2019年福建高考试题(理数,word解析版)

2019年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26 10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++ 二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. （1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

2019年福建高考数学试题（理）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26 10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++ 二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. （1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

2019高考数学（理）试题精校精析（福建卷）（纯word 书稿）1、[2018·福建卷] 假设复数z 满足z i ＝1－i ，那么z 等于( ) A 、－1－i B 、1－i C 、－1＋i D 、1＋i1、A [解析] 根据条件：z ＝1－i i ＝1－i ii ·i ＝－1－i.所以选择A. 2、[2018·福建卷] 等差数列 {a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，那么数列{a n }的公差为( )A 、1B 、2C 、3D 、42、B [解析] 根据条件得：⎩⎨⎧ a 1＋a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7， 即⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7，解得2d ＝4，所以d ＝2.所以选择B.A 、∃x 0∈，e x 0≤0B 、∀x ∈2x ＞x 2C 、a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1 D 、a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件3、D[解析]A 是假命题，根据指数函数的性质不存在x 0，使得e x 0≤0；B 也是假命题，当x ＝2时，2x＝x 2；C 是假命题，当a ＋b ＝0时，不一定满足ab ＝－1，如a ＝b ＝0；显然D 是真命题、4、[2018·福建卷]一个几何体的三视图形状都相同大小均相等，那么这个几何体不可以是()A 、球B 、三棱锥C 、正方体D 、圆柱4、D[解析]此题考查简单几何体的三视图，大小形状的判断以及空间想象能力，球的三视图大小形状相同、三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有圆柱不同、5、[2018·福建卷]以下不等式一定成立的是()A 、lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B 、sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈) C 、x 2＋1≥2|x |(x ∈)D.1x 2＋1＞1(x ∈)5、C[解析]此题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件、对于A 选项，当x ＝12时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ；所以A 不一定正确；B 命题，需要满足当sin x >0时，不等式成立，所以B也不正确；C 命题显然正确；D 命题不正确，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，所以正确的选项是C.6、[2018·福建卷]如图1－1所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，那么点P 恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.176、C[解析]此题考查几何概型的计算与求解以及定积分的计算，解决此题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求解、阴影部分的面积是：S 阴影＝⎠⎛01(x －x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪ 10＝23－12＝16，利用几何概型公式得：P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.7、B4[2018·福建卷]设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，那么以下结论错误的选项是()A 、D (x )的值域为{0,1}B 、D (x )是偶函数C 、D (x )不是周期函数D 、D (x )不是单调函数7、C[解析]考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等，解决此题利用定义、图象等解决，那么当x 为无理数时，x ＋T 也为无理数，那么f (x ＋T )＝f (x )；故f (x )是周期函数，故C 错误；假设x 为有理数，那么－x 也为有理数，那么f (－x )＝f (x )；假设x 为无理数，那么－x 也为无理数，那么f (－x )＝f (x )；故f (x )是偶函数，故B 正确；结合函数的图象，A 选项D(x )的值域为{0,1}，正确；且D(x )不是单调函数也正确，所以C 错误、8、H10[2018·福建卷]双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，那么该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于() A.5B 、42C 、3D 、58、A[解析]由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F (3,0)，所以双曲线方程中半焦距c ＝3.因为双曲线的焦点为F (c,0)，双曲线的渐近线方程为：y ＝±ba x ，焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝b ，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为b .因为双曲线方程中a ＝2，c ＝3，所以b ＝c 2－a 2＝9－4＝ 5.9、E5[2018·福建卷]假设函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，那么实数m 的最大值为()A.12B 、1C.32D 、29、B[解析]根据约束条件画出可行域如下图所示，根据题意，显然当曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3相交，交点的横坐标即为m的最大值，解方程组：⎩⎨⎧y ＝2x，y ＝－x ＋3，解得x ＝1，y ＝2，所以交点的横坐标为x ＝1，所以当m ≤1时，曲线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件，所以m 的最大值为1.10、B14[2018·福建卷]x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，那么称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③假设f (x )在x ＝2处取得最大值1，那么f (x )＝1，x ∈[1,3]；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]、其中真命题的序号是()A 、①②B 、①③C 、②④D 、③④10、D[解析]根据条件，函数y ＝f (x )是凹函数，对于①，当函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈[1，2∪2，3]，0，x ＝2时仍然满足不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但是此时函数是不连续的，所以①不正确；对于③，假设f (x )在x ＝2时取得最大值，再满足性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，所以函数是常函数，12[f (x 