2019-2020学年上海市川沙中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020年高一数学上学期期末试卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5，满分50分。

1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（∁U N）=（）A．{5} B．{0，3} C．{0，2，3，5} D．{0，1，3，4，5}2．（5分）已知角α的终边经过点P（1，﹣1），则sinα的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）已知三角形ABC中，，则三角形ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形4．（5分）在△ABC中，若sin2A=﹣，则sinA﹣cosA的值为（）A．B．C．D．5．（5分）设f（x）=，则f=（）A．π+1 B．0 C．πD．﹣16．（5分）函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）7．（5分）函数y=sin2x的图象是由函数的图象（）A．向左平移个单位而得到B．向左平移个单位而得到C．向右平移个单位而得到D．向右平移个单位而得到8．（5分）函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）设a=e0.3，b=0.92，c=logπ0.87，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a10．（5分）若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（3）=0，则xf（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}二、填空题:本大题共4小题，每小题3分，满分12分。

11．（3分）若10x=3，10y=4，则10x﹣y=．12．（3分）已知，，若，则x=．13．（3分）已知tanα=3，则的值．14．（3分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈上的值域．18．（14分）某产品按质量分为10个档次，生产第一档（即最低档次）的利润是每件8元，每提xx高一个档次，利润每件增加2元，但每提xx高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．（ I）请写出相同时间内产品的总利润y与档次x之间的函数关系式，并写出x的定义域．（ II）在同样的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．19．（14分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈恒成立，求实数m的取值范围．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣|x﹣a|（x∈R，a∈R）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）已知a≥0，若对任意x∈R都有f（x）≥﹣1恒成立，求实数a的取值范围．广东省汕头市潮南区xx高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5，满分50分。

2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。

2019-2020学年上海市川沙中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题（附解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合，，．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】C【解析】解：要使函数有意义则解得且函数的定义域为故选：C．根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．3.运行如图所示的程序，若输出y的值为2，则可输入实数x值的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，故时，，解得：舍去；时，，解得：舍，或，综上，可得可输入x的个数为1．故选：B．模拟程序运行，可得程序的功能是求的值，分类讨论即可得可输入x的个数．本题的考点是函数零点几何意义和用导函数来画出函数的图象，考查了数学结合思想和计算能力，属于基础题．4.一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设20个数分别为，，，，求出的平均数为，实际平均数，求出的平均数与实际平均数的差：．故选：B．求出的平均数与实际平均数的差：，由此能求出结果．本题考查求出的平均数与实际平均数的差的求法，考查平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知函数，那么的值为A. 9B.C.D.【答案】B【解析】解：，，而，．．故选：B．首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．6.某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，其余为后勤服务人员，现用分层抽样方法从中抽取一容量为20的样本，则抽取后勤服务人员A. 3人B. 4人C. 7人D. 12人【答案】A【解析】解：根据分层抽样原理知，应抽取后勤服务人员的人数为：．故选：A．根据分层抽样原理求出应抽取的后勤服务人数．本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．7.已知函数，若对任意实数，且都有成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，满足对任意实数，且都有成立，则函数为减函数，又由，则有，解可得，即a的取值范围为；故选：A．根据题意，分析可得函数为减函数，结合函数的解析式可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性的判定以及应用，涉及分段函数的应用，关键是掌握函数单调性的定义．8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a可能的取值是A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】解：函数为偶函数，图象关于原点对称，排除，又指数型函数的函数值都为正值，排除，故函数的图象只能是，当时，函数为减函数，则，得，故只有4满足故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质先确定对应的图象，然后结合指数函数的图象特点确定底数的大小即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数值的符号确定对应的图象是解决本题的关键．9.一直以来，由于长江污染加剧以及滥捕滥捞，长江刀鱼产量逐年下降为了了解刀鱼数量，进行有效保护，某科研机构从长江中捕捉a条刀鱼，标记后放回，过了一段时间，再从同地点捕捉b条，发现其中有c条带有标记，据此估计长江中刀鱼的数量为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，得：，解得．故选：D．设长江中刀鱼的数量为x条，根据随机抽样的等可能性，列出方程能求出结果．本题考查长江中刀鱼的数量的估计，考查随机抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知偶函数在区间上是单调递增函数，若，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：偶函数在区间上是单调递增函数，则在上为减函数，若，则，即，求得，故选：C．由题意利用函数的奇偶性和单调性可得，由此求得实数m的取值范围．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．11.如图程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】D【解析】解：因为要求时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．通过要求时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“”，进而通过偶数的特征确定．本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．12.已知函数，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，方程可化为，解得：或，又，所以当时，此时方程有一个实数根，当时，方程可化为，由题意有此方程必有两不等实数根，设，由二次方程区间根问题有：，解得：或，综合可得：实数a的取值范围为：，故选：C．含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题先通过讨论：当时，当时去绝对值符号，再结合区间根问题求解二次方程的根的个数即可．本题考查了含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题及区间根问题，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，那么______．【答案】3【解析】解：由得，，即，故答案为：3由，求出，直接代入即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数解析式直接转化是解决本题的关键．14.《少年中国说》是清朝末年梁启超所作的散文，写于戊戌变法失败后的1900年，文中极力歌颂少年的朝气蓬勃，其中“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，少年独立则国独立”等优秀文句激励一代又一代国人强身健体、积极竞技年，甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：则参加运动会的最佳人选应为______．【答案】丙【解析】解：从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定，故最佳人选应该是丙．故答案为：丙．从表格中可以看出乙和丙的平均成绩优于甲和丁的平均成绩，但是两的成绩发挥的最稳定．本题考查最佳人选的判断，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2019年元旦期间，进行了降价促销活动，根据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：已知A型汽车的销售量y与价格x符合线性回归方程：，若A型汽车价格降到19万元，预测它的销售量大约是______辆【答案】42【解析】解：由图表可得，，．代入线性回归方程，得．，当时，．预测它的销售量大约是42辆．故答案为：42．由已知求得，代入线性回归方程求得b，得到线性回归方程，取求得y值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．16.已知函数有唯一零点，则______．【答案】【解析】解：与的图象均关于直线对称，的图象关于直线对称，的唯一零点必为，，，．故答案为：．判断函数与的图象的对称性，结合函数的对称性进行判断即可．本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件判断函数的对称性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，．Ⅰ当时，求；Ⅱ若，求实数k的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，，则，分Ⅱ，则分当时，，解得；分当时，由得，即，解得分综上，分【解析】Ⅰ直接根据并集的定义即可求出由，得，由此能求出实数k的取值范围．本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.计算下列各式的值：；．【答案】解：原式；原式．【解析】进行分数指数幂的运算即可；进行对数的运算即可．考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的运算性质．19.已知是奇函数．求a的值并判断的单调性，无需证明；若对任意，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】解：是奇函数，定义域为R，，解得，验证：，，即为奇函数，，在R上为增函数，对任意，不等式恒成立，，在R上为增函数，，，即对任意，恒成立，令，，，，对于，当时取最大值，最大值为3，，，故实数k的取值范围为．【解析】由奇函数的性质可得，在判断函数的单调性；利用的奇偶性和单调性，将不等式转化为：在上恒成立，然后转化为最值，最后构造函数求出最大值即可．本题考查了奇偶函数定义、函数的单调性、恒成立问题转化为最值、二次函数求最值属中档题．20.张先生和妻子李女士二人准备将家庭财产100万元全部投资兴办甲、乙两家微型企业，计划给每家微型企业投资50万元，张先生和妻子李女士分别担任甲、乙微型企业的法人根据该地区以往的大数据统计，在10000家微型企业中，若干年后，盈利的有5000家，盈利的有2x家，持平的有2x家，亏损的有x家．求x的值，并用样本估计总体的原理计算：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性用百分数示；张先生加强了对企业的管理，预计若干年后甲企业一定会盈利，李女士由于操持家务，预计若干年后盈利情况与该地区以往的大数据统计吻合求若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半．