三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入2理

第二节 平面向量的数量积及其应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·某某，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634 D.37＋23342.(2016·某某，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－943.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°4.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8B.－6 C.6 D.85.(2015·某某，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 26.(2015·某某，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →7.(2015·某某，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A.20B. 15C.9D.68.(2015·某某，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.219.(2015·某某，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D.π 10.(2015·某某，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 211.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.512.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B. 2 C.1 D.2213.(2014·某某，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71214.(2016·某某，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.15.(2015·某某，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________.16.(2015·某某，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.17.(2015·某某，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22,n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.18.(2014·，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.19.(2014·某某，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.20.(2014·某某，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.21.(2014·某某，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某四校联考)△ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1,若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则BA →在向量BC →方向上的投影为( ) A.32 B.32C.3D.－322.(2015·某某某某一中三模)已知正三角形ABC 的边长是3,D 是BC 上的点,BD ＝1,则AD →·BC →＝( )A.－92B.－32C.152D.523.(2016·某某某某模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π34.(2016·某某三门模拟)若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A.|2a |＞|2a ＋b |B.|2a |＜|2a ＋b |C.|2b |＜|a ＋2b |D.|2b |＞|a ＋2b |5.(2015·某某某某模拟)已知向量OB →＝(2，0)，向量OC →＝(2，2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π126.(2015·某某实验中学测试)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB→|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0且AB→|AB →|·AC→|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形7.(2016·某某某某模拟)已知a ·b ＝0，|a ＋b |＝t |a |，若a ＋b 与a －b 的夹角为2π3，则t的值为________.8.(2016·某某实验中学二模)如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA ，OB 分别相交于点M ，N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →.(1)利用NM →∥MP →，把y 用x 表示出来(即求y ＝f (x )的解析式)；(2)设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足S n ＝f (S n －1)(n ≥2且n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.9.(2016·某某某某模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，a ＞b ，求a ，b 的值.10.(2015·某某某某模拟)已知向量a ，b 满足：|a |＝13，|b |＝1，|a －5b |≤12，则b 在a 上的投影的取值X 围是________.11.(2015·某某市高三期末)在梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，|BC →|＝6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0，DA →·CB →＝|DA →|·|DP →|，Q 为边AD 上的一个动点，则|PQ →|的最小值为________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B [由题意,|DA →|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心； DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ， 同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心. DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2，所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC →，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494， 当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B.2. B [∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]3.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]4.D [由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]5.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]6.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.] 7.C [AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－→＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]8.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]9.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]10.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]11.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,①同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]12.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.]13.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]14.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]15.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF→＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.] 