1)＋f (x 2)]＝2，所以f (x )＝1，且x ∈[1,3]，所以③正确；因为x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，∴x 1＋x 22，x 3＋x 42∈[1,3]，所以满足性质P ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42≤12[f (x 3)＋f (x 4)]，所以12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42≤1212[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)]＝ 14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，所以④正确、所以选择D.11、J3[2018·福建卷](a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，那么实数a ＝________.11、2[解析]此题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，该二项式的通项是T r ＋1＝C r 4a 4－r x r,x 3的系数为8，即令r ＝3，所以C 34a 1＝8，所以4a ＝8，所以a ＝2.12、L1[2018·福建卷]阅读图1－2所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________、图1－212、－3[解析]第一次循环由于k ＝1<4，所以s ＝2－1＝1，k ＝2；第二次循环k ＝2<4，所以s ＝2－2＝0，k ＝3；第三次循环k ＝3<4，所以s ＝0－3＝－3，k ＝4，结束循环，所以输出s ＝－3.13、C8[2018·福建卷]△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，那么其最大角的余弦值为________、13、－24[解析]根据题意设三角形的三边分别是：22a 、a 、2a ，最大角所对的边是2a ，根据大边对大角定理结合余弦定理得：cos α＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2－2a 22×22a ×a＝－24，所以最大角的余弦值是－24.14、D4[2018·福建卷]数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，那么S 2012＝________.14、3018[解析]a 1＝1cos π2＋1＝1， a 2＝2cos π＋1＝－1，a 3＝3cos 3π2＋1＝1， a 4＝4cos2π＋1＝5，a 5＝5cos 5π2＋1＝1， a 6＝6cos3π＋1＝－5，a 7＝7cos 7π2＋1＝1，a 8＝8cos 8π2＋1＝9；该数列每四项的和为6,2012÷4＝503，所以S 2012＝6×503＝3018. 15、B14[2018·福建卷]对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，那么x 1x 2x 3的取值范围是________、15.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0[解析]根据新运算符号得到函数f (x )的解析式，即为：f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎨⎧2x －12－2x －1x －1，2x －1≤x －1，x －12－2x －1x －1，2x －1>x －1，化简得： f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，画出函数f (x )的图象(如下图所示)，如果f (x )＝m f (x )的图象有三个交点，如图，当直线y ＝m 过抛物线f (x )＝－x 2＋x 的顶点且与x 轴平行时，此时有两个交点，抛物线的顶点纵坐标是：y ＝14.设三个交点分别为：x 1，x 2，x 3，且依次是从小到大的顺序排列，所以x 1即为方程2x 2－x ＝14小于0的解，解得x 1＝1－34，此时x 2＝x 3＝12，所以x 1·x 2·x 3＝1－34×12×12＝1－316，y ＝m 与函数f (x )有2个交点的最低位置是当y ＝m 与x 轴重合时，此时x 1·x 2·x 3＝0，所以当方程f (x )＝m 有三个不等实根时，x 1·x 2·x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0. 16、K2、K6[2018·福建卷]受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关、某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)假设该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车、假设从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由、16、解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A .那么P (A )＝2＋350＝110.(2)X 2(3)由(2)得，E (X 1)＝1×25＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)、 因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车、17、C2、C5、C6[2018·福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论、17、解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二：(1)同解法一、(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.18、G4、G5、G11[2018·福建卷]如图1－3，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点、(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？假设存在，求AP 的长；假设不存在，说明理由；(3)假设二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长、图1－318、解：(1)以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)、设AB ＝a ，那么A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E →＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点0使得DP ∥平面B 1AE .此时DP →＝(0，－1，z 0)、又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )、∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎨⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1.∴AD1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)、设AD 1→与n 所成的角为θ， 那么cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD1→|＝－a 2－a21＋a 24＋a 2.∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°，即3a 221＋5a 24＝32， 解得a ＝2，即AB 的长为2.19、H5、H8、F3[2018·福建卷]如图1－4，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由、19、解：解法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝12，所以c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m 得Q (4,4k ＋m )、假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上、 设M (x 1,0)，那么MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立、因为MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km －x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ →＝0，得－16km ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12km ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎨⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 解法二：(1)同解法一、(2)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )、假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上、 取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝⎛⎭⎪⎫y －342＝4516，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)、所以假设符合条件的点M 存在，那么M 的坐标必为(1,0)、以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km －1，3m ，MQ →＝(3,4k ＋m )，从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12km ＋3＝0， 故恒有MP →⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 20、B11、B12[2018·福建卷]函数f (x )＝e x ＋ax 2－e x ，a ∈R . (1)假设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间；(2)试确定a 的取值范围，使得曲线y ＝f (x )上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .20、解：(1)由于f ′(x )＝e x ＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f (x )＝e x －e x .此时f ′(x )＝e x －e ，由f ′(x )＝0得x ＝1.当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )>0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)、(2)设点P (x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，令g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，故曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数g (x )有唯一零点、因为g (x 0)＝0，且g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)、①假设a ≥0，当x ＞x 0时，g ′(x )＞0，那么x ＞x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0； 当x ＜x 0时，g ′(x )＜0，那么x ＜x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0.故g (x )只有唯一零点x ＝x 0.由于x 0具有任意性，不符合P 的唯一性，故a ≥0不合题意、②假设a ＜0，令h (x )＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)，那么h (x 0)＝0，h ′(x )＝e x ＋2a .令h ′(x )＝0，得x ＝ln(－2a )，记x *＝ln(－2a )，那么当x ∈(－∞，x *)时，h ′(x )＜0，从而h (x )在(－∞，x *)内单调递减；当x ∈(x *，＋∞)时，h ′(x )＞0，从而h (x )在(x *，＋∞)内单调递增、(i)假设x 0＝x *，由x ∈(－∞，x *)时，g ′(x )＝h (x )>h (x *)＝0；x ∈(x *，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0.知g (x )在R 上单调递增、所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *.(ii)假设x 0＞x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增，且h (x 0)＝0，那么当x ∈(x *，x 0)时有g ′(x )＝h (x )＜h (x 0)＝0，g (x )＞g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g (x 1)＞0.又当x ∈(－∞，x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－(e ＋f ′(x 0))x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＜e x 1＋ax 2－(e ＋f ′(x 0))x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＝ax 2＋bx ＋c ， 其中b ＝－(e ＋f ′(x 0))，c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)、 由于a ＜0，那么必存在x 2＜x 1，使得ax 22＋bx 2＋c ＜0.所以g (x 2)＜0，故g (x )在(x 2，x 1)内存在零点、即g (x )在R 上至少有两个零点、(iii)假设x 0＜x *，仿(ii)并利用e x ＞x 36，可证函数g (x )在R 上至少有两个零点、综上所述，当a ＜0时，曲线y ＝f (x )上存在唯一点P (ln(－2a )，f (ln(－2a )))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .21、[2018·福建卷]N2A 选修4－2：矩阵与变换；设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎫a b 01(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵、N3B 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系、直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)、 (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系、 N4C 选修4－5：不等式选讲函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]、 (1)求m 的值；(2)假设a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 21、解：A 选修4－2：矩阵与变换(1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)、由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a b 01⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫11 01，A 2＝⎝⎛⎭⎫11 01⎝⎛⎭⎫11 01＝⎝⎛⎭⎫12 01，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎫1－2 01. B 选修4－4：坐标系与参数方程(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交、 C 选修4－5：不等式选讲(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }、又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

