第一讲 常数项级数的概念和性质

第一讲 常数项级数的概念和性质
本讲教学内容
1．无穷级数的定义
2．级数收敛和发散的定义 3．基本性质
4．级数收敛的必要条件 【教学目的与要求】
1．掌握级数收敛和发散的定义
2．掌握收敛级数的性质和收敛的条件 【教学重点与难点】 级数收敛的条件
§8.1 数项级数
一、级数的定义
给定数列 ,,21u u ， ,n u ，把它们各项依次相加得到
++++n u u u 21
称为由这个数列产生的无穷级数(简称级数)，记为∑∞
=1n n u ．即
++++=∑∞
=n n n
u u u u
211
n u 称为级数的一般项．
二、级数的敛散性
设n s 是级数∑∞
=1n n u 的前n 项和，即
n n u u u s +++= 21，
称n s 为级数∑∞
=1n n u 部分和．
部分和
,,,,321321211 u u u s u u s u s ++=+== ,21n n u u u s +++=
构成一个数列{}n s ，称为级数∑∞
=1n n u 的部分和数列．
若+∞→n 时部分和数列{}n s 有极限，即 s s n n =+∞
→lim （s 为常数），
则称级数收敛，其极限值s 称为该级数的和，记为
∑∞
==1n n u s ．
若{}n s 没有极限，则称该级数发散（不收敛）． 当级数∑∞
=1n n u 收敛于s 时，其和s 与部分和n s 的差
⋅⋅⋅++=-=++21n n n n u u s s R
称为该级数的余项．
用n s 作为s 的近似值所产生的误差，就是余项的绝对值n R ．
例1 ∙=3.03
1
，等式右端是一个以3为循环节的无限循环小数，写成级数
就是
∑∞
=∙
=⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅=13210
3
103103103333.03.0n n ．
例2 判断等比级数（几何级数） ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞
=n n n aq aq aq a aq 20
)0(≠a 的敛散性．
解 若1≠q ，则部分和为q
q a aq
aq aq a s n n n --=
+⋅⋅⋅+++=-1)
1(1
2． （1）当1<q 时，q
a
s n n -=
+∞
→1lim ； （2）当1>q 时，∞=+∞
→n n s lim ；
（3）当1=q 时，na s n =；∞=+∞
→n n s lim ．
（4）当1-=q 时，⋅⋅⋅+-+-=∑=a a a a aq n n 0
其部分和
⎩⎨
⎧=为奇数时
为偶数时n a n s n ,
,0 ．
此时，n n s +∞
→lim 不存在．
因此，当1<q 时，等比级数∑∞
=0n n
aq 收敛于a a
-1；当1≥q 时，等比级数∑∞
=0
n n
aq 发散．
三、收敛级数的基本性质
由级数收敛的定义可知，级数的收敛问题，实质上就是其部分和数列有无极
限的问题，因此我们可以用数列极限的相关结论来推证级数的一些重要性质．
性质1 若级数∑∞
=1
n n u 收敛，c 为任一非零常数，则级数∑∞
=1
n n cu 也收敛；且有
∑∑∞
=∞
==1
1
n n n n
u c cu
．
性质2 若级数∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 分别收敛于q 和p ，则级数)(1
n n n v u ±∑∞
=也收敛，
且有
p q v u v u
n n n n n n n
±=±=±∑∑∑∞
=∞=∞
=1
1
1
)(．
推论 若级数∑∞
=1
n n u 和∑∞
=1
n n v 均收敛，则对任何非零常数1c 、2c ，级数
)(21
1n n
n v c u
c ±∑∞
=也收敛，且有
v c u c v c u
c n n n n n n
n ∑∑∑∞
=∞=∞
=±=±1
21
121
1)(．
性质3 在级数的前面添上或去掉有限项，级数的敛散性不变．
性质4 若级数∑∞
=1n n u 收敛，则对级数的项任意加括号后，所得的级数仍收敛
且其和不变．
性质4反过来未必成立．即若加括号后级数收敛，则原级数却不一定收敛．例如级数
+-+++--1)1(111n
加括号后
+-++-+-+-)11()11()11()11( 收敛于零．但级数
+-+++--1)1(111n
发散．
性质5（级数收敛的必要条件） 若级数∑∞
=1
n n u 收敛，则0lim =+∞
→n n u
证 设该级数部分和为n s ，于是1--=n n n s s u ．由于∑∞
=1
n n u 收敛于s ，所以有
0)(lim lim 1=-=-=-+∞
→+∞
→s s s s u n n n n n
这就是说，若∑∞
=1
n n u 收敛，则0lim =+∞
→n n u ．
若0lim ≠+∞
→n n u 或不存在，则级数∑∞
=1
n n u 一定发散．例如级数
++-+++--1
)1(4332211n n n 其一般项1
)1(1
+-=-n n
u n n ， 当+∞→n 时不趋于零，所以级数是发散的． 应该强调的是，0lim =+∞
→n n u 并不是∑∞
=1
n n u 收敛的充分条件．例如，调和级数
∑∞
=1
1
n n ，虽然01lim =+∞→n n ，但它是发散级数． 例3 证明∑∞
=--1
1)1(n n 是发散级数．
解 因为=+∞
→n n u lim 1
)
1(lim -+∞
→-n n 不存在，所以级数∑∞
=--1
1)1(n n 发散．
例4 判别级数∑∞
=-1
1
n n n 的敛散性． 解 因为11
lim
=-+∞→n
n n ；所以原级数是发散的．
小结
1．无穷级数的定义
2．级数收敛和发散的定义
3．基本性质
4．级数收敛的必要条件
作业
练习：p216 习题 8.1: 1；
作业: p216 习题 8.1: 2.
P231—233 第八章（自测题）:1（1），2（1），（3），3（1）.预习：第八章8.2 p216—222.。