两个变量间的线性相关学案

变量间的相关关系【教学内容】本节课的主要内容为用最小二乘法思想求线性回归方程。

本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。

在“经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系”的过程后，解决好用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于更好的理解核心概念“回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值。

就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。

了解“最小二乘法思想”，比较各种“估算方法”，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又是“在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解”的需要。

“最小二乘法思想”作为本节课的核心思想，由此得以体现，而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中需有所渗透。

所以，在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。

考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。

由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。

【教学重点】知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

【教学难点】如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”并在此过程中了解最小二乘法思想。

回归方程中的斜率b和截距a的计算公式，用计算器求出线性回归方程。

通过大量的回归直线比较分析，体会回归思想和随机思想。

【教学目标】本节课要求学生了解最小二乘法思想，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，理解线性回归方程概念和回归思想，在以上过程中体会随机思想：1．能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的点的偏差”的表达方式；2．通过减少样本点个数，经历对表达式的展开，把“偏差最小”简化为“二次多项式”最小值问题，通过逻辑推理，使学生接受最小二乘法思想，体会到它的科学性，在此过程中了解最小二乘法思想；3．能结合具体案例，经历数据处理步骤，根据回归方程系数公式建立回归方程；4．通过改变同一问题下样本点的选择进而对照回归方程的差异，体会随机思想；5．利用回归方程预测，体现用“确定关系研究相关关系”的回归思想。

两个变量的线性相关教案第一章：引言1.1 学习目标了解两个变量线性相关的概念掌握散点图在表示两个变量关系中的应用1.2 教学内容介绍两个变量线性相关的概念解释散点图在表示两个变量关系中的应用1.3 教学活动引入两个变量线性相关的概念，让学生初步了解通过实际例子，展示散点图在表示两个变量关系中的应用1.4 作业完成练习题，让学生巩固两个变量线性相关的概念第二章：线性相关性的判断2.1 学习目标学会判断两个变量之间的线性相关性掌握线性相关的判定方法2.2 教学内容介绍判断两个变量之间线性相关性的方法解释线性相关的判定方法2.3 教学活动通过实际例子，展示如何判断两个变量之间的线性相关性解释线性相关的判定方法，让学生能够运用到实际问题中2.4 作业完成练习题，让学生巩固判断两个变量之间线性相关性的方法第三章：线性回归方程的求解3.1 学习目标学会求解线性回归方程掌握线性回归方程的求解方法3.2 教学内容介绍线性回归方程的概念解释线性回归方程的求解方法3.3 教学活动通过实际例子，展示如何求解线性回归方程解释线性回归方程的求解方法，让学生能够运用到实际问题中3.4 作业完成练习题，让学生巩固线性回归方程的求解方法第四章：线性回归方程的应用4.1 学习目标学会应用线性回归方程解决实际问题掌握线性回归方程在实际问题中的应用方法4.2 教学内容介绍线性回归方程在实际问题中的应用解释线性回归方程的应用方法4.3 教学活动通过实际例子，展示如何应用线性回归方程解决实际问题解释线性回归方程的应用方法，让学生能够运用到实际问题中4.4 作业完成练习题，让学生巩固线性回归方程在实际问题中的应用方法5.1 学习目标掌握线性回归方程的求解与应用方法5.2 教学内容提出拓展问题，引导学生深入思考5.3 教学活动提出拓展问题，引导学生深入思考线性相关知识的应用5.4 作业完成练习题，让学生巩固本章所学内容回答拓展问题，展示学生对线性相关知识的深入理解第六章：相关系数的概念与计算6.1 学习目标理解相关系数的概念学会计算线性相关系数6.2 教学内容介绍相关系数的概念及其取值范围解释如何计算线性相关系数（皮尔逊相关系数）6.3 教学活动通过实际例子，解释相关系数的概念使用计算器或软件演示如何计算线性相关系数6.4 作业完成练习题，让学生巩固相关系数的概念及计算方法第七章：非线性关系的处理7.1 学习目标理解非线性关系与线性关系的区别学会处理非线性关系7.2 教学内容解释非线性关系的概念介绍处理非线性关系的方法，如多项式回归、逻辑回归等7.3 教学活动通过实际例子，展示非线性关系的特征介绍处理非线性关系的方法和工具7.4 作业完成练习题，让学生理解非线性关系及其处理方法第八章：线性回归模型的评估8.1 学习目标学会评估线性回归模型的有效性掌握评估线性回归模型的常用方法8.2 教学内容介绍评估线性回归模型的指标，如均方误差（MSE）、决定系数（R²）等解释如何使用这些指标来评估模型的有效性8.3 教学活动通过实际例子，展示如何评估线性回归模型的有效性介绍常用的评估方法和工具8.4 作业完成练习题，让学生掌握评估线性回归模型的方法和指标第九章：多重线性回归分析9.1 学习目标理解多重线性回归的概念学会进行多重线性回归分析9.2 教学内容介绍多重线性回归的概念和应用场景解释如何进行多重线性回归分析9.3 教学活动通过实际例子，展示多重线性回归的应用使用统计软件演示如何进行多重线性回归分析9.4 作业完成练习题，让学生理解多重线性回归的概念和应用第十章：案例分析与实践10.1 学习目标能够将线性回归模型应用于实际问题学会分析实际问题中的线性关系10.2 教学内容分析实际问题，确定变量之间的关系应用线性回归模型解决实际问题10.3 教学活动分析一个实际问题，引导学生识别变量之间的线性关系指导学生应用线性回归模型解决问题10.4 作业完成案例分析报告，让学生将线性回归模型应用于实际问题讨论案例中的发现和解决方法，展示学生对线性回归模型的深入理解重点和难点解析一、线性相关性的判断学生可能难以理解如何准确判断两个变量之间的线性相关性。

