数列及递推公式

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。

2.项：数列中的每一个数。

3.项数：数列中数的个数。

4.首项：数列的第一项。

5.末项：数列的最后一项。

6.公差：等差数列中，相邻两项的差。

7.公比：等比数列中，相邻两项的比。

二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。

2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。

3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。

五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。

2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。

六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。

2.无限数列：项数无限的数列。

3.交错数列：正负交替出现的数列。

4.非交错数列：同号连续出现的数列。

5.常数数列：所有项都相等的数列。

6.非常数数列：各项不相等的数列。

综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。

同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。

习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。

数列的递推与递归关系知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

数列的递推和递归关系是数列研究中的重要内容，通过递推和递归可以得到数列中后一项和前一项之间的关系。

本文将总结数列的递推和递归关系的知识点。

一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系，通过这种关系可以求解数列中的任意一项。

数列的递推公式分为线性递推和非线性递推两种。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系为线性函数的情况。

线性递推关系可以表示为：an = a(n-1) + b其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，b为常数。

通过这个递推公式，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系不为线性函数的情况。

非线性递推关系可以表示为：an = f(a(n-1))其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，f为一个非线性函数。

通过这个递推关系，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。

二、数列的递归关系数列的递归关系是指数列中后一项和前一项之间的关系通过递归定义的情况。

数列的递归关系可以表示为：an = f(an-1)其中an为数列的第n项，an-1为数列的第n-1项，f为一个递归函数。

递归关系中的数列可以通过给定的初始条件，即数列的第一项或前几项，求解数列中的其他项。

三、递推与递归的关系递推和递归是两种不同的求解数列的方法，但它们之间存在紧密的联系。

递推是通过前一项和递推公式来计算后一项，递归则是通过前一项和递归函数来计算后一项。

实际上，递推公式可以看作是递归关系的一种特殊形式，即递归函数是一个线性函数的情况。

通过递推和递归，可以发现数列中的规律，预测数列的未知项，解决各种与数列相关的问题。

在数学和计算机科学领域中，递推和递归在数列求解、算法设计等方面有着重要的作用。

求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。

解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。

数列的通项公式基础知识点1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n}的第一项(或前几项)，且任何一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n＝f(a n－1)(或a n＝f(a n－1，a n－2)等)，那么这个式子叫做数列{a n}的递推公式．4．S n与a n的关系已知数列{a n}的前n项和为S n，则a n ＝⎩⎨⎧S1，n＝1，Sn－S n－1，n≥2，这个关系式对任意数列均成立．5.由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n－a n－1＝f(n)，可用“累加法”求a n.(2)已知a1且a nan－1＝f(n)，可用“累乘法”求a n.(3)已知a1且a n＋1＝qa n＋b，则a n＋1＋k＝q(a n＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n＋k}．(4)形如a n＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．基础题型训练：一．选择题（共10小题）1．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第19项2．已知数列{an }的前n项和，则a2•a6=（）A． B． C．16 D．643．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N+），则a2018的值为（）A．2 B．3 C．2018 D．40354．在等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2+10x﹣16=0的两个根，那么S11的值为（）A．44 B．﹣44 C．55 D．﹣55 5．无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（）A．an =n2﹣n+1 B．an=n2+n﹣1 C．an= D．an=6．在数列{an }中，a1=﹣1，a2=0，an+2=an+1+an，则a5等于（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．数列{an }的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N*），则a4等于（）A．11 B．15 C．17 D．208．在数列{an }中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．1019．若数列{an }由a1=2，an+1=an+2n（n≥1）确定，则a100的值为（）A．9900 B．9902 C．9904 D．990610．已知数列{an }中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an为（）A．3n﹣1 B．3n+1﹣8 C．3n﹣2 D．3n 二．填空题（共4小题）11．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an= ．