线代作业标准1

《线性代数》考核的内容和要求第一章行列式1．考核目的熟练掌握行列式的性质，并用来计算行列式的值2．考核的知识点n阶行列式的递归定义；余子式、代数余子式的概念行列式的性质利用行列式的性质计算行列式克莱姆法则及其推论3．考核要求了解行列式的定义，了解余子式、代数余子式的概念，会求余子式和代数余子式了解行列式的概念掌握利用行列式的性质计算三、四阶字母行列式的计算方法及四阶、五阶数字行列式的计算方法；了解克莱姆法则的条件、结论，掌握克莱姆法则关于齐次线性方程组的推论。

第二章矩阵1．考核目的了解矩阵及其相关概念，能熟练的进行相关的运算2．考核的知识点矩阵的定义，矩阵的相等矩阵的加法，数乘矩阵，矩阵彻骨您发及其矩阵代数运算的性质，方阵的幂，零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，正交矩阵矩阵的转置及其运算规律，对称矩阵。

方阵乘积的行列式可逆矩阵：可逆矩阵的定义及性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵方程分块矩阵：分块矩阵的概念，分块矩阵的加法，数乘分块矩阵，分块矩阵的乘法，转置，简单可逆分块矩阵的逆矩阵。

初等行变换和初等矩阵：矩阵初等行变换的定义，初等矩阵及其作用，用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵。

3．考核要求理解矩阵的概念，了解矩阵相关的概念掌握矩阵的加法，数乘矩阵，矩阵的乘法，转置的运算及其运算规律了解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵，会解矩阵方程了解分块矩阵的概念，会做分块矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算，会求简单可逆分块矩阵的逆矩阵理解矩阵的初等行变换、初等矩阵的概念及其之间的关系，掌握用初等行变换求逆矩阵的方法。

第三章线性方程组1.考核目的2.考核知识点线性方程组的高斯消元法n维向量的定义，向量的线性运算，向量的线性组合，线性表示，判断一个向量是否为另一些向量的线性组合，向量的线性组合系数的求法向量组线性相关、线性无关的定义、性质及判别方法向量组的极大线性无关组和向量组的秩的定义及其求法k阶子式，矩阵的秩的定义及求发，向量组的秩和矩阵秩的关系线性方程组有解判别定理，解的情况讨论，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件齐次线性方程组解的性质，齐次线性方程组解的结构，基础解系，同阶的定义及求法非齐次线性方程组解的性质，非齐次线性方程组解的结构，通解的定义及其求法。

线性代数标准化作业答案第一章：行列式基础必做题：（一） 一、填空题：1、3，n （n-1）；2、1222+++c b a ；3、70，-14；4、-3M ；5、1 二、选择题：1、C2、D3、D4、A5、C 三、计算题： 1、解：原式1111001)1()1(11111C 12111++++=--⋅-⋅-+--⋅-++cd ad ab abcd dc dc ba （）（展开按2、解：原式31323121)c b a ()c b a (000)c b a (0111)c b a (2cr r 2br r ba c 2c2c2b a c b 2b111)c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c ccb ac b b c b a c b a c b a r r r r四、解：))()()((0000001)(1111)()(c x b x a x c b a x cx bc ab b x a b a xc b a c b a x xcbc x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++=因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。

基础必做题（二） 一、填空题：1、6，8；2、0；3、0，0；4、4；5、24 二、选择题：1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、A,B,D 三、1、解：原式1)1)(1(10001011111)1(011111110111111)1(---=---=-=n n n n2、解：原式[][][]1)()1(00001)1(111)1(--⋅-+=---+=-+=n b a b n a ba b a b b b b n a abbb b a b b b b n a四、解：0111144342414==+++dbac bd d b c c b a A A A A五、解：1,0,1,20281142102,0321112112,20382141101,2038114202321321=======-==---==--==---=DD z DD y DD x D D D D 故提高选做题： 一、证明： 证法1：12113(0)2240,(1)22401111f f ====- 由罗尔定理知，至少存在一点ξ，使得()0,(0,1)f ξξ'=∈，故有一个小于1的正根。

经济数学基础线性代数标准化作业吉林大学数学中心2006.2学院班级姓名学号第一章作业（行列式）1、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --=----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）1111111111111111a a D b b +-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=≠++；（7）102200302004D= 。

2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，求m、k的值。

3、用克拉默法则解方程组123123123241,52,4 3.x x x x x x x x x+-=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩4、已知齐次线性方程组有非零解，求λ。

123123123230,220,50.x x x x x x x x xλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（矩阵）1、是非题（设A 、B 、C 均为n 阶的方阵） （1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2； （ ） （2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵； （ ） （3）若A 2=O ，则A =O ； （ ） （4）若AB =O ，则A =O ，或B =O ； （ ） （5）(ABC )T = C T B T A T 。

（ ）2、填空题（1）设3阶方阵Ｂ≠0，A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ,且AB =0，则t ＝ ；（2）设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛543022001，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ;（3）设A 为4阶数量矩阵，且|A |=16,则A ＝ ，A 1-＝ ， A *＝ ;（4）设A 1-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8642，则A ＝ ，│4A 1-│＝ ，(A T )1-＝ ; （5）设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝ ，A 1-＝ ; （6）设实矩阵A 33⨯＝≠)(ij a 0，且011≠a ，ij ij A a =（ij A 为ij a 的代数余子式），则│A │＝ ;（7）设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝1B＝21，则1(2)--O B A O ＝ ;（8）设A 为四阶可逆方阵，且│A 1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │＝ ;（9）设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133121，且A 6＝E ，则A 11＝ ； （10）设A 为5阶方阵，且A 2 = O ，则R （A *）=___________.3、选择题（1）设同阶方阵A 、B 、C 、E 满足关系式ABC =E ，则必有（ ） （A ）ACB =E ； （B ） CBA =E ； （C ） BAC =E ； （D ） BCA =E 。

