五年级奥数-第十讲[1].数论之余数问题.学生版

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要.许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨:一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数,b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r，0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2）当0一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书，共有a本,这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小.二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数,等于a，b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2。

2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

第十讲数论之带余除法教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

知识结构一、三大余数定理：（1）余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2）余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3）余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．例题精讲【例1】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．余数的性质【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例2】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n =________．【例3】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【例4】求478296351⨯⨯除以17的余数．【巩固】求4373091993⨯⨯被7除的余数．【例5】求12644319÷的余数【巩固】求89143除以7的余数．【例6】20102009200920092009⨯⨯⨯ 个的个位数字是________．欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是。

知识框架一、带余除法的定义及性质1.定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2.余数的性质⑴被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；⑵余数小于除数．二、余数定理：欢迎关注：奥数轻松学三、余老师薇芯：690392701.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理余数性质a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

一、带余除法的定义及性质：之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日一般地,假如a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不成以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经由打包后共打包了c捆,那么这个c 就是商,最后还残剩d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数必定要比除数小.二、三大余数定理：a与b的和除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.a与b的乘积除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子暗示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.由同余的性质,我们可以得到一个很是重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差必定能被m整除用式子暗示为：假若有a≡b ( mod m ),那么必定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、弃九法道理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时常日是在一个铺有沙子的土板长进行,因为害怕以前的计算成果丧掉落而经常考验加法运算是否精确,他们的考验方法是这样进行的：例如：考验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式必定是错的.上述考验方法正好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即假如这个等式是精确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数必定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,经常不必去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时刻往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发道理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.往后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.运用十进制的这个特点,不但可以考验几个数相加,对于考验相乘、相除和乘方的成果对不合错误同样适用留心：弃九法只能知道原题必定是错的或有可能精确,但不克不及包管必定精确.例如：考验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,假如一个算式必定是精确的,那么它的等式2两端必定知足弃九法的规律.这个思惟往往可以帮忙我们解决一些较复杂的算式迷问题.四、中国残剩定理：1.中国现代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国残剩定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士若干,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人…….刘邦茫然而不知其数.我们先推敲下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有若干？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不成考,不过按照考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人创造得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国残剩定理.中国残剩定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占据一席很是重要的地位.2.核心思惟和方法：对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握即可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,阐发此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？标题中我们可以知道,一个自然数辨别除以3,5,7后,得到三个余数辨别为2,3,2.那么我们首先机关一个数字,使得这个数字除以3余1,并且照样5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不适合要求,那么就中断看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再机关一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以适合要求.最后再机关除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45适合要求,那么所求的自然数可以这样计算：,个中k是从1开始的自然数.也就是说知足上述关系的数有无穷多,假如按照实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制前提“知足上面前提最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求假如加上限制前提“知足上面前提最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除,得到商是46,余数是,乞降．【解析】因为是的倍还多,得到,得,所以,．【巩固】(清华附中小升初分班测验)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙,所以甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．(法2)将余数先去掉落落变成整除性问题,运用倍数关系来做：从中减掉落落往后,就应该是乙数的倍,所以得到乙数,甲数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的根本题型,需要学生明白一个重要常识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要知足比37大,适合前提的有39,91.【例 1】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是若干？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,因为被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是若干？【解析】本题为带余除法定义式的底子题型.按照题意设两个自然数辨别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数辨别是856,21.