【答案】解：，，用样本估计总体计算得：若干年后甲微型企业至少盈利的可能性为：．由题意得若干年后，两人家庭财产的总数量为：万元．由于婚姻期间家庭财产为共同财产，若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值婚姻期间财产各占一半为：万元．【解析】由，求出，用样本估计总体，能求出若干年后甲微型企业至少盈利的可能性．由题意求出若干年后，两人家庭财产的总数量，由此能求出若干年后李女士拥有的家庭财产数量的期望值．本题考查实数值、至少盈利的可能性、期望值的求法，考查用样本特征估计总体特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.当今的学校教育非常关注学生身体健康成长，某地安顺小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况，抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试，测试成绩分成，，，四个部分，并画出频率分布直方图如图所示，图中从左到右前三个小组的频率分别为，，，且第一小组从左向右数的人数为5人．求第四小组的频率；求参加两分钟跳绳测试的学生人数；若两分钟跳绳次数不低于100次的学生体能为达标，试估计该校二年级学生体能的达标率用百分数表示【答案】解：第四小组的频率为：．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，解得，参加两分钟跳绳测试的学生人数为50人．由题意及频率分布直方图知：样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为：，估计该校二年级学生体能的达标率为．【解析】由频率分布直方图能求出第四小组的频率．设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则，由此能求出参加两分钟跳绳测试的学生人数．由题意及频率分布直方图知样本数据参加两分钟跳绳次数测试体体能达标率为，由此能估计该校二年级学生体能的达标率．本题考查频率、频数、达标率的求法，考查频率分布直图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.已知函数，其最小值为．求的表达式；当时，是否存在，使关于t的不等式有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：函数的对称轴为，当时，区间为增区间，可得；当，可得；当时，区间为减区间，可得．则；当时，即，可得，令，，可得在递减，在递增，在的图象如右图：，，由图可得，即，关于t的不等式有且仅有一个正整数解2，所以k的范围是【解析】求得的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性可得最小值；由题意可得，令，求得单调性，画出图象，可得整数解2，即可得到所求范围．本题考查二次函数的最值求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查不等式有解的条件，注意运用参数分离和对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x35．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．67．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．78．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A．D（x）的值域是{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）是奇函数D．任意x∈R，都有f[f（x）]＝19．（5分）已知函数，则f（﹣6）+f（log26）＝（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．211．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．（5分）已知a＝1.010.01，b＝ln2，c＝log20.5，则a，b，c从小到大的关系是．15．（5分）＝．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5}；∴∁A B＝{0，2，4}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．1【分析】直接利用诱导公式化简求值．【解答】解：tan225°＝tan（180°+45°）＝tan45°＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l＝2，扇形的半径r＝OA＝1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，属基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y＝e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，∵y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则y＝2x﹣2﹣x是增函数，故C正确，D．y＝﹣x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期是＝2，故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα＝6．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．7【分析】由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：AD是BC边上的中线，∴，则＝＝＝＝﹣故选：B ．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（ ）A ．D （x ）的值域是{0，1}B ．D （x ）是偶函数C ．D （x ）是奇函数D ．任意x ∈R ，都有f [f （x ）]＝1【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．【解答】解：A ．函数的值域为{0，1}，故A 正确，B ．若x 是无理数，则﹣x 也是无理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝0，若x 是有理数，则﹣x 也是有理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝1，综上f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故函数f （x ）是偶函数，故B 正确， C ．由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，D ．当x ∈R 时，f （x ）＝1或0都是有理数，则f [f （x ）]＝1，故D 正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9．（5分）已知函数，则f （﹣6）+f （log 26）＝（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （﹣6）与f （log 26）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f （﹣6）＝log 3[3﹣（﹣6）]＝log 39＝2，f （log 26）＝+1＝7，则f （﹣6）+f （log 26）＝2+7＝9； 故选：C ．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．【解答】解：∵||＝1，，，∴16＝，4＝，解可得，＝，||＝，则在方向上的投影为＝，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x，（x∈[0，π]）设A（x，﹣sin x），则A，B关于x＝对称，此时B（π﹣x，﹣sin x），当0≤x≤时，|AB|＝π﹣x﹣x＝π﹣2x，当≤x≤π时，|AB|＝x﹣（π﹣x）＝2x﹣π，则对应的图象为D，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x ，1），若⊥，则实数x 的值是 ．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【解答】解：∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14．（5分）已知a ＝1.010.01，b ＝ln 2，c ＝log 20.5，则a ，b ，c 从小到大的关系是 c ＜b ＜a ．【分析】容易得出，1.010.01＞1，0＜ln 2＜1，log 20.5＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵1.010.01＞1.010＝1，0＜ln 2＜lne ＝1，log 20.5＜log 21＝0； ∴c ＜b ＜a ．故答案为：c ＜b ＜a ．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15．（5分）＝ 1 ．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝lg（）﹣2+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a 的最大值．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得C⊆A，可得，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，，函数表达式为．补全数据如下表：（Ⅱ）∵，∴A＝[﹣4，4]，又A∪C＝A，∴C⊆A．依题意，∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【分析】（Ⅰ）直接利用二倍角公式，求得sin2的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值，可得β的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα＝，α∈（），所以cosα＝﹣＝﹣．从而sin2＝＝．（Ⅱ）因为α∈（），β∈（0，），所以α+β∈（，），所以cos（α+β）＝﹣＝﹣．∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•（﹣）﹣（﹣）•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，求出f（x）的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝＝≥3﹣1＝，∴函数f（x）的值域为[，+∞）．（Ⅱ）令t＝ax2﹣4x+3，当a≥0时，t无最大值，不合题意；当a＜0时，∵t＝ax2﹣4x+3＝a（x﹣）2﹣+3，∴t≤3﹣，又f（t）＝3t在R上单调递增，∴f（x）＝3t≤＝81＝34，∴3﹣＝4，∴a＝﹣4．【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有＝（2sin x，cos2x）•（cos x，﹣）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2x﹣＝kπ，则，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象．由，即，又x∈[0，π]，∴g（x）的单调增区间为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）又∵g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴g（x）为偶函数；（Ⅱ）依题意有g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（0）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，所以g（0）＝g（﹣2）＝g（2）＝0，要使得g（x）＜0，则x∈（﹣2，0）∪（0，2），由g（h（x））＜0得h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2）∵，∴，∴，∵a＞0，，又h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2），∴即，∴存在使得g（h（x））＜0恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，三角函数的性质，是一道综合题．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时求出总收益y＝y1+y2的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件转化为y＝+≥对任意x∈[0，5]恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5﹣x百万元当a ＝2时，y ＝y 1+y 2＝（5﹣x ）+•2＝，（0≤x ≤5），令t ＝，则0≤t ≤，y ＝﹣（t 2﹣2t ﹣5），其图象的对称轴t ＝1∈[0，]，∴当t ＝1时，总收益y 有最大值，此时x ＝1，5﹣x ＝4．