两个变量的线性相关教案第一章：引言1.1 教学目标使学生理解什么是两个变量的线性相关性。

使学生掌握散点图的绘制和解读。

使学生了解线性相关的概念和特点。

1.2 教学内容介绍两个变量的概念。

解释线性相关性的概念。

介绍散点图的概念和绘制方法。

介绍线性相关的特点和判定方法。

1.3 教学方法使用案例和实际数据引出两个变量的线性相关性概念。

通过绘制和解读散点图来展示线性相关性的可视化。

引导学生进行小组讨论和思考，探索线性相关的特点和判定方法。

第二章：散点图的绘制和解读2.1 教学目标使学生能够熟练地绘制散点图。

使学生能够正确地解读散点图中的信息。

2.2 教学内容介绍散点图的绘制方法。

介绍散点图中的坐标轴表示的意义。

介绍散点图中点的含义和解读方法。

2.3 教学方法演示散点图的绘制方法，并进行实践操作。

使用实际数据集进行散点图的绘制和解读练习。

引导学生进行小组讨论和分享，互相学习和交流。

第三章：线性相关的概念和特点3.1 教学目标使学生理解线性相关的概念。

使学生掌握线性相关的特点。

3.2 教学内容介绍线性相关的概念。

介绍线性相关的特点。

3.3 教学方法通过案例和实际数据引导学生理解线性相关的概念。

使用散点图来展示线性相关的特点。

引导学生进行小组讨论和思考，探索线性相关的判定方法。

第四章：线性相关的判定方法4.1 教学目标使学生掌握线性相关的判定方法。

使学生能够应用判定方法解决实际问题。

4.2 教学内容介绍线性相关的判定方法。

介绍判定方法的原理和步骤。

4.3 教学方法通过案例和实际数据引导学生理解和掌握线性相关的判定方法。

进行实践操作和练习，应用判定方法解决实际问题。

引导学生进行小组讨论和分享，互相学习和交流。

第五章：线性回归方程的建立与应用5.1 教学目标使学生理解线性回归方程的概念。

使学生掌握线性回归方程的建立方法。

使学生能够应用线性回归方程进行预测和分析。

5.2 教学内容介绍线性回归方程的概念。

介绍线性回归方程的建立方法。

高一数学教学案 材料编号：30变量间的相关性班级 姓名 学号 设计人：贾仁春 审查人：孙慧欣 使用时间：08.04. 一、学习目标：1.掌握线性相关的定义及回归直线方程的意义；2.利用最小二乘法求回归直线。

二、学习重难点：1.学习重点：求回归直线方程；2.学习难点：了解最小二乘法的原理。

三、课前自学： （一）课前检测： 1.有下列关系：（1）人的年龄与其拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点一该点坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；（5）学生与其学号之间的关系。

