数值分析报告试验幂法与反幂法matlab

数值分析幂法和反幂法数值分析中的幂法和反幂法是求解矩阵最大特征值和最小特征值的常用方法。

这两种方法在许多数值计算问题中都有着广泛的应用，包括图像压缩、数据降维、谱聚类等。

幂法（Power Method）是一种迭代算法，通过不断迭代矩阵与一个向量的乘积，来逼近原矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

其基本思想是，对于一个矩阵A和一维向量x，可以通过不断迭代计算Ax，Ax，Ax...，来使得向量x逼近最大特征值对应的特征向量。

具体的迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=Ax0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=Ax1，x3=Ax2...，直到收敛（即相邻迭代向量的差的范数小于一些阈值）为止4. 最终得到的向量xn就是A的最大特征值对应的特征向量在实际求解时，我们可以将迭代过程中的向量进行归一化，以防止数值溢出或下溢。

此外，为了提高迭代速度，我们可以选择使得xn与xn-1的内积大于0的方向作为迭代方向，这样可以使得特征值的模快速收敛到最大特征值。

幂法的收敛性是保证的，但收敛速度可能较慢，尤其是当最大特征值与其他特征值非常接近时。

此时可能需要使用一些改进的方法来加速收敛，例如Rayleigh商或位移策略。

相反，反幂法（Inverse Power Method）是求解矩阵的最小特征值和对应的特征向量的方法。

它的基本思想和幂法类似，但在每次迭代中，需要计算A和依其逆矩阵A-1的乘积。

迭代过程如下：1.初始化一个向量x0（可以是单位向量或任意非零向量）2.令x1=A-1x0，对向量进行归一化（即除以向量的范数）得到x13.重复步骤2，即令x2=A-1x1，x3=A-1x2...4. 最终得到的向量xn就是A的最小特征值对应的特征向量反幂法和幂法的区别在于迭代过程中乘以了A的逆矩阵，从而可以利用矩阵的特殊结构或性质来提高迭代速度。

同时，在实际求解时，可能需要将矩阵进行一些变换，以确保A-1存在或数值稳定性。

幂法和反幂法的matlab实现幂法求矩阵主特征值及对应特征向量摘要矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题，所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。

实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。

称模最大的特征根为主特征值。

幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，它最大的优点是方法简单，特别适用于大型稀疏矩阵，但有时收敛速度很慢。

用java来编写算法。

这个程序主要分成了四个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块；第四部分为页面设计及事件处理。

其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。

关键字：主特征值；特征向量；线性方程组；幂法函数块POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THEMATRIXABSTRACTNumerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, alot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum.Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow.Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part isthe exponentiation function block. The fourth part is the page design and eventprocessing .The basic process is a power law function block by calling the matrix is transformed into linear equations method, after a series of validation and iteration results.Power method for finding the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrixKey words: Main eigenvalue; characteristic vector; linear equations; power function block、目录1幂法......................................................... . (1)1.1幂法的基本理论和推导 (1)1.2幂法算法的迭代向量规范化 (2)2概要设计........................................................ (3)2.1设计背景 (3)2.2运行流程........................................... . (3)2.3运行环境........................................... (3)3程序详细设计 (4)3.1矩阵转化为线性方程组……..………………………………………. .43.2特征向量的极大值 (4)3.3求幂法函数块............….....…………...…......…………………………3.4界面设计与事件处理..........................................................................4运行过程及结果................................................ (6)4.1 运行过程....................................... ..................………………………………………. .64.2 运行结果................................................ .. (6)4.3 结果分析.......................................... (6)5结论 (7)参考文献 (8)附录 (56)1 幂法设实矩阵nn ijaA ⨯=)(有一个完备的特征向量组，其特征值为n λλλ ,,21，相应的特征向量为nx x x ,,21。

竭诚为您提供优质文档/双击可除matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量篇一：幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量一.幂法1.幂法简介：当矩阵a满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。

矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。

kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。

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矩阵a需要满足的条件为：(1)|1||2|...|n|0,i为a的特征值xn(2)存在n个线性无关的特征向量，设为x1,x2,...,1.1计算过程：n对任意向量x，有x(0)(0)iui,i不全为0，则有i1x(k1)ax(k)...ak1x(0)aαiuiαiλik1uik1i1i1nnnk12k1λ1u1()a2u2()anun11k111u1k112|越小时，收敛越快；且当k充分大时，有可见，当|1 (k1)k111u1x(k1)x(k1)(k)x1(k)，对应的特征向量即是。

kxx11u12算法实现(1).输入矩阵a，初始向量x，误差限,最大迭代次数n(2).k1,0;y(k)x(k)max(abs(x(k))(3).计算xay,max(x);(4).若||,输出,y,否则,转(5)(5).若kn,置kk1,,转3,否则输出失败信息,停机.3matlab程序代码function[t,y]=lpowera,x0,eps,n)%t为所求特征值，y 是对应特征向量k=1;z=0;%z相当于y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量x=a*y;%迭代格式b=max(x);%b相当于ifabs(z-b) t=max(x);return;endwhileabs(z-b)>epsz=b;y=x./max(abs(x));x=a*y;b=max(x);end[m,index]=max(a(matlab用规范化乘幂法求以下矩阵的按模最大特征值及其特征向量)bs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值t=x(index);%是原值，而非其绝对值。

幂法和反幂法的matlab实现幂法求矩阵主特征值及对应特征向量摘要矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题，所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。

实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。

称模最大的特征根为主特征值。

幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，它最大的优点是方法简单，特别适用于大型稀疏矩阵，但有时收敛速度很慢。

用java来编写算法。

这个程序主要分成了四个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块；第四部分为页面设计及事件处理。