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………（5分）（Ⅱ）由题意知y ＝+＝≥对任意x ∈[0，5]恒成立，即﹣2x +2a+1≥0对任意x ∈[0，5]恒成立，令g （x ）＝2x +2a +1，设t ＝，则t ∈[0，]，则g （t ）＝﹣2t 2+2at +1，其图象的对称轴为t ＝，……………（7分）①当0＜≤，即0＜a ≤时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）≥g （），∴g （t ）min ＝g （）＝2a ﹣9≥0，得a ≥，又0＜a ≤∴≤a ≤②当＜≤，即＜a ≤2时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）＜g （），可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0，符合题意∴＜a ≤2③当＞，即2＜a ≤5时，易知g （t ）＝﹣2t 2+2at +1在[0，]单调递增可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0恒成立，2＜a ≤5综上可得≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[，5]．……………（12分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1. 函数f(x)=√2−x +ln (x −1)的定义域为________．2. 设函数f(x)=(x+1)(x−a)x 为奇函数，则实数a 的值为________．3. 已知y ＝log a x +2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，点P 在指数函数y ＝f(x)的图象上，则f(x)＝________．4. 方程92x+1＝(13)x 的解为________．5. 对任意正实数x ，y ，f(xy)＝f(x)+f(y)，f(9)＝4，则f(√3)=________．6. 已知幂函数f(x)＝(m 2−5m +7)x m 是R 上的增函数，则m 的值为________．7. 已知函数f(x)={2x (x ≤0)log 2x(0<x ≤1)的反函数是f −1(x)，则f −1(12)＝________．8. 函数y ＝log 34|x 2−6x +5|的单调递增区间为________．9. 若函数f(x)=log a (x 2−ax +2)(a >0且a ≠1)满足：对任意x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f(x 1)−f(x 2)>0，则a 的取值范围为________√2） ．10. 已知x >0，定义f(x)表示不小于x 的最小整数，若f （3x +f(x)）＝f(6.5)，则正数x 的取值范围为________．11. 已知函数f(x)＝log a (mx +2)−log a (2m +1+2x )(a >0且a ≠1)只有一个零点，则实数m 的取值范围为________．12. 已知函数f(x)={log 12(1−x),−1≤x ≤n 22−|x−1|−3,n <x ≤m ，(n <m)的值域是[−1, 1]，有下列结论：（1）n ＝0时，m ∈(0, 2]；（2）n =12时，m ∈(12,2]；（3）n =[0,12)时，m ∈(n, 2]，其中正确的结论的序号为________．二、选择题下列函数中，是奇函数且在区间(1, +∞)上是增函数的是（ ）A.f(x)＝3|x|B.f(x)=1x −xC.f(x)＝−x 3D.f(x)＝−log 2x+1x−1已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞, 0)上单调递增，若实数m 满足f(|m −1|)>f(−1)，则m 的取值范围是（ ）A.(−∞, 0)∪(2, +∞)B.(−∞, 0)C.(0, 2)D.(2, +∞)如果函数f(x)在其定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)＝f(x 0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“可拆分函数”，若f(x)=lg a 2x +1为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）A.(32,3)B.(12,32)C.(32,3]D.(3, +∞]定义在(−1, 1)上的函数f(x)满足f(x)=1f(x−1)+1，当x ∈(−1, 0]时，f(x)=1x+1−1，若函数g(x)＝|f(x)−12|−mx −m 在(−1, 1)内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[14,916)B.(14,916)C.[14,12)D.(14,12) 三.解谷题已知函数f(x)＝2x −1的反函数是y ＝f −1(x)，g(x)＝log 4(3x +1)．（1）画出f(x)＝2x −1的图象；（2）解方程f −1(x)＝g(x)．已知定义在R 上的奇函数f(x)＝ka x −a −x （(a >0且a ≠1)，k ∈R)．（1）求k 的值，并用定义证明当a >1时，函数f(x)是R 上的增函数；（2）已知f(1)=32，求函数g(x)＝a 2x +a −2x 在区间[0, 1]上的取值范围．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t <10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q =6p(t)−1500t −60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？对于定义域为D 的函数y ＝f(x)，若存在区间[a, b]⊂D ，使得f(x)同时满足，①f(x)在[a, b]上是单调函数，②当f(x)的定义域为[a, b]时，f(x)的值域也为[a, b]，则称区间[a, b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f(x)＝x 3的所有“和谐区间”[a, b]；（2）函数f(x)=|4x −3|是否存在“和谐区间”[a, b]？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在(2, k)上的函数f(x)=2m −4x−1有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)＝e x +2e x −9，ℎ(−2)＝ℎ(0)＝1，ℎ(−3)＝−2．（1）求g(x)和ℎ(x)的解析式；（2）若对于x 1，x 2∈[−1, 1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；（3）设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在（2）的条件下，讨论方程f[f(x)]＝a +5的解的个数．参考答案与试题解析2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三.解谷题【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________.2.函数y =________.3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______. 9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列 列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.上海市上海中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题1.方程lg(21)lg 1x x +-=的解为_________. 【答案】18x .【解析】 【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的差等于商的对数去掉对数符号，求解分式方程得答案.【详解】因为lg(21)lg 1x x +-=，所以21lglg10x x+=，所以02102110x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪=⎩，解得18x， 故答案为：18x. 【点睛】该题考查的是有关对数方程的求解问题，在解题的过程中，注意对数式有意义的条件，对数式的运算法则，属于基础题目.2.函数y =________. 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】根据指数函数的值域，结合根式有意义的条件，求得函数的值域，得到答案. 【详解】因为1()02x>，所以1()112x->-， 根据根式有意义，有1()102x-≥，所以y =[0,)+∞， 故答案为：[0,)+∞.【点睛】该题考查的是有关函数的值域的求解问题，属于基础题目. 3.若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】23x 【解析】 【分析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项. 【详解】设幂函数的解析式为y x α=， 由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=，所以该函数的解析式是23y x =， 故答案为：23x .【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.4.若指数函数xy a =的定义域和值域都是[]2,4，则a =_________；【解析】 【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】当1a >时：函数()xy f x a ==单调递增，()2422,(4)4f a f a a ====∴=当01a <<时：函数()xy f x a ==单调递减，()2424,(4)2f a f a ====，无解.综上所述：a =【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，分类讨论是一种常用的方法，需要熟练掌握. 5.函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为_________；【答案】20)x ≥【解析】 【分析】利用函数表达式解得)20x y =≥，得到反函数.【详解】())22()424(0)20y f x x x x x x y ==-=--≤∴=≥故函数的反函数为1()20)f x x -=≥故答案为20)x ≥【点睛】本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.6.若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是_______.【答案】(0,1)【解析】 【分析】将0写成1的对数，之后根据函数的单调性整理出关于a 的不等式组，求得结果.【详解】因为233log 03a a +<+，所以2333log log 13a a+<+，因为函数3log y x =是(0,)+∞上的单调增函数，所以有23013a a+<<+，解得01a <<，所以a 的取值范围是(0,1)， 故答案为：(0,1).【点睛】该题考查的是有关对数不等式的解法，在解题的过程中，注意结合函数有意义的条件，应用对数函数的单调性，属于简单题目.7.己知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为________. 【答案】奇函数 【解析】 【分析】 由1(1)()f x f x +=-，能导出()f x 是周期为2的周期函数，由此能够证明()f x 是奇函数，得到结果.【详解】由1(1)()f x f x +=-，得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+， 所以()f x 是周期为2的周期函数，所以(2)()f x f x -=-，因为()(2)0f x f x +-=， 所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数， 故答案为：奇函数.【点睛】该题考查的是有关函数奇偶性的判断问题，在解题的过程中，注意借助于函数的周期性来完成，属于简单题目.8.函数225xy x x =++单调递增区间为_______.【答案】[ 【解析】 【分析】首先判断函数的定义域，得到其图象是不间断的，再讨论当0x ≠时，将函数解析式进行变形得到152y x x=++，再利用5u x x =+的单调区间，结合复合函数的单调性法则，确定出函数225xy x x =++本身的单调增区间，求得结果.【详解】因为函数225xy x x =++的定义域为R ， 当0x ≠时，152y x x=++， 因为5u x x=+在(,-∞和)+∞上单调递增，在[0)和上单调递减， 根据复合函数单调性法则，可知152y x x=++应该在[0)和上单调递增， 而函数225xy x x =++本身在0x =处有意义，且函数图象不间断，所以函数225xy x x =++的增区间是[，故答案为：[.【点睛】该题考查的是有关函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于简单题目.9.函数42()21x x xcf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围__________. 【答案】(,1]-∞ 【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简，之后令21(1,)xt +=∈+∞，将函数化为1cy t t=+-(1,)t ∈+∞，之后结合复合函数的单调性，求得参数的取值范围.