅当时，等号成立，0∆=2a =()0g x ≥12x =-当时，，单调递增.()1,x ∈-+∞()'0f x ≥()f x 若，即，则有两个零点0∆>2a >()g x ()12a a a x ---=()22a a a x -+-=由，得，()()1010g g -==>102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭121102x x -<<-<<当时，，，单调递增；()11,x x ∈-()0g x >()'0f x >()f x 当时，，，单调递减；()12,x x x ∈()0g x <()'0f x <()f x 当时，，，单调递增.()2,x x ∈+∞()0g x >()'0f x >()f x 综上所述，当时，在上单调递增；02a <≤()f x ()1,-+∞当时，在和上单调递增，2a >()f x ()2a a a ⎛--- - ⎝()2a a a ⎫-+-⎪+∞⎪⎭在上单调递减.()2a a a -+-（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.()00f =()10f x =此时，就是函数在区间的唯一零点.1x ()f x ()1,0-0x 所以，从而有，202210ax ax ++=()00121a x x =-+又因为，所以，()()2000ln 10f x x ax =++=()()00ln 1021x x x +-=+令，则，01x t +=1ln 02t t t--=设，则，()11ln 22h t t t =+-()221'2t h t t-=再由（1）知：，，单调递减，102t <<()'0h t <()h t 又因为，，()22502e h e --=>()1302e h e --=<所以，即.21e t e --<<2101e x e --<+<（22）解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．1C 4cos ρθ=设，则，则有．(),Q ρθ,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，曲线的极坐标方程为． 2C 4sin ρθ=（Ⅱ）到射线的距离为M 3πθ=2sin33d π==，()4sin cos 23133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭则1332S AB d =⨯=（23）解：（Ⅰ）,()21f x x x =++-所以表示数轴上的点到和1的距离之和，x 2-因为或2时，3x =-()5f x =依据绝对值的几何意义可得的解集为． ()5f x ≤{}32x x -≤≤（Ⅱ），()1121g a a a a=++-当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；0a <()2215g a a a=--+≥1a =-()4g a ≤当时，，01a <≤()221g a a a=+-由得，解得，又因为，所以；()4g a ≤22520a a -+≤122a ≤≤01a <≤112a ≤≤当时，，解得，1a >()214g a a =+≤312a <≤综上，的取值范围是．a 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。