其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。

关键字：主特征值；特征向量；线性方程组；幂法函数块POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THEMATRIXABSTRACTNumerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, alot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum.Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow.Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part isthe exponentiation function block. The fourth part is the page design and eventprocessing .The basic process is a power law function block by calling the matrix is transformed into linear equations method, after a series of validation and iteration results.Power method for finding the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrixKey words: Main eigenvalue; characteristic vector; linear equations; power function block、目录1幂法......................................................... . (1)1.1幂法的基本理论和推导 (1)1.2幂法算法的迭代向量规范化 (2)2概要设计........................................................ (3)2.1设计背景 (3)2.2运行流程........................................... . (3)2.3运行环境........................................... (3)3程序详细设计 (4)3.1矩阵转化为线性方程组……..………………………………………. .43.2特征向量的极大值 (4)3.3求幂法函数块............….....…………...…......…………………………3.4界面设计与事件处理..........................................................................4运行过程及结果................................................ (6)4.1 运行过程....................................... ..................………………………………………. .64.2 运行结果................................................ .. (6)4.3 结果分析.......................................... (6)5结论 (7)参考文献 (8)附录 (56)1 幂法设实矩阵nn ij a A ⨯=)(有一个完备的特征向量组，其特征值为nλλλ ,,21，相应的特征向量为nx x x ,,21。