【详解】422(21)()2(21)121212121x x x x x xx x x xc c c c f x ++++===+=++-++++， 令21(1,)xt +=∈+∞，且t 随x 的增大而增大，且当0c ≤时，cy t=在(1,)+∞上是增函数， 所以函数1cy t t=+-在(1,)+∞上是增函数， 所以函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上是增函数，当0c >时，函数1cy t t=+-在)+∞上是增函数，1，即1c ≤， 所以c 的取值范围为(,1]-∞， 故答案为：(,1]-∞.【点睛】该题考查的是有关根据函数的单调性确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有指数型函数的单调性，对勾函数的单调区间，复合函数单调性法则，属于中档题目. 10.关于x 的方程2282x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为_________.【答案】1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据式子的意义，将式子转化为2228x m x +=-，将方程有两个不同的解转化为28t m t +=-只有一个正根，画出函数图象求得结果.【详解】因为220x +>恒成立，所以原式可化为2282x m x -=+，可知280x -≠，所以2228x m x +=-，因为方程有两个不同的解，所以0x =不是方程的根， 令2(0,8)(8,)x t =∈+∞，则方程28t m t +=-只有一个正根， 画出函数28t m t +=-的图象如图所示：可知所求m的取值范围是：1(,1]4，故答案为：1(,1]4.【点睛】该题考查的是有关根据方程根的情况求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将问题正确转化，注意应用函数图象解决问题，属于简单题目. 11.已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+， 所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x =+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解， 当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =，所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得542a ≤≤， 所以a 的取值范围是5[,4]2， 故答案为：5[,4]2.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.12.已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若()246(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围为_______.【答案】13,24⎧⎫⎡⎫⋃⋃+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦. 【解析】 【分析】首先利用分类讨论将函数解析式进行化简，从而分析判断要使2(46)(4)f a a f a +=，会出现哪些情况，列出对应的式子求解即可.【详解】因为131,1()131131,13131,3x x xf x x x x x xx x x⎧-+--<⎪=----=-+--≤<⎨⎪--+-≥⎩，即3,1()25,131,3xf x x xx≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，画出函数图象如图所示：可以看到(2)(3)1f f==，要使2(46)(4)f a a f a+=，则有以下几种情况：①246141a aa⎧+≤⎨≤⎩313313x---+≤≤；②22146 2.514 2.5464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解；③222.54632.543464a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪+=⎩，无解.④2214631434645a aaa a a⎧<+≤⎪<≤⎨⎪++=⎩，无解；⑤246343a aa⎧+≥⎨≥⎩，解得34a≥，⑥246243a a a ⎧+=⎨≥⎩，无解；⑦246342a a a ⎧+≥⎨=⎩，解得12a =；所以a 的取值范围为3313[,][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭，故答案为：3313[][,)4424--⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值相等，求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子的化简，函数值相等的条件，属于中档题目. 二.选择题13.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ）A. 2332(0)22f f f --⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()2332322log 4f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数在(,0)-∞上递增，得到其在(0,)+∞上递减，将自变量放在同一个单调区间，借助于自变量大小，得到函数值的大小，从而得到结果【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞上递增， 所以函数()f x 在(0,)+∞上递减，因为2332022--<<，所以2332(0)(2)(2)f f f -->>，所以A 项不正确；23323221log 4--<<<，所以23323(2)(2)(log 4)f f f -->>，又因为331log log 44=-，所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=， 观察B 、C 、D 三项很明显C 项正确，故选：C.【点睛】该题考查的是有关根据偶函数在给定区间上的单调性，判断函数值的大小的问题，涉及到的知识点有偶函数图象的对称性，偶函数的定义，根据单调性比较函数值的大小，属于简单题目.14.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A. (1)f x + B. (1)f x - C. ()1f x + D. ()1f x -【答案】C 【解析】 【分析】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y f x -=-，再求反函数可得到结果.【详解】函数()f x 的反函数1()y f x -=图象向右平移1个单位，得到1(1)y fx -=-，则1()x f y -=1()y f x -=，1(1)y f x -=-的反函数为()1y f x =+即()()1g x f x =+， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称，属于简单题目. 15.设方程3|ln |xx -=的两个根1x 、2x ，则（ ）A. 120x x <B. 121=x xC. 121x x >D. 121x x <【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，根据图象和对数的运算性质即可求出答案.【详解】作出函数图象如图所示：若方程3ln xx -=的两根为12,x x ，则1201x x <<<，12123ln ,3ln x x x x --==可得121212ln ln ln ln 330x x x x x x ---=--=->，所以12ln ln 0x x -->，即12ln 0x x <， 所以1201x x <<， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关方程的根的大小的判断，涉及到的知识点有对数的运算法则，解决方程根的问题时，可以应用图象的交点来完成，属于简单题目.16.己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围. 【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+， 可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析. 三.解答题17.已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--.（1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 解析式；（2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式.【答案】（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩【解析】 【分析】（1）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据偶函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式；（2）当0x <时，0x ->，代入函数解析式，根据奇函数的定义，求得相应区间上的()f x 的解析式，再利用(0)0f =，进而求得()f x 在R 上的解析式.【详解】（1）因为()f x 为偶函数， 当0x <时，0x ->，则22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=， 所以当0x <时，2()lg(2)f x x x x =+--； （2）因为()f x 为奇函数， 当0x <时，0x ->，22()()()lg 2()lg(2)()f x x x x x x x f x -=-----=+--=-，所以2()lg(2)f x x x x =--+-， 且(0)0f =，所以22lg(2),(0)()0,(0)lg(2),(0)x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩.【点睛】该题考查的是有关根据函数在某一区间上的解析式，结合函数奇偶性的定义，求得函数的解析式，属于简单题目. 18.设关于x 的方程1936(5)0xx k k k +-+-=.（1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围. 【答案】（1）3log 4x =；（2）182k ≤≤. 【解析】 【分析】（1）将3k =代入方程，得到3993120x x ⋅-⋅-=，将其整理得到(31)(34)0xx+-=，集合指数函数的值域，得到34x =，从而得到3log 4x =，求得结果； （2）将式子1936(5)0xx k k k +-+-=整理得出309336x xk =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，借助于二次函数在某个区间上的值域求得最后的结果.【详解】（1）当3k =时，方程1936(5)0xx k k k +-+-=即为3993120x x ⋅-⋅-=，化简得93340x x -⋅-=，即(31)(34)0x x+-=， 解得31x =-（舍去）或34x =，所以3log 4x =，所以，此方程的解为3log 4x =， （2）由1936(5)0xx k k k +-+-=可得1(936)30x k k +-+=，所以309336x x k =-⋅+，令3,[0,2]xt x =∈，则[1,9]t ∈，所以22315933636()24xxt t t -⋅+=-+=-+，由[1,9]t ∈可得当32t =时，2315()24t -+最小值为154，当9t =时，2315()24t -+的最大值为60，所以130303015609364x x +≤≤-+，即182k ≤≤，所以k 的取值范围是1[,8]2.【点睛】该题考查的是有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目.19.某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异），新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车. （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时问之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？ 【答案】（1）()*9060,117,18t t x x N x x==≤≤∈-外内；（2）内环线11列列车，外环线7列列车；（3）内环线10列列车，外环线8列列车.. 【解析】【分析】（1）根据题意，结合最长候车时间等于两列列车对应的时间差，列车式子得出结果，注意自变量的取值范围；（2）根据题意，列出对应的不等关系式，求解即可，在解的过程中，注意自变量的取值范围； （3）根据题意，列出式子，结合对勾函数的单调性，求得函数的变化趋势，最后求得取最值时x 的值.