其中有相关关系的是 。

（二）知识点梳理：1.对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。

通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。

2.观察散点图的特征，如果点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有 ，这条直线叫做 。

根据不同的标准可画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。

我们希望找到一条直线，“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近一直的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系，记此直线方程为：.y a bx ∧=+ （1）这里在y 的上方加记号“∧”是为了区别Y 的实际值y ，表示当x 取值(1,2,...,)i x i n =时，y 相应的观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是i i y a bx ∧=+（1）式叫做y 对x 的回归直线方程。

,a b ∧∧叫做回归系数，要确定回归直线方程（1），只要确定回归系数,a b ∧∧。

设x ，y 的一组观察值为)(1,2,...,)i i x y i n =（，且回归直线方程为.y a b x ∧∧∧=+当x 取值(1,2,...,)i x i n =时，y 的观察值为i y ，对应回归直线上的y ∧，即y a b x ∧∧∧=+，离差(1,2,...,)i y y n ∧-刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度。

数学教案《两个变量的线性相关》学习目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。

知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

学习过程：
1．回顾上节课的案例分析给出如下概念:
（1）回归直线方程（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。

如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。

4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。

5．实例分析：
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（）与公司所获得利润（）的统计资料如下表：
科研费用支出（）与利润（）统计表。

2.3.两个变量的线性相关-人教A版必修三教案
一、知识点概述
本节主要介绍两个变量之间的线性相关性的概念和判断方法。

通过本节学习，学生应该能够掌握以下知识点：
1.什么是两个变量之间的线性相关性。

2.判断两个变量之间是否存在线性相关关系的方法。

3.相关系数的定义及其计算方法。

4.相关系数的含义及其应用。

二、教学重难点分析
本节主要教学重点为相关系数的定义及其计算方法，以及相关系数的含义及其应用。

教学难点在于如何理解两个变量之间的线性相关性及其判断方法。

三、教学过程设计
3.1 导入新知识
通过实验或者案例介绍两个变量之间的线性相关性的概念，引导学生思考两个变量之间的关系及其表现形式。

3.2 讲解相关系数的定义及其计算方法
介绍相关系数的定义及其计算方法，包括协方差和标准差的计算方法，以及相关系数的计算公式。

3.3 案例分析
通过案例讲解如何使用相关系数判断两个变量之间的相关性，引导学生掌握相关系数的应用方法。

3.4 思考扩展
通过问题的提出和分组讨论，引导学生思考两个变量之间的线性相关性和非线性相关性的区别，以及相关系数的局限性。

四、教学反思
通过本节课程的学习，学生应该已经掌握了相关系数的基本概念及其应用方法，并能够在实际问题中运用相关系数进行分析和判断。

教师应该及时检查学生的学习效果，针对学生掌握情况进行巩固和强化。

同时，教师还应多组织实际应用情境、案例和练习，加强学生对知识点的理解和掌握。

高中数学232两个变量的线性相关教案2新人教B版必修3教案教学目标:1.理解两个变量的线性相关概念，能够判断两个变量是否线性相关。

2.掌握计算两个变量之间的线性相关系数，并能够解释其意义。

3.能够利用线性相关系数分析两个变量之间的线性关系，并能够利用线性相关系数进行预测。

教学重点:1.线性相关的概念与判断。

2.线性相关系数的计算与解释。

教学难点:1.利用线性相关系数分析两个变量之间的线性关系。

2.利用线性相关系数进行预测。

教学准备:1.教师准备：(1) PowerPoint课件。

(2)板书工具。

2.学生准备：(1)纸与笔。

教学过程:Step 1 引入新课1.教师出示两幅数据图，并提问学生两个变量之间是否存在线性关系。

2.让学生讨论并给出自己的观点。

Step 2 线性相关的概念与判断1.教师简要介绍线性相关的概念。

2.教师以两幅数据图为例，引导学生观察变量之间的关系，并指导学生判断变量之间是否存在线性关系。

Step 3 线性相关系数的计算与解释1.教师引导学生思考如何定量地表示两个变量之间的线性相关程度。

2.教师介绍线性相关系数的概念，并以相关系数的计算公式为例，指导学生计算线性相关系数。

Step 4 利用线性相关系数分析两个变量之间的线性关系1.教师引导学生通过计算得到的线性相关系数来分析两个变量之间的线性关系。

2.教师以实际案例为例，与学生一起分析相关系数的意义和结果。

Step 5 利用线性相关系数进行预测1.教师引导学生思考如何利用线性相关系数进行预测。

2.教师以实际案例为例，指导学生计算线性相关系数并利用相关系数进行预测。

Step 6 总结与拓展1.教师与学生一起总结本节课学到的知识，梳理线性相关的概念与相关系数的计算方法。

2.教师布置相关练习作业，并引导学生进一步思考线性相关的应用场景。

教学辅助:1. PowerPoint课件。

2.板书。

教学评价:1.学生课堂参与度。

2.学生在相关习题中的解答能力。

数学教案《两个变量的线性相关》学习目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。

明白最小二乘法的思想，能依照给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程。

学习过程：1．回忆上节课的案例分析给出如下概念:（1）回来直线方程（2）回来系数2．最小二乘法3．直线回来方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回来方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回来方程进行推测；把预报因子（即自变量x）代入回来方程对预报量（即因变量Y）进行估量，即可得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回来方程进行统计操纵规定Y值的变化，通过操纵x的范畴来实现统计操纵的目标。

如差不多得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回来方程，即可通过操纵汽车流量来操纵空气中NO2的浓度。

4．应用直线回来的注意事项（1）做回来分析要有实际意义；（2）回来分析前,最好先作出散点图；（3）回来直线不要外延。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。

要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。

能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。