5.2 幂法及其MATLAB 程序5.2.2 幂法的MATLAB 程序用幂法计算矩阵A 的主特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序function [k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,jd,max1)lambda=0;k=1;Wc =1; ,jd=jd*0.1;state=1; V=V0;while ((k<=max1)&(state==1))Vk=A*V; [m j]=max(abs(Vk)); mk=m;tzw=abs(lambda-mk); Vk=(1/mk)*Vk;Txw=norm(V-Vk); Wc=max(Txw,tzw); V=Vk;lambda=mk;state=0;if (Wc>jd)state=1;endk=k+1;Wc=Wc;endif (Wc<=jd)disp('请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('请注意：迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：') endVk=V;k=k-1;Wc;例 5.2.2 用幂法计算下列矩阵的主特征值和对应的特征向量的近似向量，精度510-=ε.并把（1）和（2）输出的结果与例5.1.1中的结果进行比较.(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4211A ； (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321B ；(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1124111221C ；（4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20101350144D . 解 （1）输入MATLAB 程序>>A=[1 -1;2 4]; V0=[1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(A,V0,0.00001,100),[V,D] = eig (A), Dzd=max(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =33 3.00000173836804 8.691862856124999e-007Vk = V = wuV =-0.49999942054432 -0.70710678118655 0.44721359549996 -0.894428227562941.00000000000000 0.70710678118655 -0.89442719099992 -0.89442719099992Dzd = wuD =3 1.738368038406435e-006由输出结果可看出，迭代33次，相邻两次迭代的误差W c ≈8.69 19e-007，矩阵A 的主特征值的近似值lambda ≈3.000 00和对应的特征向量的近似向量V k ≈（-0.500 00，1.00000T ), lambda 与例5.1.1中A 的最大特征值32=λ近似相等，绝对误差约为1.738 37e-006，V k 与特征向量X =T22k T )1,21(- )0(2≠k 的第1个分量的绝对误差约等于0，第2个分量的绝对值相同.由wuV 可以看出，2λ的特征向量V (:,2) 与V k 的对应分量的比值近似相等.因此，用程序mifa.m 计算的结果达到预先给定的精度510-=ε.(2) 输入MATLAB 程序>>B=[1 2 3;2 1 3;3 3 6]; V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(B,V0,0.00001,100), [V,D] = eig (B), Dzd=max(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda), wuV=V(:,3)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = Dzd = wuD =3 9 0 9 0Vk = wuV =0.50000000000000 0.816496580927730.50000000000000 0.816496580927731.00000000000000 0.81649658092773V =0.70710678118655 0.57735026918963 0.40824829046386-0.70710678118655 0.57735026918963 0.408248290463860 -0.57735026918963 0.81649658092773(3) 输入MATLAB 程序>> C=[1 2 2;1 -1 1;4 -12 1];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(C,V0,0.00001,100), [V,D] = eig (C), Dzd=max(diag(D)), wuD=abs(Dzd-lambda),Vzd=V(:,1),wuV=V(:,1)./Vk,运行后屏幕显示请注意：迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =100 0.09090909090910 2.37758124193119Dzd = wuD =1.00000000000001 0.90909090909091Vk= Vzd = wuV =0.99999999999993 0.90453403373329 0.904534033733350.99999999999995 0.30151134457776 0.301511344577781.00000000000000 -0.30151134457776 -0.30151134457776由输出结果可见，迭代次数k 已经达到最大迭代次数max 1=100，并且lambda 的相邻两次迭代的误差Wc ≈2.377 58>2,由wuV 可以看出，lambda 的特征向量V k 与真值Dzd 的特征向量V zd 对应分量的比值相差较大，所以迭代序列发散.实际上，实数矩阵C 的特征值的近似值为i ,i ,010*********.000321=-==λλλ　，并且对应的特征向量的近似向量分别为X T1=1k （0.90453403373329，0.30151134457776，-0.30151134457776）T ，X =T 22k （-0.72547625011001,-0.21764287503300-0.07254762501100i, 0.58038100008801-0.29019050004400i ）T ，X =T33k ( -0.72547625011001, -0.21764287503300 + 0.07254762501100i,0.58038100008801 + 0.29019050004400i)T0,0(21≠≠k k , 03≠k 是常数）.（4）输入MATLAB 程序>> D=[-4 14 0;-5 13 0;-1 0 2]; V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=mifa(D,V0,0.00001,100), [V,Dt] =eig (D), Dtzd=max(diag(Dt)), wuDt=abs(Dtzd-lambda),Vzd=V(:,2),wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：k = lambda = Wc =19 6.00000653949528 6.539523793591684e-006Dtzd = wuDt =6.00000000000000 6.539495284840768e-006Vk = Vzd = wuV =0.79740048053564 0.79740048053564 0.797400480535640.71428594783886 0.56957177181117 0.79740021980618-0.24999918247180 -0.19935012013391 0.797403088133705.3 反幂法和位移反幂法及其MATLAB程序5.3.3 原点位移反幂法的MATLAB程序（一）原点位移反幂法的MATLAB主程序1用原点位移反幂法计算矩阵A的特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序1 function [k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,jlamb,jd,max1)[n,n]=size(A); A1=A-jlamb*eye(n); jd= jd*0.1;RA1=det(A1);if RA1==0disp('请注意：因为A-aE的n阶行列式hl等于零，所以A-aE不能进行LU分解.')returnendlambda=0;if RA1~=0for p=1:nh(p)=det(A1(1:p, 1:p));endhl=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A-aE的r阶主子式等于零，所以A-aE不能进行LU分解.')returnendendif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU分解.')k=1;Wc =1;state=1; Vk=V0;while((k<=max1)&(state==1))[L U]=lu(A1); Yk=L\Vk;Vk=U\Yk; [mj]=max(abs(Vk));mk=m;Vk1=Vk/mk; Yk1=L\Vk1;Vk1=U\Yk1;[m j]=max(abs(Vk1));mk1=m;Vk2=(1/mk1)*Vk1;tzw1=abs((mk-mk1)/mk1);tzw2=abs(mk1-mk);Txw1=norm(Vk)-norm(Vk1);Txw2=(norm(Vk)-norm(Vk1))/norm(Vk1);Txw=min(Txw1,Txw2); tzw=min(tzw1,tzw2);Vk=Vk2;mk=mk1; Wc=max(Txw,tzw);Vk=Vk2;mk=mk1;state=0;if(Wc>jd)state=1;endk=k+1;%Vk=Vk2,mk=mk1,endif (Wc<=jd)disp('A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,按模最小特征值的迭代值lambda,特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')endhl,RA1endend[V,D]=eig(A,'nobalance'),Vk;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk1;例5.3.2 用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），根据给定的下列矩阵的特征值n λ的初始值n λ~，计算与n λ对应的特征向量n X 的近似向量,精确到0.000 1. （1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210242011,2.0~2=λ；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4211，001.2~2=λ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3315358215211，8.26~3=λ.