《线性代数》作业参考答案一、选择题1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．B 9 ．A 10．C 11．D 12．B 二、填空题1．相等2．;kn k m C C ⋅3．n 个线性无关的特征向量； 4．不变 5．t=-3 6．B AP P =-17．n n n λλλ 212)1()1(--8．1=k 9．1≠λ且2≠λ 10．2，-211．k=75-12．04321=+++a a a a13. -9 ； 14. 3 ； 15. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-03100302100201410001A 16. 81； 17. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212424212299； 18. 2；三、证明题1．证：由题设A 是三阶方阵，41=A ， 223131111)41(1)41()41(4121)2(A A A A A A A A A ==⋅===⋅-=-----*-。

2．证：由0432=--E A A ，即：E A A 432=-E E A A 4)3(=- E E A A =-)4341( 即A 可逆，且E A A 43411-=-。

3．证：由题设：E A A AA TT== E B B BB TT==所以2()()T T T T TA B BB A BA A B B A A B B A A A A B +=+=+=⋅+=-+即：0)1(2=++B A A 只有0=+B A 证毕。

4．因r n i A b A i -===,,2,1,0,0 γγ，则,b A i =η因此r n -ηηηη,,,,210 是方程组(*)的线性无关解。

设,0221100=++++--r n r n ηληληληλ 则,0)(2211010=+++++++---r n r n r n γλγλγληλλλ 两边左乘A 得，,0)(10=+++-b r n λλλ 有,010=+++-r n λλλ 于是,02211=+++--r n r n ηληληλ 可得r n -ηηηη,,,,210 线性无关。

