(完整word版)广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组培优讲义

第18讲 二元一次方程组及其解法考点·方法·破译1．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义； 3．熟练掌握二元一次方程组的解法. 经典·考题·赏析【例1】 已知下列方程2x m －1＋3y n ＋3＝5是二元一次方程，则m ＋n ＝ . 【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件： ⑴这个方程中有且只有两个未知数； ⑵含未知数的次数是1；⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式.【解】根据二元一次方程的概念可知：⎩⎨⎧=+=-1311n m ，解得m ＝2,n ＝ －2,故m ＋n ＝0.【变式题组】01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.⑴2x ＋5y ＝16 (2)2x ＋y ＋z ＝3 (3)x1＋y ＝21 (4)x 2＋2x ＋1＝0 (5)2x ＋10xy ＝5 02．若方程2xa ＋1＋3＝y2b －5是二元一次方程，则a ＝ ,b ＝ .03．在下列四个方程组①⎩⎨⎧=-=+94210342y x y x ，②⎩⎨⎧==+297124xy y x ，③⎪⎩⎪⎨⎧=+=-432021y x y x ，④⎩⎨⎧=-=+045587y x y x 中，是二元一次方程组的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【例2】（十堰中考）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-52723y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧==23y x B ． ⎩⎨⎧==21y x C ． ⎩⎨⎧==24y x D ． ⎩⎨⎧==13y x 【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案.本例中，方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选D ． 【变式题组】 01．（杭州）若x =1，y =2是方程ax －y ＝3的解，则a 的值是 （ ）A ．5B ．－5C ．2D ．102．（盐城）若二元一次方程的一个解为⎩⎨⎧-==12y x ，则此方程可以是 （只要求写一个）03.（义乌）已知：∠A 、∠B 互余，∠A 比∠B 大30°，设∠A 、∠B 的度数分别为x °,y °,下列方程组中符合题意的是 （ ）A ． ⎩⎨⎧-==+30180y x y x B ． ⎩⎨⎧+==+30180y x y x C ． ⎩⎨⎧+==+3090y x y x D ． ⎩⎨⎧-==+3090y x y x4．（连云港）若⎩⎨⎧==12y x ，是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2523by ax by ax ，的解，则a ＋2b 的值为 .【例3】解方程组⎩⎨⎧=+=+17537y x y x【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得y ＝7－x ③,将③带入②可消去y ,从而求解.解：由①得，y ＝7－x ③将③带入②，得 3x ＋5(7－x )＝17, 即35－2x ＝17 x ＝9故此方程组的解是⎩⎨⎧-==29y x【变式题组】 1.解方程组：（南京）⑴⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （海淀）⑵⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x（花都）⑶⎩⎨⎧=+=-5242y x y x （朝阳）⑷⎩⎨⎧=+=-232553y x y x2．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足x ＋y ＋a ＝0,则a 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．3D ．－3【例4】解方程组⎩⎨⎧=-=+115332y x y x【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系数绝对值较小的未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系数符号相同，则相减，若系数符号相反，则相加.本题中，y 的系数绝对值之比为5：1＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y. 解：①×5得，y ＝7－x ③③＋②,得 ，13x ＝26 ∴x ＝2 将x ＝2代入①得 y ＝－1∴此方程组的解是⎩⎨⎧-==12y x .【变式题组】 01．(广州)以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组是 （ ）①②①②A ．⎩⎨⎧=-=+10y x y x B ．⎩⎨⎧-=-=+10y x y x C ．