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北师⼤版⾼中《数学必修第⼀册》新教材权威解读（五）北师⼤版《普通⾼中教科书数学》⼀次性通过教育部的各项审查，于2019年正式出版。
教材在继承与发展上⼀版教材优势的基础上，根据《普通⾼中课程⽅案（2017年版）》与《普通⾼中数学课程标准（2017年版）》的精神和要求编写⽽成。
上期与⼤家分享了北师⼤版《普通⾼中教科书数学必修第⼀册》中第五章函数应⽤、第六章统计的编写思路。
本期将继续由教材副主编李延林教授、核⼼编者董武⽼师、李红⽼师和关健⽼师带领⼤家⼀起了解第七章概率、第⼋章数学建模活动（⼀）的编写思路。
第七章概率01注重模型的思想通过对抛掷硬币过程中各种随机事件出现可能性⼤⼩的分析，抽象概括出“古典概型”这⼀重要的概率模型，同时对分析问题本质的思想（如古典概型所蕴含的对称性）进⾏渗透。
02注重知识内在的逻辑关系本章教材按照以下顺序展开：随机现象→样本空间→随机事件→随机事件的关系→古典概型→频率与概率→事件的独⽴性，环环相扣，知识的逻辑性更强。
03注重研究同⼀问题的不同思路第⼋章数学建模活动（⼀）01整体布局循序渐进根据课程标准的要求，整套教材的数学建模部分整体设计了7个课时，分成循序渐进的三个部分内容，且分布在三册教材的三章中。
整体设计的⽬的是：历经三个学期、⼀个寒假、⼀个暑假，给出⾜够的时间，保障所有的学⽣都能参与到实践数学建模活动中；保障每⼀个数学建模活动都能从容、深⼊、完整地开展；使得学⽣的建模能⼒螺旋式提升。
02关键环节实例引领为了能让学⽣从不知什么是数学建模，开始⾛近数学建模，以著名的七桥问题，引领学⽣感受数学家眼光的独到、深远；当讲解数学建模活动时，以驾驶摩托车飞跃黄河的问题，引领学⽣知道怎样选题、开题、做题和结题。
这些贴近学⽣的引领也起到了建模活动的⽰范作⽤。
03要点内容细细展开在数学建模活动中，选题很重要，⽽且有些学⽣不知道选什么样的题，从哪选题，选题时注意些什么等，教材则突出解决了这些问题，引导学⽣发现问题。
第八章数学建模活动(一) §1走近数学建模§2数学建模的主要步骤必备知识基础练进阶训练第一层知识点一建立数学模型1.主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量E与通过心脏的血液量Q成正比；并且根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．血流量Q 是单位时间流过的血量，脉博率f是单位时间心跳的次数；还有一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比．动物名体重/g脉搏率/(心跳次数·min－1)鼠25670大鼠200420豚鼠300300兔 2 000205小狗 5 000120大狗30 00085羊50 00070马45000038建立脉搏率与体重的关系，讨论你模型中的假设，并用上表中的数据检验模型．知识点二数学建模的主要步骤2.种纸卷，如图，两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？知识点三数学建模的主要过程3.在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快的疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题．根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告．关键能力综合练进阶训练第二层1．下图中的两个图形，哪一个图形能一笔画成，哪个不能？为什么？2．在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知．现在工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻，如何测量出这三根电线的电阻？3．你是否注意到北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间留有一定空隙，如左图所示，两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气．据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失．我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导(即流失)过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如右图，玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果．模型假设：(1)热量的传播过程只有传导，没有对流．即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的．(2)室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数．(3)玻璃材料均匀，热传导系数是常数．在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为d的均匀介质，两侧温度差为ΔT，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q与ΔT成正比，与d成反比，即Q＝k ΔTd，(*)k为热传导系数．从有关资料可知，常用玻璃的热传导系数k1＝4×10－3～8×10－3 J/cm·s·kW·h，不流通、干燥空气的热传导系数k2＝2.5×10－4 J/cm·s·kW·h.4．针对“北京市区道路交通流量随时间变化规律”这一选题进行分析、思考，完成其开题报告．学科素养升级练进阶训练第1．在商场中，我们经常可以看到同一种商品会有多种大小不同的型号，其价格也各不相同．