解 （1）输入MATLAB 程序>> A=[1 -1 0;-2 4 -2;0 -1 2];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,0.2,0.0001,10000)运行后屏幕显示结果 请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = hl =3 0.2384 1.0213e-007 0.8000 1.0400 0.2720Vk = V = D =1.0000 -0.2424 -1.0000 -0.5707 5.1249 0 00.7616 1.0000 -0.7616 0.3633 0 0.2384 00.4323 -0.3200 -0.4323 1.0000 0 0 1.6367（2）输入MATLAB 程序>> A=[1 -1;2 4];V0=[20,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,2.001,0.0001,100)运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc = hl =2 2.0020 5.1528e-007 -1.0010 -0.0010Vk = V = D =1.0000 -1.0000 0.5000 2 0-1.0000 1.0000 -1.0000 0 3（3）输入MATLAB 程序>> A=[-11 2 15;2 58 3;15 3 -3];V0=[1,1,-1]';[k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,8.26, 0.0001,100)运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambdan= Wc = hl =2 8.2640 6.9304e-008 -19.2600 -961.9924 -6.1256Vk = V = D =-0.7692 0.7928 0.6081 0.0416 -22.5249 0 00.0912 0.0030 -0.0721 0.9974 0 8.2640 0-1.0000 -0.6095 0.7906 0.0590 0 0 58.2609例 5.3.3 用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1026471725110A 的分别对应于特征值 1.001~11=≈λλ，.001 2~22=≈λλ， 001.4~33=≈λλ的特征向量1X ，2X ，3X 的近似向量，相邻迭代误差为0.001.将计算结果与精确特征向量比较. 解 （1）计算特征值 1.001~11=≈λλ对应的特征向量1X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]= ydwyfmf(A,V0,1.001, 0.001,100),[V,D]=eig(A);Dzd=min(diag(D)), wuD= abs(Dzd- lambda),VD=V(:,1),wuV=V(:,1)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-1.00100000000000 5.98500100000000 -0.00299600100000k = lambda = RA1 =5 1.00200000000000 -0.00299600100000Vk = VD = wuV =-0.50000000000000 -0.40824829046386 0.81649658092773-0.50000000000000 -0.40824829046386 0.81649658092773-1.00000000000000 -0.81649658092773 0.81649658092773Wc = Dzd = wuD =1.378794763695562e-009 1.00000000000000 0.00200000000000 从输出的结果可见，迭代5次，特征向量1X 的近似向量1~X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈1.379 e-009，由wuV 可以看出，1~X = Vk 与VD 的对应分量的比值相等.特征值1λ的近似值lambda ≈1.002与初始值=1~λ 1.001的绝对误差为0.001，而与 1λ的绝对误差为0.002，其中 =1X T )000000000001.000 , 000000000000.500- , 000000000000.500( -, =1~X T )000000000001.000 , 000000000000.500- , 000000000000.500(-. （2）计算特征值.001 2~22=≈λλ对应特征向量2X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,2.001, 0.001,100) ,[V,D]=eig(A); WD=lambda-D(2,2),VD=V(:,2),wuV=V(:,2)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-2.00100000000000 -8.01299900000000 0.00200099900000k = Wc = lambda = WD =2 3.131363162302120e-007 2.00200000000016 0.00200000000016Vk = VD = wuV =-0.24999999999999 0.21821789023599 -0.87287156094401 -0.49999999999999 0.43643578047198 -0.87287156094398 -1.00000000000000 0.87287156094397 -0.87287156094397 从输出的结果可见，迭代2次，特征向量2X 的近似向量2~X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈3.131e-007，2~X 与2X 的对应分量的比值近似相等.特征值2λ的近似值lambda ≈2.002与初始值=2~λ 2.001的绝对误差约为0.001，而lambda 与2λ的绝对误差约为0.002，其中 =2~X T )00000000000000.1,99999999999499.0,99999999999249.0(---, =2X T ) 000000000001.000- ,000000000000.500- ,99999999999-0.249( . （3）计算特征值 001.4~33=≈λλ对应特征向量3X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,4.001, 0.001,100)[V,D]=eig(A);WD=lambda-max(diag(D)),VD=V(:,3),wuV=V(:,3)./Vk,运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行L U 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-4.00100000000000 -30.00899900000000 -0.00600500099999 k = lambda = Wc = WD =2 4.00199999999990 1.996084182914842e-007 0.00199999999990Vk = VD = wuV =0.40000000000001 -0.32444284226153 -0.81110710565380 0.60000000000001 -0.48666426339229 -0.81110710565381 1.00000000000000 -0.81110710565381 -0.81110710565381 从输出的结果可见，迭代2次，特征向量3X 的近似向量3~X 的相邻两次迭代的误差Wc ≈1.996e-007，3~X 与3X 的对应分量的比值近似相等.特征值3λ的近似值 4.001~4.0022=≈λ与初始值lambda 的绝对误差近似为001.0，而lambda 与3λ的绝对误差约为0.002，其中 =3X (-0.400 000 000 000 00，-0.600 000 000 000 00，-1.000 000 000 000 00T ), =3~X T )000000000001.000 ,100000000000.600 ,10000000000.400(.（二）原点位移反幂法的MATLAB 主程序2用原点位移反幂法计算矩阵A 的特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序2function [k,lambdan,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0,jlamb,jd,max1)[n,n]=size(A); jd= jd*0.1;A1=A-jlamb*eye(n);nA1=inv(A1); lambda1=0;k=1;Wc =1;state=1; U=V0;while ((k<=max1)&(state==1))Vk=A1\U; [m j]=max(abs(Vk)); mk=m; Vk=(1/mk)*Vk;Vk1=A1\Vk;[m1 j]=max(abs(Vk1)); mk1=m1,Vk1=(1/mk1)*Vk1;U=Vk1,Txw=(norm(Vk1)-norm(Vk))/norm(Vk1);tzw=abs((lambda1-mk1)/mk1);Wc=max(Txw,tzw); lambda1=mk1;state=0;if (Wc>jd)state=1;endk=k+1;endif (Wc<=jd)disp('请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：')elsedisp('请注意迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1, 特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：') end[V,D] =eig(A,'nobalance'),Vk=U;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk;例5.3.4 用原点位移反幂法的迭代公式（5.27），计算例题5.3.3，并且将这两个例题的计算结果进行比较.再用两种原点位移反幂法的MATLAB 主程序，求979999999990.999~1=λ对应的特征向量. 解 （1）计算特征值 1.001~11=≈λλ对应特征向量1X 的近似向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0,1.001,0.001,100)运行后屏幕显示结果请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = lambda = Wc =5 1.00200000000138 1.376344154436924e-006Vk’ = -0.50000000000000 -0.50000000000000 -1.00000000000000同理可得，另外与两个特征值对应的特征向量.（2）再用两种原点位移反幂法的MATLAB 主程序，求979999999990.999~1=λ对应的特征向量.