16.1 2 2 2 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 17.解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.18. 5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]19.223[因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]20.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]21.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.A [△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处,因此△ABC 是直角三角形,且∠A ＝π2.又因为|OA →|＝|CA →|,∴∠C ＝π3,∠B ＝π6,∴AB ＝3,AC ＝1,故BA →在BC →方向上的投影|BA →|cosπ6＝32.] 2.B [由余弦定理得：AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7， ∴cos ∠ADB ＝1＋7－92×1×7＝－714，∴AD →·BC →＝7×3×cos ∠ADB ＝37×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝－32.故选B.]3.D [由|a ＋b |＝|a －b |可知a ⊥b ,设AB →＝b ,AD →＝a ,作矩形ABCD ，可知AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b .设AC 与BD 的交点为O ，结合题意可知OA ＝OD ＝AD ，∴∠AOD ＝π3，∴∠DOC ＝2π3， 又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，故所求夹角为2π3，故选D.]4.D [因为|a ＋b |＝|b |，则|a ＋b |2＝|b |2，即a 2＋2a ·b ＝0，所以a ·b ＜0，因为|a ＋2b |2－|2b |2＝a 2＋4a ·b ＜0，故选D.]5.B [由题知点A 在以C (2，2)为圆心，2为半径的圆上，设OD ,OE 为圆的切线,在△COD 中,OC ＝22,CD ＝2,∠CDO ＝π2,所以∠COD ＝π6,又因为∠COB ＝π4，所以当A 在D 处时，则OA →与OB →夹角最小为π4－π6＝π12，当A 在E 处时，则OA →与OB →夹角最大为π4＋π6＝5π12，∴OA →与OB →夹角的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12，∴故答案为B.]6.D [设∠BAC 的角平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|＝λAD →.由已知得AD ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形.又cos A ＝12，∴A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，故选D.]7.2 [∵a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝|a －b |，又|a ＋b |＝t |a |，∴a 2＋b 2＝t 2a 2，t >0， ∴b 2＝(t 2－1)a 2，t >1，由向量夹角公式得：cos 2π3＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2t 2a 2＝2－t2t2＝-12， 解得t ＝2或t ＝－2(舍去).] 8.解(1)∵OP →＝AB →＝OB →－OA →， ∴MP →＝OP →－OM →＝－(1＋x )OA →＋OB →， ∵NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →，NM →∥MP →， ∴x －y (1＋x )＝0，∴y ＝xx ＋1(x >0).即函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝x1＋x(x >0). (2)当n ≥2时，由S n ＝f (S n －1)＝S n －1S n －1＋1得1S n －1S n －1＝1，又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项和公差都为1的等差数列，则1S n ＝n ，即S n ＝1n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －n 2， n ＝1时，a 1＝1不满足上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，1n －n2，n ≥2.9.解(1)由题意得f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x ·cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，(k ∈Z ).(2)由(1)知f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， ∵角C 是三角形内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32，结合c ＝1，ab ＝23，可得a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4，∴⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，又a ＞b ，∴a ＝2，b ＝ 3.word 11 / 11 10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤513，1[由已知得|a -5b |2≤144,又|a |＝13,|b |＝1， 所以169-10a ·b ＋25≤144,所以a ·b ≥5,所以b 在a 上的投影|b |·cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a |≥513，又cos 〈a ,b 〉≤1，所以b 在a 上的投影取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤513，1.]11.423[取AB 的中点E ，连接PE ，∵AB →＝2DC →，AB →＝2EB →，∴DC →＝EB →，∴四边形DEBC 为平行四边形，∴DE →＝CB →，∵AP →＋BP →＝－2PE →，AP →＋BP →＋4DP →＝0，∴PE →＝2DP →.∵|BC →|＝6.∴|DP →|＝2，|PE →|＝4，设∠ADP ＝θ，∵DA →·CB →＝|DA →|·|DP →|，∴DA →·CB →＝|DA →||CB →|cos θ＝|DA →|·|DP →|，∴cos θ＝13，∴sin θ＝223，当PQ →⊥AD →时，|PQ →|最小，∴|PQ →|＝|DP →|sin θ＝2×223＝423，故答案为：423.]。

第五节 数系的扩充与复数的引入【最新考纲】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义.2.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)的数叫复数，其中ɑ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则ɑ＋bi 为实数，若b≠0，则ɑ＋bi 为虚数，若ɑ＝0且b≠0，则ɑ＋bi 为纯虚数．(2)复数相等：ɑ＋bi ＝c ＋di ⇔ɑ＝c ，b ＝d (ɑ，b ，c ，d ∈R)． (3)共轭复数：ɑ＋bi 与c ＋di 共轭⇔ɑ＝c ，b ＝－d (ɑ，b ，c ，d ∈R)．(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝ɑ＋bi 的模，即|z|＝|ɑ＋bi| 2．复数的几何意义复数z ＝ɑ＋bi Ｆ―→一一对应复平面内的点Z(ɑ，b)Ｆ―→一一对应平面向量OZ →＝(ɑ，b)．3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝ɑ＋bi ，z 2＝c ＋di ，ɑ，b ，c ，d ∈R z 1±z 2＝(ɑ＋bi )±(c＋di)＝(ɑ±c)＋(b ±d)i ． z 1·z 2＝(ɑ＋bi)(c ＋di)＝(ɑc －bd)＋(bc ＋ɑd)i ． z 1z 2＝ɑ＋bi c ＋di ＝ɑc＋bd c 2＋d 2＋bc －ɑd c 2＋d2i(c ＋di ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如右图所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝1＋i的虚部为i.( )(2)若z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)，当ɑ＝0时，z是纯虚数．( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(2015·广东卷)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( )A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i解析：∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.答案：A3．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：由题意知，该复数在复平面内对应的点为(－2，1)，所以该点位于复平面的第二象限．答案：B4．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1 B．