第一章 行列式一、填空题1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列3421的逆序数为 5 ，32514的逆序数 为 5 .2.四阶行列式中含有因子a a 2311的项44322311a a a a -，42342311a a a a .3.按定义，四阶行列式有!4项，其中有12项带正号，有12项带负号.4.在函数xx x xxx f 21112)(---=中，x 3的系数是2-. 5. =cb ac ba222111))()((b c a c a b ---.6.设21132113---=D ，A ij 为元素a ij 的代数余子式)3,2,1,(=j i ，则=-+A A A 3323134237.二、选择题1. 四阶行列式a b a b b a b a 44332211000的值等于（ D ）（A ） b b b b a a a a 43214321- （B ） b b b b a a a a 43214321+（C ） ))((43432121b b a a b b a a -- （D ） ))((41413232b b a a b b a a --2.设1211123111211)(xx x xx f -=，则x 3的系数为 （ C ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 3.在五阶行列式)det(a ij 中，下列各项中不是)det(a ij 的项为 （ A ） （A ）a a a a a 5552214331 （B ）a a a a a 5412452331- （C ）a a a a a 5145342312 （D ）a a a a a 33522514414.行列式1111111111111111--+---+---x x x x 的值为 （ D ）（A ）0 （B ）22)1()1(-+x x （C ）2x （D ）4x三、计算题1.265232112131412- 21r r +=====2652321260514120=（因有两行相同）；2.ef cfbfde cd bdaeac ab--- 123r ar dr f ÷=====÷÷e cbe c be c b adf ---123c b c c c e÷=====÷÷111111111--- 2131 r r r r +=====+abcdef abcdef 402200111=-；3.dc b a1110011001--- 12r ar +=====dc b a ab 1110011010---+1c =====dc a ab11101--+32c dc +=====10111-+-+cd c ada ab3r =====cdad ab+-+111ad cd ab +++=)1)(1(；四、证明题1.322)(11122b a b b a abab a-=+ 证 1112222b b a abab a+1323c c c c -=====-102)(22222b b a b a bb ab ba ----122c c -=====120)(222b b a bb ab b a --- 3)(b a -=；2.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a证=++++++++++++2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(d d d dc c c c b b b b a a a a433221c c c c c c -=====--5232125232125232125232122222++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a4332c c c c -=====-022122212221222122222=++++d dc cb b a a（因有两列相同）；3.0111121100000100001a x a x a x a a a a a a x x x n n nn nn ++++=------证 递推法，按第一列展开，建立递推公式111)1(021-*---+=++x xa xD D n n n=0022)1(a xD a xD n n n +=-++又 n a D =1，于是=+1n D 0a xD n +011)(a a xD x n ++=+0112a x a D x n ++=-= =01111a x a x a D x n n n++++-- .0111a x a x a x a n n n n ++++=--五、计算题1.x a a a x a a a xD n=解xaaax a a a xD n =121[(1)]nr r r r x n a +++=====÷+- ])1([a n x ++xaaa x a11112,,i c ac i n-====== ])1([a n x ++ax ax --111].)1([)(1a n x a x n -+-=-2.1111)()1()()1(1111n a a a n a a an a a a D n n n nnnn ------=---+，提示：利用范德蒙德行列式的结果解 将行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将行列式左右翻转，由于上下翻转与左右翻转交换次数相等，故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变.于是，利用范德蒙德行列式的结果，可得nnnn an a n a a n a n a D)1()(11111+--+--=+∏+≤<≤-=11).(n i j j i3.nnnnn d c d c b a b a D11112=，其中未写出的元素都是0解 nD 22222n n r r c c ↔=====↔)1(20-n nn n n D d c b a )1(2)(--=n n n n n D c b d a即有递推公式n D 2)1(2)(--=n n n n n D c b d a又111111112c b d a d c b a D -==，利用这些结果递推得n D 2 )(n n n n c b d a -=.)()(11111∏=-=-nk k k k k c b d a c b d a4.nn a a a D +++=11111111121，其中021≠n a a a解 122123323110000100010001000100001n n n nna a a c c a a D c c a a a a -----=====---+1112131211111211000001000001000000100011()(1)n n n ii nn i ia a a a a a a aa a a a------===+=+∑∑5.问λ，μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213.21321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 方程组的系数行列式必须为01211111μμλ=D 32r r -=====)1(01111--=λμμμλ故只有当0=μ或1=λ时，方程组才可能有非零解.当0=μ，原方程组成为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0031321x x x x x λ 显然1,1,1321-=-==x x x λ是它的一个非零解. 当1=λ，原方程组成为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003213.21321x x x x x x x x x μμ 显然1,0,1321==-=x x x 是它的一个非零解. 因此，当0=μ或1=λ时，方程组有非零解.第一章 练习题1.381141102--- 解 利用对角线法则3108)1(2)1()4(1811)1()1(03)4(2⨯⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯=D4-=；2.yxyx x y x y y x y x+++解 利用对角线法则)(2)()()()(33333y x y x y x yx y x y x yx y y x x D +-=--+-+++++=；3.7110251020214214解 12r r D ↔=====-71102510421420212131410r r r r -=====--71120215042702021----42r r ↔=====42720215071102021----3242157r r r r +=====+045985170071102021=；4.4321532154215431543254321 解 从最后一行开始，后行减去前行1114111411141114111154321----=D 12,,5i c c i -====== 05100501050015000143211----=D 51215ii c c=+=====∑0500500050005000043213----1875)5(34=-⨯=；5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a ++++++++33332222解 D 414()r r r a b c d +=====÷+++1111)(33332222dcba d cb ad c b ad c b a +++把行列式的最后一行依次与前面的行交换，共交换三次得333322221111)(dcbad c b a d c b a d c b a D +++-=))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-=6.证明na a a 111121)1(2132∑=-=ni in a a a a a ，其中 021≠n a a a证 化行列式为下三角形行列式D 112,iinr r a i n -====== na ab *002n a a ba 32=其中，∑=-=ni ia ab 211，于是).1(2132∑=-=ni in a a a a a D7.=n D )det(a ij ，其中j i a ij -=解 0321301221011210------=n n n n n n D n 11221n n n n r r r r r r ----=====-- 1111111111111210--------n n 12n n c c c c +=====+ .2)1()1(112001220132121----=---------n n n n n n n8.求满足下列方程的实数z y x ,,：110100011=zy x z y x解 将D 按第一行展开得，,0222=++z y x 解得.0===z y x9. 问λ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(3213.21321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 方程组的系数行列式必须为0λλλ----=111132421D 13r r ↔=====421132111-----λλλ21312(1)r r r r λ-=====--2)1(4301210111λλλλλ--+-----2)1(43121λλλλ--+----=21c c +=====2331λλλλλ----)3)(2(---=λλλ故32,0或=λ，并且当0=λ时，21-=x ，12=x ，13=x ；当2=λ时，21-=x ，32=x ，13=x ；当3=λ时，11-=x ，52=x ，23=x ；均是原方程组的非零解. 因此，当32,0或=λ时，方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算 （一）一．填空题1.设123a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123B b b b = ，则AB =11121212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；BA = 112233()a b a b a b ++；()TAB =112131122232132333a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；T T A B =()TBA ；T T B A = ()T AB .2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121x A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，若BA AB =，则=x 1 ；=y 2 . 3. 设A 为3阶方阵，且2A =-，则2A = 4 ；2T A -= 16 ；*A = 4 .4. 设101A λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则kA =101k λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 5. 设10102011A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而2n ≥为正整数，则12n n A A --= 0 （零矩阵） . 6. 已知3A E =，则1A -=2A .二．选择题1. 设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ D ）. （A ） ACB E = （B ）CBA E = (C) BAC E = （D ）BCA E =2. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足0AB =，则必有 （ C ） （A ） 0A =或0B = （B ）0BA = (C) 0A =或0B = （D ）0A B +=3. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列命题中正确的是 （ D ）（A ）若0≠A 且0≠B ，则0≠AB . （B ）若A 、B 都是对称阵，则AB 是对称阵. (C)若AB 不可逆，则A 、B 都不可逆. （D ）若AB 可逆，则A 、B 都可逆.三．计算与证明题1. 设111111111A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求32AB A -及TA B . 解：32AB A -1111233111124111051⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭21322217204292-⎛⎫⎪=--⎪ ⎪-⎝⎭111123111124111051TA B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭2. 