2021届高考数学二轮经典深度解读专题6 函数模型及其应用(解析版)

3．2.2 函数模型的应用举例内容标准学科素养1.会利用给定的函数模型解决实际问题．2.能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.提升数学运算培养数学建模授课提示：对应学生用书第64页[基础认识]知识点函数模型的应用预习教材P101－106，思考并完成以下问题(1)某商场销售一批优质衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件．于是商场经理决定每件衬衫降价15元．那么经理的决定正确吗？提示：正确．(2)我们已学过的函数有哪些？提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数．知识梳理几种常用的函数模型：一次函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；反比例函数模型：y＝kx＋b，(k，b为常数，k≠0)；二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；指数型函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)；对数型函数模型：y＝a log b x＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)；幂函数模型：y＝a·xα＋c(a，α，c为常数，a≠0)．[自我检测]某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A．300只B．400只C．600只D．700只解析：将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)得，100＝a log2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.答案：A授课提示：对应学生用书第65页探究一二次函数模型[例1] 在经济学中，函数f(x)的边际函数定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x)，某公司最多生产100台报警系统装置，生产x 台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)．(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？[解析] (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000)＝－20x 2＋2 500x －4 000(1≤x ≤100，x ∈N )．M 1(x )＝P (x ＋1)－P (x )＝2 480－40x ，(1≤x ≤100，x ∈N )(2)∵P (x )＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125 ∴当x ＝62或63时，P (x )min ＝74 120又∵M 1(x )是减函数，∴当x ＝1时M 1(x )max ＝2 440 故P (x )与M 1(x )不具有相等的最大值．(3)边际利润函数M 1(x )当x ＝1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大，M 1(x )是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少．方法技巧 利用二次函数模型解决问题的方法：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．跟踪探究 1.某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100部，需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H (x )＝500x －12x 2，其中x 是产品销售出的数量(0≤x ≤500)．(1)若x 为年产量，y 表示利润，求y ＝f (x )的解析式； (2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？ (3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知21.562 6＝4.65)解析：(1)当0≤x ≤500时，产品全部售出， ∴f (x )＝500x －12x 2－(5 000＋25x )，即f (x )＝－12x 2＋475x －5 000，当x >500时，产品只能售出500台， ∴f (x )＝500×500－12×5002－(5 000＋25x )，即，f (x )＝－25x ＋120 000.(2)当0≤x ≤500时，f (x )＝－12(x －475)2＋107 812.5，当x >500时，f (x )＝120 000－25x <120 000－25×500＝107 500.故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107 812.5元，最佳生产计划475台．(3)若工厂有利润，则应用f (x )>5 000， ∴475x －12x 2>5 000，整理得x 2－950x ＋10 000<0，解得10<x <940， ∵市场需求量为每年500部，∴10<x ≤500，故当年产量超过10部后，工厂有盈利． 探究二 分段函数模型的应用[例2] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10x －30，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x 1 200－10x －15 000，30＜x ≤75.即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10x －602＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上， 当x ＝30时，S 取最大值12 000.又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，S 取最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润． 方法技巧 1.分段函数模型的应用分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间．对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者．2．应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值X 围的并集．(3)分段函数的值域求法为：先求各段函数值的X 围，再求各段函数值X 围的并集. 跟踪探究 2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (μg )与时间t (h )之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1＜t ≤10.(2)设第二次服药在第一次服药后t 1小时， 则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和， 即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9小时， 故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3＞10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4， 解得t 3＝13.5小时， 故第四次服药应在20：30. 探究三 指数、对数型函数模型[例3] 声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg I10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，这两位同学是否会影响其他同学休息？[解析] (1)当I ＝10－6W/m 2时，代入得Y ＝10lg 10－610－12＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y ＝0时，即为10lg I10－12＝0，所以I10－12＝1，I ＝10－12 W/m 2，则能听到的最低声强为10－12 W/m 2.(3)当声强I ＝5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg 5×10－710－12＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．方法技巧 指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．跟踪探究 3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解析：设过滤n 次能使产品达到市场要求，依题意，得2100×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤11 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120.则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 故n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，考虑到n ∈N ，故n ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．授课提示：对应学生用书第66页[课后小结]1．解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决问题．解决问题时要注意自变量的取值X围．2．(1)解应用题的一般思路可表示如下：(2)解应用题的一般步骤：①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；④答：将数学结论还原为实际问题的结论．。

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题2.9 函数模型及其应用目录一、题型全归纳 (1)题型一 用函数图象刻画变化过程................................................................................................................. 1 题型二 应用所给函数模型解决实际问题 ......................................................................................................... 2 题型三 构建函数模型解决实际问题.. (4)命题角度一 构造一次函数、二次函数模型 ........................................................................................... 5 命题角度二 构建指数函数、对数函数模型 ........................................................................................... 6 命题角度三 构建函数y ＝ax ＋bx (a ＞0，b ＞0)模型 (7)命题角度四 构建分段函数模型 (7)二、高效训练突破 (8)一、题型全归纳题型一 用函数图象刻画变化过程【题型要点】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.【例1】高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )【答案】B【解析】当h ＝H 时，体积为V ，故排除A ，C ；由H →0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.【例2】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.题型二 应用所给函数模型解决实际问题【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．【例1】某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170 p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元【答案】D【解析】设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0，当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0，故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23 000.【例2】(2020·衡水模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 【答案】：16【解析】：当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ，故e －8b ＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．题型三 构建函数模型解决实际问题【题型要点】1．几种常见的函数模型2.3．“对勾”函数模型形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 4．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．5．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．命题角度一构造一次函数、二次函数模型【例1】．(2020·商丘二中检测)如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．【解析】(1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD ，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛2-10x ＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．