【详解】（1）根据题意可知，内环投入x 辆列车，则外环投入(18)x -辆列车， 从而可得内环线乘客的最长候车时间为30906020t x x=⨯=内分钟， 外环线乘客的最长候车时间为30606030(18)18t x x=⨯=--外分钟，根据实际意义，可知117,x x N *≤≤∈， 所以90t x =内，6018t x=-外(117,)x x N *≤≤∈； （2）由题意可得9060=118t t x x--≤-内外， 整理得221321620016816200x x x x ⎧+-≤⎨-+≤⎩所以16813222x --≤≤因为x N *∈，所以11x =，所以当内环线投入11列列车运行，外环线投入7列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟； （3）令29060162030()+=1818xu x t t x x x x -=+=--内外 2230(54)30(54)18(54)90(54)3654x x x x x x --==--+-+⨯303036543654(54)9090[(54)]5454x x x x==⨯⨯-++--+--可以确定函数在[1,54-上单调递减，在[54-上单调递增，结合x N *∈的条件，可知当10x =时取得最小值，所以内环线10列列车，外环线8列列车时，内、外环线乘客的最长候车时间之和最小. 【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有建立函数模型，求解不等式，求函数的最小值，属于较难题目.20.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+.（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【答案】（1）属于；（2）[15a ∈-+；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+，此方程恒成立，说明函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M，推出22ln ln ln (2)115a a a x x =++++有实数解，即方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解，分5a =和5a ≠两种情况，得到结果；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b ≥时，当0b <时，判定函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【详解】（1）当()f x kx =时，方程(2)()(2)f t f t f +=+(2)2k t kt k ⇔+=+， 此方程恒成立，所以函数()f x kx =（k 为常数）属于集合M ； （2）由2()ln1af x x =+属于集合M ，可得方程22lnln ln (2)115a a ax x =++++有实数解，即222455(1)a a x x x =+++，整理得方程2(5)4550a x ax a -++-=有实数解， 当5a =时，方程有实根14-， 当5a ≠时，有2164(5)(55)0a a a ∆=---≥，解得155a -≤<或515a <≤+ 综上，实数a的取值范围为[15a ∈-+；（3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+有解，等价于2222(2)244x x b x bx b +++=+++有解，整理得32440x bx ⋅+-=有解，令()3244xg x bx =⋅+-，则()g x 在R 上的图象是连续的， 当0b ≥时，(0)10,(1)420g g b =-<=+>， 故()g x 在(0,1)上有一个零点，当0b <时，11(0)10,()320b g g b=-<=⋅>，故()g x 在1(,0)b上至少有一个零点，故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x 属于集合M .【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有新定义，方程有解转化为函数有零点，分类讨论思想，属于难题. 21.对于函数3()3||1f x x x c =--+.（1）当0,()c f x =向下和向左各平移一个单位，得到函数()g x ，求函数()g x 的零点； （2）对于常数c ，讨论函数()f x 的单调性； （3）当0c，若对于函数()f x 满足()()f x a f x +>恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）1x =或1x =-；（2）当1c ≥，单调递增；当11c -≤<，在(,]c -∞上递增，[,1]c 上递减，[1,)+∞上递增；当1c <-，在(,1]-∞-递增，[1,1]-递减，[1,)+∞递增；（3）a >【解析】【分析】（1）将0c ，求得3()3||1f x x x =-+，利用图象变换原则求得3()(1)31g x x x =+-+，分类讨论去掉绝对值符号，求得函数的零点；（2）将函数解析式中的绝对值符号去掉，得到分段函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性；（3）化简函数解析式，将不等式转化，找出不等式恒成立的关键条件，得到结果.【详解】（1）因为0c ，所以3()3||1f x x x =-+， 根据题意，可得3()(1)31g x x x =+-+，令()0g x =，即3(1)310x x +-+=，当10x +≥时，原式化为2(1)(22)0x x x ++-=，解得1x =-或1x =，当10x +<时，原式化为2(1)(24)0x x x +++=，无解，所以函数()g x 的零点为1x =或1x =-； （2）333331,()31331,x x c x c f x x x c x x c x c⎧-++≥=--+=⎨+-+<⎩，当x c ≥时，3()331f x x x c =-++， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，当x c <时，3()331f x x x c =+-+， 2'()33f x x =+， 所以当1c ≥时，'()0f x ≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，当11c -≤<时，令'()0f x ≥，解得x c ≤或1x ≥，所以()f x 在(,]c -∞和[1,)+∞上单调递增，令'()0f x <，解得1c x ≤≤，所以所以()f x 在[,1]c 上单调递减。

2019-2020学年上海市川沙中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．设{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由12a a <，可得1(1)0a q ->，解得101a q >⎧⎨>⎩或101(0)a q q <⎧⎨<≠⎩，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解，得到答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则12a a <，可得1(1)0a q ->，解得101a q >⎧⎨>⎩或101(0)a q q <⎧⎨<≠⎩， 此时数列{}n a 不一定是递增数列；若数列{}n a 为递增数列，可得101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与单调性，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记等比数列的单调性的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．已知数列{}n a 是等差数列，若9120a a +>，10110a a ⋅<且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取最小正值时，n 等于（ ） A ．10 B ．11C ．20D ．21【答案】C【解析】由等差数列的性质与求和公式可得100a >，110a <，又可得2111210S a =<，且()20101191210()100S a a a a =+=+>，进而可得n S 取得最小正值时n 等于20． 【详解】因为9120a a +>，∴由等差数列的性质可得91211100a a a a +=+>，又10110a a <，10a ∴和11a 异号， 又数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，∴数列{}n a 是递减的等差数列，100a ∴>，110a <， 2111210S a ∴=<()()2012091210100S a a a a =+=+>n S ∴取得最小正值时n 等于20故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质以及等差数列的单调性，考查等差数列的前n 项和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 3．下列命题中，错误的命题是（ ）A ．若(5,12)(0)P t t t ->为α终边上一点，则5cos 13α=； B ．α是ABC 的一个内角，且2sin cos 3αα+=，则ABC 必为钝角三角形； C ．存在无数个α，满足sin cos 2αβ+=，且cos cos 0αβ⋅= D ．存在无数个α，满足sec 3α=且2sin 3α= 【答案】D【解析】根据三角函数定义计算即可判断A;根据同角三角函数关系即可判断B;根据三角函数有界性可判断C; 根据同角三角函数关系即可判断D. 【详解】若(5,12)(0)P t t t ->为α终边上一点，则55cos 1313t t α===，A 正确；245sin cos 12sin cos 2sin cos 0399αααααα+=∴+=∴=-<(0,)sin 0,cos 0απαα∈∴>∴<∴ABC 必为钝角三角形；B 正确；sin cos 2sin cos 1cos 0αβαβα+=∴==∴=，cos cos 0αβ∴⋅=，C 正确；22114sec 3cos cos sin 1399αααα=∴=∴+=+<，所以D 错误；故选：D 【点睛】本题考查三角函数定义、同角三角函数关系、三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属基础题,4．无穷数列{}n a 中12,,,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列，122,,,m m ma a a ++是首项为12公比为12的等比数列()*3,m m N ≥∈，对任意*n N ∈，均有2n mn a a 成立．若971128a =，则m 的值有多少个（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】由971128a =知等比数列部分最少7项，即7m ≥ ,由7297m km ++=，对k 进行赋值，可求得m 的取值集合. 【详解】 ∵1a ，2a ，，m a 是首项为10，公差为2-的等差数列，∴212,1n a n n m =-+≤≤，122,,,m m m a a a ++是首项为12，公比为12的等比数列，∴1,122n mn a m n m -⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，对任意*n N ∈，均有2nmn a a 成立，所以{}n a 是以2m 为周期的数列，971128a =，则7m ≥,7297m km ++=，0,1,2,4k =时，90,30,18,10m =， 即m 的值有4个.故选：A. 【点睛】本题考查分段数列，以及数列的周期性，考查等差和等比数列的应用，考查了逻辑推理能力和运算能力, 属于中档题.二、填空题5．函数22()cos sin f x x x =-的最小正周期为 ． 【答案】π【解析】试题分析： 因为()cos 2f x x =，所以函数f(x)＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为2.2T ππ== 【考点】三角函数的周期 6．在等比数列{}n a 中，353,6a a ==，则7a =_______．【答案】12【解析】根据等比数列下标和性质可解得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，33a =，56a =2537a a a ∴=⋅即2763a =解得712a = 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的性质若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，属于基础题. 7．若3cos ,5αα=-为第二象限的角，则sin()πα-=__________．【答案】45【解析】先根据同角三角函数的关系求出sin α，再结合诱导公式即可求出sin()πα-. 【详解】3cos ,5αα=-为第二象限的角，4sin 5α∴==， 4sin()sin 5παα∴-==.故答案为：45. 【点睛】本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.8．若2211100211012nn n a n n n ⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨+⎪≥⎪⎩，则lim n n a →∞=___________． 【答案】12【解析】根据趋势得221lim lim 2n n n n a n →∞→∞+=，再化简即可得极限.【详解】因为2211100211012nn n a n n n ⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨+⎪≥⎪⎩，所以222111lim lim lim )221(22n n n n n a n n →∞→∞→∞+==+= 故答案为：12【点睛】本题考查数列极限，考查基本分析求解能力，属基础题. 9和__________． 【答案】2±【解析】根据等比中项定义直接求解. 【详解】2=±故答案为：2± 【点睛】本题考查等比中项，考查基本分析求解能力，属基础题.10．方程2cos 10x +=在[0,2]π上的解x =_________． 【答案】24,33ππ【解析】根据余弦函数性质以及特殊角三角函数值直接求解. 