13121400121134131402⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭3. ()111213112312222321323333a a a x x x x a a a xa a a x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111121231312122232313123233323x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫⎪=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++4. 设,A B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明TB AB 也是对称阵. 证明：已知：TA A =则 ()()T T T T T T T TB AB B B A B A B B AB === 从而 TB AB 也是对称阵.第二章 矩阵及其运算 （二）一．填空题1. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B OO AC ，则 =C -1 . 2. 设1200n a a A a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（120na a a ≠ ）. 则1A-=1210101n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 设A 为三阶可逆矩阵，且112301201A-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则A *=123012001---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，则=-*1)(A 10A ；=*-)(1A 10A . 5.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且a A =，b B =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O B A OC ，则=C (1)mnab -. 6．设A 为3阶矩阵，且A ＝12，则1*(2)5A A--=16- .二．选择题1. 设A 为n 阶可逆矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则必有（ A ） （A ） 1n A A-*= （B ） A A *= （C ） nA A *= （D ） 1A A *-=2. 设A 、B 都是n 阶方阵，则下列等式中正确的是 （ D ） （A ）BA AB = （B ）T T T B A AB =)( （C ）111)(---=BA AB （D ）BA AB =3. 已知A 为n 阶方阵，且满足关系式0432=++E A A ，则()=+-1E A ( C )（A ）1AE -+ （B ）12E A +（C ） 12E A --（D ）4A E +三．计算与证明题1. 求下列方阵的逆阵（1） 520021000012011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭解：115221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，221211A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122121113A-⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 112002500120033110033A--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （2） 121342541-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭解：2A =, 故1A -存在 .11AA A -*=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 2. 解下列矩阵方程 (1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：125461321X --⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35461221--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭22308-⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭解：1211113210432111X --⎛⎫-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭22182533-⎛⎫ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭. (3) 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：1110143100100201001001120010X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭210134102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(4) 设,AX B X +=其中01011111,20,10153A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦求.X 解：由,AX B X +=得 ()E A X B -=故 1().X E A B -=- 而 21331213311330()10E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭所以 2133213311330113112020.05311X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3. 设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫=⎪⎝⎭, 1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭, 求11A . 解：1P AP -=Λ故1A P P-=Λ所以11111A P P-=Λ3P =1411P *⎛⎫=⎪-⎝⎭1141113P-⎛⎫=⎪-⎝⎭而 11111110100202--⎛⎫⎛⎫Λ== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故11111414103311021133A⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭27312732683684⎛⎫=⎪--⎝⎭. 4. 设A 为n 阶方阵，并且满足220A A E --=, 证明：A 及2A E +都可逆，并求1A -及()12A E -+.解：由已知得：()12A A EE ⋅-=，故A 可逆，且1A-()12A E =-又()()234A E A E E +-=-,故2A E +可逆，且()12A E -+()134A E =--.5. 设0k A =(k 为正整数),证明 121()k E A E A A A---=++++证明: 由 0k A =有 21()()k E A A AE A -++++-2121k k kE A A AA A AA --=++++----E =因此 121()k E A E A A A---=++++第二章 练习题1. 设A 为4阶方阵，1,3A =求134A A*--.解：111,3A A AA *--==11111343433A A AAA*----∴-=⋅-=-41311(3)81A=-=⋅243.=2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=130210005A ，求1-A . 解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2211A OO A A 51111-=-A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==*-13217112222122A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-71737271∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---717307271000511221111A O O A A. 又 223||1101121A =-=-- ∴ 10010001X -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=121011322A ，解矩阵方程E AXA =*（其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵）.解：||AA A A A E **== AXA A A *∴= ||AX A A = 1||X E A =所以 =-=--11)(6E A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1235. 设A 为n 阶方阵，并且满足20A A E +-=, 证明：A 及A E -都可逆，并求1A-及()1A E --.解：由已知得，()A A E E += 故A 可逆，且1A -A E =+又 ()()2A E A E E -+=- 故A E -可逆，且()1A E --()2A E =-+ A E ∴+可逆，且11()(3)6A E A E -+=--.6．设34432022O A O ⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A 及4A . 解34432022O A O ⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令13443A ⎛⎫=⎪-⎝⎭22022A ⎛⎫=⎪⎝⎭4. 设三阶矩阵A ，B 满足关系式BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131A ，求B . 解：先化简，再计算，方程两边右乘1-A得 E B A +=-61整理得 E B E A 6)(1=--，而=--E A1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡743=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡632则12A O A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭ 故8182A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭8182A O OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭8888816121210AA A A A ===444414426450052022O A O A OA O ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.7．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1OA B O -⎛⎫⎪⎝⎭．解 将1OA BO -⎛⎫⎪⎝⎭分块为1234C C C C ⎛⎫⎪⎝⎭其中 1C 为s n ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵,4C 为n s ⨯矩阵则n n s s OA B O ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E ==ns E O O E ⎛⎫⎪⎝⎭由此得到1334411122n s A C E C A A C O C OB C O C O B C E C B --⎧=⇒=⎪=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩（A 、B 均可逆）故111O A O BB O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（一）一、填空题1. 设A 为n 阶方阵，若有n 阶初等方阵s P P P ,,21，使 ),(),(21B E E A P P P s = ,则=-1As P P P 212. 设A 是34⨯矩阵，且A 的秩)(A R =2，而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301020201B ,则=)(AB R 2 3. 设四阶方阵A 的秩)(A R =2，则其伴随矩阵*A 的秩为)(*A R = 0二、 选择题1.从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则A 、B 的秩的关系为（ A ） (A) 1)()()(-≥≥A R B R A R (B) 1)()()(->≥A R B R A R (C) 1)()()(->>A R B R A R (D) 1)()()(-≥>A R B R A R2.在秩是r 的矩阵中（ C ） (A) 没有等于0的1-r 阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式(C) 等于0的1-r 阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有1-r 阶子式等于0三、 计算与证明题1.把矩阵化为行最简形矩阵8. 设x 为n 维列向量，1=x x T ，令T xx E H 2-=，证明H 是对称阵，且TH HE =.证明：因为 H xx E xx E xx E H T T T T T T =-=-=-=2)(2)2(，所以H 是对称阵. 又 ==2HHHT4)2)(2()2(2+=--=-E xx E xx E xx E T T T TT T xx xx xx 4))((-+=-+=E xxxx x x E TTT4)(4E xxxxTT=-44证毕.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---8701111121324321 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0031100313010317001 2.用初等变换求解矩阵方程B AX =,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=520321,102123111B A 解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-13122018971B A X 3.试利用矩阵的初等变换，求方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323513123A 的逆阵1-A 。