绝密*启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ） 【解】选D（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解】选A（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z =22:2p z i =3:p z的共轭复数为1i +4:p z的虚部为1-【解】选C（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， ∆21F PF 是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）【解】选C （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）【解】选D（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 【解】选B（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为（ ） 【解】选C（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2019年福建高考语文、数学（理工类）、理综、英语真题试卷及答案解析汇总2019全国统一高考(福建卷)语文试题及答案一、古代诗文阅读（27分）（一）默写常见的名句名篇（6分）1、补写出下列名句名篇中的空缺部分。

（6分）（1）狗吠深巷中，。

（陶渊明《归园田居（其一）》）（2）潦水尽而寒潭清，。

（王勃《滕王阁序》）（3）？只是当时已惘然。

（李商隐《锦瑟》）（4）四十三年，望中犹记，。

（辛弃疾《永遇乐·京口北固亭怀古》）（5），零丁洋里叹零丁。

（文天祥《过零丁洋》）（6）余立侍左右，，俯身倾耳以请。

（宋濂《送东阳马生序》）（二）文言文阅读（15分）阅读下面的文言文，完成2-5题。

龙洞山记【元】张养浩历下多名山水，龙洞尤为胜。

洞距城东南三十里，旧名禹登山。

按《九域志》，禹治水至其上，故云。

中有潭，时出云气，旱祷辄雨，胜国①尝封其神曰灵惠公。

其前，层峰云矗，曰锦屏，曰独秀，曰三秀，释家者流居之。

由锦屏抵佛刹山，巉岩环合，飞鸟劣②及其半。

即山有龛屋，深广可容十数人，周镌佛象甚夥。

世兵，逃乱在多此焉。

依上下有二穴，下者居傍，可逶迤东出，其曰龙洞，即此穴也。

望之窅然。

窃欲偕同来数人入观。

或曰是中极暗，非烛不能往，即遣仆燃束茭前导。

初焉，若高阔可步；未几，俯首焉；未几，磐折③焉；又未几，膝行焉；又未几，则蒲伏焉；又未几，则全体覆地蛇进焉。

会．所导火灭，烟郁勃满洞中。

欲退，身不容；引进，则其前隘，且重以烟，遂缄吻、抑鼻、潜息。

心骇乱恐甚，自谓命当尽死此，不复出矣。

余强呼使疾进，众以烟故，无有出声应者，心尤恐然。

余适居前，倏得微明，意．其穴竟于是，极力奋身，若鱼纵焉者，始获脱然以出。

如是，仅里所。

既会，有泣者，恚者，诟者，相讥笑者，顿足悔者，提肩喘者，喜幸生手其额者，免冠科首具陈其狼狈状者。

惟导者一人年稚，形瘠小，先出，若无所苦，见众皆病，亦阳慑．力殆。

其宴于外者，即举酒酌穴者，人二杯。

虽雅不酒，必使之酹，名曰定心饮。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学一、选择题1．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N等于()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}答案 C解析∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C.2．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1答案 C解析∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.3．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a答案 B解析∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm答案 B 解析若头顶至咽喉的长度为26 cm，则身高为26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，此人头顶至脖子下端的长度为26 cm，即头顶至咽喉的长度小于26 cm，所以其身高小于178 cm，同理其身高也大于105÷0.618≈170(cm)，故其身高可能是175 cm，故选B.5．函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为()A. B.C. D.答案 D解析∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A；∵f(π)＝＝>0，∴排除C；∵f(1)＝，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.答案 A解析由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A.7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案 B解析设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.8．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入()A．A＝B．A＝2＋C．A＝D．A＝1＋答案 A解析A＝，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝.故选A.9．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10C．S n＝2n2－8n D．S n＝n2－2n答案 A解析设等差数列{a n}的公差为d，∵∴解得∴a n＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，S n＝na1＋d＝n2－4n.故选A.10．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案 B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③答案 C解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.12．已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．8π B．4π C．2π D.π答案 D解析因为点E，F分别为P A，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面P AC，所以PB⊥平面P AC，所以PB⊥P A，PB⊥PC，因为P A＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以P A⊥PC，即P A，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝πR3＝π3＝π，故选D.二、填空题13．曲线y＝3(x2＋x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．答案y＝3x解析因为y′＝3(2x＋1)e x＋3(x2＋x)e x＝3(x2＋3x＋1)e x，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为y＝3x.14．