【详解】12cos 10cos 2x x +=∴=-因为[0,2]x π，所以24,33x ππ= 故答案为：24,33ππ 【点睛】本题考查简单三角方程、余弦函数性质，考查基本求解能力，属基础题.11．已知数列{}n a 满足：11a =，()*132n n a a n N +=+∈，则n a =______.【答案】1231n -⋅-【解析】利用待定系数法得出数列{}1n a +是以2为首项，以3为公比的等比数列，可求出等比数列{}1n a +的通项公式，即可求出n a . 【详解】设()13n n a x a x ++=+，可得132n n a a x +=+，22x ∴=，得1x =，()1131n n a a +∴+=+，则1131n n a a ++=+，且112a +=.所以，数列{}1n a +是以2为首项，以3为公比的等比数列，1123n n a -∴+=⋅，因此，1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查利用待定系数法求数列的通项，同时也考查了等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 12．等差数列{}n a 中，253,25a S ==．则7a =________．【答案】13【解析】列首项与公差方程组，解得结果，再根据等差数列通项公式求7a . 【详解】设公差为d ，251113,253,554252a S a d a d ==∴+=+⨯⨯=解得711,21(71)213a d a ==∴=+-⨯=故答案为：13 【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 13．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项11a =，且124a a a 、、成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为n a =________． 【答案】n【解析】根据条件列公差方程，解得结果，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设公差为,(0)d d ≠因为124a a a 、、成等比数列，所以22214(1)1(13)a a a d d =∴+=⨯+2011(1)1n d dd d a n n ∴=≠∴=∴=+-⋅=故答案为：n a n = 【点睛】本题考查等差数列与等比数列简单综合，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知111,2n n a a a +==，若(1)n n n b a n =+-⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S =______．【答案】1028【解析】由题可知{}n a 为等比数列，求出{}n a 的通项公式，即可写出{}n b 的通项公式，利用分组求和法即可求出前10项和. 【详解】111,2n n a a a +==，{}n a ∴是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，121nn nb n ，则910124212310S1011251102812.故答案为：1028. 【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查分组求和法求数列的前n 项和，属于基础题.15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan9θ=，则点A 的坐标为________． 【答案】(0,2)或(0,16)【解析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16故答案为：(0,2)或(0,16) 【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题. 16．将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像，若函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为_______________． 【答案】35,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据图象变换求出()f x 解析式，再结合正弦函数的性质建立不等式，即可求出ω的取值范围.【详解】将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得()sin 4y f x x πω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心， 由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,4424x ，3242，解得3522. 故答案为：35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及根据相关性质求参数，属于中档题.三、解答题17．2()sin 22cos f x x x =+ （1）求()f x 的递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()f x 的值域．【答案】（1）3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）⎡⎣. 【解析】（1）化函数()f x 为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出()f x 的单调增区间；（2）求出0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时2+4x π的取值范围，从而得出sin(2+)4x π的取值范围，进而可得()f x 的值域． 【详解】函数2()sin 2+2cos 22+1+)+14f x x x x x x π===），（1）令22+2,242k x k k πππ-+π≤≤+π∈Z ， 解得3,88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin(2+)42x π⎤∴∈⎥⎣⎦，+)+124x π⎡∈⎣，， ()f x ∴的值域为⎡⎣.【点睛】本题考查了三角函数的图象、单调性、值域等性质的应用，是基础题. 18．已知递增的等差数列{}n a 满足：23146,5a a a a ⋅=+=，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：212112na n n nb a a -+=+⋅，求数列{}n b 前n 项和【答案】（1）n a n =；（2）12221n nn +-++. 【解析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式，解方程组求得1,a d ，进而求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法结合裂项求和法求得数列{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）由于数列为等差数列，故()()11126235a d a d a d ⎧++=⎨+=⎩，解得11,1a d ==，∴()111n a n n =+-⨯=；（2）依题意()()111122212122121nn n b n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪-+-+⎝⎭，所以21111111122212335572121n n S n n ⎛⎫=++++-+-+-++- ⎪-+⎝⎭()1212111221222121n n n n n +-⎛⎫=+-=-+ ⎪-++⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查分组求和法，考查裂项求和法 ，属于中档题.19．某轮船以V 海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60度．轮船从A 处向北航行30分钟后到达B 处，测得油井P 在南偏东15度，且106BP =海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达C 点．（1）求轮船的速度V ；（2）求P C 、两点的距离（精确到l 海里）． 【答案】（1）40海里/小时；（2）56海里 【解析】（1）根据正弦定理列式求解，即得结果； （2）根据余弦定理直接求P C 、两点的距离. 【详解】（1）由正弦定理得11062sin sin sin(6015)VAB PB APB PAB =∴=∠∠-, 40V ∴=海里/小时；（2）由余弦定理得2222cos PC PB BC PB BC PBC =+-⋅⋅⋅∠22(106)40210640cos(1801545)22006=+-⋅⋅--=+56PC ∴≈海里【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在实际生活中应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．已知数列{}n a 满足：111,1nn n a a a a +==+ （1）证明：1na 为等差数列； （2）若数列{}nb 中的前n 项和122n a n S =，求数列{}n b 通项公式；（3）在（2）的条件下，数列{}n c 满足()*2(1)nn nnc n N b -=-∈，是否存在正整数m ，使对任意*n N ∈，都有n m c c ≤？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）11,2n n n n n b -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩；（3）存在正整数5m =【解析】（1）根据等差数列定义，结合条件化简推证即可；（2）先求{}n a 通项公式，代入化简得n S ，再根据和项与通项关系得结果；（3）先确定{}n c 各项符号规律，再探求n c 为正时，单调性变化规律，最后根据单调性确定数列{}n c 最大项，即得结果. 【详解】（1）11111111,11n n n n n n n na a a a a a a a a +++==∴-=-=+ 因此1na 为以1为首项，1 为公差的等差数列； （2）由（1）得1211(21(1)2)1na nnn nn n a S a n因此当1n=时，1n b S ==当2n ≥时，11n n n n nS b S --=-=-因此11,2nn n n n b -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩；（3）122(21)nn n n n n n c b ⎧-=⎪⎪=⎨-=-≥当n 为偶数，且大于2时，n c 为负数；当n 等于2时，n c 为零； 当n 为奇数，且大于2时，n c为正数，此时n c =；2n n c c +-==因此当3n =时，53c c >；当5n ≥，n 为奇数时，25n n n c c c c +<∴≤； 即存在正整数5m =，使对任意*n N ∈，都有n m c c ≤ 【点睛】本题考查证明等差数列、由和项求通项、根据数列单调性求最大项，考查综合分析求解论证能力，属中档题.21．数列{}n a 是等比．．数列，且满足*143,nn n a a n N ++=⋅∈（1）求{}n a 的首项和公比；（2）数列{}n b 对任意*n N ∈，都有{}1122,n n n a b a b a b n b +++=的前n 项和为nT，求lim n n T →∞的值； （3）若()*313log log n n na c n N a +=∈，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【答案】（1）首项和公比都为3；（2）12；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果；（2）先求{}n a 通项，根据和项与通项关系求{}n b 通项，再根据等比数列求和公式求n T ，最后求极限；（3）先化简n c ，再根据解析式特征构造满足条件的两项，即可证得结果. 【详解】（1）设{}n a 的公比为q21322143,43,43,n n n a a a a a a ++=⋅∴+=⨯+=⨯ 211112143,43,3,3a a a a q q q a q ∴+=⨯+=⨯∴==；（2）由（1）得1333n n n a -=⨯=1122112211,1,(2)n n n n a b a b a b n a b a b a b n n --+++=∴+++=-≥因此1(1)1,(2),(2)3n n n n a b n n n b n =--=≥∴=≥； 因为当1n =时111113a b b =∴=，因此11(1)11133(1)132313n n n n nb T -=∴==--从而1lim 2n n T →∞=（3）131333log log 3111log log 3n n n n n a n c a n n+++====+对于数列{}n c 中的任意一项11n+,总存在数列{}n c 中两项111n ++与11(2)n n ++，使得 11111(1)[1]11(2)1(2)(1)(2)n n n n n n n n n ++=+++++++++ 22211321111(1)(2)(1)(2)n n n n n n n n n n n n++++++=+=+=+++++即数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 【点睛】本题考查等比数列通项公式、求和公式、数列极限、数列应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。