对比型号和价格，我们很容易发现：当商品的“量”增加时，价格也会增加；但是价格的增加与“量”的增加是不成比例的，也就是说你买的商品的“量”越多，商品的平均价格越低，有人认为这是商家的营销策略，买得越多越划算，这样顾客往往倾向于购买大包装的商品．大包装的商品真的是薄利多销吗？就这一问题通过调查、分析、研究，完成选题，开题报告．第八章数学建模活动(一)§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤§3数学建模活动的主要过程必备知识基础练1．解析：建模过程如下：(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E 与身体的表面积S 成正比，可以表示为E ＝p 1S .又因为动物体内消耗的能量E 与通过心脏的血流量Q 成正比，可以表示为E ＝p 2Q .因此得到Q ＝pS ，其中p 1，p 2和p 均为正的比例系数．另一方面，因为体积V 与体重W 成正比，可以表示为V ＝r 1W ；又因为表面积S 大约与体积V 的23次方成正比，可以表示为S ＝r 2V 23，因此得到S ＝rW 23，其中r 1，r 2，r 为正的比例系数．所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q ＝k 1W 23，其中k 1为正的比例系数．(2)根据脉搏率的定义f ＝Qq ，再根据生物学假设q ＝cW (c 为正的比例系数)，最后得到f ＝Q q ＝k 1W 23cW ，也就是f ＝kW －13，其中k 为正的待定系数．脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的13次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系．右图是以ln W 和ln f 为坐标的散点图．可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f ＝ln k －ln W3.2．解析：合算就是纸的量多，因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算，为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算．证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，⎝⎛⎭⎪⎫d22＝R2－r2，当D＝d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＝π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯，当D＞d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＜π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯．当D＜d时，S有芯＝π(R2－r2)＝π⎝⎛⎭⎪⎫d22＞π⎝⎛⎭⎪⎫D22＝S无芯．要解决的问题在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间选题的原因及意义建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议建模问题的可行性分析教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数．基本模型、解决问题的大体思路和步骤做出合理假设，列出有关的参数．队列中人与人之间的距离将为常数，记为d，队列行进的速度也是常数v，令第i个教室中的人数为n i＋1人，第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为L i，教室门的宽度为D.疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计．T1,2＝⎩⎪⎨⎪⎧(L1＋L2＋D＋n2d)/v(n1＋1)d≤L2＋D[L1＋(n1＋n2＋1)d]/v(n1＋1)d＞L2＋D预期结果和结果呈现方式建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告参考文献《数学模型与数学建模》北京师范大学数学科学学院其他说明关键能力综合练1．解析：(1)标点：标出双数点和单数点．(2)判断：第一个只有两个单数点，所以可以一笔画，第二个有4个单数点，所以不能一笔画，2．解析：不妨用a，b，c及a′，b′，c′分别表示三根电线的底端和顶端，并用aa′，bb′，cc′分别表示三根电线，假设x，y，z 分别是aa′，bb′，cc′的电阻，这是三个未知数，电表不能直接测量出这三个未知数．然而我们可以把a′和b′连接起来，在a和b处测量得电阻x＋y为l；然后将b′和c′连接起来，在b和c处测量得y＋z为m，连接a′和c′可测得x＋z为n，这样得三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝ly＋z＝mx＋z＝n.由三元一次线性方程组解出x，y，z即得三根电线的电阻．3．解析：记双层窗内层玻璃的外侧温度是T a，外层玻璃的内侧温度是T b，如图，玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，由(*)式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为Q1＝k1T1－T ad＝k2T a－T bl＝k1T b－T2d，消去T a，T b，可得Q1＝k1(T1－T2)d(s＋2)，s＝h k1k2，h＝ld，对于厚度为2d的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为Q2＝k1T1－T22d.二者之比为Q1Q2＝2s＋2，显然Q1＜Q2.