2 C. 2 D. 3解析：∵z(1＋i)＝2i，∴|z|·|1＋i|＝|2i|.∴|z|·2＝2.∴|z|＝ 2.答案：C5．(2015·北京卷)复数i(1＋i)的实部为________．解析：因为i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，所以实部为－1.答案：－1一个关键复数分类的关键是抓住z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当ɑ＝0，且b≠0时，z为纯虚数．一个实质复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．一种方法化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．两点注意1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等ɑ＋bi＝c＋di列方程时，注意ɑ，b，c，d∈R的前提条件．一、选择题1．(2015·湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为( )A．i B．－i C．1 D．－1解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.答案：A2．(2015·山东卷)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 解析：由已知得z ＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i. 答案：A3．(2015·福建卷)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅解析：∵A＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}， ∴A ∩B ＝{－1，1}． 答案：C4．(2016·郑州一检)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m∈R)是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，则m ＋3＝0，所以m ＝－3.答案：A5．在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45iB.25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i解析：由2i 2－i ＝－25＋45i 该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45， 故复数z ＝25＋45i.答案：A6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0 解析：设z ＝ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)，则z 2＝ɑ2－b 2＋2ɑbi ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ɑb ＝0，ɑ2－b 2≥0，则b ＝0，或ɑ，b 都为0，即z 为实数，故选项A 为真． 同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真． 答案：C二、填空题7．若复数z 满足iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是________． 解析：由于iz ＝2＋4i ， 所以z ＝2＋4ii ＝4－2i ，故z 对应点的坐标为(4，－2)． 答案：(4，－2)8．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2＝________． 解析：∵z＝1＋i ，∴z ＝1－i ，则z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0. 答案：09．(2015·重庆卷)设复数ɑ＋bi(ɑ，b ∈R)的模为3，则(ɑ＋bi)(ɑ－bi)＝________． 解：∵|ɑ＋bi|＝ɑ2＋b 2＝3，∴(ɑ＋bi)(ɑ－bi)＝ɑ2＋b 2＝3. 答案：3 三、解答题10．在复平面内，复数5＋4i ，－1＋2i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，求点C 对应复数的模．解：由题意知点A(5，4)，B(－1，2)，所以点C 的坐标为(2，3)，所以点C 对应的复数为z ＝2＋3i ，它的模为22＋32＝13.11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝1－i 1＋i ＋2＝（1－i ）22＋2＝2－i ，设z 2＝ɑ＋2i(ɑ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(ɑ＋2i)＝(2ɑ＋2)＋(4－ɑ)i ，又z 1·z 2是实数，∴ɑ＝4，从而z 2＝4＋2i.三角函数与平面向量的高考热点题型三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点，本专题的热点题型有：一是三角恒等变换的综合应用；二是三角函数与解三角形的综合问题；三是三角函数与平面向量的综合应用，中档难度。

第二节 平面向量的数量积及其应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°2.(2015·广东，9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB →＝(1,－2), AD →＝(2,1),则AD →·AC →＝( )A.5B.4C.3D.2 3.(2015·陕西，8)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 24.(2015·重庆，7)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π65.(2015·福建，7)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A.－32 B.－53 C.53 D.326.(2015·湖南，9)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．97.(2014·安徽，10)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3B.π3C.π6D ．08.(2014·湖南，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27 ]D ．[7－1，7＋1]9.(2014·山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m＝( ) A.2 3 B. 3 C.0D.－ 310.(2014·新课标全国Ⅱ，4)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.511.(2016·新课标全国Ⅰ，13)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 12.(2016·山东，13)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4).若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________.13.(2016·北京，9)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________. 14.(2015·湖北，11)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.15.(2015·浙江，13)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.16.(2015·江苏，14)设向量a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k＋1)的值为________．17.(2015·天津，13)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．18．(2014·重庆，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.19.(2014·四川，14)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝______.20.(2014·陕西，18)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2，3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·晋冀豫三省一调)已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C.2 5D.102.(2016·江西赣州摸底)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π).若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( ) A.1 B.－1 C. 3D.223.(2016·山西质量监测)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，CA →在CB →方向上的投影为( ) A.－3 B.－ 3 C. 3D.34.(2015·唐山一中高三期中)若a ，b ，c 均为单位向量，a ·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是( ) A.2 B. 3 C. 2D.15.