⎩⎨⎧=-=+2y x y x D ．⎩⎨⎧-=-=+20y x y x02．解下列方程组：（日照）⑴⎩⎨⎧=-=-138332y x y x （宿迁）⑵⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x03．（临汾）已知方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==12y x ，则2a －3b 的值为 （ ）A ．4B ．6C ．－6D ．－404．已知⎩⎨⎧=+=+6252y x y x ，那么x －y 的值为 ，x ＋y 的值为 .【例5】已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+243412223k y x k y x 的解满足x ＋y ＝6,求k 的值.【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去k 而得一个二元一次方程，此方程与x ＋y ＝6联立，求得x 、y 的值，从而代入①或②可求得k 的值；另一种是直接由方程组解出x 、y ，其中x 、y 含有k ,即用含k 的代数式分别表示x 、y ，再代入x ＋y ＝6得以k 为未知数的一元一次方程，继而求k 的值.解：①×2，得， 6x ＋4y ＝4k ＋24 ③ ③－②,得 2x ＋7y ＝22 ④ 由x ＋y ＝6，得2x ＋2y ＝12 ⑤，⑤－④,得 －5y ＝－10 ∴y ＝2 将y ＝2代入x ＋y ＝6得 x ＝4 将⎩⎨⎧==24y x 带入①得 3×4＋2×2＝2k ＋12 ∴k ＝2.【变式题组】 01．已知⑴⎩⎨⎧-=-=+2513n ny x ny mx 与⑵⎩⎨⎧=+=-82463y x y x 有相同的解，则m ＝ ,n ＝ .02．方程组⎩⎨⎧=-+=525y x y x 的解满足方程x ＋y －a ＝0, 那么a 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．3D ．－303．已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.【例6】解方程组⎩⎨⎧=--+=-++12)(5)3(316)(3)3(4y x y x y x y x【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（x ＋3y ）和（x －y ）,如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会大大减少运算量，当分别求出x ＋3y 和x －y 的值后，再组成新的方程组可求出x 、y 的值，此种方法称为换元法.①② ①②①②解：设x ＋3y ＝a , x －y ＝b , 则原方程组可变形为⎩⎨⎧=-=+12531634b a b a ③×3，得 12a ＋9b ＝12 ⑤ ④×4, 得 12a －20b ＝48 ⑥－⑤,得 29b ＝0,∴b ＝0 将b ＝0代入③，得 a ＝4 ∴可得方程组⎩⎨⎧=-=+043y x y x 故原方程组的解为⎩⎨⎧==11y x .【变式题组】01．解下列方程组：⑴⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++2)(5)(4632y x y x y x y x ⑵（湖北十堰）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5791034yxyx02．（淄博）若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组⎩⎨⎧=--+=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(4y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧==2.23.6y xB ． ⎩⎨⎧==2.13.8y x C ． ⎩⎨⎧==2.23.10y x D ． ⎩⎨⎧==2.03.10y x03．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+-0121221136211y x x x 【例7】（第二十届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程组⎩⎨⎧-=+-=+2242016y cx by ax 的解应为⎩⎨⎧-==108y x ，小明解此题时把c 抄错了，因此得到的解是⎩⎨⎧-==1312y x ，则a 2＋b 2＋c 2的值为 . 【解法辅导】⎩⎨⎧-==108y x 是方程组的解，则将它代入原方程可得关于c 的方程，由题意分析可知：⎩⎨⎧-==1312y x 是方程ax ＋by ＝－16的解，由此可得关于a 、b 的又一个方程，由此三个方程可求得a 、b 、c 的值.解：34【变式题组】 01．方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax 时，一学生把a 看错后得到⎩⎨⎧==15y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，则a 、c 、d 的值是 （ ）A ．不能确定B ．