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17.1.2 反比例函数的图象与性质(总第26课时)

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反比例函数的图像和性质课件

反比例函数的图像和性质课件

曲线运动问题
通过给定物体的速度和运 动轨迹的曲率半径，利用 反比例关系求解物体在不 同位置的速度。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
通过给定溶液的初始浓度 和稀释后的体积，利用反 比例关系求解稀释后的浓 度。
溶液混合问题
通过给定两种不同浓度的 溶液的体积和浓度，利用 反比例关系求解混合后的 浓度。
物质溶解问题
通过给定三角形的面积和底边长度，利用反比例关系求解高。
平行四边形面积问题
03
通过给定平行四边形的面积和一组对边的长度，利用反比例关
系求解另一组对边的长度。
速度问题建模与求解
01
02
03
匀速直线运动问题
通过给定物体的速度和运 动时间，利用反比例关系 求解物体运动的距离。
变速直线运动问题
通过给定物体的加速度和 运动时间，利用反比例关 系求解物体在不同时间点 的速度。
在第一象限和第三象限内，随着 $x$ 的增大 ，$y$ 值逐渐减小。
函数图像关于原点对称。
函数值变化规律
01
当 $k < 0$ 时
在第二象限和第四象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。
无论 $k$ 取何值，反比例函数 在其定义域内总是连续的，且在 其定义域内没有极值点。
02
03
04
函数图像关于原点对称。
2
反比例型复合函数图像
反比例型复合函数的图像形状和位置取 决于 $f(x)$ 的性质和取值范围。一般来 说，其图像可能不再是双曲线，但仍然 具有一些反比例函数的特性。
3 反比例型复合函数性质
反比例型复合函数具有一些特殊的性质 ，如单调性、奇偶性等，这些性质与 $f(x)$ 的性质和取值范围密切相关。在 实际应用中，需要根据具体情况进行分 析和判断。

17.1.2 反比例函数的图象和性质

17.1.2 反比例函数的图象和性质

（ 1 ）求函数的解析式，并说出这个函数的图 象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
解： 设反比例函数解析式为 y 因为图象经过点（2，-5）
k 把x=2，y=-5 代入得 5 2 10 y 所以， x
k （k≠0） x
k=-10
因为k<0，所以这个函数的图象在第二、四象 限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
小练习
任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为 面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得
（B ） A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．大小关系不能确定
2．如图，P是反比例函数图象上的一点，由P 分别向x轴，y轴引垂线，阴影部分面积为 3，求这个反比例函数的解析式． 解：S矩形OAPB=|k|，∴|k|=3，
∴m= -2
例4 在一个反比例函数图象上任取两点P、Q， 过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的 面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐 标轴围成的面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？
1 1．如图，过反比例函数 y （x＞0）的图象上 x
C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的
解： 因为点M（5 ， a）在图象上，把x=5，y= 10 10 a a代入 y , 得： a=-2．
x 5
小练习
k （2007新疆乌鲁木齐）若反比例函数 y （k为 x
常数，k≠0）的图象经过点（3，-4），则下列各点
在该函数图象上的是（ C ） A．（6，-8） C．（-3，4） B．（-6，8） D．（-3，-4）
（2）点B（1，3）、C （2，4）、 D （-5， 2）和 E （2.5，-4）是否在这个函数图象上？ 10 解：把点B、C、D和E的坐标代入 y x ， 可知点D，E的坐标满足函数关系式，点B、点 C的坐标不满足函数关系式，所以点D、点E在 10 函数 y 的图象上，点B、点C不在这个函数 x 的图象上． （3）若点M（5 ， a）在该图象上，求a的值．