输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf(A,V0,0.99999999999997,0.001,100) 运行后屏幕显示结果请注意：因为A-aE 的各阶主子式都不等于零，所以A-aE 能进行LU 分解.A-aE 的秩R(A-aE)和各阶顺序主子式值hl 、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：hl =-0.99999999999997 6.00000000000045 0.00000000000010RA1 = 1.039168751049192e-013 k = 2 lambda = 1.00000000000000输入MATLAB 程序>> A=[0 11 -5;-2 17 -7;-4 26 -10];V0=[1,1,1]';[k,lambda,Vk,Wc]=wfmifa1(A,V0, 0.99999999999997,0.001,100) 运行后屏幕显示结果请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc 如下：k = 3 lambda = 1.00000000000000 Wc =5.412337245047640e-016Vk = 0.50000000000000 0.50000000000000 1.00000000000000 Wc = 4.317692037236759e-013 Vk =0.500000000000000.500000000000001.000000000000005.4 雅可比(Jacobi)方法及其MATLAB 程序5.4.3 雅可比方法的MATLAB 程序用雅可比方法计算对称矩阵A 的特征值和对应的特征向量的MATLAB 主程序function [k,Bk,V,D,Wc]=jacobite(A,jd,max1)[n,n]=size(A);Vk=eye(n);Bk=A;state=1;k=0;P0=eye(n); Aij=abs(Bk-diag(diag(Bk)));[m1 i]=max(Aij);[m2 j]=max(m1);i=i(j);while ((k<=max1)&(state==1))k=k+1,aij=abs(Bk-diag(diag(Bk)));[m1 i]=max(abs(aij));[m2 j]=max(m1);i=i(j),j,Aij=(Bk-diag(diag(Bk)));mk=m2*sign(Aij(i,j)),Wc=m2,Dk=diag(diag(Bk));Pk=P0;c=(Bk(j,j)-Bk(i,i))/(2*Bk(i,j)),t=sign(c)/(abs(c)+sqrt(1+c^2)),pii=1/( sqrt(1+t^2)), pij=t/( sqrt(1+t^2)),Pk(i,i)=pii;Pk(i,j)=pij;Pk(j,j)=pii; Pk(j,i)=-pij;Pk,B1=Pk'*Bk;B2=B1*Pk; Vk=Vk*Pk,Bk=B2,if (Wc>jd)state=1;elsereturnendPk;Vk;Bk=B2;Wc;endif (k>max1)disp('请注意迭代次数k 已经达到最大迭代次数max1,迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：')elsedisp('请注意迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：')endWc;k=k; V=Vk;Bk=B2;D=diag(diag(Bk));[V1,D1]=eig(A,'nobalance')例5.4.2 用雅可比方法的MATLAB 程序计算矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=12101152302756135612A 的特征值i λ和对应的特征向量i X （4,3,2,1=i ）.解 （1）保存名为jacobite.m 为M 文件；（2）输入MATLAB 程序>> A=[12 -56 3 -1;-56 7 2 0;3 2 5 1;-1 0 1 12];[k,B,V,D,Wc]=jacobite(A,0.001,100)（3）运行后屏幕显示如下：k = i = j = mk = Wc =1 2 1 -56 56c = t =-0.04464285714286 -0.95635313919972pii = pij =0.72270271801843 -0.69115901308510Pk =0.72270271801843 0.69115901308510 0 0 -0.69115901308510 0.72270271801843 0 0 0 0 1.00000000000000 00 0 0 1.00000000000000Vk =0.72270271801843 0.69115901308510 0 0 -0.69115901308510 0.72270271801843 0 00 0 1.00000000000000 00 0 0 1.00000000000000Bk =65.55577579518456 0 0.78579012788509 -0.72270271801843 -0.00000000000001 -46.55577579518456 3.51888247529217 -0.691159013085100.78579012788509 3.51888247529217 5.00000000000000 1.00000000000000 -0.72270271801843 -0.69115901308510 1.00000000000000 12.00000000000000 k =i = j = mk = Wc =2 3 2 3.51888247529217 3.51888247529217c = t =-7.32558932518824 -0.06793885568129pii = pij =0.99770011455446 -0.06778260409592Pk =1.00000000000000 0 0 00 0.99770011455446 0.06778260409592 00 -0.06778260409592 0.99770011455446 00 0 0 1.00000000000000Vk =0.72270271801843 0.68956942653035 0.04684855775127 0 -0.69115901308510 0.72104058455581 0.04898667221449 00 -0.06778260409592 0.99770011455446 00 0 0 1.00000000000000Bk =65.55577579518456 -0.05326290114092 0.78398290060672 -0.72270271801843 -0.05326290114093 -46.79484464383285 0 -0.757352030626270.78398290060672 0.00000000000000 5.23906884864829 0.95085155680318 -0.72270271801843 -0.75735203062627 0.95085155680318 12.00000000000000 k = i = j = mk = Wc =3 4 3 0.95085155680318 0.95085155680318c = t =-3.55519802380213 -0.13796227443116pii = pij =0.99061693994324 -0.13666776612460Pk =1.00000000000000 0 0 00 1.00000000000000 0 00 0 0.99061693994324 0.136667766124600 0 -0.13666776612460 0.99061693994324 Vk =0.72270271801843 0.68956942653035 0.04640897492032 0.00640268773403 -0.69115901308510 0.72104058455581 0.04852702732712 0.006694899061430 -0.06778260409592 0.98833863446096 0.136353445918420 0 -0.13666776612460 0.99061693994324 Bk =65.55577579518456 -0.05326290114092 0.87539690801061 -0.60877636330628 -0.05326290114093 -46.79484464383285 0.10350561019562 -0.750245751038800.87539690801061 0.10350561019562 5.10788720522532 -0.00000000000000 -0.60877636330628 -0.75024575103880 -0.00000000000000 12.13118164342297 k =i = j = mk = Wc =4 1 3 0.87539690801061 0.87539690801061c = t =-34.52598931799430 -0.01447880833914pii = pij =0.99989519853186 -0.01447729093877Pk =0.99989519853186 0 -0.01447729093877 00 1.00000000000000 0 00.01447729093877 0 0.99989519853186 00 0 0 1.00000000000000Vk =0.72329885394465 0.68956942653035 0.03594133368062 0.00640268773403 -0.69038403871280 0.72104058455581 0.05852805174080 0.006694899061430.01430846595712 -0.06778260409592 0.98823505512105 0.13635344591842-0.00197857901214 0 -0.13665344314206 0.99061693994324Bk =65.56845049923633 -0.05175883827808 -0.00000000000000 -0.60871256264964-0.05175883827809 -46.79484464383285 0.10426586517177 -0.75024575103880-0.00000000000000 0.10426586517177 5.09521250117356 0.00881343252823-0.60871256264964 -0.75024575103880 0.00881343252823 12.13118164342297 k = i = j = mk = Wc =5 4 2 -0.75024575103880 0.75024575103880c = t =39.27114962375084 0.01272992971264pii = pij =0.99991898429114 0.01272889838836Pk =1.00000000000000 0 0 00 0.99991898429114 0 -0.012728898388360 0 1.00000000000000 00 0.01272889838836 0 0.99991898429114Vk =0.72329885394465 0.68959505973603 0.03594133368062 -0.00237529014628-0.69038403871280 0.72106738763160 0.05852805174080 -0.002483695665250.01430846595712 -0.06604148348220 0.98823505512105 0.13720519702737-0.00197857901214 0.01260946237032 -0.13665344314206 0.99053668440964Bk =65.56845049923633 -0.05950288535679 -0.00000000000000 -0.60800441437674-0.05950288535680 -46.80439521951078 0.10436960328590 0.00000000000000-0.00000000000000 