(2015·山西大学附中月考)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.答案 A2.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 答案 A3.解析 对于A ，由|a ·b |＝||a ||b | cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |恒成立； 对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立； 对于C 、D 容易判断恒成立．故选B. 答案 B4.解析 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0， 即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，又|b |＝4|a |，则上式可化为2|a |2＋|a |×4|a |·cos〈a ，b 〉＝0，即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为23π.答案 C5.解析 c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0， ∴k ＝－32，故选A.答案 A6.解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ， ∴线段AC 为圆的直径， 故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0).设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )， ∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )，|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B. 答案 B7.解析 设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a ·b ，则S ＝2a 2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a ·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a ·b ，则S ＝4a ·b ，记为S 3.又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a ·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a ·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 答案 B8.解析 设D (x ，y )，则(x －3)2＋y 2＝1，OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， 故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值为（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝7＋1，最小值为（3－1）2＋（0＋3）2－1＝7－1， 故取值范围为[7－1，7＋1]． 答案 D9.解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2， 两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意． 答案 B10.解析 因为|a ＋b |＝10， 所以|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a·b ＋b 2＝10. ① 又因为|a －b|＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6. ② 由①－②得4a·b ＝4， 即a·b ＝1，故选A. 答案 A11.解析 由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.答案 －2312.解析 ∵a ⊥(t a ＋b )，∴t a 2＋a ·b ＝0，又∵a 2＝2，a ·b ＝10，∴2t ＋10＝0， ∴t ＝－5. 答案 －513.解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝1×3＋1×312＋（3）2·12＋（3）2＝234＝32， 所以θ＝π6.答案 π614.解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 答案 915.解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0， 所以b ⊥(e 1－e 2)，所以b 与e 1的夹角为30°， 所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝233.答案 23316.解析 ∵a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6， ∴a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6·⎝⎛⎭⎪⎫cosk ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝cosk π6·cosk ＋16π＋⎝⎛⎭⎪⎫sink π6＋cosk π6·⎝⎛⎭⎪⎫sink ＋16π＋cos k ＋16π ＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故1111100k k k k a a +==⋅=∑∑⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π ＝32110k =∑cos π6＋12110k =∑cos 2k ＋16π＋110k =∑sin 2k ＋16π. 由11k =∑cos 2k ＋16π＝0，11k =∑sin 2k ＋16π＝0，得∑k ＝011 a k ·a k ＋1＝32cos π6×12＝9 3.答案 9 317.解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴CD ＝1.AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos 120°＝2918. 答案 291818.解析 因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210， 又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案 1019.解析 由已知可以得到c ＝(m ＋4，2m ＋2)，且cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉， 所以c·a |c|·|a|＝c ·b|c|·|b|，即m ＋4＋2（2m ＋2）（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×12＋22＝4（m ＋4）＋2（2m ＋2）（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×42＋22， 即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案 220.解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 因为向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ， 所以2x －4＝0，2y ＝－4，解得x ＝2，y ＝－2， 所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.答案 B2.解析 设a 与b 的夹角为θ，由|a ·b |＝|a ||b |，得|cos θ|＝1， 所以向量a 与b 共线，则sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x . 又x ∈(0，π)，所以2cos x ＝2sin x ，即tan x ＝1. 答案 A3.解析 由OA →＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →， ∴四边形OBAC 为平行四边形.又|OA →|＝|AB →|，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形. ∴∠ACB ＝π6，∴三角形OAB 为正三角形. ∵外接圆的半径为2，∴CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝ 3.故选C.答案 C4.解析 由c ·c ＝(x a ＋y b )·(x a ＋y b )＝x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，故(x ＋y )max ＝2. 答案 A5.解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5， 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4，所以θ＝π2或θ＝3π4.。