12．已知数列{an }的前n项和Sn=3+2n，则数列{an}的通项公式为．13．数列{an }满足an+1=3an+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式an= ．14．已知数列{an }是等差数列，Sn是其前n项和，且S12＞0，S13＜0，则使an＜0成立的最小值n是．三．解答题（共1小题）15．设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a3=24，S11=0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an }的前n项和Sn；（Ⅲ）当n为何值时，Sn 最大，并求Sn的最大值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则an 2﹣an﹣12=3，又∵a12=2，∴an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选：B．2．已知数列{an }的前n项和，则a2•a6=（）A．B．C．16 D．64【解答】解：∵数列{an}的前n项和，∴a2=S2﹣S1=（22﹣1）﹣（2﹣1）=4﹣2=2，a6=S6﹣S5=（26﹣1）﹣（25﹣）=64﹣32=32，则a2•a6=2×32=64，故选：D．3．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn=2n﹣1（n∈N+），则a2018的值为（）A．2 B．3 C．2018 D．4035【解答】解：∵Sn =2n﹣1（n∈N+），则a2018=S2018﹣S2017=2×2018﹣1﹣（2×2017﹣1）=2．故选：A．4．在等差数列{an }中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2+10x﹣16=0的两个根，那么S11的值为（）A．44 B．﹣44 C．55 D．﹣55【解答】解：∵a5，a7是方程x2+10x﹣16=0的两个根，∴a5+a7=﹣10，则S11====﹣55，故选：D．5．无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（）A．an =n2﹣n+1 B．an=n2+n﹣1 C．an=D．an=【解答】解：∵a2﹣a1=3﹣1=2，a 3﹣a2=6﹣3=3，a 4﹣a3=10﹣6=4，…∴an =a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=1+2+3+…+n=．故选：C．6．在数列{an }中，a1=﹣1，a2=0，an+2=an+1+an，则a5等于（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：数列{an }中，a1=﹣1，a2=0，an+2=an+1+an，a3=﹣1，a4=﹣1，则a5=﹣2．故选：C．7．数列{an }的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N*），则a4等于（）A．11 B．15 C．17 D．20【解答】解：a4=S4﹣S3=（2×16﹣3×4）﹣（2×9﹣3×3）=11．故选：A．8．在数列{an }中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．101【解答】解：∵在数列{an }中，a1=1，an+1﹣an=2，∴数列{an }是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a51=2×51﹣1=101．故选：D．9．若数列{an }由a1=2，an+1=an+2n（n≥1）确定，则a100的值为（）A．9900 B．9902 C．9904 D．9906【解答】解：由题意可得，得an+1﹣an=2n所以a2﹣a1=2a3﹣a2=4…an ﹣an﹣1=2（n﹣1）把以上n﹣1个式子相加可得，an ﹣a1=2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1）所以，an=n（n﹣1）+2则a100=9902故选：B．10．已知数列{an }中，a1=1，an=3an﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an为（）A．3n﹣1 B．3n+1﹣8 C．3n﹣2 D．3n【解答】解：在an =3an﹣1+4两边同时加上2，得an+2=3an﹣1+6=3（an﹣1+2），根据等比数列的定义，数列{ an+2}是等比数列，且公比为3．以a1+2=3为首项．等比数列{ an +2}的通项an+2=3•3 n﹣1=3 n，移向得an=3n﹣2．故选：C．二．填空题（共4小题）11．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+），则数列{an}的通项公式an= ．【解答】解：当n≥2时，an =2Sn﹣1，∴an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an，即an+1=3an，∴数列{an }为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，∴an=2•3n﹣2，当n=1时，a1=1∴数列{an}的通项公式为．故答案为：．12．已知数列{an }的前n项和Sn=3+2n，则数列{an}的通项公式为．【解答】解：由Sn=3+2n，当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，．所以．故答案为．13．数列{an }满足an+1=3an+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式an= •（3n﹣1）．【解答】解：∵an+1=3an+1，∴an+1+=3（an+），则数列{an +}是公比q=3的等比数列，首项a1+=1+=，则an+=•3n﹣1=•3n，则an=﹣+•3n=•（3n﹣1），故答案为：•（3n﹣1）14．已知数列{an }是等差数列，Sn是其前n项和，且S12＞0，S13＜0，则使an＜0成立的最小值n是7 ．【解答】解：∵S12＞0，S13＜0，∴＞0，＜0，∴a6+a7＞0，a7＜0，∴a6＞0．则使an＜0成立的最小值n是7．故答案为：7．三．解答题（共1小题）15．设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a3=24，S11=0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an }的前n项和Sn；（Ⅲ）当n为何值时，Sn 最大，并求Sn的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，∵a3=24，S11=0，∴a1+2d=24，a1+55d=0，解之得a1=40，d=﹣8，∴an=48﹣8n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1=40，an=48﹣8n，∴Sn==﹣4n2+44n．（Ⅲ）由（Ⅱ）有，Sn=﹣4n2+44n=﹣4（n﹣5.5）2+121，故当n=5或n=6时，Sn 最大，且Sn的最大值为120．。