《线性代数》答题规范由于《线性代数》这门课程的答案有多种写法，为阅卷批改方便，在此对一些题目的答案书写作出一些规范。

如果在作业或考试中，最终答案未按照规范书写，即使没有错误，仍然不会给于分数。

注：该答题规范仅作为学习《线性代数》这门课程时的答案书写规范，不是唯一的正确答案。

做题过程中可以按自己的习惯或简便的方法进行解答，但是最终答案必须按照规范进行书写，才可得分。

一、如果答案为整数，则应写成一个整数的形式；如果答案为有理数，且该题目中未出现小数，则需化成既约分数的形式；如果答案中含有带根号的无理数，则需将分母有理化。

.510102.25.1451620.12132112122应写成不能写成，题目中没有小数时也还要进一步简化为或，也不能写成不能写成例如：⨯⨯二、如果答案为一个数乘以矩阵的形式，则应将数乘入矩阵内，或者使矩阵尽量简洁。

.20101055545252515.545252542215211111⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=------n n n n n n n A A 或但是不能写成还可以写成，则例如：三、在求向量组的一个极大无关组时，应选择题目中排序靠前的向量组成的极大无关组。

[][][][]{}{}{}..19920918311011513214324314214321ααααααααααααα，，或，，而“不要选择”来作为答案，，，此刻应选择的一个极大线性无关组，，，求向量组例如：-=-=--=-=四、在对矩阵方程进行化简时，若想消去方程两边均有的一个矩阵，需先判断该矩阵是否可逆，且还需注意该矩阵所在的位置是否可消去。

()()()()()()()()()()()()()()()。

否则只会得到，乘上”的操作是方程两边左因为“消去。

与可交换，并交换与则还需说明，了注：如果矩阵方程写成。

端乘上可逆后，才可在方程左在验证是否可逆。

，需先判断若想消去时，简化矩阵方程例如：E X E A E A E A E A E A E A E A E A E A E A X E A E A E A E A E A E A E A X E A E A =+-++++-+-+=+-+++++=-+---2322223232232222232111五、如果题目需要分情况讨论，需在解答最后，按照题目提问顺序进行综述，并合并相同答案的情况。

中国地质大学（北京）地大《线性代数》在线作业一-00081.满足A的平方=A的n阶方阵的特征值的和等于1.A.错误B.正确第1题正确答案:B2.如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组且为方阵，那么这个矩阵的行列式为1。

A.错误B.正确第2题正确答案:B3.两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵A.错误B.正确第3题正确答案:A4.满秩方阵的列向量组线性无关。

A.错误B.正确第4题正确答案:B5.反对称矩阵的主对角线上的元素和为0A.错误B.正确第5题正确答案:B6.(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)构成为3维向量空间的一个基。

A.错误B.正确第6题正确答案:B7.对矩阵A,B,r(AB)=r(A)r(B)A.错误B.正确第7题正确答案:A8.等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等。

A.错误B.正确第8题正确答案:B9.矩阵的合同关系是等价关系A.错误B.正确第9题正确答案:B10.若AX=0只有零解，那么AX=b有唯一解。

A.错误B.正确第10题正确答案:A11.两个矩阵A与B，若AB=0则一定有A=0或者B=0A.错误B.正确第11题正确答案:A12.n阶方阵可逆的充要条件是它的行列式不等于0.A.错误B.正确第12题正确答案:B13.AX＝b有无穷多解，那么Ax=0有非零解。

A.错误B.正确第13题正确答案:A14.两个对称矩阵不一定合同。

A.错误B.正确第14题正确答案:B15.如果行列式值为0则必然有该行列式对应的矩阵是不可逆的。

A.错误B.正确第15题正确答案:B16.如果线性方程组的系数矩阵满秩则该方程组一定有解且解是唯一的。

A.错误B.正确第16题正确答案:B17.如果方阵A是不可逆的，则一定有任意一个行向量是其余行向量的线性组合A.错误B.正确第17题正确答案:A18.齐次线性方程组任意两个解之线性组合仍然是原方程组的解A.错误B.正确第18题正确答案:B19.相似的两个矩阵的秩一定相等。