0.10436960328590 5.09521250117356 0.00748552889860-0.60800441437674 0.00000000000000 0.00748552889860 12.14073221910090 k =i = j = mk = Wc =6 4 1 -0.60800441437674 0.60800441437674c = t =-43.93694931878409 -0.01137847012503pii = pij =0.99993527149402 -0.01137773361366Pk =0.99993527149402 0 0 0.011377733613660 1.00000000000000 0 00 0 1.00000000000000 0-0.01137773361366 0 0 0.99993527149402Vk =0.72327906130899 0.68959505973603 0.03594133368062 0.00585436528595-0.69031109235777 0.72106738763160 0.05852805174080 -0.010338540582940.01274645560931 -0.06604148348220 0.98823505512105 0.13735911385404-0.01324851347145 0.01260946237032 -0.13665344314206 0.99045005670500Bk =65.57536865930122 -0.05949903382392 -0.00008516835377 -0.00000000000000-0.05949903382393 -46.80439521951078 0.10436960328590 -0.00067700797883-0.00008516835377 0.10436960328590 5.09521250117356 0.00748504437150-0.00000000000000 -0.00067700797883 0.00748504437150 12.13381405903603 k =i = j = mk = Wc =7 3 2 0.10436960328590 0.10436960328590c = t =-2.486337309269764e+002 -0.00201098208240pii = pij =0.99999797798167 -0.00201097801616Pk =1.00000000000000 0 0 00 0.99999797798167 0.00201097801616 00 -0.00201097801616 0.99999797798167 00 0 0 1.00000000000000…………………………………………………………………………请注意迭代次数k,对称矩阵Bk,以特征向量为列向量的矩阵V,特征值为对角元的对角矩阵D 如下：V1 =0.68990429476497 -0.03732423222484 0.00588594854431 -0.722913771734500.72058252860300 -0.05998661236737 -0.01028322161977 0.69069289931337-0.06802029759277 -0.98795368410472 0.13841044442471 -0.012779125692250.01288885768193 0.13768088498200 0.99030407443219 0.01325486405899D1 =-46.80463661419736 0 0 00 5.09541442877727 0 00 0 12.13382202426702 00 0 0 65.57540016115307k =10B =65.57540016045945 0.00000000000175 -0.00020481967566 0.000000148628360.00000000000175 -46.80463661419739 0.00000062739984 0.00000000000000-0.00020481967566 0.00000062739984 5.09541442947090 -0.000000000007370.00000014862836 -0.00000000000000 -0.00000000000737 12.13382202426704V =0.72291389811507 0.68990429521617 0.03732177568689 0.00588595055487-0.69069269613201 0.72058252932816 0.05998894273570 -0.010283223540620.01278247108107 -0.06802028564977 0.98795364164379 0.13841044446122-0.01325533307898 0.01288885601755 -0.13768084024946 0.99030407439520D =65.57540016045945 0 0 00 -46.80463661419739 0 00 0 5.09541442947090 00 0 0 12.13382202426704Wc =6.920584967017158e-0045.5 豪斯霍尔德(Householder)方法及其MATLAB程序5.5.1 豪斯霍尔德方法及其MATLAB程序求初等反射矩阵P，使得PX的第一个分量以外的其余的分量都为零的MATLAB主程序function [xigema,rou,miou,P,PX]=Householder(X)n=size(X);nX=norm(X,2);xigema=nX*sign(X(1));rou=xigema*(xigema+X(1));miou=[xigema,zeros(1,n-1)]'+X,E=eye(n,n); C=2*miou*(miou)';P=E-C/(norm(miou,2)^2); PX=P*X;例5.5.1设向量=X()T1,2,2，确定一个初等反射矩阵P，使得PX的后两个分量为零.解输入MATLAB程序>> X=[2 2 1]'; [xigema,rou,miou,P,PX]=Householder(X)运行后屏幕显示结果P = PX =-0.6667 -0.6667 -0.3333 -3.0000-0.6667 0.7333 -0.1333 0.0000-0.3333 -0.1333 0.9333 0.00005.5.2 矩阵约化为上豪斯霍尔德矩阵及其MATLAB程序用豪斯霍尔德变换将n阶矩阵A规约成上豪斯霍尔德矩阵的MATLAB主程序function [k,Sk,uk,ck,Pk,Uk,Ak]=Householdrer1(A)n=size(A); Ak=A;for k=1:n-2k,Sk=norm(Ak(k+1:n,k))*sign(Ak(k+1,k)),uk= Ak(k+1:n,k)+ Sk*eye(n-k,1),ck=(norm(uk,2)^2)/2,Pk= eye(n-k,n-k)-uk*uk'/ck,Uk=[eye(k,k),zeros(k,n-k);zeros(n-k, k),Pk],A1=Uk*Ak;Ak=A1,end例5.5.3 用初等反射矩阵正交相似约化实矩阵A 为上豪斯霍尔德矩阵.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34 19- 37 78- 41- 31 11 72- 98 10.2- 78- 32-94- 21 12 1 0 1- 63- 72 1 5 2 3 17- 32 02 7 56- 51- 17 12- 34 52- 12A . 解 输入MATLAB 程序>> A=[12 -52 34 -12 17 -51;-56 7 2 0 32 -17;3 2 5 1 72 -63;-1 0 1 12 21 -94;-32 -78 -10.2 98 -72 11;31 -41 -78 37 -19 34];[k,Sk,uk,ck,Pk,Uk,Ak]=Householdrer1(A)运行后屏幕显示结果k = Sk = ck =1 -71.6310 9.1423e+003uk = Pk =-127.6310 -0.7818 0.0419 -0.0140 -0.4467 0.43283.0000 0.0419 0.9990 0.0003 0.0105 -0.0102-1.0000 -0.0140 0.0003 0.9999 -0.0035 0.0034-32.0000 -0.4467 0.0105 -0.0035 0.8880 0.108531.0000 0.4328 -0.0102 0.0034 0.1085 0.8949Uk =1.0000 0 0 0 0 00 -0.7818 0.0419 -0.0140 -0.4467 0.43280 0.0419 0.9990 0.0003 0.0105 -0.01020 -0.0140 0.0003 0.9999 -0.0035 0.00340 -0.4467 0.0105 -0.0035 0.8880 0.10850 0.4328 -0.0102 0.0034 0.1085 0.8949Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.000071.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.76430.0000 1.8892 5.7655 1.6556 72.7134 -63.9112-0.0000 0.0369 0.7448 11.7815 20.7622 -93.6963-0.0000 -76.8184 -18.3655 91.0066 -79.6101 20.71910.0000 -42.1447 -70.0897 43.7749 -11.6277 24.5846k = Sk = ck =2 87.6402 7.8464e+003uk = Pk =89.5295 -0.0216 -0.0004 0.8765 0.48090.0369 -0.0004 1.0000 0.0004 0.0002-76.8184 0.8765 0.0004 0.2479 -0.4126-42.1447 0.4809 0.0002 -0.4126 0.7736Uk =1.0000 0 0 0 0 00 1.0000 0 0 0 00 0 -0.0216 -0.0004 0.8765 0.48090 0 -0.0004 1.0000 0.0004 0.00020 0 0.8765 0.0004 0.2479 -0.41260 0 0.4809 0.0002 -0.4126 0.7736Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.000071.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.7643-0.0000 -87.6402 -49.9272 100.7790 -76.9476 31.4002-0.0000 -0.0000 0.7219 11.8223 20.7005 -93.6570-0.0000 0.0000 29.4202 5.9564 48.8026 -61.06030.0000 0.0000 -43.8731 -2.8860 58.8230 -20.2818…………………………………………………………………………k = Sk = ck =4 -12.2088 195.0398uk = Pk =-15.9753 -0.3085 0.951211.6133 0.9512 0.3085Uk =1.0000 0 0 0 0 00 1.0000 0 0 0 00 0 1.0000 0 0 00 0 0 1.0000 0 00 0 0 0 -0.3085 0.95120 0 0 0 0.9512 0.3085Ak =12.0000 -52.0000 34.0000 -12.0000 17.0000 -51.000071.6310 11.7128 -30.5678 -27.8930 1.6473 21.7643-0.0000 -87.6402 -49.9272 100.7790 -76.9476 31.40020.0000 -0.0000 -52.8292 -5.8754 21.3902 18.44030.0000 0.0000 0.0000 12.2088 40.2435 -106.81340.