a ＝3, c ＝1, d ＝1C ． c 、d 不能确定D ． a ＝3, c ＝2, d ＝ －2③ ④① ②02．甲、乙良人同解方程组⎩⎨⎧-=-=+232y Cx By Ax ，甲正确解得⎩⎨⎧-==11y x ，乙因抄错C ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求A 、B 、C的值.演练巩固 反馈提高01．已知方程2x －3y ＝5,则用含x 的式子表示y 是 ，用含y 的式子表示x 是 . 02．(邯郸)已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+241by x by ax 的解，则a ＋b ＝ .03．若(x －y )2＋|5x －7y －2|＝0, 则x ＝ , y ＝ . 04．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+147by x by ax 的解，则a －b 的值为 .05．若x 3m －n＋y 2n －m＝－3是二元一次方程，则m ＝ ,n ＝ .06.关于x 的方程（m 2－4）x 2＋(m ＋2)x ＋(m ＋1)y ＝m ＋5, 当m ＝ 时，它是一元一次方程，当m ＝时，它是二元一次方程.07．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+574973y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧=-=12y xB ． ⎪⎩⎪⎨⎧=-=732y xC ． ⎪⎩⎪⎨⎧-==732y xD ． ⎪⎩⎪⎨⎧==732y x 08．（杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是 （ ）A ．1B ．3C ．－3D ． －109．（苏州）方程组⎩⎨⎧=-=+521y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧=-=21y x B ． ⎩⎨⎧=-=32y x C ． ⎩⎨⎧==12y x D ． ⎩⎨⎧-==12y x10．（山东）若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+ky x ky x 95的解也是二元一次方程3x ＋3y ＝6的解，则k 的值为 （ ）A ．－43 B ． 43 C ．34 D ．－ 3411．（怀柔）已知方程组⎩⎨⎧=-=+42by ax by ax 的解为⎩⎨⎧==23y x ，求b a ba 22-+的值为多少？12.解方程组：⑴（滨州）⎩⎨⎧-=+=-22622y x y x ⑵（青岛）⎩⎨⎧=-=+41943y x y x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=--+5)32(5)3(186)3(7)32(6y x x y13．已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 和方程组⎩⎨⎧-=+-=-84ay bx by ax 的解相同，求代数式3a ＋7b 的值.14． 已知方程组⎩⎨⎧+=+=+33223k y x ky x 的解x 与y 的和为8，求k 的值.15．（希望杯试题）m 为正整数，已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+023102y x y mx 有整数解，求m 2的值.培优升级 奥赛检测01．当k 、b 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-=+=2)13(x k y b kx y⑴有唯一一组解 ⑵无解 ⑶有无穷多组解 02．.当k 、m 的取值符合条件 时，方程组⎩⎨⎧+-=+=4)12(x k y mkx y 至少有一组解.03．已知：m 是整数，方程组⎩⎨⎧=+=+266634my x y x 有整数解，求m 的值.04．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0, (xyz ≠0),则式子222222103225zy x z y x ---+的值等于 （ ） A ．－21 B ．－219C ．－15D ．－13 05．（信利杯赛题）已知：三个数a 、b 、c 满足b a ab +＝31，c a bc +＝41，a c ca +＝51，则cabc ab abc ++的值为 （ ） A ．61 B ．121 C ．152D ．20106． （广西赛题）已知：满足方程2x －3y ＋4m ＝11和3x ＋2y ＋5m ＝21的x 、y 满足x ＋3y ＋7m ＝20,那么m的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．307．（广西赛题）若|a ＋b ＋1|与（a －b ＋1）2互为相反数，则a 与b 的大小关系是 （ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a≥b①②08.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的解的组数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．409．