we 华东理工大学线性代数 作业簿（第一册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________1.1 矩阵的概念1. 矩阵[]232ij A a i j ⨯⎡⎤==-=⎣⎦_____________________.解：101321A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 2．设1000100300520100230030040010041003A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,,,,其中对角阵为_________，三角阵有____________.解：对角阵为D ；三角阵有A ，C ，D .1.2矩阵的运算1. 已知31121123202311X O ---⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求矩阵X . 解：依题意，由622211*************X ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即得4113115333X ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2. 如果矩阵m n A ⨯与t s B ⨯满足AB BA =，试求,,,m n t s 之间的关系. 解：m n t s ===.3. 填空：(1) 431712325701⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦__________； (2) []112323,,__________⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3) []12123,__________⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) 13121400121134131402__________⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦. 解： (1) 35649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(2) 14；(3)122436-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；(4) 6782056-⎡⎤⎢⎥--⎣⎦.4. 已知矩阵010001000A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求与A 可交换的所有矩阵. 解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为3阶方阵，不妨设其为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i hgf e dc baB ，于是有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i hg f ed c b aAB 000100010=000def g h i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=h g e d b a i h gf e dc b a BA 000000100010， 由BA AB =，即得=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00i h gf ed⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡h g e d b a 000， 由相应元素相等，则得,,,0f b i e a h g d ======故c b a a b a c b a B ,,(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=均为任意常数）为与A 可交换的所有矩阵.5. 计算下列各题：(1) []111213112321222323132333,,a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 解：原式等于：222111222333122112133113233223()()()a x a x a x a a x x a a x x a a x x ++++++++(2) 13223122A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求2008A ； 解：记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A ，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=212323212A ， 31001A I -⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，200836691=⨯+ 20082007131313222222313131222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦66913223122I A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(). (3) 21121,,233A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，求9A . 解：89822132211112212122562123233333312,,,,A A ⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==---⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.6. 利用等式176232073,3512570352732310,525701--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦计算51763512-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 解：51763512-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦5232073570352-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3197126673852922-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.7. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该公司现有2000人正在脱产轮训，而不脱产职工有8000人，若每年从不脱产职工中抽调30%的人脱产轮训，同时又有60%脱产轮训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令0.70.68,0.30.42000A X ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试用A 与X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人.解：一年后职工状况为：68003200AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不脱产职工6800人，轮训职工3200人.两年后职工状况为：26800668032003320A A X ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦不脱产职工6680人，轮训职工3320人.8. 设矩阵2142A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，3162B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 求:(1);T T T T A B B A - 22(2).A B -解：24363624(1)12121212T T T T A B B A ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦10200010251000510--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 2221213131(2)42426262A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦01551550030103010--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.9. 设A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则（ ）是反对称矩阵. （A ）AB BA -; （B ）AB BA +; （C ）2()AB ; （D ）BAB . 解：B .10．试将矩阵121301223A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦表示成对称矩阵与反对称矩阵之和. 解：5311102222115311()()002222223311302222T T A A A A A ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 11. 设A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵，试证：AB 是反对称矩阵的充分必要条件为AB BA =. 证：必要性:由AB AB Τ-=)(及BA A B A B AB ΤΤΤ-=-==)()(即得BA AB =. 充分性: 若BA AB =，则AB BA A B A B AB ΤΤΤ-=-=-==)()(，知AB 是反对称阵.12. 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，记()f A 为方阵A 的多项式，即1110()m m m m f A a A a A a A a I --=++++（1） 设1200λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，证明12()0()0()f f f λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2） 设1A P P Λ-=，证明1()()f A Pf P Λ-=.解：（1）1200kk k λΛλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1111110122201000()00100mm m m m m f a a a a λλλΛλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111111012121201200()00()m m m m m m m m a a a a a a a a f f λλλλλλλλ----⎡⎤++++=⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2）11k k A P P A P P ΛΛ--=⇒=111111110()()m m m m f A f P P a P P a P P a P P a PP ΛΛΛΛ-------∴==++++ 1()Pf P Λ-=13．设矩阵2TT A I αααα=-，其中I 为n 阶单位阵，α为n 维列向量，试证A 为对称矩阵，且2A I =.证：2(2)2()()2T T T TT T T T TT T T T A I I I I Aαααααααααααααααα=-=-=-=-=故A 是对称矩阵，且22()(2)(2)44()T T T T TT T T T A I I I I αααααααααααααααααα=--=-+=.1.3逆矩阵1. 设A 为n 阶矩阵，且满足2A A =，则下列命题中正确的是（ ）. （A ）A O =； （B ）A I =；（C ）若A 不可逆，则A O =； （D ）若A 可逆，则A I =. 解：D.2. 设n 阶矩阵C B A 、、满足ABAC I =，则必有（ ）.（A ）2CA B I =； （B ）T T T TA B A C I =； （C ）2BA C I =； （D ）2222A B A C I =.解：B.3．已知矩阵1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，求n A 及1A -（n 是正整数）. 证：由I A 42=，即可得⎪⎩⎪⎨⎧=====---为奇数为偶数n A A I A A n I I A A n n n n nn n,2)4(,2)4()(1211222 及I A A =⋅）（41，亦即A A 411=-.4. 已知n 阶矩阵A 满足223A A I O +-=， 求: 11,(2),A A I --+ 1(4)A I -+.解：依题意，有I I A A 32=+）（，即23A I A I +=（），故 A I A I A A 31223111=++=--））；（（，再由已知凑出I I A I A 5)2)(4(-=-+，即得)2(51)4(1I A I A --=+-.5. 设A B AB I -、、为同阶可逆阵，试证：(1) 1A B --可逆； (2) ()111A BA -----也可逆，且有()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦. 证：(1) 11111()A B ABB B AB I B A B ------=-=-⇒-可逆.(2) 证法一：()()()()()()()1111111111111111()A B A A BA B A B AA BI I B A AB A B ABA A ------------------=----⎡⎤=--+=-⎣⎦=- ()111A B A ---⇒--可逆，且()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦. 证法二：由（1）得()111()A BB AB I ----=-，因此()1111111()()()()()()A B A ABA A B AB I A ABA A B AB I AB I A A A BA I BA BA I I-------⎡⎤⎡⎤---=---⎣⎦⎢⎥⎣⎦=----=-+= ()111A B A ---⇒--可逆，且()1111A B A ABA A ----⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦.。