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 64.7555 -34.09095.5.3 实对称矩阵的三对角化及其MATLAB程序将n阶实对称矩阵A规约成三对角形式的MATLAB主程序function T=house(A)[n,n]=size(A);for k=1:n-2s=norm(A(k+1:n,k),2);if (A(k+1,k)<0)s=-s;endr=sqrt(2*s*(A(k+1,k)+s));U(1:k)=zeros(1,k);U(k+1)=(A(k+1,k)+s)/r;U(k+2:n)=A(k+2:n,k)'/r;V(1:k)=zeros(1,k);V(k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)*U(k+1:n)';C=U(k+1:n)*V(k+1:n)';P(1:k)=zeros(1,k);P(k+1:n)=V(k+1:n)-C*U(k+1:n);A(k+2:n,k)=zeros(n-k-1,1);A(k,k+2:n)=zeros(1,n-k-1);A(k+1,k)=-s; A(k,k+1)=-s;A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-2*U(k+1:n)'*P(k+1:n)-2*P( k+1:n)'*U(k+1:n);endT=A;例5.5.4 用初等反射矩阵正交相似约化实对称矩阵A为三对角矩阵.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------=5261215121416134237299021237312611451721253233219612371564901435612A 解 输入MATLAB 程序>> A=[12 -56 3 -14 -90 -4;-56 71 23 61 -9 -21;3 23 53 12 -72 51;-14 61 12 73 23 21;-90 -9 -72 23 -34 -61;-41 -21 51 21 -61 -52];T=house(A)运行后屏幕显示结果T =12.0000 114.5513 0 0 0 0114.5513 -43.2395 -108.2763 0 0 00 -108.2763 49.7411 -22.7766 0 00 0 -22.7766 40.2476 -89.1355 00 0 0 -89.1355 44.9606 39.30900 0 0 0 39.3090 19.29025.6 QR 方法及其MATLAB 程序5.6.5 最末元位移QR 法计算实对称矩阵特征值及其MATLAB 程序用最末元位移QR 方法求实对称矩阵A 全部特征值的MATLAB 主程序function tzg=qr4(A,t,max1)[n,n]=size(A); k=0;Ak=A;tzg=zeros(n); state=1;for i=1:n;while ((k<=max1)&(state==1)&(n>1))b1=abs(Ak(n,n-1)); b2=abs(Ak(n,n));b3=abs(Ak(n-1,n-1));b4=min(b2, b3); jd=10^(-t); jd1=jd*b4;if (b1>=jd1)sk=Ak(n,n); Bk=Ak-sk*eye(n); [Qk,Rk]=qr(Bk);At=Rk*Qk+sk*eye(n); k=k+1;tzgk=Ak(n,n);disp('请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，')disp(' Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk 是Bk 的QR 分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：')i,state=1;k,sk,Bk,Qk,Rk,At,Ak=At;elsedisp('请注意：i 表示求第i 个特征值，tzgk 是矩阵A 的特征值的近似值，k 是迭代次数，')disp(' 下面的矩阵B 是m 阶矩阵At 的（m-1）阶主子矩阵，即At 降一阶.')i,tzgk=Ak(n,n),tzg(n,1)=tzgk;k=k,sk,Ak;B=Ak(1:n-1,1:n-1),Ak=B;n=n-1;state==1; i=i+1;endendendtzg(1,1)=Ak;tzg=sort(tzg(:,1));tzgk=Akdisp('请注意：n 阶实对称矩阵A 的全部真特征值lamoda 和至少含t个有效数字的近似特征值tzg 如下：')lamoda=sort(eig(A))例5.6.5 用最末元位移QR 方法求下列实对称矩阵的全部近似特征值，并将计算结果与A 全部真特征值比较.其中,2 1 1 1 1 3 1 21 1 4- 21 2 2 5)1(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 精度为=ε510-； ,52612151214161342372990212373126114517212532332196123715641901435612)2(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------------=A 精度为=ε410-.解 （1）首先保存用最末元位移QR 方法求实对称矩阵A 全部特征值的MATLAB 主程序为M 文件，取名为qr4.m.在MATLAB 工作窗口输入程序>> A=[5 2 2 1;2 -4 1 1;2 1 3 1;1 1 1 2]; tzg=qr4(A,5,100) 运行后屏幕显示结果请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk 和Rk 是Bk 的QR 分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =1k =1sk =2Bk =3 2 2 12 -6 1 12 1 1 11 1 1 0Qk =-0.70710678118655 0.38807526285317 0.12674485010490 -0.57735026918963-0.47140452079103 -0.87963726246718 0.06337242505245 0-0.47140452079103 0.20697347352169 -0.63372425052448 0.57735026918963-0.23570226039552 0.18110178933148 0.76046910062937 0.57735026918963 Rk =-4.24264068711929 0.70710678118655 -2.59272486435067 -1.649915822768610 6.44204936336256 0.28458852609232 -0.284588526092320 0 0.44360697536713 -0.443606975367130 0 0 0.00000000000000At =6.27777777777778 -3.10388935193069 -0.10455916682125 0.00000000000000-3.10388935193069 -3.65930388219545 0.01147685957127 0.00000000000000-0.10455916682125 0.01147685957127 1.38152610441767 0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000 0.00000000000000 2.00000000000000 请注意：i 表示求第i 个特征值，tzgk 是矩阵A 的特征值的近似值，k 是迭代次数，下面的矩阵B 是m 阶矩阵At 的（m-1）阶主子矩阵，即At 降一阶.i =1tzgk =2.00000000000000k =1sk =2B =6.27777777777778 -3.10388935193069 -0.10455916682125-3.10388935193069 -3.65930388219545 0.01147685957127-0.10455916682125 0.01147685957127 1.38152610441767请注意：下面的i 表示求第i 个特征值，k 是迭代次数，sk 是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =2k =2sk =1.38152610441767Bk =4.89625167336011 -3.10388935193069 -0.10455916682125-3.10388935193069 -5.04082998661312 0.01147685957127-0.10455916682125 0.01147685957127 0Qk =-0.84445320114929 -0.53537837009187 0.016394874396770.53532568873289 -0.84460953959679 -0.007818734217300.01803324849744 0.00217404228940 0.99983502413586Rk =-5.79813264571247 -0.07718952005739 0.094439180886190 5.91931326753920 0.046285251232420 0 -0.00180396892170At =6.23815929000691 3.16959512520840 -0.000032531419853.16959512520840 -3.61788172311421 -0.00000392190472-0.00003253141985 -0.00000392190472 1.37972243310730请注意：i表示求第i个特征值，tzgk是矩阵A的特征值的近似值，k是迭代次数，下面的矩阵B是m阶矩阵At的（m-1）阶主子矩阵，即At降一阶.i =2tzgk =1.37972243310730k =2sk =1.38152610441767B =6.23815929000691 3.169595125208403.16959512520840 -3.61788172311421请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =3k =3sk =-3.61788172311421Bk =9.85604101312112 3.169595125208403.16959512520840 0Qk =-0.95198403663348 -0.30614766697629-0.30614766697629 0.95198403663348Rk =-10.35315786173815 -3.017403961789690 -0.97036415284199At =7.16193047323385 0.297074721510000.29707472151000 -4.54165290634115请注意：下面的i表示求第i个特征值，k是迭代次数，sk是原点位移量，Bk=Ak-sk*eye(n),Qk和Rk是Bk的QR分解，At=Rk*Qk+sk*eye(n)迭代矩阵：i =3k =4sk =-4.54165290634115Bk =11.70358337957500 0.297074721510000.29707472151000 0。