17.1.2反比例函数图象及性质

17.1.2反比例函数图象及性质
-5
y -6
k k 、y 的 图 象 关 于 坐 标 轴 对 称 -6 x x
6 6 观 察y 和y 的 图 象 x x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1.在每一个象限内
y
2.在整个自变量的取值范围内
6 y x
6 y x
如图xB< xA 但yB< yA
6 5 4 3 2
2 ◆请你画出反比例函数 y 的图象 x
2 ◆反比例函数 y x
x y … … -4 -2 -0.5 -1 -2
的图象
-1 -0.5 -4 0.5 4 1 2 2 1 4 0.5 … …
y 6 5 4 3 2 1 O
-2 -3 -4 -5 -6
1.列表: 2.描点: 3.连线: ◆请你另外取一个正整数k的值， 作出其反比例函数图象 ◆通过对k取不同的正值，作 出了反比例函数的图象，你发 现了反比例函数的图象是什么? 分别在哪个象限内？
①列表、描点、连线
y
②对称性
y 6 5 4 3 2 1 O
-2
-4 -3 -2 -1 0 ·1 2 3 4
-1
6 5 2 4 y 3 x 2 1 O
-2
-3 -4 -5
2 y x
x
3 y x
3 y x
x
-4 -3 -2 -1 -1 0
-3
·1
2 3 4
y
k 的 图 象 关 于 原 点 对 称-4 直 线 (过原点）
图象位于：一、三象限 增减性：y随x的增大而增大 图象位于：二、四象限 增减性： y随x的增大而减小
性
质
k<0
研究反比例函数的图象和性质

17.1.2 反比例函数的图象及性质

17.1.2 反比例函数的图象及性质

函数
解析式 图象形状 位 置 增
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线 一、三 象限
y 0 x
反比例函数
y = k ( k是常数,k≠0 ) 是常数,k≠0 x k是常数
双曲线 一、三 象限 象限
y x 增
x y 0 x
y x 增增Biblioteka y 0、 象限、 象限
y x 增
y 0 x
象限
增
探究一： 探究一：画反比例函数的图象
x
y= 6 x … -6 …
y
6 5 4 3 2
-5 -4
-3 -2
-1 -6
1 6
2 3
3 2
4
5
6 1
… …
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.5 1.2
6 y = x
列表
3
1 -6 -5 -4 -3 -2 -1
注意： 4 5 6 x 注意：从左往右用光滑的 0 1 2 -1 曲线连接 -2
0 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
x
6 y = − 的图象位于第二、四象限 的图象位于第二、 x
在每一个象限内， 在每一个象限内， y随x 的增大而增大。 随 的增大而增大。
反比例函数 是不是由k决 是不是由 决 定其性质呢? 定其性质呢
探究二： 探究二：反比例函数图象特征
通过对以上问题的探讨，你能 （ ） 总结出反比例函数 的图 象都有哪些性质吗？
反比例函数的图象和性质
解析式 图象
k y = (k ≠ 0) x
双曲线
y y 0 x 0 x

17.1.2 反比例函数的图象和性质

17.1.2 反比例函数的图象和性质
-2
3 y= x
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 -1 0
-3 -4 -5

·
1 2 3 4
x
y=
k 的图象关于原点对称 x
y -6 =
k k 、 y = − 的图象关于坐标轴对称 -6 x x
发现函数值y怎样随着自变量 的变化而变化 发现函数值 怎样随着自变量x的变化而变化？ 怎样随着自变量 的变化而变化？
12 把点Ｂ、Ｃ Ｂ、Ｃ和 （２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 y = x
，可知点Ｂ、 可知点Ｂ、
点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式， 的坐标满足函数关系式， 的坐标不满足函数关系式，
12 所以点Ｂ、 Ｂ、点 的图象上， 所以点Ｂ、点Ｃ在函数 y = 的图象上，点Ｄ不在这个 x
函数的图象上。 函数的图象上。
1、在每一个象限内 、
y
6 6 观察y = 和y = − 的图象 x x
2、在整个自变量的取值范围内 、
6 y=− x
如图x 如图 B< xA 但yB< yA xB
-6 -5 -4 -3 -2 -1
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1
6 y= x
C
·
y
6 5 4 3 2 1
解析式 图象名称
K>0
y=kx (k≠0) 过原点） 过原点 直 线 (过原点）
图象位于： 图象位于：一、三象限 y随 的增大而增大 的增大而 增减性： 增减性： 随x的增大而增大
性 质
图象位于：二、四象限 图象位于： K<0 增减性： y随x的增大而减小 的增大而减小 增减性： 随 的增大而
研究反比例函数的图象和性质