第一章 行列式第一节 二阶、三阶行列式一、1. -2； 2. )(a b ab -； 3. 1； 4. 1ln ln a b - 二、1.18； 2.-1； 3. 0； 4. 0 三、A A A A 四、1231,2,3x x x =-==第二节 n 阶行列式的定义及性质一、1. -29，29； 2. 0； 3. 3m ； 4. 0.二、1. 2000； 2.4abcdef -； 3.160； 4.8； 5.63； 6.120. 三、11212(1)n n n a a a b b b ++-四、1.123,1x x ==； 2. 1232,2,2x x x ===-.五、略 六、0第四节 克拉默法那么一、1. 3,1x y ==- 2. 12310,,12==-=x x x二、1. 当2-=λ或1=λ时，方程组有非零解；2. 当2-=λ或1-=λ时，方程组有非零解. 三、1. 当1≠λ且3≠λ时，方程组只有零解；2. 当1=λ或3=λ时，方程组有非零解. 四、1)(2++=x x x f . 综合练习题一一、1. 3k ≠且1k ≠-； 2. 3； 3.23645()a a a a a -- 二、C C C C三、1.-25； 2.222()()x y x y xy +--+； 3.1； 4.1abcd ad ab cd ++++；5.54x ； 6.(1)nkk k a =-∑.四、1．122,0x x == 2. 00x y ==或者五、1. 28- 2. 0 六、略。