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，＝a6，则S5＝________.答案解析设等比数列{a n}的公比为q，因为＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．答案0.18解析记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.16．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．答案 2解析因为F1B·F2B＝0，所以F1B⊥F2B，如图．因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.三、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.解(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.18．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．(1)证明连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，故ME∥ND且ME＝ND，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的一个法向量，则所以可得m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的一个法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角A－MA1－N的正弦值为.19．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若＝3，求|AB|.解设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，令Δ>0，得t<，则x1＋x2＝－.从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－.(2)由＝3可得y1＝－3y2，由可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得x1＝3，x2＝，即A(3,3)，B，故|AB|＝. 20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：(1)f′(x)的区间上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．证明(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋.当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，g′<0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0.所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在上单调递减，故g(x)在上存在唯一极大值点，即f′(x)在上存在唯一极大值点．(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增．而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零点；②当x∈时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在上单调递减，而f′(0)＝0，f′<0，所以存在β∈，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在上单调递减．又f(0)＝0，f＝1－ln>0，所以当x∈时，f(x)>0.从而，f(x)在上没有零点；③当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减．而f>0，f(π)<0，所以f(x)在上有唯一零点；④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)证明：{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．(1)解X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)(ⅰ)证明由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此p i＝0.4p i－1＋0.5p i＋0.1p i＋1，故0.1(p i＋1－p i)＝0.4(p i－p i－1)，即p i＋1－p i＝4(p i－p i－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．(ⅱ)解由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.由于p8＝1，故p1＝，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝p1＝.p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．解(1)因为－1<≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为 (α为参数，－π<α<π)．C上的点到l的距离为＝. 当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.23．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.祝福语祝你考试成功!。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @sina ）第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 考点：复数的运算。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。

解答：iiz -=1 2. 等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 考点：等差数列的定义。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=。

解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a 。

3. 下列命题中，真命题是（ ）A ．0,00≤∈∃x eR x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 考点：逻辑。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。

解答：A 中，,R x ∈∀0>xe。

B 中，22,4,2x x x x===∃，22,x x x<∃。

C 中，⎩⎨⎧≠=+00b b a 的充要条件是1-=b a。

D 中，1,1>>b a 可以得到1>ab ，当1>ab 时，不一定可以得到1,1>>b a 。

4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱考点：空间几何体的三视图。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。