上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−1xB. f(x)=3xC. f(x)=x 2+1D. f(x)=sinx2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )A. (e,+∞)B. (1e ,e)C. (e,+∞)∪(0,1e )D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______12. 已知函数f(x)=log 12(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．16. 已知函数，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④，有.其中正确结论的序号是__________.(写出所有正确结论的序号)三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：(1)y =1+log 2(x −1)(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)18. 已知函数f(x)=a x −1a x +1(a >1)．(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．20.已知函数f(x)=√x2−1+p．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．逐项判断即可．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；解：A.f(x)=−1xB.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．故选：A．2.答案：C解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1，e故选C根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．3.答案：C解析：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即，∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；对于③，令x=0得f(13)+13f(0)=0，所以，若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,13)上必有实数根，因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“13−特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以及数形结合思想，属于中档题．f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得m=|x|+1x ，构造函数g(x)=|x|+1x，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，当x =0时，方程不成立，即x ≠0，则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，当x >0时，g(x)=x +1x ，则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，作出函数g(x)的图象如图：要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，故实数m 的取值范围是(2,+∞)，故选：B ． 5.答案：[13,1)解析：本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0， 解得13≤x <1，因此函数的定义域为[13,1)．故答案为[13,1)． 6.答案：−1解析：利用奇函数的性质即可得出．本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数，∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a−x +x2+(a+1)x+ax=0，化为(a+1)x=0，∴a+1=0，解得a=−1．故答案为：−1．7.答案：(2,1)解析：本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．熟练掌握是解决此类问题的关键．解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．8.答案：20解析：本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．解：∵3a=4,3b=5，∴3a+b=3a×3b=20．故答案为20．9.答案：f(x)=x2−x+1解析：本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，从而有f(x)=x 2−x +1．故答案为f(x)=x 2−x +1．10.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．解：函数f(x)为幂函数，所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，综上可知m =1，故答案为1．11.答案：−2解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．故答案为：−2．推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：[5,+∞)解析：本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log 12(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，y=log 12x也是递减的，所以f(x)=log12(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．故答案为[5,+∞)．13.答案：[134,4]解析：本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，为增函数，∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a2，∴a2⩽2且−42+4a+3⩾0，解得：134⩽a⩽4，∴a的范围是[134,4]．故答案为[134,4]．14.答案：解析：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).故答案为．15.答案：(−∞,7]解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2x+1)，因为y =1−2x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④解析：因为：，所以，所以①不正确，②正确；因为y =ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以，有，所以④正确．所以答案应填：②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)f(x)=1−2a x+1，令m<n，则f(m)−f(n)=1−2a m+1−1+2a n+1=2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)，∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，故2(a m−a n)(a n+1)(a m+1)<0，故f(m)−f(n)<0，故f(x)在R递增；(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，又f(−x)=a −x−1a−x+1=−a x−1a x+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k5=8，∴k=40．则C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x，x∈[0,10]；(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，f(x)=8003x+5+6x=8003x+5+(6x+10)−10≥2√8003x+5⋅(6x+10)−10=80−10=70．当且仅当8003x+5=6x+10，即x=5取等号．∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =12，∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0，解出a 即可．21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。

2019-2020学年上海市高一（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“x2<1”是“x<1”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是()A. y=1xB. y=e−xC. y=1−x2D. y=x23.设函数f(x)=e x−e−x，g(x)=lg(mx2−x+14)，若对任意x1∈(−∞,0]，都存在x2∈R，使得f(x1)=g(x2)，则实数m的最小值为()A. −13B. −1 C. −12D. 04.设f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，且A={x|x=f(x),x∈R}，B={x|x=f[f(x)],x∈R}，如果A是只有一个元素的集合，则A与B的关系为()A. A=BB. A⫋BC. B⫋AD. A∩B=⌀第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数y=ln(3−2x)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x2，(x<−2)的反函数是______ ．7.设实数a满足log2a=4.则log a2=______ ．8.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m=______ ．9.函数y=log2[(x−2)2+1]的单调递增区间是________10.方程：log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)的解为______ ．11.已知关于x的方程2kx2−2x−5k−2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是______．12. 已知a >0且a ≠1，设函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1，则实数a 的取值范围为____________．13. 设f(x)的反函数为f −1(x)，若函数f(x)的图象过点(1,2)，且f −1(2x +1)=1，则x =__________．14. 已知函数f(x)=2|x |+x 2在区间[−2,m]上的值域是[1,8]，则实数m 的取值范围是__________．15. 若关于x 的方程ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)有实根，实数m 的取值范围是______ ．16. 函数f(x)=lnx −14x +34x −1.g(x)=−x 2+2bx −4，若对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 设函数f (x )=4x 2+4x， (1)用定义证明：函数f (x )是R 上的增函数；(2)化简f (t )+f (1−t )，并求值：f (110)+f (210)+f (310)+⋯+f (910)；(3)若关于x 的方程k ⋅f (x )=2x 在(−1,0]上有解，求k 的取值范围．18. 设集合A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}，B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}，求A ∩B ．19.某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格(单位：万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示．(1)写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．20.求下列函数的定义域(1)．f(x)=log3(x−5)(2)f(x)=√x+2+11−x21.已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b,(a≠0,b>1)在区间[2,3]上的最大值为4，最．小值为1，设函数f(x)=g(x)x(1)求a,b的值及函数f(x)的解析式；(2)若不等式f(2x)−2x−k≥0在x∈[−1,1]时恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，基础题．根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案．【解答】解：由x2<1解得−1<x<1⇒x<1，但x<1不能推出−1<x<1，所以“x2<1”是“x<1”成立的充分不必要条件．故选A．2.