反比例函数的图像和性质ppt课件

反比例函数的图像和性质ppt课件

7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎

反比例函数的图象和性质课件

反比例函数的图象和性质 ppt课件
反比例函数的图象和性质ppt课件介绍了反比例函数的定义、性质、图象以及 应用。通过课件，你将了解反比例函数的基本概念和特点，并掌握其在实际 问题中的应用。
I. 反比例函数的定义及性质
定义
反比例函数是一种特殊的函 数关系，其变量之间的比例 关系是相反的。
解析式
反比例函数的解析式一般为y = k/x，其中k为常数。
练习题演练
通过练习题的演练，加深对反比例函数的理解，并提高解决实际问题的能力。
IV. 总结与思考
特点回顾
反比例函数具有对称轴、渐近线等特点，是一种重要的函数类型。
图象对实际问题的帮助
反比例函数的图象可以帮助我们理解和解决实际问题，提供定性和定量的分析。
进一步思考
通过深入思考和探索，我们可以将反比例函数应用于更复杂的优化问题中。
反比例函数的图象可以通过平移、 伸缩等变换得到不同的形态。
反比例函数的图象包括关键点， 如顶点、渐近线和交点。
III. 反比例函数的应用
与正比例函数的关系
反比例函数和正比例函数是互为倒数的关系，它们在实际问题中经常同时出现。
实际问题中的应用
反比例函数在经济、物理和工程等领域中有广泛的应用，例如弹簧的伸长和台阶的高度与数 量关系。
定义域和值域
反比例函数的定义域为除数 不为0的实数集合，值域为不 等于0的实数集合。
单调性
反比例函数在定义域内通常是单调递减或单调增 函数。
渐近线
反比例函数在x轴和y轴上都有渐近线，分别为y = 0和x = 0。

II. 反比例函数的图象
基本形态
变形
特征点
反比例函数的图象通常为双曲线， 具有一个对称轴。

反比例函数反比例函数的图象与性质ppt

利用反比例函数的图象和性质可以构造一些等式或不等式 。例如，利用反比例函数的图象关于原点对称的性质可以 得到一些对称的等式或不等式。
利用反比例函数的单调性可以构造一些单调的等式或不等 式。例如，利用反比例函数在x<0时增加的性质可以得到 一些单调递增的等式或不等式。
THANK YOU.
反比例函数的奇偶性
奇函数
反比例函数是奇函数，因为对 于所有实数x，都有f(-x)=-f(x)
。
图像对称
反比例函数的图像关于原点对 称，即对于所有实数x和y，都
有f(x)=f(-x)。
域和值域
反比例函数的定义域和值域都 是R。
反比例函数的凹凸性
01
02
03
凹函数
当比例系数大于0时，反 比例函数是凹函数。
凸函数
当比例系数小于0时，反 比例函数是凸函数。
拐点和极值
当比例系数等于0时，反 比例函数没有拐点，也没 有极值。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
描述现实生活中的反比例关系
反比例函数在现实生活中有着广泛的应用，例如在物理学中的万有引力定律、工程学中的材料强度、经济学中的通货膨胀率 等。
2023
《反比例函数反比例函数 的图象与性质ppt》
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数的定义
反比例函数是一种特殊的函数，通常表示为y=k/x（k为常数，x不等于0）。它描述的是 当一个变量x变化时，另一个变量y如何以相反的方向变化。
交通流量的预测

反比例函数图像和性质教学课件

幂函数和反比例函数在性质上有一些相似之处，例如它们 都是连续的、可微的、有界但无界的。然而，它们的导数 和积分有不同的形式和性质。
THANK YOU
反比例函数图像和性质教学 课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用举例 • 反比例函数与其他知识点的关联
01
反比例函数简介
反比例函数的定义
1 2
反比例函数
形如 (f(x) = frac{k}{x}) (其中 (k neq 0)) 的函数 被称为反比例函数。
反比例函数的渐近线
反比例函数的图像没有界限，但可以无限接近两条渐近线，分别是 (y = 0) 和 (x = 0)。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和其他科学领域中，反比例函数有广泛的应用，例如电阻、电容和电感 之间的关系。
02
反比例函数的图像绘 制
使用数学软件绘制反比例函数图像
软件选择
选择适合的数学软件，如 GeoGebra、Desmos等，这些
运动与减肥的关系
在减肥过程中，运动量与减肥效果之 间存在反比关系，即当运动量增大时 ，减肥效果不一定更明显，需要合理 控制饮食和运动量。
05
反比例函数与其他知 识点的关联
与一次函数的关联
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，且k≠0。当b=0时，一次函数退化为正比例函数 ，其图像是一条过原点的直线。反比例函数与正比例函数在形式上相似，只是自变量x的次数为-1。 因此，反比例函数的图像也位于坐标轴的两侧，并随着x的增大而趋近于无穷远。
一次函数和反比例函数在图像上都是单调的，但方向相反。一次函数随着x的增大而增大或减小，而 反比例函数则随着x的增大而减小或增大。