【例 2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不合的自然数的和为2001,它们辨别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______.【解析】设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数辨别是,,.【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为.【例 3】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小同伙,已知第二组比第一组多5人．假如把书全部分给第一组,那么每人4本,有残剩；每人5本,书不敷．假如把书全分给第二组,那么每人3本,有残剩；每人4本,书不敷．问：第二组有若干人?【解析】由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数必定大于,并且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．【模块二：三大余数定理的运用】【例 4】有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】这个题没有奉告我们,这三个数除以这个数的余数辨别是若干,但是因为所得的余数相同,按照同余定理,我们可以得到：这个数必定能整除这三个数中的随便率性两数的差,也就是说它是随便率性两数差的合同数．,,,的约数有,所以这个数可能为.【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1),,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；(法2)因为所得的余数相同,得到这个数必定能整除这三个数中的随便率性两数的差,也就是说它是随便率性两数差的合同数．,,,所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中,辨别除以18及33所得余数相同的数有若干个?(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次．1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是若干,最小数是若干？【解析】设这个三位数为,它除以17和19的商辨别为和,余数辨别为和,则．按照题意可知,所以,即,得．所所以9的倍数,是8的倍数．此时,由知．因为为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,所以,,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54．当时,,而,所以,故此时最大为；当时,,因为,所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154．【例 5】两位自然数与除以7都余1,并且,求．【解析】能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得当时,知足标题要求,【巩固】黉舍新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,假如将这三种物品等分给每个班级,那么这三种物品剩下的数目相同．请问黉舍共有若干个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的合同数,所求答案为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为, ,因为13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除．,所以所求的最大整数是98．【例 6】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2,,,,,,…的余数辨别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4．因为,所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数,与两个数辨别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1,所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若个中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5．因为,,所以这样的数组共有下面4个：, ,,．【例 7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【解析】,,除数应该是290的大于17小于70的约数,只可能是29和58,,,所以除数不是58．,,,,所以除数是【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________【解析】n能整除．因为,所以n是258大于8的约数．显然,n不能大于63．适合前提的只有43．【巩固】号码辨别为101,126,173,193的4个运策动进行乒乓球竞赛,规定每两人竞赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运策动打了若干盘?【解析】本题可以表现出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数辨别为2,0,2,1.那么随便率性两名运策动的竞赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可.显然126运策动打5盘是最多的.【例 8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生辨别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一路到新华书店采办《成语大词典》．一看定价才创造有5集团带的钱不敷,但是个中甲、乙、丙3人的钱凑在一路正好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一路正好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱正好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(元) ．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)市廛里有六箱货品,辨别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了个中的五箱．已知一个顾客买的货品重量是另一个顾客的2倍,那么市廛剩下的一箱货品重量是________千克．【解析】两个顾客买的货品重量是的倍数．,剩下的一箱货品重量除以3应该余2,只能是20千克．【例 9】求的余数．【解析】因为,,,按照同余定理(三),的余数等于的余数,而,,所以的余数为5．【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数,计算量较大．可先辨别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数．除以17的余数辨别为2,7和11,．【巩固】求的最后两位数．【解析】即推敲除以100的余数．因为,因为除以25余2,所以除以25余8,除以25余24,那么除以25余1；又因为除以4余1,则除以4余1；即能被4 和25整除,而4与25互质,所以能被100整除,即除以100余1,因为,所以除以100的余数即等于除以100的余数,而除以100余29,除以100余43,,所以除以100的余数等于除以100的余数,而除以100余63,所以除以100余63,即的最后两位数为63．【巩固】除以13所得余数是_____.【解析】我们创造222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9.【巩固】求除以7的余数．【解析】法一：因为 (143被7除余3),所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而,（729除以7的余数为1）,所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表：于是余数以6为周期变更．所以．【巩固】（2007年实验中学考题）除以7的余数是若干？【解析】因为,而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故除以7的余数是0；【巩固】被除所得的余数是若干？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时被13除所得余数辨别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期轮回消掉,所以被13除的余数与被13除的余数相同,余12,则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,被13除所得的余数辨别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期轮回消掉,所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数,即4,故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．【巩固】(2008年奥数网杯)已知,问：除以13所得的余数是若干？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,留心到；；；按照这样的递推规律求出余数的变更规律：20082008除以13余,200820082008除以13余,即200820082008是13的倍数．而除以3余1,所以除以13的余数与除以13的余数相同,为6.【巩固】除以41的余数是若干？【解析】找规律：,,,,,……,所以77777是41的倍数,而,所以可以分红399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7．【巩固】除以10所得的余数为若干？【解析】求成果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一轮回的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它老是4个一轮回的,是以把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不合组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字,为的个位数字,为4,因为2005个加数共可分红100组另5个数,100组的个位数字和是的个位数即0,别的5个数为、、、、,它们和的个位数字是的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．