高考专项训练⎪⎪平面向量与复数考查点一 平面向量的线性运算及坐标运算1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝43AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6. 答案：－63．(2018·全国卷Ⅲ) A ．B ．C ．D ．答案：D考查点二 平面向量的数量积及应用4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)， 所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.5．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 因为BA ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，所以BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32.又因为BA ―→·BC ―→＝|BA ―→||BC ―→|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，(1i)(2i)+-=3i --3i -+3i -3i +所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°， 所以∠ABC ＝30°.6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2. 答案：－27．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：法一：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC ―→|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.答案：2 3考查点三 复 数8．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ， ∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题； 对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R)， 则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z 2， ∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z ＝a －b i ＝a ∈R ， ∴p 4是真命题．9．(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，即－3<m <1，故实数m 的取值范围为(－3,1)．10．(2018·江苏) 若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为( ) A ．2 B ．－2 C ．iD ．－i解析：选A 考察复数的基本运算11．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.平面向量——重点突破2个常考点考法(一) 平面向量数量积的运算及应用[题组突破]1．(2018届高三·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选C 设a 与b 的夹角为θ， 由已知可得a 2＋2a·b ＋b 2＝3(a 2－2a·b ＋b 2)，即4a·b ＝a 2＋b 2.因为|a|＝|b|，所以a·b ＝12a 2，所以cos θ＝a·b |a|·|b|＝12，θ＝60°.2.如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP ―→·OP ―→＝( )A ．1 B.116 C.14D ．－12解析：选B 法一：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC ―→＝12OA ―→＋12OB ―→，所以OP ―→＝12OC ―→＝14(OA ―→＋OB ―→)，则AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝14OB ―→－34OA ―→，所以AP ―→·OP ―→＝14(OB ―→－3 OA ―→)·14(OA ―→＋OB ―→)＝116(OB ―→2－3OA ―→2)＝116.法二：以O 为坐标原点，OB ―→的方向为x 轴正方向，OA ―→的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，则A (0,1)，B (2,0)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，P ⎝⎛⎭⎫12，14，所以OP ―→＝⎝⎛⎭⎫12，14， AP ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－34， 故AP ―→·OP ―→＝12×12－34×14＝116.3．(2017·云南模拟)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30D.34解析：选D 依题意得a 2＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2， 所以|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34.考法(二) 平面向量数量积的范围问题平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．题型1 平面向量模的最值或范围问题[典例] (1)(2017·河北衡水中学调研)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a·b ＝2，(a －c )·(b －2c )＝0，则|b －c |的最小值为( )A.7－32B.3－12 C.32 D.72[解析] 由|a |＝|b |＝a·b ＝2，知a ，b 的夹角为π3，可设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，c ＝(x ，y )， ∵(a －c )·(b －2c )＝0，∴(2－x ，－y )·(1－2x ，3－2y )＝0， 即2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0.方程2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫54，34，半径为32的圆，|b －c |＝(x －1)2＋(y －3)2表示圆2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0上的点到点(1，3)的距离，所以|b －c |的最小值为⎝⎛⎭⎫54－12＋⎝⎛⎭⎫34－32－32＝7－32. [答案] A(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1[解析] 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则P A ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.[答案] B [解题方略]求向量模的最值(范围)的2种方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．[针对训练]1．(2017·抚州二模)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝1，c ·b ＝1，|c |＝2，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：选B ⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2ta ·c ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t ≥2＋2t 2·1t2＋22t ·2t ＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t 2，2t ＝2t，即t ＝1时等号成立，∴⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 的最小值为2 2.2．(2017·泰安二模)已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则|a |的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ， 则b －a ＝AC ―→－AB ―→＝BC ―→， ∵a 与b －a 的夹角为120°， ∴∠B ＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a |sin C，∴|a |＝sin C sin 60°＝233sin C ，∵0°＜C ＜120°，∴sin C ∈(0,1]， ∴|a |∈⎝⎛⎦⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎤0，233题型2 数量积的最值或范围问题[典例] (1)(2018届高三·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则P A ―→·BD ―→的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－1，12 C ．[－1,1] D ．[－1,0][解析]∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，∴BD ＝ 2.如图所示，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为O ，则P A ―→＝PO ―→＋OA ―→，OA ―→·BD ―→＝0，∴P A ―→·BD ―→＝(PO ―→＋OA ―→)·BD ―→＝PO ―→·BD ―→. ∴当点P 与点B 重合时，P A ―→·BD ―→取得最大值， 即P A ―→·BD ―→＝PO ―→·BD ―→＝12×2×2＝1；当点P 与点D 重合时，P A ―→·BD ―→取得最小值， 即P A ―→·BD ―→＝－12×2×2＝－1.