5．实例分析：某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（）与公司所获得利润（）的统计资料如下表：科研费用支出（）与利润（）统计表事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

§2.3.2两个变量的线性相关⑴教学目标（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法；（2）掌握散点图的画法及在统计中的作用；（3）掌握回归直线方程的求解方法．教学重点线性回归方程的求解．教学难点回归直线方程在现实生活与生产中的应用．教学过程：1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.知识探究（一）：变量之间的相关关系思考：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.知识探究（二）：散点图在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.问题提出1. 两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域2. 观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从理论上作些研究.知识探究（三）：回归直线思考：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？这些点大致分布在一条直线附近.思考：对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？思考：在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？知识探究（四）：回归方程在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.思考：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？对于求回归直线方程，你有哪些想法？思考：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，设其回归方程为可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？思考：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？思考：根据有关数学原理分析，当时，总体偏差为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.回归方程中，a，b的几何意义分别是什么？思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？20.9%练习 3.F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5)解：（1）如图（2）由对照数据，计算得： ;所求的回归方程为(3) , 吨,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)课堂小结1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：第一步，计算平均数第二步，求和第三步，计算第四步，写出回归方程2. 回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.3. 对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.课后作业教学反思：§2.3.2两个变量的线性相关⑵教学目标（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法；（2）掌握散点图的画法及在统计中的作用；（3）掌握回归直线方程的求解方法．教学重点线性回归方程的求解．教学难点回归直线方程在现实生活与生产中的应用．教学过程：一、复习（1）两个变量间由函数关系时，数据点位于某曲线上.（2）两个变量间的关系是相关关系时，数据点位于某曲线附近.（3）两个变量间的关系为线性相关时，数据点位于某直线附近.该直线叫回归直线，对应的方程叫回归方程，该直线作为两个变量有线性相关关系的代表（4）求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数第二步，求和第三步，计算第四步，写出回归方程练习1.由一组10个数据(x i，y i)算得则b= ,a= ,回归方程为.练习2.二、新授1. 两个变量是否有相关关系可以先作出散点图进行判断.2. 两个变量间是否有相关关系也可以通过求相关函数来判断.其中三、习题讲解课后作业教学反思：§2.4小结教学目标（1）本章知识系统化（2）本章知识网络化教学重点统计基本知识与方法．教学难点统计在现实生活与生产中的应用．教学过程：一、知识整合二、巩固练习1、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是（）A. 正方体的棱长和体积B. 单位圆中角的度数和所对应的弧长C. 单位产量为常数时，土地面积和总产量D. 日照时间与水稻的亩产量2．对一组数据进行分析，下列说法不正确的是（）A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定3．学校礼堂有25排，每排有20个座位，一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后留下了座位号是15的所有25名学生测试，这里运用的抽样方法是（）A. 抽签法B. 随机数表法C. 系统抽样法D. 分层抽样法4．为了解某地5000名初三学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，以下表述不正确的是（）．A．5000名学生成绩的全体是总体B．每个学生的成绩是个体C．抽取200学生成绩的全体是总体的一个样本D．样本的容量是50005．为了调查学生的课外阅读情况，随机抽查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示.根此可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间约为 ( )A． 0.6小时 B. 0.9小时 C. 1.0小时 D. 1.5小时６．下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，中间的数字表示得分的十位数，下列对乙运动员的判断错误的是（）A．乙运动员的最低得分为0分B．乙运动员得分的众数为31C．乙运动员的场均得分高于甲运动员D．乙运动员得分的中位数是28二、填空题7. 某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有２０件,那么此样本的容量 . 8．高一年级有4个班，各班的人数分别是52、54、54、53，某次数学考试各班的数学平均成绩分别是81、80、82、83，则这四个班的平均分是（精确到0.1）.9．在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 .10．右图是200辆汽车通过某一路口时的时速频率分布直方图，则时速在的汽车大约有辆.11．某校对高二学生的物理成绩和数学成绩进行了统计调查，得到与具有相关关系，且回归直线方程为（单位：分，满分100分），若小王同学的物理成绩为89，估计他的数学成绩约为（精确到１分）.12．一组数据按从大到小排列为2，2，4，，6，10，已知这组数据的中位数为5，那么这组数据的平均数为 .三、解答题13．中学生的心理健康问题已引起了社会的广泛关注，黎明中学对全校600名高三学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图：请填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图．课后作业：教学反思：。