【例 10】 求所有的质数P,使得与也是质数．【解析】 假如,则,都是质数,所以5适合题意．假如P 不等于5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,除以5的余数即等于、、或者除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况．假如除以5的余数为1,那么除以5的余数等于除以5的余数,为0,即此时被5整除,而大于5,所以此时不是质数；假如除以5的余数为4,同理可知不是质数,所以P 不等于5,与至少有一个不是质数,所以只有知足前提．【巩固】 在图表的第二行中,正好填上这十个数,使得每一竖列凹凸两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,等于两个数辨别除以11的余数之积．是以原题中的可以改换为,这样凹凸两数的乘积除以11余3就随便马虎计算了．我们得到下面的成果：因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数37195621048进而得到本题的答案是：89909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(个中), 在校正时,创造右边的积的数字次序消掉错误,但是知道最后一位6是精确的,问原式中的是若干？【解析】因为,, 于是,从而(用代入上式考验)…(1),对进行谈论：假如,那么…(2),又的个位数字是6,所以的个位数字为4,可能为、、、,个中只有适合(2),经考验只有适合题意．假如,那么…(3),又的个位数字为2或7,则可能为、、、、,个中只有适合(3),经考验,不合题意．假如,那么…(4),则可能为、,个中没有适合(4)的．假如,那么,,,是以这时不成能适合题意．综上所述,是本题独一的解．【例 11】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数辨别为,,,则这个自然数是若干？【解析】按照题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数（都为）．既然余数相同,我们可以运用余数定理,可知个中随便率性两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数,又是的约数,是以就是57和38的合同数,因为57和38的合同数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19．【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是若干？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,是以这个自然数是的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34．假如这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数辨别是22、28、16,不适合标题前提；假如这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数辨别是5、11、16,适合标题前提,所以这个自然数是17．【例 12】甲、乙、丙三数辨别为603,939,393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于若干？【解析】按照题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们暗示出来：因为,,要消去余数,,,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数,意味着能被整除．,,．51的约数有1、3、17、51,个中1、3显然不知足,考验17和51可知17知足,所以等于17．【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数辨别是、、,求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,得到、,所求的自然数必定是和的合同数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不适合前提的,那么只能是19.经由验证,当这个自然数是时,除、、所得的余数辨别为、、,时成立,所以这个自然数是,.【模块三：余数分化运用】【例 13】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为若干？【解析】斐波那契数列的组成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以按照余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项中断两个是1,与第一项和第二项的值相同且地位中断,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期轮回消掉,因为2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数？【解析】因为两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数辨别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以创造这串余数中,每20个数为一个轮回,且一个轮回中,每5个数中第五个数是5的倍数．因为,所以前2009个数中,有401个是5的倍数．【例 14】(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,并且求出了它辨别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【解析】除以3、6和9的余数辨别不超出2,5,8,所以这三个余数的和永远不超出,既然它们的和等于15,所以这三个余数辨别就是2,5,8．所以该数加1后能被3,6,9整除,而,设该数为,则,即（为非零自然数）,所以它除以18的余数只能为17．【巩固】(2005年喷鼻香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们随便率性三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问：母亲是若干岁?【解析】从随便率性三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是型的数,又是质数．只有7,13,19,31,37,43,就随便马虎看出：父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁．【例 15】(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔出发沿着逆时针标的目标,每隔几孔跳一步,欲望一圈往后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,成果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有若干个孔吗?【解析】设想圆圈上的孔已按下面方法编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针标的目标按序编号为2,3,4,…,B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很随便马虎看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意,小明最后跳到B孔,是以总孔数是3的倍数加1．同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔,就意味着总孔数是7的倍数．假如将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数,设孔数为,则（为非零自然数）并且能被7整除．留心15被7除余1,所以被7除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不克不及被7整除,罢了经大于100．7以上的倍数都不必推敲,是以,总孔数只能是．【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以。

数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数基本关系式：被除数÷除数＝商……余数（0≤余数＜除数）余数基本恒等式：被除数＝除数×商＋余数知识梳理1. 一般地，如果是整数，是整数（不为0），若有，也就是，，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

2.与的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

3. a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例1一串数1、2、4、7、11、16、22、29、……这串数的组成规律为第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推，那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____。

分析与解：设这串数为a1、a2、a3、…、a1992、…，依题意知a＝11a＝1＋12a＝1＋1＋23a＝1＋1＋2＋34a＝1＋1＋2＋3＋45……a＝1＋1＋2＋3＋…＋1991＝1＋996×19911992因为996÷5＝199……1，1991÷5＝398……1，所以996×1991的积除以5余数为1，1＋996×1991除以5的余数是2。

因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。

例2除以13所得的余数是_____。

分析与解：因为222222＝2×111111＝2×111×1001＝2×111×7×11×13 所以222222能被13整除。

又因为2000＝6×333＋2，＝，22÷13＝1……9，所以要求的余数是9。

例3有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和是25。

五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。