一、问题的描述及算法设计（一）问题的描述我所要做的课题是：对称矩阵的条件数的求解设计1、求矩阵A 的二条件数问题 A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----210121012 2、设计内容：1）采用幂法求出A 的 错误!未找到引用源。

.2）采用反幂法求出A 的错误!未找到引用源。

.3）计算A 的条件数 ⅡA Ⅱ2* ⅡA -1Ⅱ2=cond2（A ）=错误!未找到引用源。

/错误!未找到引用源。

.（精度要求为10-6）3、设计要求1）求出ⅡA Ⅱ2。

2）并进行一定的理论分析。

（二）算法设计1、幂法算法（1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1.（2）计算v )(k =Au )1(-k ,m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k（3）若| m k = m 1-k |<ε，则停止计算（m k 作为绝对值最大特征值1λ，u )(k 作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2）2、反幂法算法（1）取初始向量u )0(（例如取u )0(=(1,1,…1)T ）,置精度要求ε，置k=1.（2）对A 作LU 分解，即A=LU（3）解线性方程组 Ly )(k =u )1(-k ,Uv )(k =y )(k（4）计算m k =max(v )(k ), u )(k = v )(k / m k（5）若|m k =m 1-k |<ε，则停止计算（1/m k 作为绝对值最小特征值n λ，u )(k 作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.二、算法的流程图（一）幂法算法的流程图（二）反幂法算法的流程图三、算法的理论依据及其推导（一）幂法算法的理论依据及推导幂法是用来确定矩阵的主特征值的一种迭代方法，也即，绝对值最大的特征值。

稍微修改该方法，也可以用来确定其他特征值。

幂法的一个很有用的特性是它不仅可以生成特征值，而且可以生成相应的特征向量。

矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。

矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。

幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。

其基本思想是任取一个非零的初始向量。

由所求矩阵构造一向量序列。

再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。

反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。

本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。

计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。

然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。

关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximumc haracteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix ；Eigenvalue ；Eigenvector ；Iteration methods;目录1引言 (1)2相关定理。