解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。

2019年高考真题—普通高等学校统一考试—理科数学（全国卷Ⅲ）—解析版_ 2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III卷）理科数学一．选择题 1、已知集合，则（） A. B. B. C. C. D. D. 答案：A 解答：，所以. 2.若，则（） A. B. C. D. 答案：D 解答：,. 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. B.C. D. 答案：C 解答：4.的展开式中的系数为（） A. B. C. D. 答案：A 解答：由题意可知含的项为，所以系数为. 5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（） A. B. C. D. 答案：C 解答：设该等比数列的首项，公比，由已知得，，因为且，则可解得，又因为，即可解得，则. 6. 已知曲线在点处的切线方程为，则（） A., B., C., D., 答案：D 解析：令，则，，得. ，可得.故选D. 7.函数在的图像大致为（） A. B. C. D. 答案：B 解析：∵，∴，∴为奇函数，排除选项C.又∵，根据图像进行判断，可知选项B符合题意. 8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B 解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B. 9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（） A. B. C.D. 答案：C 解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；… 第七次循环：，此时循环结束，可得.故选 C. 10. 双曲线：的右焦点为，点为的一条渐近线的点，为坐标原点.若则的面积为（） A: B: C: D: 答案: A解析：由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过点做垂直因为得到;所以;故选A; 11. 若是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（） A. B.C. D. 答案：C 解析: 依据题意函数为偶函数且函数在单调递减，则函数在上单调递增；因为；又因为；所以；故选C. 12.设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：在有且仅有个极大值点在有且仅有个极小值点在单调递增的取值范围是其中所有正确结论的编号是 A.B. C. D. 答案：D 解析：根据题意，画出草图，由图可知，由题意可得，，解得，所以，解得，故对；令得，∴图像中轴右侧第一个最值点为最大值点，故对；∵，∴在有个或个极小值点，故错；∵，∴，故对. 二.填空题 13.已知，为单位向量，且，若，则 . 答案：解析：∵，∴，∵，∴. 14.记为等差数列的前项和，若，，则 . 答案：解析：设该等差数列的公差为，∵，∴，故，∴. 15.设、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为________. 答案：解析：已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐标为. 16.学生到工厂劳动实践，利用D打印技术制作模型。