两个变量的线性相关一、教学目标重点: 了解最小二乘法和回归分析的思想，根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程．难点：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想．知识点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.能力点：探究体会数形结合的方法及最小二乘法的数学思想.教育点：学生通过合作学习、自主学习和探究式学习的方式完成一个完整的数学学习过程. 自主探究点：自学例2.考试点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.易错易混点：如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高.拓展点：事件、样本数据、回归直线方程三者关系．二、复习引入【设计意图】为本节课学生能够更好的建构新的知识做好充分的准备，对旧的知识进行简要的提问复习，为能够顺利的完成本节课的内容提供必要的基础．【设计说明】学生动手操作得出散点图回答．【设计意图】通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛．【设计说明】设计该问题，引导学生自己发现问题，鼓励学生大胆表达自己的看法，充分暴露思维过程．发现：图1很乱，两个变量没有相关关系；图2呈上升趋势，图中点的分布呈条状，所有点都落在某一直线的附近，这样由图2自然地引出线性相关、回归直线的概念，同时引入课题．引入：为此我们引入今天的课题-回归直线及其方程．【设计意图】循序渐进，符合学生的认知规律．三、探究新知(一)探索回归直线的概念1.回归直线的定义：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．【设计意图】培养自学能力和数学阅读能力．【设计说明】让学生阅读教材，通过阅读教材学习线性相关，回归直线，回归方程的概念，并分析概念中应注意的问题．注意：概念的前提是点的分布在一条直线附近． (二)探索回归直线的找法结合引例—年龄与体内脂肪含量相关性的散点图观察，思考以下问题．问题1.对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？【设计意图】让学生通过观察、分析，自己发现回归直线的条数只有一条，从而培养学生观察、分析问题的能力．问题2.回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？【设计意图】让学生分析两者的关系，教师引导学生发现两者整体上最接近，以进一步培养学生观察、分析问题的能力．问题3.那么在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？【设计意图】让学生动手操作画回归直线，建立回归思想，以分解难点、突破难点，培养学生的动手操作能力．问题4.如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性．那么我们应当如何具体求出这个回归方程呢？对于求回归直线方程，你有哪些想法？ 【设计意图】充分暴露学生的思维过程, 通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛,培养学生动脑思考问题的能力． 【设计说明】结合教材，学生会出现以下方案．方案一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测出此时的斜率和截距，就是回归方程了．如图脂肪含量脂肪含量方案二：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同． 如图方案三：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距，得回归方程．如图问题5.以上这些方法是不是真的可行？为什么？【设计意图】结合以上三个方案让学生画图，然后教师引导学生讨论、交流方案的可行性，体会回归直线的特征．【设计说明】教师先展示学生画图情况，学生说明理由；然后教师总结回归直线的特征：整体上看散点图中的点到此直线的距离最小．问题6.如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离小”？ 【设计意图】这样设疑符合学生的认知规律，增强了学生的求知欲． 【设计说明】教师引导学生进行下面的分析： 脂肪含量 y引导学生以等效性和简化计算为目标，将点到直线的距离转化为自变量x 取值一定时，纵坐标的偏差．这样自然引出下面求回归方程的方法．问题7.结合以上分析，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？【设计意图】几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．【设计说明】假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，，(,)n n x y ．当自变量x 取i x ),,2,1(n i =时，可以得到ˆi ybx a =+),,2,1(n i =，它与实际收集到的i y 之间的偏差（如图）是ˆ()i i i i y yy bx a -=-+),,2,1(n i =．问题8.教师启发学生比较下列三个模型，哪个模型比较可行？ 模型一：1ˆ()nii i yy =-∑最小 模型二：1ˆ||n ii i yy=-∑最小 模型三：21ˆ()nii i yy=-∑最小【设计意图】先向学生说明1ni =∑的意义，体会如何选取恰当的计算方法建立回归方程的过程，提高学生分析问题的能力；培养学生的动手操作能力．【设计说明】教师指出：模型一中ˆ()i i y y-可能有正有负，互相抵消怎么办？学生一般会想到加绝对值． 模型二中ˆ||i i y y -去绝对值非常困难（可以提问，让学生思考），是否有其它的方法，同时可以类比方差的处理方法，引导学生思考．师生一起分析后，得出用模型三来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便． (三) 利用最小二乘法推导回归系数公式问题9.