∴P A ―→·BD ―→的取值范围是[－1,1]． [答案] C(2)(2017·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→|＝2，则BM ―→·BN ―→的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎣⎡⎭⎫32，2D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ [解析] 以等腰直角三角形的直角边BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B (0,0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.设M (a,2－a )，则0＜a ＜1，N (a ＋1,1－a )，∴BM ―→＝(a,2－a )，BN ―→＝(a ＋1,1－a )，∴BM ―→·BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2， ∵0＜a ＜1，∴当a ＝12时，BM ―→·BN ―→取得最小值32，又BM ―→·BN ―→＜2，故BM ―→·BN ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2. [答案] C[解题方略]数量积的最值或范围问题的2种求解方法(1)临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．(2)目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．[针对训练]1．(2017·湖南一模)在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则ME ―→·MC ―→的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤716，12 B.⎣⎡⎦⎤716，1 C.⎣⎡⎦⎤12，1D ．[0,1]解析：选B 如图，以A 为坐标原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,1)，C (1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12.设M (0，m )(0≤m ≤1)，则ME ―→＝⎝⎛⎭⎫12，12－m ，MC ―→＝(1，－m )． ME ―→·MC ―→＝12－m ⎝⎛⎭⎫12－m ＝m 2－12m ＋12＝⎝⎛⎭⎫m －142＋716，由于m ∈[0,1]， 则当m ＝14时，ME ―→·MC ―→取得最小值716；当m ＝1时，ME ―→·MC ―→取得最大值1. 所以ME ―→·MC ―→的取值范围是⎣⎡⎦⎤716，1. 2．若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________． 解析：依题意可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋ 2. 答案：1＋ 2复数——警惕3个易错点1．混淆复数z ＝a ＋b i 的实部与虚部或误认为虚部为b i [练1] (2017·贵阳模拟)复数(i －1－i)3的虚部为( )A ．8iB ．－8iC ．8D ．－8解析：选C 依题意得，复数(i －1－i)3＝(－i －i)3＝－8i 3＝8i 的虚部为8. 2．忽视复数a ＋b i 为纯虚数时，b ≠0这一条件[练2] (2017·张掖模拟)若复数a ＋3i 1＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－6B ．－3C ．3D ．6解析：选Ba ＋3i 1＋i ＝(a ＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a ＋3)＋(3－a )i2，∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，3－a ≠0，∴a ＝－3. 3．记不清共轭复数的概念，误认为z ＝a ＋b i 的共轭复数为z ＝－(a ＋b i)[练3] 已知复数z ＝x ＋4i(x ∈R)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z |＝5，则z 1＋i的共轭复数为( )A.72＋12iB.72－12iC.12－72i D.12＋72i 解析：选C 由题意知x ＜0，且x 2＋42＝52， 解得x ＝－3， ∴z 1＋i ＝－3＋4i 1＋i ＝(－3＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋72i ，故其共轭复数为12－72i.1．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.3．(2017·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－23 B.23 C.38 D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38.4．(2018届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6B.π3C.π4D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(2017·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2.6．(2017·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(2018届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→)＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝⎛⎭⎫12 AB ―→－13AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 8．(2018届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.10．(2018届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(2017·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S△ABC，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2 解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.13．(2017·成都模拟)若复数z ＝a i1＋i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i 1＋i ＝a i·(1－i )(1＋i )(1－i )＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a2＝－1，解得a ＝－2.答案：－214．(2017·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.答案： 515．(2018届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝⎛⎭⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83. 答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1，∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )， 其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]； 当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]． 答案：[－1,0]。

第三节 数系的扩充与复数的引入A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，2)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3 B.－2 C.2D.32.(2016·新课标全国Ⅱ，2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( ) A.－1＋2i B.1－2i C.3＋2iD.3－2i3.(2016·新课标全国Ⅲ，2)若z ＝4＋3i ，则z－|z |＝( )A.1B.－1C.45＋35i D.45－35i 4.(2016·某某，1)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0 B.2 C.2iD.2＋2i5.(2016·，2)复数1＋2i2－i ＝( )A.iB.1＋iC.－iD.1－i 6.(2016·某某，2)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i7.(2015·某某，1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A.3，－2 B.3,2 C.3，－3 D.－1,48.(2015·某某，1)i 为虚数单位，i 607＝( ) A.i B.－iC.1D.－19.(2015·新课标全国Ⅰ，3)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A.－2－i B.－2＋i C.2－i D.2＋i10.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A.－4B.－3C.3D.411.(2015·某某，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i12.(2015·某某，1)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i13.