2019年一般高等学校招生福建卷理工类数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．复数(1i )10的值是（1iA ．－1B ．1C ．－32D ．322．tan15°+cot15°的值是（）A ．2B ．2+3C ．44 3D ．33．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充足而不用要条件；命题q ：函数y=|x1|2的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（ ）A ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假B ．“p 且q ”为真D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是真实三角形，则这个椭圆的离心率是（）3 2 2 2 3A ．B ．C ．2D ．33325．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有以下命题：①若mα，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.此中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．某校高二年级共有六个班级，现从外处转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不一样的安排方案种数为（）A ．A 62C 42B ．1A 62C 422C ．A 62A 42D ．2A 627．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f—1—1（）(x)，则函数 y=f(1－x)的图象是yyy1O1x (A)y111(B)O1 xO1xO1x(C)(D)8．已知a 、b 是非零向量且知足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．B ．C ．2D ．563639．若(1-2 x 9睁开式的第3项为288，则lim(1 11)的值是 （）) xx 2x nn12A ．2B ．1C ．D ．2510．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（）A ．arcsinC ．arcsin36 33B ．arccos D ．arccos363311．定义在R 上的偶函数f(x)知足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（）A ．f(sin)<f(cos )B ．f(sin1)>f(cos1)66C ．f(cos2 2D ．f(cos2)>f(sin2))<f(sin)3312．如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的没岸PQ （曲线）上随意一点到A 的距离比到B 的距离远2km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修筑公路的花费分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修筑这两条公路的总花费最低是（ ）A ．(2 7－2)a 万元B ．5a 万元C ．(27+1)a 万元D ．(23+3)a 万元第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共 4小题，每题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应地点.13．直线x+2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于.14．设函数f(x)1x1(x0)在x=0处连续，则实数a的值为.x(x0)a15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击能否击中目标相互之间没有影响.有以下结论：①他第3次击中目标的概率是；②他恰巧击中目标3次的概率是3×；③他起码击中目标1次的概率是4.此中正确结论的序号是（写出全部正确结论的序号）.16．如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设函数f(x)=a·b，此中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，x∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－3且x∈[－，]，求x；33（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后获得函数y=f(x)的图象，2务实数m、n的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的乙能答对此中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出10道试题中，甲能答对此中的3题进行测试，起码答对6题，2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率散布及数学希望；（Ⅱ）求甲、乙两人起码有一人考试合格的概率.19．（本小题满分12分）在三棱锥S—ABC 中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.20．（本小题满分12分）某公司2003年的纯收益为500万元，因设施老化等原由，公司的生产能力将逐年降落.若不可以进行技术改造，展望从今年起每年比上一年纯收益减少20万元，今年初该公司一次性投入资本600万元进行技术改造，展望在未扣除技术改造资本的状况下，第n年（今年为第一年）的收益为500(1+12n)万元（n为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该公司不进行技术改造的累计纯收益为A n万元，进行技术改造后的累计纯收益为B n万元（须扣除技术改造资本），求A n、B n的表达式；（Ⅱ）依上述展望，从今年起该公司起码经过多少年，进行技术改造后的累计纯收益超过不进行技术改造的累计纯收益？21．（本小题满分 14分）2x a已知f(x)=(x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数.x 22（Ⅰ）务实数 a 的值构成的会合A ；（Ⅱ）设对于x 的方程f(x)=1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：能否存在实数m ，使得x不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对随意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明原由.22．（本小题满分 12分）如图，P 是抛物线C ：y=1x 2上一点，直线 l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.2（Ⅰ）若直线 l 与过点P 的切线垂直，求线段 PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线 l 可是原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求|ST||ST|的取|SP||SQ|值范围.2004年一般高等学校招生福建卷理工类数学试题参照答案一、二、13．45，3三、本小题主要考察平面向量的观点和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技术，考察运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2x+3sin2x=1+2sin(2x+).6由1+2sin(2x+)=1－33，得sin(2x+)=－.66 2∵-≤x ≤ ，∴-≤2x+≤5，∴2x+=-3，332 6 6 6即x=-.4（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量 c=(m ，n)平移后获得函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象.