对任意实数x 、y 定义运算x ※y ＝ax ＋by ，其中a 、b 为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知1※2＝5且2※3＝8，则4※5的值为 （ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．1410．(华杯赛题）当m ＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式（2m ＋1）x ＋(2－3m )y ＋1－5m ＝0可以得到10个关于x 和y 的二元一次方程，问这10个方程有无公共解？若有，求出这些公共解.11．下列的等式成立：x 1x 2＝x 2x 3＝x 3x 4＝ …＝x 99·x 100＝x 100·x 101＝x 101·x 1＝1,求x 1 ，x 2， …x 100，x 101的值.。

第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组考点·方法·破译1．了解三元一次方程组和它的解的概念；2．会解三元一次方程组并会用它解决较简单的应用题；3．了解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集；4．会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会进行一些简单的应用．经典·考题·赏析【例１】解方程组275322 34416x yx y zx y z-=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③【解法指导】观察发现，本方程组共有两个三元一次方程，一个二元一次方程．解三元一次方程组的基本思想是消元，将其转化为二元一次方程组来求解．因此，根据本题特点有两种主要思路：一是代入法，将①分别代入②、③消去y，从而得到一个以x、z为未知数的二元一次方程组；二是由②③用加减法消去z得一个以x、y为未知数的方程，再与①联系，得一个二元一次方程组．解：方法⑴由①得：y＝2x－7 ④将④代入②，得5x＋3(2x－7)－3z＝2即11x＋3z＝23 ⑤将④代入③，得3x－4(2x－7)－4z＝16即－5x－4z＝－12 ⑥解二元一次113235412x zx z+=⎧⎨+=⎩得212xz=⎧⎪⎨=⎪⎩将x＝2代入①得y＝－3∴原方程组的解为2312 xyz⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩方法⑵②×2得 10x＋6y＋4z＝4 ④④＋③得 13x＋2y＝20 ⑤解方程组2713220x yx y-=⎧⎨+=⎩得23xy=⎧⎨=-⎩将23xy=⎧⎨=-⎩代入②得12z=∴原方程组的解为2312xyz⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩【变式题组】 1．解下列议程组：⑴126218x y x y z x z y -=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩ ⑵27328344x y y z x z -=⎧⎪+=-⎨⎪-=⎩ ⑶:5:3:7:2234x y x z x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩2．解方程组864x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，并且mx ＋2y －z 1994＝10，求m 的值．【例2】北京时间2006年1月23日，科比率领湖人队在洛杉矶迎接多伦多猛龙队的挑战．在比赛中，科比全场46投28中，罚篮命中率高达90%，疯狂砍下职业生涯最高分81分，其中依靠罚球和三分球所得分数比其他投篮得分仅仅少了3分，最终湖人队以122︰104获胜．科比的81分超越了近20年来乔丹69分的得分记录，也成为继张伯伦1962年3月2日对阵纽约尼克斯砍下的NBA 单场最高得分记录100分之后，联盟历史上排名第二的单场个人最高分．在篮球比赛中，三分球每投中一个加3分，除此之外其他的投篮每投中一个加2分．若是对方犯规，罚球每中一个，加1分，且在计算命中率时，罚球是单独计算的，不计入总的出手次数，那么通过上面的这则新闻，你能算出科比投中的三分球、二分球和罚球分别是多少个吗？【解法指导】列方程组解决实际问题时，关键是找出题中的等量关系（注意找全所有的等量关系），然后适当设出未知数，列出各个方程组成方程组．本题中，等量关系有3个：⑴科比全场共得81分；⑵科比46投28中，即他的三分球和二分球总共中了28次；⑶罚球和三分球所得的分数比其他投篮得分仅仅少了3分，即三分球和罚球的分数之和比二分球得分少3分．利用这三点就很容易建立方程组求解．解：设科比投中x 个二分球，y 个三分球，z 个罚球． 依题意得：238128323x y z x y y z x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩解得L 21718x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【变式题组】1．某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现要在63天的生产中，使生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套？