命题角度二 构建指数函数、对数函数模型【例2】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年【答案】C【解析】根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.命题角度三 构建函数y ＝ax ＋bx (a ＞0，b ＞0)模型【例3】．(2019·青岛二中模拟某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和． (1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简； (2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？ 【解析】(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元， ∵C (0)＝k250＝4，∴k ＝1000，∴y ＝0.2x ＋100050x ＋250×4＝0.2x ＋80x ＋5(x ≥0)．(2)y ＝0.2(x ＋5)＋80x ＋5－1≥20.2(x ＋5)×80x ＋5－1＝7，当0.2(x ＋5)＝80x ＋5，即x ＝15时，y min ＝7，故当x 为15平方米时，y 取得最小值7万元．命题角度四 构建分段函数模型【例4】某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【解析】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3，因为x 为整数，所以3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115. 令－3x 2＋68x －115＞0， 有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－32334⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升D ．12升【答案】C.【解析】：因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为60600÷100＝10(升)．故选C.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( ) A ．118元 B ．105元 C ．106元 D ．108元【答案】D.【解析】：设进价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.故选D.3.(2019·福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】设至少要洗x 次，则x⎪⎭⎫ ⎝⎛43-1≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.4.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) A ．y ＝100x B ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100【答案】C【解析】对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．5．(2020·泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损【答案】D【解析】由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损． 6．(2020·南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )【答案】D【解析】设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g (x )a ＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D. 7，素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24 423－1，第19个梅森素数为Q ＝24 253－1，则下列各数中与PQ 最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．1059【答案】B【解析】：.由题知P Q ＝24 423－124 253－1≈2170.令2170＝k ，则lg 2170＝lg k ，所以170lg 2＝lg k ．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k ，即k ＝1051，所以与PQ最接近的数为1051.故选B.8.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间满足函数关系式y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，所有生产出来的产品都能卖完，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 【答案】C【解析】设利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －(3000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3000≥0，得x ≥150，所以生产者不亏本时的最低产量为150台．故选C.9.(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行，L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1R 3.设α＝r R ，由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1R B ．M 22M 1R C.33M 2M 1R D ．3M 23M 1R 【答案】D. 【解析】：由M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得1222111M R r R r M R r M ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+.因为α＝r R ，所以M 1（1＋α）2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即33⎪⎭⎫ ⎝⎛R r 3≈M 2M 1，所以r ≈ 3M 23M 1·R ，故选D.10.汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故A 错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B 错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C 错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D 正确．二、填空题1.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．【答案】：1 024【解析】：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.解得x ＝1 024(万元)．2．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎪⎭⎫ ⎝⎛R 25-30万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是______．【答案】：[4，8]【解析】：根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎪⎭⎫ ⎝⎛R 25-30×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4，8]．3．(2020·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．【答案】：4【解析】：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4，化简得x －6×0.9x ＝0.令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3，4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．4.新修的个人所得税法在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5 000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪收入减去5 000 元后的余额．______元．【答案】：790【解析】：由企业员工今年10月份的月工资为15 000元知，其个人所得税属于2级，则应缴纳的个人所得税为(15 000－5 000－3 000)×10%＋3 000×3%＝700＋90＝790(元)．5．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为______万元．【答案】：31.5【解析】：由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋x y×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋x y ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .所以年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．所以当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)． 6．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2，若要使S 最大，则y ＝________.【答案】45【解析】由题可得，xy ＝1800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，∴S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1808－3x －83y . 解法一：S ＝1808－3x －83×1800x ＝1808－⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 48003(x >0)， ≤1808－23x ×4800x ＝1808－240＝1568. 当且仅当3x ＝4800x，即x ＝40时取等号，S 取得最大值． 此时y ＝1800x＝45. 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．解法二：设S ＝f (x )＝1808－⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 48003(x >0)， f ′(x )＝4800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0，当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值．此时y ＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．三、解答题1.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40. (1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6 104万美元【解析】：(1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360. 所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. (2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360， 由于40 000x ＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以此时W 的最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值为6 104万美元．2．(2019·江西七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？【答案】（1）277.5(万元)；（2）282万元【解析】：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)． (2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180， 故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．3．某公司为了实现2020年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.025x ，y＝1.003x ，y ＝12ln x ＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．(参考数据：1.003538≈5，e ＝2.71828……，e 8≈2981)【解析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x ∈[10,1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x ·25%.(1)对于y ＝0.025x ，易知满足①，但当x >200时，y >5，不满足公司的要求．(2)对于y ＝1.003x ，易知满足①，但当x >538时，y >5，不满足公司的要求．(3)对于y ＝12ln x ＋1，易知满足①. 当x ∈[10,1000]时，y ≤12ln 1000＋1. 下面证明12ln 1000＋1<5. 因为12ln 1000＋1－5＝12ln 1000－4＝12(ln 1000－8)≈12(ln 1000－ln 2981)<0，满足②. 再证明12ln x ＋1≤x ·25%，即2ln x ＋4－x ≤0. 设F (x )＝2ln x ＋4－x ，则F ′(x )＝2x －1＝2－x x<0，x ∈[10,1000]，所以F (x )在[10,1000]上为减函数， F (x )max ＝F (10)＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3)<0，满足③.综上，奖励模型y ＝12ln x ＋1能完全符合公司的要求．。