由（Ⅰ）得f(x)=2sin2(x+)+1.12∵|m|<，∴m=-12 ，n=1.218.本小题主要考察概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数 ξ的概率散布以下：ξ0 1 2 31 3 1 1P102630甲答对试题数 ξ的数学希望1 31 1 9 E ξ=0×+1×+2×+3×6 =.301025（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A 、B ，则C 62C 41 C 6360202，P(A)===C 1031203C 82C 21 C 83565614 P(B)===.C 10312015由于事件A 、B 互相独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为2 14 1P(AB )=P(A )P(B )=1－)(1－15)=.345∴甲、乙两人起码有一人考试合格的概率为1 44P=1－P(AB )=1－=.45 4544答：甲、乙两人起码有一人考试合格的概率为.45方法二：∴甲、乙两人起码有一个考试合格的概率为=P =P(A ·B )+P(A ·B)+P(A ·B)=P(A )P(B )+P(A )P(B)+P(A)P(B)2×1+1×14+2×14=44.3153153154544答：甲、乙两人起码有一人考试合格的概率为 .4519.本小题主要考察直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考察空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）取 AC 中点D ，连接SD 、DB. SA=SC ，AB=BC ，∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD ， ∴AC ⊥平面SDB ，又SB 平面SDB ，∴AC ⊥SB. （Ⅱ）∵AC ⊥平面SDB ，AC 平面ABC ， ∴平面SDB ⊥平面ABC. 过N 作NE ⊥BD 于E ，NE ⊥平面ABC ， 过E 作EF ⊥CM 于F ，连接NF ， 则NF ⊥CM. ∴∠NFE 为二面角 N －CM －B 的平面角. ∵平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，∴SD ⊥平面ABC. 又∵NE ⊥平面ABC ，∴NE ∥SD.∵SN=NB ，∴NE=1 SD= 1 SA2 AD 2 = 1 12 4=2，且ED=EB.2 2 EF=1 21，在正△ABC 中，由平几知识可求得MB= 在Rt △NEF 中，tan ∠NFE=EN=2422，EF∴二面角N —CM —B 的大小是arctan22.（Ⅲ）在Rt △NEF 中，NF=EF 2EN 2 = 3，13123 3.∴S △CMN =CM ·NF=2 ，S △CMB =BM ·CM=222设点B 到平面CMN 的距离为h ，∵V B-CMN=V N-CMB，NE⊥平面CMB，∴1S△CMN·h=1S△CMB·NE，33S CMB NE4242∴h==.即点B到平面CMN的距离为.SCMN33解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连接OS、OB.SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=ACSO⊥面ABC，∴SO⊥BO.以下图成立空间直角坐标系O－xyz.则A（2，0，0），B（0，23，0），C（－2，0，0），S（0，0，22），M(1，3，0)，N(0，3，2).∴AC=（－4，0，0），SB=（0，23，22），∵AC·SB=（－4，0，0）·（0，23，22）=0，∴AC⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得CM=（3，3，0），MN=（－1，0，2）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，CM·n=3x+3y=0，则取z=1，则x=2，y=-6，MN·n=－x+2z=0，n=(2，－6，1)，又OS=(0，0，22)为平面ABC的一个法向量，nOS1∴cos(n，OS)==.|n||OS|3∴二面角N－CM－B的大小为1 arccos.3（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得MB=（－1，3，0），n=（2，－6，1）为平面CMN的一个法向量，∴点B 到平面CMN 的距离d=|n ·MB|=4 2 .|n| 320.本小主要考成立函数关系式、数列乞降、不等式的等基知，考运用数学知解决的能力.分12分.解：（Ⅰ）依， A n =(500－20)+(500－40)+⋯+(500－20n)=490n －10n 2；1)+(1+1 1 500 －100.B n =500[(1+22 )+⋯+(1+n )]－600=500n －n2500 22（Ⅱ）B n －A n =(500n －－100) －(490n －10n 2)2n=10n 2+10n －500－100=10[n(n+1) －50－10].2n2n因函数y=x(x+1)－50－10在（0，+∞）上增函数，2n当1≤n ≤3，n(n+1)－50－10≤12－50－10<0；2n8当n ≥4，n(n+1)－50n －10≥20－50－10>0.216∴当n ≥4，B n >A n .答：起码4年，企行技改造后的累利超不可以技改造的累 利.21.本小主要考函数的性，数的用和不等式等相关知，考数形合及分思想和灵巧运用数学知剖析和解决的能力 .分14分.解：（Ⅰ）f ＇(x)=42ax2x 2 = 2(x 2 ax2)，(x 22)2 (x 22)2(1) ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，f ＇(x)≥0x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0 x ∈[－1，1]恒成立. ①(x)=x 2－ax －2， 方法一：1a20 ①－1≤a ≤1，(1)1 a2∵x ∈[－1，1]，f(x)是函数，且只有当 a=1，f ＇(-1)=0以及当a=－1，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：aa①2或21a201a20(1) (1)0≤a ≤1或－1≤a ≤0－1≤a ≤1.∴ ∵x ∈[－1，1]，f(x)是函数，且只有当 a=1，f ＇(－1)=0以及当a=-1，f ＇(1)=0A={a|－1≤a ≤1}.（Ⅱ）由2xa=1，得x2－ax－2=0，∵△=a2+8>0 x22xx1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=－2，进而|x1－x2|=(x1x2)24x1x2=a28.∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=a28≤3.2及t∈[－1，1]恒成立，要使不等式m+tm+1≥|x1－x2|对随意a∈A当且仅当m2+tm+1≥3对随意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对随意t∈[－1，1]恒成立.②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：g(－1)=m2－m－2≥0，g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.因此，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对随意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：当m=0时，②明显不可立；当m≠0时，②m>0，g(－1)=m2－m－2≥0或m<0，g(1)=m2+m－2≥0m≥2或m≤－2.因此，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对随意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.。