2．2003年全国足球甲A 联赛的前12轮（场）比赛后，前三各比赛成绩如下表．胜（场） 平（场） 负（场） 积分大连实德队 8 2 2 26上海申花队 6 5 1 23北京现代队 5 7 0 22问每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？【例3】下列各命题，是真命题的有（ ）①若a ＞b ,则a －b ＞0 ②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2③若ac ＞bc ，则a ＞b④若ac 2＞bc 2，则a ＞b ⑤若a ＞b ，则3a ＞3b ⑥若a ＞b ，则－3a ＋1＞－3b ＋1A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解法指导】不等式的三条性质，是解决有关不等式的命题的重要依据，深入透彻理解不等式的三条性质的真实内涵，是判断上述各命题的关键．第①题是直接运用不等式的性质1，完全正确．第②题是将不等式a ＞b 的两边同乘以c 2，但c 2≥0，当c 2＝0时，ac 2＝bc 2，故本题不对．第③题是将ac ＞bc 的两边同除c 得到a ＞b ，虽然条件知c ≠0，但c 可正可负，当c ＜0时，a ＞b 就不成立，故本题不对．第④题由条件ac 2＞bc 2知c 2≠0，因而c 2＞0,故本题正确．第⑤题中，设a ＞b 两边同乘以3，满足性质2，故正确．第⑥题中由a ＞b 得－3a ＜－3b ．因而－3a ＋1＜－3b ＋1，因此不对，本小题运用了性质3和性质1．解：C【变式题组】1．下列各命题，正确的有（ ）①若a －b ＞0,则a ＞b ②若a ＜b ,则ac ＜bc③若a b c c＞,则a ＞b ④若a ＜b ，则22a bc c ＜⑤若a ＞b ，则2211a bm m ++＞ ⑥若a ＞b ，则a 2＞abA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2． ⑴关于x 的不等式（m 2＋1）x ＞m 2＋1解集是________________；⑵若关于x 的不等式（m ＋1）x ＜m ＋1的解集是x ＜1，则m 满足的条件是_________3．若关于x 的不等式（2a －b ）x ＞3a ＋b 的解集是x ＜73,则关于x 的不等式2ax ≥3b 的解集是多少？【例4】解不等式组159104131722x x x x -<-⎧⎪⎨--⎪⎩①≤②并把解集在数轴上表示出来．【解法指导】不等式的解集就是不等式组中每个不等式的公共解集．这就要求首先会解每个不等式然后会综合不等式组的解集．一般地，对于a ＜b ，有下列四种情形．⑴x ax b x b>⎧⇒>⎨>⎩即同大取大⑵x a x a x b <⎧⇒<⎨<⎩即同小取小⑶x aa xb x b>⎧⇒<<⎨<⎩即大小小大中间找⑷x ax b >⎧⇒⎨>⎩无解即大大小小无法找 解：由不等式①可得x ＞1， 由不等式②得x ≤4综合可得此不等式组的解集是1＜x ≤4【变式题组】1．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．⑴31422x x x ->-⎧⎨+⎩≤ ⑵5122(43)3112x x x --⎧⎪⎨-<⎪⎩≤2．已知整数x 满足不等式3x －4≤6x －2和不等式21132x x +--1＜,并且满足3(x ＋a )－5a ＋2＝0，试求2152a a-的值.3．已知|1－x |＝x －1，则不等式组5421312x x x +>-⎧⎨-<⎩的解集为________________【例5】若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩①②有解，则a 的取值范围是多少？【解法指导】分别解每个不等式，可得22x a x >⎧⎪⎨<⎪⎩，若原不等式组有解，由“大小小大中间找”的法则，可知︰在数轴上看，2与2a 之间必有“空隙”，且2在2a 的左边，将它们表示在数轴上如下图：显然只有图⑶才符合要求，所以2＜2a,即a ＜4． 解：由⑴可知：x ＞2 由⑵可知：x ＜2a ∵原不等式有解 ∴2＜2a 即a ＞4故a 的取值范围是a ＞4 【变式题组】 1．选择题：⑴若关于x 的不等式组210340x a x a -+⎧⎨-+⎩≤≥有解，则a 的取值范围是()A ．a ＜3B ．a ≤3C ．a ＞3D ．a ≥3⑵若关于x 的不等式组3(2)432x x x a x --<⎧⎨-<⎩无解，则a 的取值范围是（）A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥1⑶若不等式组0122x a x x +⎧⎨--⎩≥＞有解，则a 的取值范围是（）A ．a ＞－1B ．a ≥－1C ．a ≤1D ．a ＜12．试确定a 的取值范围，使不等式组：114111.5(1)()0.5(21)22x x a a a x x +⎧+⎪⎪⎨⎪-+-+-⎪⎩＞①＞② 只有一个整数解． 3．不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中，任一个x 的值均不在3≤x ≤7的范围内，求a的取值范22 2a22a ⑴⑵⑶围。

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