通过对上述问题的分析，我们知道可以用Q =2211ˆ()()nnii i i i i yyy bx a ==-=--∑∑最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标(,)i i x y 确定时，a ，b 等于多少，Q 能取到最小值呢？【设计意图】体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n 个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想． 【设计说明】我们采用n 个偏差的平方和Q =2221122()()()n n y bx a y bx a y bx a --+--++--表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q =21()nii i ybx a =--∑．通过化简，得到的其实是关于a 、b 的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a 、b ，使Q 取到最小值． 教师指出：(1)在此基础上，视Q 为b 的二次函数时，根据有关数学原理分析，可求出使Q 为最小值时的b 的值的线性回归方程系数公式：1122211()(),().nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b xx xnxa y bx ====⎛--- ==-- =-⎝∑∑∑∑这样，回归方程的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y bx a =+．(2)),(y x 称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，所以可得a y bx =-． 最小二乘法：这种通过上式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．四、理解新知例1.进一步探究引例—年龄与体内脂肪含量【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性． 【设计说明】可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：i i x y 、n 、x 、y 、1n i ii x y =∑、21nii x=∑六个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．而后教师可偕同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成，得出回归直线方程为：0.6541 4.5659y x =-．(2)利用计算器，根据表二，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程．【设计意图】让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握利用计算器求回归直线的操作方法．得出回归直线方程为：0.57650.4478y x =-．【设计说明】学生独立运用计算器求回归直线方程，对于不会操作的学生，教师给予必要的指导．继续思考下列问题：问题1.请同学们从表格中选取年龄x 的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系．如：x =50时，得出估计值为28.3772，而实际值为28.2，有偏差为什么？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确y 只是y 的一个估计值，将x 值带入后肯定有误差．问题2.试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量，并说明结果的含义． 【设计意图】进一步理解线性回归方程的真正意义与作用．【设计说明】学生代入计算得20.883．教师进一步提问：我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.883%？学生思考回答：不能，只能说他体内的脂肪含量在20.90%附近的可能性比较大．问题3.同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？【设计意图】明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念．【设计说明】教师说明回归直线方程由数据唯一决定，提供的数据不同，回归直线方程当然不同，同时回归直线方程又能反映数据的本质． 理解回归系数公式思考1.线性回归方程y bx a =+为何不记为y bx a =+？你能说明对于确定的x ，根据y bx a =+计算出的y 的意义吗？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确y 只是y 的一个估计值． 【设计说明】学生思考，教师帮助学生理解线性回归方程的意义与作用．思考2.这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,b a 的值，你会按怎样的顺序求呢？【设计意图】公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．【设计说明】由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,b a 时，必须要有条理，先求什么，再求什么．比如，我们可以按照i i x y 、n 、x 、y 、1ni ii x y=∑、21nii x=∑顺序来求，再代入公式．五、运用新知例2.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一1、画出散点图；23、求回归方程；4、如果某天的气温是2（2）2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。