反比例函数的图象和性质课件

02
当 k > 0 时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 k < 0 时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式是 y = k/x (k ≠ 0)，也可以表示为 xy = k。
在这个函数中，x 和 y 的乘积始终等 于 k，而 k 的值决定了函数的图像在 哪个象限分布。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常是以原点为中心的双曲线，分布在四个象限。
当 k > 0 时，图像在第一象限和第三象限；当 k < 0 ，图像在第二象限和第四象 限。
反比例函数的图像不会与坐标轴相交，因为当 x 或 y 趋于无穷大时，y 或 x 将趋于 0。
CHAPTER 02
反比例函数的图像性质
人口增长与资源消耗的关 系
随着人口的增长，资源消耗也相应增加，但 这种增加并不是线性的，而是呈现出反比例 关系。这意味着人口增长得越快，资源消耗 得也越快，进一步加剧了资源紧张的局面。
在数学问题中的应用
解决几何问题
在几何学中，反比例函数经常被用来描述和解决与面积、体积和角度等相关的数学问题 。通过利用反比例关系，可以简化复杂问题的求解过程。
压强与体积的关系
在气体压力问题中，压强与体积成反比，即当体积增大时， 压强减小；反之亦然。这是解释和预测气体压力和体积关系 的基础。
在实际生活中的应用
药物剂量与效果的关系
在药物研究中，药物的剂量与其效果之间往 往存在反比例关系。这意味着当剂量增加时 ，效果可能减弱；反之亦然。了解这种关系 对于药物设计和使用非常重要。
反比例函数的图象和 性质ppt课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的数学性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
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y 12 ，可知点 B、C 的坐标满足此函数 x
解析式，点 D 的坐标不满足此函数解析
式，所以点 B、C 在函数 y 12 的图象上， x
点 D 不在这个函数的图像上
y 随 x 的增大而 2、自学课本 P44 页例 4 （二）小组交流
（三）教师点拨
1、判断点是否在图像上，只要将点代入解析式验证即可 2、系数 k 对图象的影响：k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限 3、比较自变量或函数的大小（k＞0，在每个象限 y 随 x 的增大而减小；k ＜0，在每个象限 y 随 x 的增大而增大） （四）巩固练习
D． y1 y3 y2
（五）水平提升
1、正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y= k 的图象有一个交点的纵坐标 x
是 2，求（1）x=-3 时反比例函数 y 的值；（2）当-3<x<-1 时，反比例函数 y 的取值范围．
（六）课堂小结
B. y1 y2
C. y1 y2
D y1 与 y2 之间的大小关系不能确定
4、在反比例函数
y
1 x
的图像上有三点 x1
，y1 ，x2
，y2
，x3
，y3
。
若 x1 x2 0 x3 则下列各式准确的是（ ）
A ． y3 y1 y2
B ． y3 y2 y1
C ． y1 y2 y3
课题：
时间：
主备： 审核： 班级：
姓名：
17.1.2 反比例函数的图象与性质（总第 26 课时）
【学习目标】 进一步理解和掌握反比例函数的图象及其性质，能利用待定系数法求函数 关系式，并能比较大小 【教学过程】
（一）自主学习：
二次备课
1、例 3 已知反比例函数的图象经过点 A（2,6）。
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
（2）点 B（3,4），C（ 2 1 , 4 4 ），D（2,5）是否在这个函数的图像上？
25
解：（1）设这个反比例函数为 y k ， x
∵ 此反比例函数经过点 A（2,6）
则 6 k 2
解得：k=
∴ 这个反比例函数解析式为
∵ k>0 ∴ 这个函数的图象位于
象限
（2）分别把点 B、C、D 的坐标代入
1、完成课本 P45 页练习第 1 题和第 2 题
2、点（1，3）在反比例函数 y= k 的图象上，则 k= x
上，y 随 x•的增大而 ．
，在图象的每一支
3、反比例函数
y
1 x
的图象上有两点
A( ,
y1 ) 、 B(x2 ,
y2 ) 且 x1
x2 ，那
么下列结论准确的是（ ）
A. y1 y2