高二数学充分必要充要条件

充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q Þ，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q Þ，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。

所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q Û，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。

例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q Þ，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。

在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。

以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。

高二数学复习讲义（1） ——《常用逻辑用语》<知识点>1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性） （a ）原命题与其逆否命题同真、同假。

（b ）否命题与逆命题同真、同假。

2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。

（2）判断方法： （i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若A=B ，则p 与q 互为充要条件。

（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。

当原命题为真时，p 是q 的充分条件。

当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。

注意：充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

<练习题>一、填空题1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________． 2.⎩⎪⎨⎪⎧x 1>3x 2>3，是⎩⎨⎧x 1＋x 2>6，x 1x 2>9成立的________条件． 3．命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是________． 4．下列四个命题中，是真命题的序号是________．①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．5．下列命题是真命题的是________(填序号)．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；②∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；③∃x ∈Z ，x 2＝2；④∃x ∈R ，x 2＝2.6．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的________条件．7．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的________条件．8．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若 p 是 q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．9．命题“偶数能被2整除”的否定形式是________． 10．下列命题中，假命题是________． ①∃α、β∈R ，使sin(α－β)＝sin α－sin β； ②∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；③∀x 、y ∈R ，x ＋y2≥xy ；④点(3,4)不在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0上．11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．12．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)． 13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．14．已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2x 2－x ＋1<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________.二、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.16．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．17．命题甲：a∈R，关于x的方程|x|＝ax＋1(a>0)有两个非零实数解，命题乙：a∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－2>0的解集为空集．当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．18．求证：关于x的方程x2＋2ax＋b＝0有实数根，且两根均小于2的充分不必要条件是a≥2且|b|≤4.19．(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．20．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0(a<0)；命题q：实数x满足x2－x －6≤0或x2＋2x－8>0.且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．参考答案一．填空题1.答案：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>6x 1·x 2>9，可知，当⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝8x 2＝2，时，不等式组成立，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x 1>3，x 2>3，所以必要性不成立． 答案：充分不必要3.解析：命题的条件为“x 2≥1”，结果为“x ≥1或x ≤－1”，否定结果作条件，否定条件作结果，即为其逆否命题． 答案：若－1<x <1，则x 2<14.解析：①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不互为相反数”是真命题；②“若a 2≤b 2，则a ≤b ”，取a ＝1，b ＝－5，因此a 2≤b 2，但a >b ，故②是假命题；③“若x >－3，则x 2－x －6≤0”，解不等式x 2－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3不是不等式的解，故是假命题；④“相等的角是对顶角”是假命题． 答案：① 5.答案：②④6.解析：由Venn 图易知“M ∪N ≠∅” “M ∩N ≠∅”，而“M ∩N ≠∅”⇒“M ∪N ≠∅”． 答案：必要不充分7.解析：“p 且q ”为真⇒p 真且q 真⇒“p 或q ”为真，反之不成立． 答案：必要不充分 8.解析：p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3.又 p 是 q 的充分条件，即 p ⇒ q ，它的等价命题是q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：－1≤a ≤69.答案：存在一个偶数不能被2整除 10.答案：②③11.解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 答案：3≤m <812.解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；③∵b ≤－1，∴Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥4>0，∴“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；④∵当α＝7π3时，sin α＋cos α>1成立，∴此命题是假命题．答案：①③13.解析：由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e,4]． 答案：[e,4]14.解析：∵x 2－x ＋1>0，∴原不等式化为x 2－ax ＋2<3x 2－3x ＋3，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0.∵∀x ∈R 时，2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立，∴Δ＝(a －3)2－8<0. ∴3－22<a <3＋22， ∴a 1＋a 2＝6. 答案：6 二．解答题15.解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β； 否命题：若α≠β，则sin α≠sin β； 逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等； 否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形； 逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．(3)逆命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ； 否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d . 16.解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x ∈R ，有4x －3≤x .因为当x ＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x ∈R ，有4x －3≤x ”是假命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，使x ＋1≠2x .因为当x ＝2时，x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x ＋1≠2x ”是真命题．(4)命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题． 17.解：当甲为真时，设y ＝|x |和y ＝ax ＋1(a >0)，即两函数图象有两个交点，则0<a <1；当乙为真时，a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ≤0，则－79≤a ≤1，∴当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a >1或a <－79或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1或a ≤0－79≤a ≤1，∴a ∈[－79，0]∪{1}．18.证明：先证明条件的充分性： ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2b ≤4⇒a 2≥4≥b ， ∴Δ＝4(a 2－b )≥0，∴方程有实数根．① ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2b ≥－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≤－4，b ≥－4. ∴(x 1－2)＋(x 2－2)＝(x 1＋x 2)－4＝－2a －4≤－4－4＝－8<0.而(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝b ＋4a ＋4≥－4＋8＋4＝8>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2＋x 2－2<0x 1－2x 2－2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2<0x 2－2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1<2，x 2<2.②由①②，知“a ≥2，且|b |≤4”⇒“方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实数根，且两根均小于2”．再验证条件的不必要性：∵方程x 2－x ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝1，则方程的两根均小于2，而a ＝－12<2，∴“方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两根小于2” “a ≥2且|b |≤4”．综上，a ≥2且|b |≤4是方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实数根且两根均小于2的充分不必要条件． 19.解：(1)x ∈M 或x ∈P ⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)，因为x ∈M 或x ∈P x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧4m <0，Δ＝4m 2＋16m <0，⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0，对x ∈R 恒成立．故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.20.解：命题p ：3a <x <a ；命题q ：x <－4或x ≥－2. ∵ p ⇐ q ， ∴p ⇒q ，由数轴可知a ≤－4或3a ≥－2，即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.。

►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件． 一般地，假如既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．明显，假如p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，假如p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p(x)}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0相互垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．2．(2022·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：由于当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.。