【答案】D是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)【解析】解：y=1x上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵f(x)=e x−e−x在(−∞,0]为增函数，∴f(x)≤f(0)=0，∵∃x2∈R，使f(x1)=g(x2)，∴g(x)=lg(mx2−x+1)的值域包含(−∞,0]，4)，显然成立；当m=0时，g(x)=lg(−x+14)的值域包含(−∞,0]，当m≠0时，要使g(x)=lg(mx2−x+14的最大值大于等于1，则mx2−x+14∴{m<04m×14−(−1)24m≥1，解得−13≤m<0，综上，−13≤m≤0，∴实数m的最小值−13故选：A．由题意求出f(x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1)=g(x2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的相等，但关键难点是二次函数和复合函数的的解的问题，属中高档试题，难度较大，A只有一个元素，所以f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x= (x−x0)2，f(x)=(x−x0)2+x，由此得出f[f(x)]=x，化简并提取公因式，可以证明此方程也有且只有一个零点x0，即可证明A=B．【解答】解：∵A只有一个元素，∴f(x)=x只有一个实数解，记作x0，则f(x)−x=x2+(b−1)x+c=(x−x0)2，∴f(x)=(x−x0)2+x，∴f[f(x)]=[(x−x0)2+x−x0]2+[(x−x0)2+x]=(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x，令f[f(x)]=x，即(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2+x=x(∗)，则(x−x0)4+2(x−x0)3+2(x−x0)2=0，即[(x−x0)2+2(x−x0)+2](x−x0)2=0，∵(x−x0)2+2(x−x0)+2=0的判别式△=4−8=−4<0，∴无解，∴方程(∗)也只有一个实数解x0，综上所述A=B，故选A．5.【答案】(−∞,32)【解析】解：由3−2x>0，得x<32．∴原函数的定义域为(−∞,32).故答案为：(−∞,32).直接由对数式的真数大于0求解x的取值范围得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．6.【答案】y=−√x,(x>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数f(x)=x2，(x<−2)，则y>4．可得x=−√y，所以函数的反函数为：y=−√x,(x>4)．故答案为：y=−√x,(x>4)．7.【答案】14【解析】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴log a2=log162=lg2lg16=lg24lg2=14．故答案为：14．利用对数性质、运算法则、换底公式求解．本题考查对数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则、换底公式的合理运用．8.【答案】−1【解析】解：知m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性．本题考查幂函数的定义：形如y=xα的函数是幂函数；考查幂函数的单调性与α的正负有关．9.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性.设t=(x−2)2+1，则y=log2t，分别找出函数t和y 的单调区间，利用同增异减即可求出结果．【解答】解：∵函数y=log2[(x−2)2+1]，∴函数的定义域为R，设t=(x−2)2+1，则y=log2t，∵t在x∈(−∞,2)上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，又∵y=log2t在定义域上单调递增，∴函数y=log2[(x−2)2+1]的单调增区间为[2,+∞)．故答案为[2,+∞)．10.【答案】{log23}【解析】解：由22x+1−6>0，得2×4x>6，即4x>3，则方程等价为log2(22x+1−6)=x+log2(2x+1)=log22x+log2(2x+1)=log22x(2x+1)，即22x+1−6=2x (2x +1)，即2(2x )2−6=(2x )2+2x ，即(2x )2−2x −6=0，则(2x +2)(2x −3)=0，则2x −3=0即2x =3，满足4x >3，则x =log 23，即方程的解为x =log 23，故答案为：{log 23}根据对数的运算法则进行化简，指数方程进行求解即可．本题主要考查对数方程的求解，根据对数的运算法则进行转化，结合指数方程，一元二次方程进行转化求解是解决本题的关键．11.【答案】(−∞,−43)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：令f(x)=2kx 2−2x −5k −2，因为关于x 的方程2kx 2−2x −5k −2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1， 则函数f(x)有两个不同的零点，且一个小于1，一个大于1．显然k ≠0，且{k <0f(1)=−3k −4>0或{k >0f(1)=−3k −4<0, 解出k <−43或k >0．故答案为(−∞,−43)∪(0,+∞)． 12.【答案】[13,1)【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，函数的最值，以及对数函数的性质，属于中档题.直接求解即可．【解答】解：∵函数f(x)={x −2,x ⩽32+log a x,x >3的最大值为1， ∴函数f(x)存在最大值，则由对数函数的性质可知0< a <1，且， 即，即a ≥13， 所以13≤a <1，故答案为[13,1)． 13.【答案】12【解析】由题意函数f(x)的图象过点(1,2)，则其反函数的性质一定过点(2,1)，又f −1(2x +1)=1，故2x +1=2，解得x =12． 14.【答案】[0,2]【解析】【分析】本题考查根据函数值域求参数范围，属于基础题．判断f(x)的奇偶性，再根据单调性求解即可．【解答】解：函数f(x)=2|x |+x 2是R 上的偶函数，当−2≤x ≤0时，函数递减，所以f(−2)=8,f(0)=1，所以可得0≤m ≤2．故答案为[0,2]．15.【答案】(2,6]【解析】解：由题意，{x −2>05−x >0， 解得，2<x <5；ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)可化为(x −2)(5−x)=m −x ；故m =−x 2+8x −10=−(x −4)2+6；∵2<x <5，∴2<−(x −4)2+6≤6；故答案为：(2,6]．由题意得{x −2>05−x >0，从而解得2<x <5；从而化ln(x −2)+ln(5−x)=ln(m −x)为(x −2)(5−x)=m −x ；从而求解．本题考查了方程的根与函数图象的关系应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,√142]【解析】 【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的定值 【解答】由对任意的x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]不等式f(x 1)≥g(x 2)恒成立， 可得f min (x 1)⩾g max (x 2)，又f(x)=lnx −14x +34x −1，易得f ′(x )=−(x−1)(x−3)4x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上递减， 当1<x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在(1,2)上递增， 故f min (x )=f (1)=−12．g(x)=−x 2+2bx −4=−(x −b )2+b 2−4，当b ≤1时，g (x )在[1,2]上递减，故g max (x )=g (1)=2b −5≤−12，得b ≤94，又b ≤1，故b ≤1；当1<b <2时，g max (x )=g (b )=b 2−4≤−12，得−√142<b ≤√142，又1<b <2，故1<b ≤√142； 当b ≥2时，g (x )在[1,2]上递增，故g max (x )=g (2)=4b −8≤−12，得b ≤158，又b ≥2，故无解；综上所述，b 的取值范围是 (−∞,√142]．17.【答案】(1)证明：设任意x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=4x 12+4x 1−4x 22+4x 2=2(4x 1−4x 2)(2+4x 1)(2+4x 2)， ∵x 1<x 2，∴4x 1<4x 2,∴4x 1−4x 2<0，又2+4x 1>0，2+4x 2>0．∴f(x 1)−f(x 2)<0， ∴f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在R 上是增函数； (2)对任意t ，f(t)+f(1−t)=4t 2+4t +41−t 2+41−t =4t 2+4t +42⋅4t +4=2+4t 2+4t =1，∴对于任意t ，f(1)+f(1−t)=1，(110)+f(910)=1，f(210)+f(810)=1，∴f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)=4+f(510)=92，(3)根据题意可得4x 2+4x·k =2x ，∴k =2+4x 2x，令t =2x ∈(12,1]，则k =t +2t ，且在(12,1]单调递减， ∴ k ∈[3,92)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力． (1)根据函数单调性定义进行证明；(2)根据指数幂的运算法则进行化简可得f(1)+f(1−t)=1，即可求出f(110)+f(210)+f(310)+⋯+f(910)的值， 方程k ⋅f(x)=2x 可化为：4x 2+4x ·k =2x ，令t =2x ∈(12,1]，则可分离出参数k ，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域．18.【答案】解：A ={x|log 12(x 2−5x +6)=−1}={x|x 2−5x +6=2}={1,4}， B ={x|a x−2<(1a )2x−7,a >1}={x|a x−2<a 7−2x }={x|x −2<7−2x}={x|x <3}，∴A ∩B ={1}．【解析】解对数方程求得A ，解指数不等式求得B ，再根据两个集合的交集的定义求得A ∩B ．本题主要考查对数方程、指数不等式的解法，两个集合的交集的定义，属于中档题．19.【答案】解：(1)由函数图象可知：当5⩽x ⩽8时，Q =−52x +25；当8<x ⩽12时，Q =−x +13；所以得到分段函数Q ={−52x +25,5⩽x ⩽8−x +13,8<x ⩽12; 设月利润与商品每吨定价x 的函数为f (x )，则根据题意得f (x )=Q (x −5)−10， 即f (x )={(−52x +25)(x −5)−10,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12={−52(x −152)2+458,5⩽x ⩽8−(x −9)2+6,8<x ⩽12，所以当5⩽x ⩽8时，在x =125，f (x )的取值最大，f (125)=458；当8<x ⩽12时，在x =9，f (x )取值最大，f (9)=6． 所以，当x =9时，f (x )取最大值为6．综上：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，函数的最值，二次函数的性质，属于中档题． (1)看函数图象知，函数是分段函数，所以分别求两段区间的函数．(2)根据题意得到利润函数式为f (x )=Q (x −5)−10，然后把函数Q (x )展开就又得到利润的分段函数，再分别求两个区间的最大值，然后作比较就可以得到整个函数的最大值，即最大利润．20.【答案】(1)解：根据题意得，x −5>0，解得x >5，即定义域为{x|x >5}(2)解：根据题意可得，{x +2≥01−x ≠0，解得x ≥−2且x ≠1，即定义域为{x|x ≥−2且x ≠1}.故答案为{x|x ≥−2且x ≠1}.【解析】(1)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．(2)本题主要考查了函数的定义域，属于基础题．21.【答案】解：(1)由于二次函数g(x)=ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x =1，由题意得：当a >0,{g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0(舍去)当a <0,{g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1∴a =−1,b =3 故g(x)=−x 2+2x +4,f(x)=−x +4x +2 (2)法一：不等式f(2x )−2x −k ≥0，即−2x +42x +2−2x ≥k ，∴k ≤−2⋅2x +42x +2设g(x)=−2⋅2x+42x+2，在相同定义域内减函数加减函数为减函数所以g(x)在[−1,1]内是减，故g(x)min=g(1)=0．∴k≤0，即实数k的取值范围为(−∞,0]．法二：不等式f(2x)−2x−k≥0，即−2x+42x+2−2x−k≥0，∴−2x⋅(2x)2+(2−k)⋅2x+4≥0，令t=2x∈[12,2]，∴化为g(t)=−2⋅t2+(2−k)⋅t+4≥0恒成立，因为g(t)图像开口向下．故只需{g(12)≥0 g(2)≥0。