(2015·某某，1)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i14.(2014·某某，1)设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i＝( ) A.－i B.i C.－1 D.115.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.216.(2014·新课标全国Ⅱ，2)1＋3i1－i ＝( )A.1＋2iB.－1＋2iC.1－2iD.－1－2i17.(2014·某某，2)复数(3＋2i)i 等于( ) A.－2－3i B.－2＋3i C.2－3iD.2＋3i18.(2014·某某，2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A.1B.－1C.iD.－i19.(2014·某某，2)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4iD.3＋4i 20.(2014·某某，3)已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( ) A.5 B.5C.3 D. 321.(2014·某某，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( ) A.3－4i B.3＋4i C.4－3i D.4＋3i22.(2014·某某，1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 23.(2015·，9)复数i(1＋i)的实部为________． 24.(2015·某某，11)复数(1＋2i)i 的实部为________．25.(2015·某某，3)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 26.(2015·某某，9)i 是虚数单位，计算1－2i2＋i 的结果为________．27.(2014·某某，11)已知i 是虚数单位，计算1－i 1＋i2＝______.28.(2014·某某，12)复数2－2i1＋i＝________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某某某第一次适应性测试)若复数z ＝2－i1＋i ，则|z |＝( )A.1B.10C.102D.3 2.(2016·某某市质检三)设复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则2z＋z 2＝( )A.1＋iB.1－iC.－1－iD.－1＋i3.(2016·某某九校联考)若复数(1＋m i)(3＋i)(i 是虚数单位，m 是实数)是纯虚数，则复数m ＋2i1－i 的模等于( )A.2B.3C.132D.2624.(2015·某某十二校联考)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2(i 是虚数单位)的共轭复数为( )A.－12＋32iB.12－32iC.12＋32i D.－12－32i5.(2015·某某模拟)设i 是虚数单位，复数i1＋i 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2015·某某省统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则2－z－z等于( ) A.－1－2i B.－2＋i C.－1＋2iD.1＋2i7.(2015·潍坊一模)若复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) A.(1，1) B.(1，－1) C.(－1，1)D.(－1，－1)8.(2015·某某六市联考)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ，∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A. 答案A2.解析由z ＋i ＝3－i ，得z ＝3－2i ，∴z －＝3＋2i ，故选C. 答案C3.解析z ＝4＋3i ，|z |＝5，z －|z |＝45－35i. 答案D4.解析(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i. 答案C5.解析1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i 5＝i.答案A6.解析∵z ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，∴z －＝1－i ，故选B.答案B7.解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A8.解析 方法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i.故选B.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i.故选B.答案 B9.解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 答案C10.解析 由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D. 答案 D 11.解析 ∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 答案A12.解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C. 答案 C13.解析 由（1－i ）2z ＝1＋i 知，z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i.故选D.答案 D14.解析 i 3＋2i 1＋i ＝－i ＋i(1－i)＝1.答案 D15.解析 11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝（12）2＋（12）2＝22，选B. 答案 B16.解析 1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋2i ，故选B.答案 B17.解析 复数z ＝(3＋2i)i ＝－2＋3i ，故选B. 答案 B18.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1，选B.答案 B19.解析 由(3－4i)z ＝25⇒z ＝253－4i ＝25（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i ，选D.答案 D20.解析 ∵z ＝2－i ， ∴z ·z ＝|z |2＝22＋12＝5. 答案 A21.解析 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1， 则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 答案 A22.解析 实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B. 答案 B23.解析 i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，实部为－1.答案 －124.解析 (1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，其实部为－2. 答案 －225.解析 ∵z 2＝3＋4i ，∴|z |2＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5. 答案 526.解析 1－2i 2＋i ＝（1－2i ）i （2＋i ）i ＝（1－2i ）i－1＋2i ＝－i.答案 －i27.解析 1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i2. 答案 －1－i228.解析 2－2i 1＋i ＝（2－2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i 2－4i 1－i 2＝－4i2＝－2i. 答案 －2iB 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析z ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 2＝12－32i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝102.答案C2.解析 ∵z ＝1＋i ，∴2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i. 答案A3.解析因为(1＋m i)(3＋i)＝3－m ＋(3m ＋1)i 是纯虚数， 所以3－m ＝0且3m ＋1≠0，得m ＝3，故复数m ＋2i1－i 的模为|3＋2i 1－i |＝|3＋2i||1－i|＝32＋2212＋（－1）2＝262，选择D. 答案D4.解析由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2＝14－34＋32i ＝－12＋32i ，其共轭复数为－12－32i.答案D5.解析由i 1＋i 得i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i2，其对应的点在第一象限.故选A.答案A6.解析∵z ＝－1－i ，∴z －＝－1＋i ，2－z －z ＝2＋1－i－1－i＝－1＋2i.答案C7.解析由z (1＋i)＝2i ，可得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i ， 所以z 对应的点的坐标是(1，1). 答案A8.解析z ＝1＋3i 1＋i ，|z |＝|1＋3i 1＋i |＝|1＋3i||1＋i|＝22＝ 2.答案 2。