为了得到更具体的结果，我们需要k1和k2的数据.16≤k1k2≤32.在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守的估计，即取k1k2＝16，可得Q1Q2＝18h＋1，h＝ld，比值Q1Q2反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与h＝ld有关，我们给出Q1Q2－h的曲线，当h增加时，Q1Q2迅速下降，而当h超过一定值(比如h＞4)后Q1Q2下降变缓，可见h不必选择过大．要解决的问题随着北京城市的不断发展，交通成了饱受关注的话题，那么北京市区主要道路交通流量随时间变化有什么样的规律？学科素养升级练主要过程 成本×(1＋利润率)，所以有y ∝P .而商品的成本主要分为生产成本和包装成本两部分，分别设为P 1和P 2，即有y ∝(P 1＋P 2)．商品的生产成本P 1与商品的质量x 成比例，即P 1∝x ；而商品的包装成本P 2与商品的表面积S 成比例，即P 2∝S ，而S ∝V 23，V ∝x (这里V指商品的体积)，故有P 2∝x 23.从而我们可以假设y ＝ax ＋bx 23. 下面我们用实际数据来检验这一函数表达式的准确性，因为在函数中有两个待定系数，所以我们只需要代入两组(x ，y )值即可求出a ，b 的值． 将(65,14)和(90,17.6)代入y ＝ax ＋bx 23中，可得⎩⎪⎨⎪⎧65a ＋6523b ＝1490a ＋9023b ＝17.6，解得a ≈0.0225，b ≈0.7756，所以y ＝0.0225x ＋0.7756x 23结果检验将x ＝120代入，得y ＝21.57，与实际价格21.60元相差0.03；再将x ＝180代入，得y ＝28.77，与实际价格28.30元相差0.47元．因此，我们推导出来的函数表达式还是比较准确的．这一步得到单位质量价格y ′＝0.0225＋0.7756x －13，由几何画板做出y ′－x 的关系图为可以看出随牙膏质量的增加，单位质量价格的减小量。
北京师大高中数学建模
高中数学建模是一个涉及将现实问题转化为数学问题，并运用数学方法进行解决的过程。
对于北京师大附中的学生来说，数学建模可能包括以下几个方面：
1. 建模过程：首先，学生需要学习如何从实际问题中抽象出数学模型。
这涉及到对问题的深入理解和分析，以及适当的假设和简化的技巧。
2. 数学工具：高中阶段常用的数学建模工具包括代数、几何、概率统计等。
学生需要掌握这些基础知识，并能灵活运用来解决实际问题。
3. 实际问题：选择适当的实际问题进行建模是关键。
这可以包括与生活、经济、环境等相关的各种问题。
通过解决这些问题，学生可以更好地理解数学的实用性和应用价值。
4. 团队合作：数学建模往往需要团队合作。
学生需要学会在团队中有效地沟通和协作，共同解决问题。
5. 报告撰写：最后，学生需要将整个建模过程整理成报告，清晰地展示问题的分析、模型的建立、求解过程以及最终的结论。
北京师大附中作为一所知名学校，其数学课程设置和教学质量都是很高的。
在这样的环境中，学生可以获得丰富的数学建模经验和机会，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
2019版普通高中数学(北师大版)教材的整体设计与主要特色
2019版北师大普通高中数学教材是一部全面系统高质量的教材，其设计理念是“引导新时代、践行新思维”，建立一套有别于传统数学的思考方式，以推动学生的思维深入研究、体验理解、解决实际问题，丰富学生的学习内容和学习形式，以提高数学学科的学习效果。
2019 年北师大版普通高中数学教材的整体设计和主要特色如下：
一、课程设计
1. 全面改革：该教材对数学传统概念进行了一次全面的改革，以适应现代社会新的需求和发展；
2. 实用性强：以实际应用为基础，结合新科技，引入实际问题；
3. 关联性强：深入剖析各学科的内容，让学生熟悉及运用，关联与联系概念及学科内容；
4. 要求高：只有在把握了基本原理和规律后，学生才能够更高效的把握新知识，牢固树立数学学习的态度。
二、主要特色
1. 概念贯穿：该教材中概念贯穿，注重学生从语言、图形、式子到实
际应用，来更深入地理解概念构成；
2. 应用显著：立足实际，又同时注重实践应用，采用新科技模型、案
例教学，促进学生学以致用；
3. 全方位发展：以全新理念，打造全方位发展概念，融入任务型教学，融合能力培养，最终培养学生的综合用数能力；
4. 趣味教学：融合各种教学插件，让教学更加活跃，更有趣、更有效，促进学生情感的发挥，真正实现兴趣为学习服务的宗旨。
总结来说，2019 版北师大版普通高中数学采用了实用、深入、应用的
教学方式，使学生巩固学习基础，丰富学习内容，拓展学习领域，提
高学习能力。
此外，其中还融入了科学的计算机函数以及各种有趣的
实验因素，更有利于激发学生的学习兴趣，帮助学生建立良好的学习
习惯，以实现自学的教育目标。
建筑物高度的测量
【教学目标】
通过数学建模来计算建筑的高度.
【教学重难点】
数学模型的选择.
【教学过程】
一、基础知识
数学建模活动的主要步骤如下：
教师小结：
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容. 二、实例探究
（一）问题情境和任务
选择适用的方法，测量下面3个物体的高度.
1．学校内的旗杆；
2．学校内的一座教学楼；
3．学校外一座看得见，但底部不可到达的建筑物.
（二）实践流程建议
1．成立测量小组.
2．学习研讨，完成下列工作。
（1）选定测量目标和测量方法（注意控制测量误差、计算误差）；
（2）制订测量方案，写出计划书，最好选用两套方案测量同一个物体；（3）准备相应的测量工具（需要时也可以自制一些简单的测量工具）；
（4）明确小组成员的任务分工.
3．实施现场测量，记录测量数据.
4．完成计算和报告，填写“测量工作报告表”.
5．成果交流.
交流时，关注测量过程和创新点，以实物、照片、幻灯片等形式展示.
测量工作报告表
根据制定的测量方案，完成实际测量活动.。