七、1.1≠λ且3≠λ； 2.3λ=或1λ=。

第二章 矩阵第一节 矩阵的定义及其运算一、1. -32； 2. BA AB =； 3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2412498 二、DCDDC三、1.〔1〕101111100,240021111X Y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.(1) 13145-⎛⎫⎪-⎝⎭； (2) ()10； 〔3〕⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛369246123；〔4〕2212131223522x x x x x x x x -+++.3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000AB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1020510BA ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00002A . 第二节 逆矩阵一、1.4, 4，4,14； 2. 113.二、CDDC三、1.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12351A ； (2) 不可逆； (3) 112100100100n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 5A =A . 3. 1=B . 4. X =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321. 5. *1()A -=） 10061031002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 11(2)(3)4A I I A -+=-. 第三节 初等变换与初等矩阵一、1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010001k ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10001001k ； 2. 111221111--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、BCC三、1.〔1〕 211532421⎛⎫⎪⎪ ⎪---⎝⎭； 〔2〕11240101113621610--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭； 〔3〕12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭. 2. 96210721283B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭. 第五节 矩阵的秩一、1. ≥，< ； 2. 1； 3. 1. 二、DADDA三、1.(1) 秩为3；〔2〕秩为2；〔3〕秩为4〔4〕2x =-时，秩为2；1x =时，秩为1；1,2x x ≠≠-且时，秩为3.2. 2=a . 综合练习题二 一、1.1627-； 2. 3； 3.3-. 二、BCCCBBB 三、×√√×√√×√四、1.1001()010100A I -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 2.()2R AB =； 3.300020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、10100510501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第三章 向量第一节 向量的概念及其运算一、〔1〕()15,14,37T--〔2〕()0,9,30-. 二、()()2,4,5,1,4,4,1,6,1,0T Tαβ=-=---.三、()2,4,9α=-.四、1.122βαα=-； 2. 1230βααα=-++⋅.第二节 线性相关与线性无关一、1. 线性相关；2. 线性无关.二、1. 线性无关；2. 线性相关；3.线性无关；4.线性相关.三、 1.〔√〕 2.〔√〕 3.〔×〕 4.〔√〕 5.〔√〕 6.〔×〕 7.〔√〕. 四、1.0α≠，对应分量成比例； 2.相； 3.无关； 4. 283-； 5.513-；6.230c a -+≠； 7.>； 8.惟一. 五、BBD第三节 向量组的秩一、1. 相； 无 ； 2. 12r r =； 3. =； 4. 7 . 二、1. 123,,ααα的秩为2，123,,ααα线性相关； 2. 123,,γγγ的秩为3，123,,γγγ线性无关；3. 1234,,,αααα的秩为4，123,,ααα线性无关四、1.12,αα为123,,ααα的一个极大线性无关组，且3122ααα=-+；2. 123,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且4123313222αααα=-+-； 3.124,,ααα为12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组，且第四节 向量空间一、(1,1,1)T.二、1.βα,化为单位向量为1(1,1,1,1)2T --2,2,1)T ；2.βα,正交. 三、()11,0,1,1β=-，2121,1,,333⎛⎫=- ⎪⎝⎭β，31334,,,5555⎛⎫=- ⎪⎝⎭β. 综合练习题三 一、CCABCADAB二、可以惟一线性表出，且12351114βααα=-+- 三、(1)0c ab -= 四、略五、不一定，例如：()()()()11221,13,74,40,0αβαβ=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩，但是1122,αβαβ++线性无关. 六、01a a ≠≠且时，123,,ααα的秩为3；0a =时，123,,ααα的秩为2；1a =时，123,,ααα的秩为1；七、1.9k =；2. 123,,ααα为一个极大线性无关组，且41233αααα=+-.八、1.111110102P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭；2. 1231114,3,1342--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ. 九、略. 十、略.第四章 线性方程组第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组一.〔1〕2-； 〔2〕1-.二.〔1〕C ； 〔2〕D .三.〔1〕惟一解：(0,1,0)T ；〔2〕无穷多组解；〔3〕惟一解；〔4〕无解. 四. 1k =-无解； 4k =有无穷多解；0k =有惟一解.第二节齐次线性方程组解的结构 一. 〔1〕C ；〔2〕B ；〔3〕D ；〔4〕B ；〔5〕D.二. 〔1〕(2,1,1)T ξ=-；〔2〕1(1,1,0,0)T ξ=-，2(1,0,3,1)T ξ=--.三.1.1213100101x k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中12,k k 为任意常数.2.123111112100023010001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构一. 〔1〕C ；〔2〕B.二. 〔1〕1251230213201010x k k ⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中12,k k 为任意常数.〔2〕1231611523226010000100001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.综合练习题四一. 〔1〕C ；〔2〕A ；〔3〕C ；〔4〕A ；〔5〕B.二、当45λ=-时，方程组无解；当1λ≠且45λ≠-时，方程组有惟一解；当1λ=时，方程组有无穷多组解，其通解为101101x c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中c 为任意常数. 第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节 矩阵的特征值与特征向量一、1.1()nii λλ=-∏； 2.不可逆； ； 3. 01或； 4. 6，6； 5. 0；6. 11, , 24-1；, 2 , 4k k k -；3,6,11；8, 4 , 2-- ； 7.12n d λλλ====二、CB三、1. 特征值：23023λλλ===1，，对应的全部特征向量分别是：1231111,1,1201k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2. 特征值：2302λλλ===1，0λ=1对应的全部特征向量：110,0k ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1k 不为零232λλ==对应的全部特征向量：2001k ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，其中2k 不为零第二节 相似矩阵与矩阵的对角化一、1.=； 2.24； 3. 1 二、BCAB三、1. 可对角化且123105(,,)40518112P ξξξ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭==，1023P AP -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=； 2. 可对角化且123111(,,)101012P ξξξ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭==，1224P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭= 3. 不可对角化四、200420411A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭五、〔1〕56a ,b ==；(2) 111102013C --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭第三节 实对称矩阵的对角化一、1.线性无关； 2.正交； 3.3二、12341,535203P P AP -⎛ -⎛⎫⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭. 三、〔1〕0,0αβ==；〔2〕00100P ⎛= ⎪ ⎪ ⎝ 综合练习题五一、1.3-； 2.2,3-； 3. 2,1,1； 4.1P ξ-； 5.5 二、DCBC 三、1a =- 四、0，1，1五、〔1〕12322βξξξ=-+； 〔2〕12132223223223n n n n n n n A β+++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭六、 A 不可对角化七、42414114142413414142k k k k k k kkk k A ⎡⎤+--⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦八、231110,01k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中23,k k 不全为零.九、略第六章 二次型第一节 二次型及其矩阵一、〔√〕〔√〕〔×〕〔×〕〔×〕二、1. 222123123121323(,,)23468f x x x x x x x x x x x x =+++++ 2.222123412412142334(,,,)3258264f x x x x x x x x x x x x x x x =++++++ 3. 2212313121323(,,)2264f x x x x tx x x x x ax x =++++ 三、1.112312323211(,,)(,,)121112x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 秩为22. 121234123434570025602(,,,)(,,,)200002003x xf x x x x x x x x x x⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦，秩为3 第二节 化二次型为标准形一、1. 22212324f y y y =-+；1123212331231(22)31(22)31(22)3x y y y x y y y x y y y ⎧=++⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-++⎪⎩；2. 222123009f y y y =++；112321233123x y y y x y y y x 0y y y ⎧-+⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪=++⎪⎩二、1. 22212344f =-+y y y ；11232233322x y y y x y y x y -+⎧⎪=-⎨⎪=⎩=2. 2221232f y y y =++；112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 222123228f z z z =-+；112233113111012x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭第三节 二次型的标准形与惯性定律 一、1.2221231,2,1,z z z ---； 2.1； 3.3,2,1 二、DB三、由11223340131112231003x z x z x z ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭得222123f z z z =-+；正惯性指数为2；负惯性指数为1. 第四节 正定二次型一、1. t ；2. 2t >；3. 是；是；4.2- 二、DCD 三、正定 综合练习题六一、1. 2222123412343756f (y ,y ,y ,y )y y y y =-++；222212341234f (z ,z ,z ,z )z z z z =-++；32.1a ≠ 二、BD三、221222f z z =-；112233*********x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 四、2a =；11223310000x y x y x y ⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝；22212325f y y y =++。